Что называет спецификация про тригонометрические уравнения?

В спецификации НЦТ для профильной математики есть три связанные строки: «Тригонометрические уравнения» в разделе 02, «Системы тригонометрических уравнений» в разделе 03 и «Простейшие тригонометрические неравенства» в разделе 04. Спецификация называет именно простейшие тригонометрические неравенства.

Как решать систему тригонометрических уравнений?

Так же, как любую другую систему: выразите одну переменную через другую или сложите и вычтите уравнения, затем решите простейшие уравнения для каждой из переменных. Серии корней записывают с отдельными целыми параметрами, например $n$ и $m$, а потом проверяют условие связи между ними.

Как записать ответ в одну формулу?

Для $\sin x = a$ формула $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ уже объединяет две серии: $\arcsin a + 2\pi k$ при чётном $n = 2k$ и $\pi - \arcsin a + 2\pi k$ при нечётном $n = 2k + 1$. Для косинуса знак $\pm$ записывает две серии вместе. Тангенс даёт одну серию.

Зачем нужна единичная окружность?

Она показывает, сколько решений у уравнения на каждом обороте и какие дуги подходят для неравенства. Для $\sin x = a$ и для $\cos x = a$ на ней две точки, а для $\operatorname{tg} x = a$ — две противоположные точки, лежащие на одной прямой через центр. Это помогает не потерять серию.

Как отобрать корни на заданном отрезке?

Подставляйте в серию последовательные целые значения $n$, начиная с $0$ и переходя к $-1$ или $1$ в зависимости от границ. Корни, оказавшиеся внутри отрезка, выписывайте, остальные отбрасывайте. Удобная проверка: если концы отрезка не являются корнями, то на отрезке длиной $2\pi k$ серия с периодом $2\pi$ даёт ровно $k$ корней.

Нужно ли знать обратные тригонометрические функции?

Да, потому что именно через арксинус, арккосинус и арктангенс записываются формулы корней. Достаточно знать значения для стандартных углов и свойство нечётности: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$, и формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

ЕНТ 2027 · Казахстан · Математика

Тригонометрические уравнения и неравенства: простейшие уравнения, серии корней, неравенства на окружности

Главное при подготовке к ЕНТ по тригонометрическим уравнениям — умение свести уравнение к простейшему: $\sin x = a$ , $\cos x = a$ или $\operatorname{tg} x ={}$ $a$ . Здесь собраны формулы корней и особые случаи, замена переменной, решение простейших неравенств по единичной окружности, порядок решения, примеры с разбором и задания для проверки.

Спецификация ЕНТ, профильная математика: раздел 02 «Уравнения», тема 06; раздел 03 «Системы уравнений», тема 09; раздел 04 «Неравенства», тема 10. В наших пробных вариантах по профильной математике — по жребию задания 4, 6 и 12.

Спецификация НЦТ

Математика

Раздел 02. Уравнения

Тема 06. Тригонометрические уравнения. Иррациональные уравнения.

Раздел 03. Системы уравнений

Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.

Раздел 04. Неравенства

Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства

На ЕНТ профильная математика — 40 заданий и до 50 баллов из 140. На все пять предметов дают 240 минут, спецификация рассчитывает в среднем 2 минуты на задание. Свой калькулятор проносить нельзя, можно пользоваться встроенным в программу тестирования; в наших вариантах его нет, и числа подобраны для счёта на черновике.

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Где эта тема на ЕНТ

по спецификации

Что называет спецификация каждого предмета и в каких заданиях наших пробных вариантов встречается тема.

Математика
Раздел 02. Уравнения
- Тема 06. Тригонометрические уравнения. Иррациональные уравнения.
Раздел 03. Системы уравнений
- Тема 09. Системы тригонометрических уравнений. Системы иррациональных уравнений. Системы показательных уравнений. Системы логарифмических уравнений.
Раздел 04. Неравенства
- Тема 10. Линейные, квадратные и рациональные неравенства. Простейшие тригонометрические неравенства. Простейшие иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства
Формы заданий в наших вариантах
один ответ из четырёх
В наших пробных вариантах — по жребию задания 4, 6 и 12.
Задания наших вариантов составлены нами по спецификации НЦТ; настоящие варианты НЦТ не публикует.
Все темы этого предмета Бесплатный пробный вариант

Главное

что нужно знать

Уравнение $\sin x = a$ при $|a| \le 1$ имеет серию корней $x ={}$ $(-1)^n \arcsin a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Если $|a| > 1$ , корней нет, потому что синус не бывает больше 1 и меньше $-1$ .
Уравнение $\cos x = a$ при $|a| \le 1$ даёт две серии, записанные вместе: $x ={}$ $\pm\arccos a + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Если $|a| > 1$ , корней нет.
Уравнение $\operatorname{tg} x ={}$ $a$ решается при любом $a$ : $x ={}$ $\operatorname{arctg} a +{}$ $\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ . Период тангенса равен $\pi$ , а не $2\pi$ .
Особые случаи записываются в короткой форме: $\sin x = 0$ даёт $x = \pi n$ ; $\sin x = 1$ даёт $x ={}$ $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $\sin x = -1$ даёт $x ={}$ $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ; $\cos x = 0$ даёт $x ={}$ $\frac{\pi}{2} + \pi n$ ; $\cos x = 1$ даёт $x = 2\pi n$ ; $\cos x = -1$ даёт $x = \pi + 2\pi n$ .
Арксинус и арккосинус определены на $[-1; 1]$ : $\arcsin a$ лежит в $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ , $\arccos a$ — в $[0; \pi]$ . Для отрицательного аргумента: $\arcsin(-a) ={}$ $-\arcsin a$ , $\arccos(-a) ={}$ $\pi - \arccos a$ , $\operatorname{arctg}(-a) ={}$ $-\operatorname{arctg} a$ .
Простейшее неравенство решают по единичной окружности: отмечают точки, где функция равна $a$ , выбирают дугу, на которой нужное неравенство верно, записывают её концы в порядке обхода против часовой стрелки и прибавляют период $2\pi n$ (для тангенса $\pi n$ ).

Как решать: по шагам

по порядку

1.Сведите уравнение к простейшему
Перенесите слагаемые, разложите на множители или введите новую переменную: если уравнение квадратное относительно $\sin x$ или $\cos x$ , положите $t = \sin x$ и решите квадратное уравнение. Помните, что $|t| \le 1$ для синуса и косинуса.
2.Исключите «лишние» значения
Корень $t$ , по модулю больший 1, не даёт решений для $\sin x = t$ и $\cos x = t$ . Отбросьте его сразу, чтобы не получить серию, которой не существует.
3.Запишите серию корней
Для каждого оставшегося $t$ выпишите корни по формуле для $\sin x = t$ , $\cos x = t$ или $\operatorname{tg} x ={}$ $t$ . Если вместо $x$ стоит выражение, например $3x$ или $x - \frac{\pi}{4}$ , решайте относительно него, а потом выражайте $x$ .
4.Разделите период вместе со всем остальным
Когда аргумент равен $kx$ , делите на $k$ обе части, в том числе и $2\pi n$ (или $\pi n$ ). Тогда период серии для $x$ уменьшится в $k$ раз.
5.Отберите корни, если есть условие
Если корни нужно найти на отрезке или указать наименьший положительный, подставляйте в серию целые значения $n$ и проверяйте, лежит ли корень в нужных границах.
6.Проверьте на окружности
Отметьте найденные точки на единичной окружности и убедитесь, что они лежат в тех четвертях, где функция принимает нужное значение и знак.

Примеры с решением

Сначала попробуйте решить сами, потом сравните с решением.

1.Простейшее уравнение с косинусом
Решите уравнение $2\cos x = \sqrt{3}$ .
2.Уравнение с аргументом 3x
Решите уравнение $\sin 3x ={}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
3.Замена переменной
Решите уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 ={}$ $0$ .
4.Простейшее неравенство с синусом
Решите неравенство $\sin x < -\frac{1}{2}$ .

Проверьте себя

проверка сразу

Выберите или впишите ответ и сразу проверьте его: решение появится под заданием.

задание для этой страницы

Задание 1.

Укажите формулу, которая задаёт все корни уравнения

\operatorname{tg} x ={}

-1

(

n \in \mathbb{Z}

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 2.

Сколько корней имеет уравнение

\cos x = \frac{1}{2}

на отрезке

[0; 4\pi]

Задание составлено для этой страницы.

задание для этой страницы

Задание 3.

Отметьте все уравнения, которые не имеют корней. Верных ответов может быть от одного до трёх.

Задание составлено для этой страницы.

Больше заданий: решите бесплатно весь пробный вариант

Частые ошибки

где теряют баллы

Пишут $x ={}$ $\arcsin a + 2\pi n$ для любого синуса и теряют вторую серию. Верная запись $x ={}$ $(-1)^n \arcsin a + \pi n$ содержит обе серии сразу: чётные $n$ дают одну, нечётные — другую.
Берут период $2\pi$ для тангенса. У тангенса период $\pi$ , и серия записывается как $x ={}$ $\operatorname{arctg} a +{}$ $\pi n$ .
Делят на $k$ только главную часть корня, а период оставляют прежним. Для $\sin kx = a$ период нужно разделить на $k$ тоже, как в примере с аргументом $3x$ .
После замены $t = \sin x$ оставляют корень $|t| > 1$ и пытаются записать для него серию. Такой корень не даёт решений.
Забывают записать, что $n$ пробегает все целые числа, и подставляют только натуральные. Тогда часть корней, лежащая левее нуля, пропадает.

