Kiedy odbierana częstotliwość jest większa od częstotliwości źródła?

Gdy źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Wtedy długość fali docierającej do obserwatora jest krótsza albo obserwator mija w ciągu sekundy więcej grzbietów niż przy spoczynku. Gdy się oddalają, odbierana częstotliwość jest mniejsza od f_źr.

Czym różni się ruch źródła od ruchu obserwatora?

Gdy porusza się źródło, zmienia się długość fali w ośrodku, a prędkość fali pozostaje taka sama. Gdy porusza się obserwator, długość fali jest ta sama, a zmienia się tempo, w jakim mija grzbiety. Wzory ścisłe dla obu przypadków różnią się, a przybliżone, dla prędkości znacznie mniejszych od v_d, są jednakowe.

Czy efekt Dopplera występuje dla światła?

Tak. Światło jest falą elektromagnetyczną, więc jego częstotliwość odbierana przez obserwatora zależy od prędkości względnej źródła i obserwatora. Dla prędkości znacznie mniejszych od c względna zmiana częstotliwości jest równa v/c. W astronomii widać go jako przesunięcie linii widmowych.

Kiedy mogę użyć wzoru przybliżonego?

Gdy źródło lub obserwator ma prędkość o wiele mniejszą niż prędkość fali, na przykład pojazd o prędkości kilkudziesięciu metrów na sekundę przy prędkości dźwięku 340 m/s. Wtedy błąd jest rzędu procenta. Jeżeli zadanie każe użyć wzoru ścisłego albo prędkości są porównywalne, licz ze wzoru ścisłego.

Jak obliczyć prędkość źródła z długości fal?

Przed źródłem w czasie jednego okresu fala przebywa drogę v_d T, a źródło v T, więc długość fali jest różnicą tych dróg; za źródłem jest ich sumą. Okres skraca się w ilorazie, więc stosunek długości fali za źródłem do długości fali przed nim jest równy stosunkowi sumy v_d + v do różnicy v_d − v, i możesz wyznaczyć v bez znajomości częstotliwości źródła.

Efekt Dopplera na maturę z fizyki: wzory dla dźwięku i światła

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Gdy źródło fali i obserwator zbliżają się do siebie, obserwator odbiera falę o większej częstotliwości niż ta, którą wysyła źródło; gdy się oddalają – o mniejszej.
Źródło drga cały czas z tą samą częstotliwością. Zmienia się to, co dociera do obserwatora: długość fali, gdy porusza się źródło, albo tempo mijania kolejnych grzbietów, gdy porusza się obserwator.
Dla dźwięku wzór ścisły zależy od tego, kto się porusza: $f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d}{v_d - v_{\text{źr}}}$ dla zbliżającego się źródła. Przy prędkościach znacznie mniejszych od $v_d$ oba przypadki zlewają się w $f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 \pm \frac{v}{v_d})$ .
Dla światła w próżni nie ma ośrodka, więc liczy się tylko prędkość względna, a przy $v \ll c$ obowiązuje ten sam wzór przybliżony z $c$ zamiast $v_d$ .
Ponieważ prędkość dźwięku w powietrzu się nie zmienia, iloraz częstotliwości jest odwrotnością ilorazu długości fal: $\frac{f_1}{f_2} ={}$ $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ .

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Skąd bierze się zmiana częstotliwości

Źródło dźwięku drga ze stałą częstotliwością $f_{\text{źr}}$ i w każdym okresie $T$ wysyła jeden kolejny grzbiet fali. Fala biegnie w powietrzu z prędkością $v_d$ niezależnie od tego, jak porusza się źródło, ale każdy grzbiet wychodzi z miejsca, w którym źródło właśnie jest. Dlatego przed ruchomym źródłem grzbiety leżą bliżej siebie, a za nim – dalej od siebie.

Na rysunku źródło biegnie w prawo z prędkością równą $0{,}30\ v_d$ . Odstęp między kolejnymi czołami fali przed nim to $(1 - 0{,}30)\ v_d T$ , czyli $0{,}7$ długości fali nieruchomego źródła, a za nim $(1 + 0{,}30)\ v_d T$ , czyli $1{,}3$ . Obserwator $A$ odbiera więc falę krótszą, a obserwator $B$ dłuższą. Z zależności $f ={}$ $\frac{v_d}{\lambda}$ wynika, że krótsza fala oznacza większą częstotliwość.

Gdy porusza się obserwator, a źródło spoczywa, długość fali w powietrzu się nie zmienia. Zmienia się tempo, w jakim obserwator mija kolejne grzbiety: zbliżając się do źródła, mija ich w ciągu sekundy więcej, oddalając się – mniej.

Wzory dla dźwięku: źródło albo obserwator w ruchu

Tabela zbiera cztery przypadki dla ruchu wzdłuż prostej łączącej źródło z obserwatorem; w każdym z nich druga strona spoczywa względem powietrza. Wzory ścisłe znajdziesz w „Wybranych wzorach i stałych”, razem z przybliżeniem dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości dźwięku, w którym liczy się prędkość względna źródła i obserwatora.

Policz przykład: sygnał lokomotywy o częstotliwości $400\ \mathrm{Hz}$ i prędkość dźwięku $340\ \mathrm{m/s}$ . Gdy lokomotywa jedzie z prędkością $30\ \mathrm{m/s}$ , stojący na peronie obserwator słyszy $439\ \mathrm{Hz}$ podczas zbliżania się i $368\ \mathrm{Hz}$ podczas oddalania. Wzory przybliżone dają $435\ \mathrm{Hz}$ i $365\ \mathrm{Hz}$ . Taką samą wartość $435\ \mathrm{Hz}$ usłyszałby obserwator zbliżający się z prędkością $30\ \mathrm{m/s}$ do nieruchomej lokomotywy: wzory ścisłe dla ruchu źródła i dla ruchu obserwatora różnią się, przybliżone – nie.

Przypadek	Wzór ścisły	Wzór przybliżony
Źródło się zbliża	$f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d}{v_d - v_{\text{źr}}}$	$f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 + \frac{v}{v_d})$
Źródło się oddala	$f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d}{v_d + v_{\text{źr}}}$	$f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 - \frac{v}{v_d})$
Obserwator się zbliża	$f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d + v_{\text{ob}}}{v_d}$	$f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 + \frac{v}{v_d})$
Obserwator się oddala	$f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d - v_{\text{ob}}}{v_d}$	$f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 - \frac{v}{v_d})$

Światło i inne fale elektromagnetyczne

Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni, w której nie ma ośrodka, względem którego mógłbyś mierzyć prędkość źródła. Liczy się tylko prędkość względna źródła i obserwatora. Dla prędkości znacznie mniejszych od $c$ zostaje wzór przybliżony $f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 \mp \frac{v}{c})$ : górny znak dla źródła oddalającego się, dolny dla zbliżającego się.

Przykład: linia widmowa o długości fali $600\ \mathrm{nm}$ w laboratorium, a w widmie gwiazdy oddalającej się z prędkością $3{,}0 \cdot 10^6\ \mathrm{m/s}$ wypada przy $606\ \mathrm{nm}$ , bo $\frac{v}{c} = 0{,}010$ . Długość fali rośnie o około jeden procent: to przesunięcie ku czerwieni. Dane w tym przykładzie są umowne, a wzór ścisły, $f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\sqrt{\frac{c - v}{c + v}}$ , daje ten sam wynik z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Rodzaj fali	Przykład występowania	Co zmienia się w odbieranej fali
dźwiękowa	sygnał jadącego pojazdu mijającego stojącego obserwatora	wysokość dźwięku maleje w chwili mijania
dźwiękowa	ultradźwiękowy miernik prędkości przepływu cieczy	częstotliwość fali odbitej od poruszających się cząstek
elektromagnetyczna	radar drogowy mierzący prędkość pojazdu	częstotliwość fali odbitej od pojazdu
elektromagnetyczna	widma gwiazd i galaktyk	przesunięcie linii widmowych ku czerwieni lub ku fioletowi

Prędkość źródła z ilorazu długości fal

Zadanie może podawać nie częstotliwości, lecz długości fal docierających do dwóch obserwatorów: jednego, do którego źródło się zbliża, i drugiego, od którego się oddala. Przed źródłem fala ma długość $\lambda_1 ={}$ $\frac{v_d - v}{f_{\text{źr}}}$ , za nim $\lambda_2 ={}$ $\frac{v_d + v}{f_{\text{źr}}}$ , więc $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} ={}$ $\frac{v_d + v}{v_d - v}$ . Nie musisz znać częstotliwości źródła: skraca się.

Po przekształceniu otrzymujesz $v ={}$ $v_d\frac{r - 1}{r + 1}$ , gdzie $r ={}$ $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ . Dla $r = 1{,}10$ i $v_d ={}$ $340\ \mathrm{m/s}$ wychodzi $v \approx 16{,}2\ \mathrm{m/s}$ . Zwróć uwagę, że przed podstawieniem sprawdzasz, czy prędkość źródła jest mniejsza od prędkości dźwięku; w przeciwnym razie wzór nie opisuje zjawiska.

Pojęcia

efekt Dopplera: Zmiana częstotliwości odbieranej przez obserwatora w porównaniu z częstotliwością źródła, gdy źródło fali lub obserwator się porusza.
źródło fali: Ciało wysyłające falę z częstotliwością, która nie zależy od tego, czy się porusza; w efekcie Dopplera oznaczane $f_{\text{źr}}$ .
obserwator: Odbiorca fali, który rejestruje jej częstotliwość $f_{\text{ob}}$ ; może spoczywać albo się poruszać względem ośrodka.
fala dźwiękowa: Fala mechaniczna w ośrodku sprężystym, w powietrzu biegnąca z prędkością $v_d$ niezależną od ruchu źródła.
fala elektromagnetyczna: Rozchodzące się zaburzenie sprzężonych, zmiennych pól elektrycznego i magnetycznego, w próżni z prędkością $c$ .
prędkość dźwięku: Prędkość rozchodzenia się fali dźwiękowej w ośrodku, w powietrzu w zadaniach CKE $340\ \mathrm{m/s}$ , oznaczana $v_d$ .

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 4.2

Zadanie 4.2. (0–4)

Ambulans z włączoną syreną dźwiękową jedzie wzdłuż prostego odcinka drogi. Przez pewien czas porusza się wzdłuż prostej pomiędzy obserwatorami

\mathcal{B}

oraz

\mathcal{A}

, którzy stoją przy drodze (zobacz rysunek poniżej). Prędkość ambulansu oznaczymy jako

\vec{v}

. Do obserwatora

\mathcal{A}

, do którego zbliża się ambulans, dociera dźwięk o długości fali

\lambda_A

. Do obserwatora

\mathcal{B}

, od którego oddala się ambulans, dociera dźwięk o długości fali

\lambda_B

.Przyjmij model zjawiska, w którym częstotliwość dźwięku wytwarzanego przez głośnik syreny ambulansu (źródło dźwięku) była stała i wynosiła

f_0

(tzn. membrana głośnika syreny drgała z częstotliwością

f_0

). Pomiń inne źródła dźwięku. Przez pewien czas ambulans poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym pomiędzy obserwatorami

\mathcal{B}

oraz

\mathcal{A}

. Wtedy iloraz długości fal dźwięku rejestrowanego przez tych obserwatorów wynosił:

\frac{\lambda_B}{\lambda_A} ={}

1{,}2

Prędkość dźwięku w powietrzu ma wartość

v_d ={}

340\ \mathrm{m/s}

. Oblicz $v$ – wartość prędkości ambulansu. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 4.2. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Zapisanie wzorów Dopplera z poprawnym zidentyfikowaniem f_A, f_B (albo Δf, f₀), v i v_d, np. zapisy równoważne poniższym: (f_A = f₀·v_d/(v_d − v) i f_B = f₀·v_d/(v_d + v)) albo (f_A ≈ f₀·(1 + v/v_d) i f_B ≈ f₀·(1 − v/v_d)) albo |Δf|/f₀ ≈ v/v_d LUB wyprowadzenie ze związku falowego (lub zapisanie bez wyprowadzenia) zależności między częstotliwościami a długościami fal: f_A/f_B = λ_B/λ_A albo |Δf|/f₀ ≈ |Δλ|/λ₀ LUB zapisanie wzorów na długości fal dźwiękowych docierających do 𝒜 i ℬ, jako odpowiednio różnicy i sumy długości fali źródła spoczywającego i drogi przebytej przez źródło w czasie okresu, np. zapisy równoważne poniższym: λ_A = λ₀ − vT, λ_B = λ₀ + vT.1 pkt
Zapisanie wzorów Dopplera z poprawnym zidentyfikowaniem f_A, f_B (albo Δf, f₀), v, v_d oraz wyprowadzenie ze związku falowego (lub zapisanie bez wyprowadzenia) adekwatnych zależności między częstotliwościami a długościami fal, np. zapisy równoważne poniższym: ((f_A = f₀·v_d/(v_d − v) i f_B = f₀·v_d/(v_d + v)) lub (f_A ≈ f₀·(1 + v/v_d) i f_B ≈ f₀·(1 − v/v_d))) oraz f_A/f_B = λ_B/λ_A albo |Δf|/f₀ ≈ v/v_d oraz |Δf|/f₀ ≈ |Δλ|/λ₀ albo (bezpośrednie zapisanie wzorów Dopplera z długościami fal) (λ_A = λ₀·(1 − v/v_d) i λ_B = λ₀·(1 + v/v_d)) lub (λ_A ≈ λ₀·v_d/(v_d + v) i λ_B ≈ λ₀·v_d/(v_d − v)) lub |Δλ|/λ₀ ≈ v/v_d LUB zapisanie wzorów na długości fal dźwiękowych docierających do 𝒜 i ℬ oraz zastosowanie związku falowego między okresem, długością fali w układzie źródła i prędkością dźwięku, np. zapisy równoważne poniższym: (λ_A = λ₀ − vT, λ_B = λ₀ + vT) oraz v_d = λ₀/T LUB poprawne wyprowadzenie wartości wyrażenia |Δλ|/λ₀, np. zapisy równoważne poniższym: (λ_A = λ₀ − |Δλ| i λ_B = λ₀ + |Δλ|) oraz λ_B/λ_A = 1,2 → |Δλ|/λ₀ = 1/11.1 pkt
Poprawna metoda wyprowadzenia i zapisanie jednego równania, z którego można bezpośrednio wyznaczyć wartość prędkości ambulansu – metoda zawiera: wykorzystanie wzorów Dopplera (albo metody jak w sposobie 3. rozwiązania) z poprawnie zidentyfikowanymi częstotliwościami oraz zastosowanie związku falowego, oraz wykorzystanie warunku zadania, np.: metoda → 1,2 = (v_d + v)/(v_d − v) albo metoda → 1/11 = v/v_d.1 pkt
Poprawna metoda obliczenia wartości prędkości ambulansu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką: v ≈ 31 m/s.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Wzory Dopplera dla źródła zbliżającego się do

\mathcal{A}

i oddalającego się od

\mathcal{B}

:

f_A ={}

f_0\frac{v_d}{v_d - v}

,

f_B ={}

f_0\frac{v_d}{v_d + v}

, więc

\frac{f_A}{f_B} ={}

\frac{v_d + v}{v_d - v}

.

Prędkość dźwięku w powietrzu nie zależy od ruchu źródła:

v_d ={}

f_A\lambda_A ={}

f_B\lambda_B

, czyli

\frac{f_A}{f_B} ={}

\frac{\lambda_B}{\lambda_A} ={}

1{,}2

.

1{,}2 ={}

\frac{v_d + v}{v_d - v} \;\Rightarrow\; 0{,}2v_d ={}

2{,}2v \;\Rightarrow\; v ={}

\frac{v_d}{11} ={}

\frac{340\ \mathrm{m/s}}{11} \approx 30{,}9\ \mathrm{m/s} \approx 31\ \mathrm{m/s}

Wyjaśnienie od Kleksy

Z treści odczytaj: ambulans jedzie ruchem jednostajnym pomiędzy obserwatorami

\mathcal{B}

i

\mathcal{A}

, do

\mathcal{A}

się zbliża, od

\mathcal{B}

się oddala, a iloraz długości fal dźwięku rejestrowanych przez nich wynosi

\frac{\lambda_B}{\lambda_A} ={}

1{,}2

. Prędkość dźwięku

v_d ={}

340\ \mathrm{m/s}

.

