Kleksa

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Тригонометрия: формулы, таблица значений и единичная окружность

Тригонометрия в профильной математике начинается с единичной окружности: по ней видны и значения синуса, косинуса и тангенса, и их знаки. Здесь собраны таблица значений для стандартных углов, основные тождества, формулы приведения и двойного угла, порядок решения, примеры с разбором и задания в формате ЕНТ с проверкой.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 01 «Числа», тема 03. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 4, 6, 12 и 31–35.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации
Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

  • Математика

    Раздел 01. Числа

    • Тема 03. Тригонометрия.

    Формы заданий в наших вариантах

    один ответ из четырёх, установление соответствия

    В наших пробных вариантах — по жребию задания 4, 6, 12 и 31–35.

    Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.

    Все темы этого предметаБесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать
  • Возьмите окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка на ней, отвечающая углу α\alpha, имеет координаты (cos⁡α; sin⁡α)(\cos\alpha;\ \sin\alpha): косинус — это абсцисса, синус — ордината. Тангенс равен отношению tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, а котангенс — обратному отношению: ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.
  • Углы измеряют в градусах или в радианах. Развёрнутый угол равен π\pi радиан: 180∘=π180^\circ = \pi, значит 30∘=π630^\circ = \frac{\pi}{6}, 45∘=π445^\circ = \frac{\pi}{4}, 60∘=π360^\circ = \frac{\pi}{3}, 90∘=π290^\circ = \frac{\pi}{2}, 360∘=2π360^\circ = 2\pi. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π180\frac{\pi}{180}.
  • Значения для стандартных углов: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; у косинуса те же числа идут в обратном порядке: cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}. Тангенс: tg⁡30∘=33\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}. Для 0∘0^\circ и 90∘90^\circ: sin⁡0∘=0\sin 0^\circ = 0, cos⁡0∘=1\cos 0^\circ = 1, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0.
  • Знак значения зависит от четверти, в которой лежит угол. Синус положителен в первой и второй четвертях, косинус — в первой и четвёртой, тангенс — в первой и третьей. Остальные знаки получаются отрицательными.
  • Основные тождества: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1, 1+1 +{}tg⁡2α=1cos⁡2α \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}. По одной функции и четверти угла можно найти все остальные.
  • Формулы двойного угла: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha. Формулы приведения сводят угол вида π±α\pi \pm \alpha, π2±α\frac{\pi}{2} \pm \alpha, 3π2±α\frac{3\pi}{2} \pm \alpha или 2π−α2\pi - \alpha к острому углу α\alpha: например, sin⁡(π−α)=\sin(\pi - \alpha) ={}sin⁡α \sin\alpha, cos⁡(π+α)=\cos(\pi + \alpha) ={}−cos⁡α -\cos\alpha, sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha.

Как решать: по шагам

по порядку

  1. 1.Приведите угол к удобному виду

    Если угол больше полного оборота, отбросьте целое число оборотов: значения тригонометрических функций повторяются через 360∘360^\circ, то есть через 2π2\pi. Затем запишите угол в одной системе единиц — в градусах или в радианах.

  2. 2.Определите четверть и знак

    Найдите, между какими числами 0∘0^\circ, 90∘90^\circ, 180∘180^\circ, 270∘270^\circ, 360∘360^\circ лежит угол, и по четверти решите, какой знак будет у ответа. Знак лучше записать сразу, чтобы потом не потерять его.

  3. 3.Сведите угол к острому

    Представьте угол как 180∘±α180^\circ \pm \alpha, 360∘−α360^\circ - \alpha, 90∘±α90^\circ \pm \alpha или 270∘±α270^\circ \pm \alpha с острым α\alpha и примените формулу приведения. Если угол откладывается от оси ординат, то есть от 90∘90^\circ или 270∘270^\circ, функция меняется на сопутствующую: синус на косинус и наоборот. Если от оси абсцисс — название функции остаётся.

  4. 4.Подставьте табличное значение

    Для острого угла 30∘30^\circ, 45∘45^\circ или 60∘60^\circ подставьте значение из таблицы и допишите знак, найденный на втором шаге.

  5. 5.Упростите выражение тождествами

    Если известна одна функция, а нужна другая, воспользуйтесь тождеством sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 или 1+1 +{}tg⁡2α=1cos⁡2α \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} и снова выберите знак по четверти.

  6. 6.Проверьте результат

    Синус и косинус не бывают по модулю больше 1. Если получилось sin⁡α=54\sin\alpha = \frac{5}{4}, где-то ошибка. Подставьте найденные синус и косинус в основное тождество: сумма квадратов должна дать 1.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

  1. 1.Угол 225° в радианах и значения функций

    Переведите угол 225∘225^\circ в радианы и найдите sin⁡225∘\sin 225^\circ и tg⁡225∘\operatorname{tg} 225^\circ.

  2. 2.Произведение с углами из разных четвертей

    Вычислите sin⁡150∘⋅cos⁡210∘\sin 150^\circ \cdot \cos 210^\circ.