Запомните

$\sin x = a$ : $x ={}$ $(-1)^n \arcsin a + \pi n$ , при $|a| \le 1$ .
$\cos x = a$ : $x ={}$ $\pm\arccos a + 2\pi n$ , при $|a| \le 1$ .
$\operatorname{tg} x ={}$ $a$ : $x ={}$ $\operatorname{arctg} a +{}$ $\pi n$ , при любом $a$ .
$\arcsin(-a) ={}$ $-\arcsin a$ , $\arccos(-a) ={}$ $\pi - \arccos a$ .
Неравенство решают на единичной окружности: дуга, концы в порядке обхода, период.

Вопросы и ответы

1.Что называет спецификация про тригонометрические уравнения?+
Ответ:В спецификации НЦТ для профильной математики есть три связанные строки: «Тригонометрические уравнения» в разделе 02, «Системы тригонометрических уравнений» в разделе 03 и «Простейшие тригонометрические неравенства» в разделе 04. Спецификация называет именно простейшие тригонометрические неравенства.
2.Как решать систему тригонометрических уравнений?+
Ответ:Так же, как любую другую систему: выразите одну переменную через другую или сложите и вычтите уравнения, затем решите простейшие уравнения для каждой из переменных. Серии корней записывают с отдельными целыми параметрами, например $n$ и $m$ , а потом проверяют условие связи между ними.
3.Как записать ответ в одну формулу?+
Ответ:Для $\sin x = a$ формула $x ={}$ $(-1)^n \arcsin a + \pi n$ уже объединяет две серии: $\arcsin a + 2\pi k$ при чётном $n = 2k$ и $\pi - \arcsin a + 2\pi k$ при нечётном $n = 2k + 1$ . Для косинуса знак $\pm$ записывает две серии вместе. Тангенс даёт одну серию.
4.Зачем нужна единичная окружность?+
Ответ:Она показывает, сколько решений у уравнения на каждом обороте и какие дуги подходят для неравенства. Для $\sin x = a$ и для $\cos x = a$ на ней две точки, а для $\operatorname{tg} x ={}$ $a$ — две противоположные точки, лежащие на одной прямой через центр. Это помогает не потерять серию.
5.Как отобрать корни на заданном отрезке?+
Ответ:Подставляйте в серию последовательные целые значения $n$ , начиная с $0$ и переходя к $-1$ или $1$ в зависимости от границ. Корни, оказавшиеся внутри отрезка, выписывайте, остальные отбрасывайте. Удобная проверка: если концы отрезка не являются корнями, то на отрезке длиной $2\pi k$ серия с периодом $2\pi$ даёт ровно $k$ корней.
6.Нужно ли знать обратные тригонометрические функции?+
Ответ:Да, потому что именно через арксинус, арккосинус и арктангенс записываются формулы корней. Достаточно знать значения для стандартных углов и свойство нечётности: $\arcsin(-a) ={}$ $-\arcsin a$ , $\operatorname{arctg}(-a) ={}$ $-\operatorname{arctg} a$ , и формулу $\arccos(-a) ={}$ $\pi - \arccos a$ .

Смотрите также

Все темы профильной математики

Источники

Разделы и темы взяты из спецификаций НЦТ для ЕНТ с 2026 года, формат — со страницы НЦТ «Формат тестирования». Объяснения, примеры, задания и решения на этой странице — наши.

НЦТ, Спецификация теста по предмету «Математика» для ЕНТ (для использования с 2026 года), раздел 02 «Уравнения», тема 06: Тригонометрические уравнения; раздел 03, тема 09: системы тригонометрических уравнений; раздел 04, тема 10: простейшие тригонометрические неравенства

Страница проверена 27 октября 2026 г.

Последнее задание.

Решите бесплатно пробный вариант № 1 — 40 заданий в формате ЕНТ, 80 минут

Решить бесплатно

Тригонометрические уравнения и неравенства: простейшие уравнения, серии корней, неравенства на окружности

Где эта тема на ЕНТ

Главное

Как решать: по шагам

1.Сведите уравнение к простейшему

2.Исключите «лишние» значения

3.Запишите серию корней

4.Разделите период вместе со всем остальным

5.Отберите корни, если есть условие

6.Проверьте на окружности

Примеры с решением

1.Простейшее уравнение с косинусом

2.Уравнение с аргументом 3x

3.Замена переменной

4.Простейшее неравенство с синусом

Проверьте себя

Частые ошибки

Запомните

Вопросы и ответы

Смотрите также

Источники