Syrena drga z częstotliwością

f_0

, a dźwięk w powietrzu biegnie z prędkością

v_d

niezależnie od ruchu źródła, więc

\lambda = \frac{v_d}{f}

i iloraz długości fal jest odwrotnością ilorazu częstotliwości:

\frac{\lambda_B}{\lambda_A} ={}

\frac{f_A}{f_B}

. Częstotliwości dają wzory Dopplera dla źródła zbliżającego się i oddalającego:

f_A ={}

f_0\frac{v_d}{v_d - v}

oraz

f_B ={}

f_0\frac{v_d}{v_d + v}

.

Stąd

\frac{f_A}{f_B} ={}

\frac{v_d + v}{v_d - v} ={}

1{,}2

, czyli

1{,}2\,(v_d - v) ={}

v_d + v

i

0{,}2\ v_d = 2{,}2\ v

. Prędkość ambulansu to

v = \frac{v_d}{11}

. Nie myl dopasowania znaków: gdyby dłuższą falę przypisać obserwatorowi, do którego źródło się zbliża, wynik byłby odwrotny.

Według zasad oceniania CKE: 4 punkty, po jednym za kolejne etapy – zapisanie wzorów Dopplera z zidentyfikowanymi wielkościami albo związku między ilorazem częstotliwości a ilorazem długości fal, potem obu tych rzeczy razem, następnie jedno równanie, z którego wprost wyznaczysz prędkość, i wreszcie poprawna metoda z wynikiem

v \approx 31\ \mathrm{m/s}

. CKE uznaje też przybliżony wzór Dopplera z ilorazem

\frac{|\Delta\lambda|}{\lambda_0} ={}

\frac{1}{11}

.

Przykładowe rozwiązanie:

\frac{v_d + v}{v_d - v} ={}

1{,}2

, czyli

v ={}

\frac{v_d}{11} ={}

\frac{340\ \mathrm{m/s}}{11} \approx 31\ \mathrm{m/s}

.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 4.4

Zadanie 4.4. (0–2)

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością

\vec{v}

wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie

f_{\text{źr}} ={}

3\ \mathrm{GHz}

(podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość

f_Z

różniącą się od częstotliwości źródła fali o

|\Delta f| ={}

750\ \mathrm{kHz}

. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako

c

. Przyjmij, że

v \ll c

oraz

c \approx 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

. Oblicz $v$ – wartość prędkości sondy względem Ziemi. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2023, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2305), zadanie 4.4. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Poprawne zastosowanie przybliżonego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowa identyfikacja wielkości występujących w tym wzorze (tzn. podstawienie danych do wzoru albo zapisanie obok wartości wielkości występujących we wzorze) LUB poprawne zastosowanie ścisłego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowa identyfikacja wielkości występujących w tym wzorze (tzn. podstawienie danych do wzoru albo zapisanie obok wartości wielkości występujących we wzorze) LUB poprawne zastosowanie przybliżonego lub ścisłego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowe przekształcenie tego wzoru i wyprowadzenie wzoru pozwalającego obliczyć prędkość sondy.1 pkt
Poprawna metoda obliczenia wartości prędkości sondy oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Sonda porusza się z prędkością

v \ll c

, więc stosujemy przybliżony wzór na efekt Dopplera dla fali elektromagnetycznej:

\frac{|\Delta f|}{f_{\text{źr}}} \approx \frac{v}{c} \;\Rightarrow\; v \approx \frac{|\Delta f|}{f_{\text{źr}}} \cdot c ={}

\frac{750 \cdot 10^3\ \mathrm{Hz}}{3 \cdot 10^9\ \mathrm{Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\ \mathrm{\frac{m}{s}} ={}

75\,000\ \mathrm{\frac{m}{s}} ={}

75\ \mathrm{\frac{km}{s}}

Wyjaśnienie od Kleksy

Sonda oddala się od Ziemi z prędkością

v \ll c

, a Ziemia odbiera falę o częstotliwości mniejszej od częstotliwości źródła

f_{\text{źr}} ={}

3\ \mathrm{GHz}

o

|\Delta f| ={}

750\ \mathrm{kHz}

. Skoro

v \ll c

, możesz użyć wzoru przybliżonego:

\frac{|\Delta f|}{f_{\text{źr}}} \approx \frac{v}{c}

.

Zamień jednostki na te same:

750\ \mathrm{kHz} ={}

7{,}5 \cdot 10^5\ \mathrm{Hz}

i

3\ \mathrm{GHz} ={}

3 \cdot 10^9\ \mathrm{Hz}

, więc

\frac{v}{c} ={}

2{,}5 \cdot 10^{-4}

. Prędkość sondy to

v ={}

2{,}5 \cdot 10^{-4} \cdot 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s} ={}

7{,}5 \cdot 10^4\ \mathrm{m/s}

, czyli

75\ \mathrm{km/s}

. Wzór ścisły dałby tę samą wartość w granicach dokładności danych.

Według zasad oceniania CKE: 2 punkty – jeden za poprawne zastosowanie wzoru Dopplera (przybliżonego lub ścisłego) dla oddalającego się źródła z zidentyfikowanymi wielkościami albo za jego przekształcenie do wzoru na prędkość, drugi za poprawną metodę i wynik z jednostką.

Przykładowe rozwiązanie:

v \approx \frac{|\Delta f|}{f_{\text{źr}}} \cdot c ={}

\frac{7{,}5 \cdot 10^5\ \mathrm{Hz}}{3 \cdot 10^9\ \mathrm{Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

, czyli

v ={}

7{,}5 \cdot 10^4\ \mathrm{m/s} ={}

75\ \mathrm{km/s}

.

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Karetka z włączoną syreną o częstotliwości

600\ \mathrm{Hz}

zbliża się ruchem jednostajnym z prędkością

25\ \mathrm{m/s}

do stojącego przy drodze obserwatora. W powietrzu dźwięk biegnie z prędkością

340\ \mathrm{m/s}

. Częstotliwość dźwięku odbieranego przez obserwatora, obliczona ze wzoru ścisłego i zaokrąglona do trzech cyfr znaczących, jest równa

f_{\text{ob}} ={}

\ldots\ldots

Hz

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Źródło dźwięku o częstotliwości

700\ \mathrm{Hz}

porusza się z prędkością

20\ \mathrm{m/s}

w stronę spoczywającego obserwatora. W powietrzu dźwięk biegnie z prędkością

340\ \mathrm{m/s}

. Długość fali docierającej do obserwatora jest równa

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1. albo 2.

Galaktyka zbliża się do Ziemi z prędkością znacznie mniejszą od

c

. Linia widmowa, która w laboratorium ma długość fali

\lambda_0

, w widmie tej galaktyki leży przy długości fali

\lambda_0

, ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Syrena wysyła ton o częstotliwości

500\ \mathrm{Hz}

; prędkość dźwięku wynosi

340\ \mathrm{m/s}

. Oceń prawdziwość poniższych zdań. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Obserwator, który zbliża się z prędkością

34\ \mathrm{m/s}

do nieruchomej syreny, odbiera dźwięk o częstotliwości

550\ \mathrm{Hz}

.

Gdy syrena zbliża się z prędkością

34\ \mathrm{m/s}

do nieruchomego obserwatora, obserwator także odbiera dźwięk o częstotliwości

550\ \mathrm{Hz}

.

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Wybór wzoru bez sprawdzenia, kto się porusza. Dla zbliżającego się źródła w mianowniku stoi $v_d - v_{\text{źr}}$ , dla zbliżającego się obserwatora w liczniku $v_d + v_{\text{ob}}$ . Wzory przybliżone dają w obu przypadkach to samo, ścisłe – nie.
Przyjmowanie, że ruch źródła zmienia prędkość fali w powietrzu. Prędkość dźwięku zależy od ośrodka, a ruch źródła zmienia długość fali i dzięki temu częstotliwość.
Wpisanie do wzoru różnicy $|\Delta f|$ zamiast częstotliwości odbieranej. Odbierana częstotliwość to $f_{\text{źr}} \pm |\Delta f|$ , a nie sama zmiana.
Podstawianie prędkości w kilometrach na godzinę i prędkości dźwięku w metrach na sekundę. Przed policzeniem sprowadź obie do $\mathrm{m/s}$ .
Zastosowanie wzoru przybliżonego do prędkości porównywalnej z prędkością fali. Przybliżenie $f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 \pm \frac{v}{v_d})$ wymaga $v \ll v_d$ , tak jak mówi podstawa.

Zapamiętaj

Zbliżanie źródła i obserwatora: odbierana częstotliwość rośnie; oddalanie: maleje.
Źródło porusza się: zmienia się długość fali. Obserwator porusza się: zmienia się tempo mijania grzbietów.
Wzór ścisły dla źródła zbliżającego się: $f_{\text{ob}} ={}$ $f_{\text{źr}}\frac{v_d}{v_d - v_{\text{źr}}}$ .
Wzór przybliżony dla $v \ll v_d$ albo $v \ll c$ : $f_{\text{ob}} \approx f_{\text{źr}}(1 \pm \frac{v}{v_d})$ .
Iloraz częstotliwości jest odwrotnością ilorazu długości fal: $\frac{f_1}{f_2} ={}$ $\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ .

Pytania i odpowiedzi

1.Kiedy odbierana częstotliwość jest większa od częstotliwości źródła?+
Odp.:Gdy źródło i obserwator zbliżają się do siebie. Wtedy długość fali docierającej do obserwatora jest krótsza albo obserwator mija w ciągu sekundy więcej grzbietów niż przy spoczynku. Gdy się oddalają, odbierana częstotliwość jest mniejsza od $f_{\text{źr}}$ .
2.Czym różni się ruch źródła od ruchu obserwatora?+
Odp.:Gdy porusza się źródło, zmienia się długość fali w ośrodku, a prędkość fali pozostaje taka sama. Gdy porusza się obserwator, długość fali jest ta sama, a zmienia się tempo, w jakim mija grzbiety. Wzory ścisłe dla obu przypadków różnią się, a przybliżone, dla prędkości znacznie mniejszych od $v_d$ , są jednakowe.
3.Czy efekt Dopplera występuje dla światła?+
Odp.:Tak. Światło jest falą elektromagnetyczną, więc jego częstotliwość odbierana przez obserwatora zależy od prędkości względnej źródła i obserwatora. Dla prędkości znacznie mniejszych od $c$ względna zmiana częstotliwości jest równa $\frac{v}{c}$ . W astronomii widać go jako przesunięcie linii widmowych.
4.Kiedy mogę użyć wzoru przybliżonego?+
Odp.:Gdy źródło lub obserwator ma prędkość o wiele mniejszą niż prędkość fali, na przykład pojazd o prędkości kilkudziesięciu metrów na sekundę przy prędkości dźwięku $340\ \mathrm{m/s}$ . Wtedy błąd jest rzędu procenta. Jeżeli zadanie każe użyć wzoru ścisłego albo prędkości są porównywalne, licz ze wzoru ścisłego.
5.Jak obliczyć prędkość źródła z długości fal?+
Odp.:Przed źródłem w czasie jednego okresu fala przebywa drogę $v_d T$ , a źródło $v T$ , więc długość fali jest różnicą tych dróg; za źródłem jest ich sumą. Okres skraca się w ilorazie, więc stosunek długości fali za źródłem do długości fali przed nim jest równy stosunkowi sumy $v_d + v$ do różnicy $v_d - v$ , i możesz wyznaczyć $v$ bez znajomości częstotliwości źródła.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Efekt Dopplera dla fal dźwiękowych i elektromagnetycznych: wzór i przykłady

W skrócie

Skąd bierze się zmiana częstotliwości

Wzory dla dźwięku: źródło albo obserwator w ruchu

Światło i inne fale elektromagnetyczne

Prędkość źródła z ilorazu długości fal

Pojęcia

Zadanie z matury

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 4.2

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 4.4

Sprawdź się

Częste pomyłki

Zapamiętaj

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła

Zadanie ostatnie.