  3. 3.Синус и косинус по тангенсу

    Найдите cos⁡α\cos\alpha и sin⁡α\sin\alpha, если tg⁡α=158\operatorname{tg}\alpha = \frac{15}{8} и π<α<3π2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}.

  4. 4.Формула двойного угла справа налево

    Вычислите cos⁡222,5∘−sin⁡222,5∘\cos^2 22{,}5^\circ - \sin^2 22{,}5^\circ.

Задание в формате ЕНТ

наше задание
Задание в той форме, в какой его показывают на тесте. Попробуйте решить его, прежде чем открывать решение.
Задание в формате ЕНТМатематика

Один ответ из четырёх

Задание 1.

Найдите tg⁡α\operatorname{tg}\alpha, если sin⁡α=1213\sin\alpha = \frac{12}{13} и π2<α<π\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ. · Решить весь пробный вариант бесплатно

Проверьте себя

проверка сразу
Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.
Математика

Задание 1.

Вычислите: 8cos⁡245∘−cos⁡230∘8\cos^2 45^\circ - \cos^2 30^\circ.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

Математика

Задание 2.

Вычислите: 2sin⁡245∘+2tg⁡260∘2\sin^2 45^\circ + 2\operatorname{tg}^2 60^\circ.

Задание составлено нами по спецификации НЦТ. Это не задание НЦТ.

задание для этой страницы

Задание 3.

Найдите значение выражения cos⁡240∘\cos 240^\circ.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы
  • Теряют знак: берут значение для острого угла и забывают, что в третьей четверти косинус и синус отрицательны. Знак определяйте по четверти до вычислений и записывайте сразу.
  • Путают, когда функция меняется на сопутствующую. Если угол отложен от 90∘90^\circ или 270∘270^\circ, синус превращается в косинус, а если от 180∘180^\circ или 360∘360^\circ — название остаётся.
  • Подставляют значения синуса и косинуса одно вместо другого: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, но cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. Запомните, что у синуса числа растут от 12\frac{1}{2} к 32\frac{\sqrt{3}}{2}, а у косинуса убывают.
  • Забывают, что sin⁡2α\sin^2\alpha означает (sin⁡α)2(\sin\alpha)^2, и в тождестве sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 складывают сами функции, а не их квадраты.
  • Смешивают градусы и радианы в одном выражении. Переведите всё в одну систему до вычислений.

Запомните

  • 180∘=π180^\circ = \pi радиан; градусы в радианы — умножением на π180\frac{\pi}{180}.
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, 1+1 +{}tg⁡2α=1cos⁡2α \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}.
  • sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.
  • Синус положителен в I и II четвертях, косинус — в I и IV, тангенс — в I и III.
  • Синус: 12\frac{1}{2}, 22\frac{\sqrt{2}}{2}, 32\frac{\sqrt{3}}{2} для 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ; у косинуса порядок обратный.

Вопросы и ответы

  1. 1.Какие значения тригонометрических функций нужно знать наизусть?+
    Ответ:Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 0∘0^\circ, 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ и 90∘90^\circ. Для остальных углов, кратных этим, значения получаются формулами приведения и знаком по четверти, поэтому отдельно учить их не нужно.
  2. 2.Как перевести градусы в радианы и обратно?+
    Ответ:Развёрнутый угол равен 180∘180^\circ и π\pi радиан. Чтобы получить радианы, умножьте градусы на π180\frac{\pi}{180}, а чтобы получить градусы, умножьте радианы на 180π\frac{180}{\pi}. Например, 2π3\frac{2\pi}{3} радиан равны 120∘120^\circ.
  3. 3.Как определить знак синуса, косинуса и тангенса?+
    Ответ:По четверти, в которой лежит угол. Синус — это ордината точки единичной окружности, поэтому он положителен в верхней полуплоскости, то есть в первой и второй четвертях. Косинус — абсцисса: он положителен в первой и четвёртой четвертях. Знак тангенса равен знаку произведения синуса на косинус.
  4. 4.Нужно ли учить все формулы приведения?+
    Ответ:Не нужно: достаточно двух правил. Если угол откладывается от оси ординат, функция меняется на сопутствующую, если от оси абсцисс — остаётся прежней. Знак результата определяется четвертью, в которой лежит исходный угол, если считать α\alpha острым.
  5. 5.Что такое единичная окружность и зачем она нужна?+
    Ответ:Это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка на ней, соответствующая углу α\alpha, имеет координаты (cos⁡α; sin⁡α)(\cos\alpha;\ \sin\alpha). По окружности видны знаки функций, периодичность и симметрия, а значит, и все формулы приведения.
  6. 6.Где в списке тем спецификации тригонометрические уравнения?+
    Ответ:Спецификация НЦТ называет их отдельной строкой: раздел 02 «Уравнения», тема 06. Простейшие тригонометрические неравенства указаны в разделе 04, теме 10. Эти темы разобраны на странице про тригонометрические уравнения и неравенства, а здесь собраны значения, тождества и формулы.

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут