Чем вписанный угол отличается от центрального?

Вершина центрального угла находится в центре окружности, а вершина вписанного лежит на самой окружности. Если оба опираются на одну дугу, центральный угол вдвое больше вписанного. Например, вписанному углу в $50^\circ$ соответствует центральный угол в $100^\circ$ и дуга в $100^\circ$.

Как найти длину дуги и площадь сектора?

Определите, какую долю полной окружности занимает дуга: это $\frac{n}{360}$, где $n$ — центральный угол в градусах. Умножьте на эту долю длину окружности $2\pi r$, чтобы получить длину дуги, либо площадь круга $\pi r^2$, чтобы получить площадь сектора.

Чему равен угол, опирающийся на диаметр?

Прямому углу, то есть $90^\circ$. Это следует из того, что диаметр стягивает дугу в $180^\circ$, а вписанный угол равен половине дуги. Свойство полезно, когда на чертеже есть диаметр и точка на окружности: сразу получается прямоугольный треугольник.

Какое значение $\pi$ подставлять?

Если ответы записаны с буквой $\pi$, оставьте её в ответе и не подставляйте число. Если сказано считать $\pi \approx 3{,}14$ и ответы даны десятичными дробями, подставляйте $3{,}14$ в самом конце, когда остальные действия уже выполнены.

Как связаны радиус окружности и касательная?

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Благодаря этому из центра, точки касания и точки вне окружности получается прямоугольный треугольник, и длину касательной находят по теореме Пифагора: $\sqrt{d^2 - r^2}$, где $d$ — расстояние от точки до центра.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Окружность и круг: вписанный и центральный угол, длина окружности и площадь круга

Вписанный и центральный угол, длина окружности, площадь круга и сектора, касательная и хорда — темы планиметрии профильной математики, где формул немного, а ошибки случаются в применении. На этой странице они собраны для подготовки к ЕНТ: ключевые правила, порядок решения, разобранные примеры, задания в формате ЕНТ с решением и задания для самопроверки.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 08 «Планиметрия», темы 14 и 15. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 19–21 и 31–35.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 08. Планиметрия

Тема 14. Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур.
Тема 15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования.

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 08. Планиметрия
- Тема 14. Понятие о геометрических фигурах. Взаимное расположение геометрических фигур.
- Тема 15. Метрические соотношения. Векторы и преобразования.
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх, установление соответствия
В наших пробных вариантах — по жребию задания 19–21 и 31–35.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Окружность и круг. Длина окружности $C = 2\pi r$ , площадь круга $S = \pi r^2$ , диаметр $d = 2r$ . Если в условии сказано считать $\pi \approx 3{,}14$ , подставляйте это значение только в конце вычислений.
Дуга и сектор. Дуге в $n^\circ$ соответствует длина $l = \frac{\pi r n}{180}$ , а сектору с центральным углом $n^\circ$ — площадь $S ={}$ $\frac{\pi r^2 n}{360}$ . Это доли $\frac{n}{360}$ от длины окружности и от площади круга.
Центральный и вписанный угол. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, то есть половине центрального угла на той же дуге. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Касательная и хорда. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам, а равные хорды стягивают равные дуги.
Окружность и треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, и $R = \frac{c}{2}$ . Для окружности, вписанной в треугольник, $S = pr$ , где $p$ — полупериметр; у прямоугольного треугольника $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Как решать: по шагам

по порядку

1.Сделайте чертёж
Нарисуйте окружность, отметьте центр, проведите радиусы в точки, о которых говорится в условии, и подпишите данные углы, дуги и длины.
2.Проверьте, радиус дан или диаметр
Многие ошибки в формулах длины и площади связаны с диаметром, поставленным вместо радиуса. Если дан диаметр, сначала разделите его пополам.
3.Для углов найдите дугу
Определите, на какую дугу опирается каждый угол. Центральный угол равен этой дуге, вписанный — её половине. Угол, опирающийся на диаметр, прямой.
4.Для длины и площади возьмите долю
Дуге в $n^\circ$ соответствует доля $\frac{n}{360}$ длины окружности, сектору — та же доля площади круга. Подставьте радиус и сократите дробь до $\pi$ .
5.Касательные и хорды сводите к прямоугольному треугольнику
Радиус в точку касания и перпендикуляр из центра к хорде дают прямоугольный треугольник, в котором работает теорема Пифагора.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Длина дуги и площадь сектора
Радиус окружности равен 9 см. Найдите длину дуги и площадь сектора, которым соответствует центральный угол $40^\circ$ .
2.Угол, опирающийся на диаметр
Отрезок $AB$ — диаметр окружности с центром $O$ , точка $C$ лежит на окружности, угол $CAB$ равен $35^\circ$ . Найдите угол $ABC$ и центральный угол $COB$ .
3.Две касательные из одной точки
Радиус окружности с центром $O$ равен 7 см. Из точки $M$ , удалённой от центра на 25 см, проведены касательные $MA$ и $MB$ ( $A$ и $B$ — точки касания). Найдите длину $MA$ и площадь четырёхугольника $OAMB$ .
4.Окружности прямоугольного треугольника
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности.

Задание в формате ЕНТ

наше задание

Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Точки

A

B

C

лежат на окружности с центром

O

(см. рисунок). Угол

ACB

равен

80^\circ

. Найдите угол

AOB

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 2.

Точки

A

B

C

лежат на окружности с центром

O

(см. рисунок). Угол

AOB

равен

130^\circ

. Найдите угол

ACB

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

задание для этой страницы

Задание 1.

Длина окружности равна

43{,}96

см. Найдите площадь круга в квадратных сантиметрах, считая

\pi \approx 3{,}14

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 2.

Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора с центральным углом

120^\circ

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 3.

Хорда окружности равна 16 см и удалена от центра на 6 см. Найдите радиус окружности.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Подставляют диаметр вместо радиуса в $S = \pi r^2$ или в $C = 2\pi r$ . Если в условии дан диаметр, сначала разделите его пополам, а потом применяйте формулу.
Путают вписанный и центральный углы: считают их равными или умножают вместо деления. Центральный угол всегда вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
Находят длину дуги по формуле площади сектора и наоборот. В длину дуги радиус входит в первой степени, в площадь сектора — во второй.
Забывают, что угол, опирающийся на диаметр, прямой, и вычисляют его через дуги, хотя ответ виден сразу.
Не проводят радиус в точку касания и теряют прямой угол. Именно он превращает задачу о касательной в задачу о прямоугольном треугольнике.

Запомните

$C = 2\pi r$ , $S = \pi r^2$ .
Дуга в $n^\circ$ : $l = \frac{\pi r n}{180}$ ; сектор: $S ={}$ $\frac{\pi r^2 n}{360}$ .
Вписанный угол — половина центрального на той же дуге.
Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ .
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Вопросы и ответы

1.Чем вписанный угол отличается от центрального?+
Ответ:Вершина центрального угла находится в центре окружности, а вершина вписанного лежит на самой окружности. Если оба опираются на одну дугу, центральный угол вдвое больше вписанного. Например, вписанному углу в $50^\circ$ соответствует центральный угол в $100^\circ$ и дуга в $100^\circ$ .
2.Как найти длину дуги и площадь сектора?+
Ответ:Определите, какую долю полной окружности занимает дуга: это $\frac{n}{360}$ , где $n$ — центральный угол в градусах. Умножьте на эту долю длину окружности $2\pi r$ , чтобы получить длину дуги, либо площадь круга $\pi r^2$ , чтобы получить площадь сектора.
3.Чему равен угол, опирающийся на диаметр?+
Ответ:Прямому углу, то есть $90^\circ$ . Это следует из того, что диаметр стягивает дугу в $180^\circ$ , а вписанный угол равен половине дуги. Свойство полезно, когда на чертеже есть диаметр и точка на окружности: сразу получается прямоугольный треугольник.
4.Какое значение $\pi$ подставлять?+
Ответ:Если ответы записаны с буквой $\pi$ , оставьте её в ответе и не подставляйте число. Если сказано считать $\pi \approx 3{,}14$ и ответы даны десятичными дробями, подставляйте $3{,}14$ в самом конце, когда остальные действия уже выполнены.
5.Как связаны радиус окружности и касательная?+
Ответ:Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Благодаря этому из центра, точки касания и точки вне окружности получается прямоугольный треугольник, и длину касательной находят по теореме Пифагора: $\sqrt{d^2 - r^2}$ , где $d$ — расстояние от точки до центра.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

НЦТ, Спецификация теста по предмету «Математика» для ЕНТ (для использования с 2026 года), раздел 08 «Планиметрия»: Понятие о геометрических фигурах; Метрические соотношения

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Окружность и круг: вписанный и центральный угол, длина окружности и площадь круга

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Сделайте чертёж

2.Проверьте, радиус дан или диаметр

3.Для углов найдите дугу

4.Для длины и площади возьмите долю

5.Касательные и хорды сводите к прямоугольному треугольнику

Примеры с решением

1.Длина дуги и площадь сектора

2.Угол, опирающийся на диаметр

3.Две касательные из одной точки

4.Окружности прямоугольного треугольника

Задание в формате ЕНТ

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники