Od czego zależy okres wahadła matematycznego?

Okres małych drgań wahadła matematycznego wynosi T = 2π√(l/g), więc zależy tylko od długości nici l i przyśpieszenia grawitacyjnego g. Masa ciężarka i amplituda (dopóki drgania są małe) nie mają na niego wpływu.

Czym różni się częstotliwość od częstości kołowej?

Częstotliwość f to liczba drgań w ciągu sekundy, mierzona w hercach, a częstość kołowa ω = 2πf mówi, o ile radianów na sekundę zmienia się faza drgań. W równaniu ruchu stoi przy czasie częstość kołowa, dlatego przed obliczeniem okresu albo częstotliwości trzeba ją podzielić przez 2π.

Gdzie ciało w ruchu harmonicznym ma największą prędkość, a gdzie największe przyśpieszenie?

Największą prędkość ciało ma w położeniu równowagi, gdzie siła wypadkowa i przyśpieszenie są równe zeru. Największe przyśpieszenie ma w punktach największego wychylenia, gdzie się zatrzymuje. Wynika to z zależności a = −ω² x: przyśpieszenie rośnie razem z wychyleniem.

Jak obliczyć energię ciężarka drgającego na sprężynie?

Energia drgań jest równa największej energii potencjalnej sprężystości, E = (1/2)kA², i największej energii kinetycznej, (1/2)mvₘₐₓ². Bez oporów ruchu ta suma się nie zmienia, więc z niej obliczysz prędkość ciężarka w dowolnym punkcie, znając jego wychylenie.

Na czym polega rezonans mechaniczny?

Rezonans zachodzi, gdy siła wymuszająca drgania działa z częstotliwością równą częstotliwości drgań własnych układu. Energia jest wtedy dostarczana w odpowiednim rytmie i amplituda drgań rośnie najbardziej. Przykładem jest huśtawka popychana zawsze w tej samej fazie ruchu.

Ruch harmoniczny na maturę z fizyki: wahadło, sprężyna, rezonans

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Ruch harmoniczny wywołuje siła zwrócona do położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia: $F = -kx$ .
Wychylenie, prędkość i przyśpieszenie zmieniają się w czasie jak sinus i cosinus o tym samym okresie $T$ ; przyśpieszenie jest zawsze przeciwne do wychylenia: $a = -\omega^2 x$ .
Okres ciężarka na sprężynie to $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ , a okres małych drgań wahadła matematycznego to $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ ; żaden z nich nie zależy od amplitudy.
Energia drgań to $E = \frac{1}{2}kA^2$ : w punktach największego wychylenia jest w całości energią potencjalną sprężystości, w położeniu równowagi energią kinetyczną.
Rezonans zachodzi, gdy siła wymuszająca działa z częstotliwością równą częstotliwości drgań własnych: amplituda rośnie wtedy najbardziej.

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Wychylenie, prędkość i przyśpieszenie w czasie

Ciało w ruchu harmonicznym przechodzi przez położenie równowagi i wraca do niego po każdym okresie $T$ . Wychylenie z położenia równowagi opisujesz funkcją $x(t) ={}$ $A\cos(\omega t)$ , gdzie $A$ to amplituda, a $\omega = \frac{2\pi}{T}$ to częstość kołowa. Prędkość i przyśpieszenie są wtedy równe $v(t) ={}$ $-A\omega\sin(\omega t)$ oraz $a(t) ={}$ $-A\omega^2\cos(\omega t)$ , czyli $a = -\omega^2 x$ .

Odczytaj z wykresów, co dzieje się w kolejnych ćwiartkach okresu. W punkcie największego wychylenia prędkość jest równa zeru, a przyśpieszenie ma największą wartość. W położeniu równowagi jest odwrotnie. Dla amplitudy $A = 4{,}0\ \mathrm{cm}$ i okresu $T = 0{,}50\ \mathrm{s}$ częstość kołowa wynosi $\omega = 12{,}6\ \mathrm{rad/s}$ , największa prędkość $v_{max} ={}$ $A\omega = 0{,}50\ \mathrm{m/s}$ , a największe przyśpieszenie $a_{max} ={}$ $A\omega^2 ={}$ $6{,}3\ \mathrm{m/s^2}$ .

Okres ciężarka na sprężynie i wahadła matematycznego

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny, $F_s = k\Delta l$ , a współczynnik sprężystości $k$ mierzysz w niutonach na metr. Ciężarek o masie $m$ zawieszony na takiej sprężynie drga z okresem $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ . Zwróć uwagę na przykład: ciężarek o masie $0{,}200\ \mathrm{kg}$ na sprężynie o współczynniku $50\ \mathrm{N/m}$ ma okres $T \approx 0{,}40\ \mathrm{s}$ , niezależnie od amplitudy.

Wahadło matematyczne to punktowy ciężarek na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długości $l$ . Dla małych wychyleń jego okres wynosi $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ : nie zależy od masy ani od amplitudy. Wahadło o długości $1{,}00\ \mathrm{m}$ ma przy $g ={}$ $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ okres $T \approx 2{,}01\ \mathrm{s}$ .

Cecha	Ciężarek na sprężynie	Wahadło matematyczne
Okres	$T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$	$T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Rośnie, gdy rośnie	masa ciężarka	długość nici
Maleje, gdy rośnie	współczynnik sprężystości	przyśpieszenie grawitacyjne
Nie zależy od	amplitudy i przyśpieszenia grawitacyjnego	masy ciężarka i amplitudy (małe drgania)

Energia w ruchu drgającym

Energia potencjalna sprężystości ciała wychylonego o $x$ wynosi $E_{pot} ={}$ $\frac{1}{2}kx^2$ . Bez oporów ruchu suma energii kinetycznej i potencjalnej sprężystości się nie zmienia i jest równa $E = \frac{1}{2}kA^2$ . Ciężarek z poprzedniego przykładu ( $k = 50\ \mathrm{N/m}$ , $m ={}$ $0{,}200\ \mathrm{kg}$ ) drgający z amplitudą $4{,}0\ \mathrm{cm}$ ma energię $E ={}$ $0{,}040\ \mathrm{J}$ .

W położeniu równowagi cała ta energia jest kinetyczna, więc $\frac{1}{2}mv_{max}^2 ={}$ $\frac{1}{2}kA^2$ i $v_{max} ={}$ $A\sqrt{\frac{k}{m}} \approx 0{,}63\ \mathrm{m/s}$ . Przy wychyleniu równym połowie amplitudy energia potencjalna sprężystości stanowi tylko jedną czwartą energii całkowitej, $0{,}010\ \mathrm{J}$ , bo zależy od kwadratu wychylenia; pozostałe trzy czwarte to energia kinetyczna.

Drgania wymuszone i rezonans mechaniczny

Gdy na układ zdolny do drgań działa okresowo siła z zewnątrz, układ drga z częstotliwością tej siły, a nie ze swoją własną. Amplituda takich drgań wymuszonych zależy od tego, jak blisko jest częstotliwość siły wymuszającej do częstotliwości drgań własnych układu. Gdy te częstotliwości są równe, amplituda jest największa: to rezonans mechaniczny.

Rezonans widać na huśtawce popychanej w rytm jej wahań, na moście, który zaczyna się kołysać pod krokami maszerujących w jednym rytmie ludzi, i na wahadłach zawieszonych na wspólnym sznurku: rozkołysane wahadło pobudza najsilniej to, które ma tę samą długość. Porównaj: wahadło o innej długości ma inny okres drgań własnych i prawie się nie rozkołysze.

Doświadczenie

pomiar i wniosek

Doświadczenie z tego działu: cel, przyrządy, przebieg, pomiary, opracowanie wyników z niepewnością i wniosek.

Cel doświadczenia: Wyznaczasz wartość przyśpieszenia ziemskiego $g$ z okresu małych drgań wahadła matematycznego o kilku długościach i sprawdzasz, jak okres zależy od długości wahadła.
Przyrządy: Mały, ciężki ciężarek na cienkiej, nierozciągliwej nici, statyw z uchwytem, taśma miernicza (rozdzielczość 1 mm), stoper (rozdzielczość 0,01 s).
Przebieg: Mierzysz długość wahadła od punktu zawieszenia do środka ciężarka. Wychylasz ciężarek o kilka stopni i puszczasz go. Mierzysz czas dziesięciu pełnych drgań $t_{10}$ i dzielisz go przez dziesięć, co zmniejsza wpływ refleksu na wynik. Pomiar dla długości 1,00 m powtarzasz pięć razy, a potem mierzysz czas drgań dla pięciu długości od 0,40 m do 1,20 m.

Wyniki pomiarów

$l$ , m	$t_{10}$ , s	$T$ , s	$T^2$ , $\mathrm{s^2}$
0,40	12,70	1,270	1,61
0,60	15,52	1,552	2,41
0,80	17,96	1,796	3,23
1,00	20,05	2,005	4,02
1,20	21,99	2,199	4,84

Opracowanie wyników: Ze wzoru $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ wynika $T^2 ={}$ $\frac{4\pi^2}{g} \cdot l$ , więc punkty $(l, T^2)$ powinny leżeć na prostej przechodzącej przez początek układu. Dopasowana prosta ma współczynnik kierunkowy $a \approx 4{,}026\ \mathrm{s^2/m}$ , stąd $g ={}$ $\frac{4\pi^2}{a} ={}$ $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ .
Niepewność pomiaru: Dla długości 1,00 m pięć pomiarów czasu dziesięciu drgań dało 20,05 s, 20,11 s, 19,98 s, 20,02 s i 20,09 s. Średnia wynosi 20,05 s, a połowa rozrzutu wyników, zaokrąglona w górę, 0,07 s. Okres zapisujesz więc jako $T ={}$ $(2{,}005 \pm 0{,}007)\ \mathrm{s}$ .
Wniosek: Kwadrat okresu jest wprost proporcjonalny do długości wahadła, a wartość $g$ wyznaczona z nachylenia prostej zgadza się z wartością $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ podawaną w zadaniach.
Uwaga: Wzór na okres opisuje małe drgania, więc wychylenie nici nie przekracza kilku stopni. Wszystkie wyniki pomiarów w tabeli i na wykresie to dane umowne.

Doświadczenia, które podstawa programowa wymienia w tym dziale:

V.8.ademonstruje niezależność okresu małych drgań wahadła od amplitudy
V.8.bbada zależność okresu drgań od długości wahadła
V.8.cbada zależność okresu drgań ciężarka od jego masy i od współczynnika sprężystości sprężyny
V.8.ddemonstruje zjawisko rezonansu mechanicznego
V.8.ewyznacza wartość przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego

Pojęcia

ruch harmoniczny: Ruch pod wpływem siły proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i zwróconej do niego, $F = -kx$ ; wychylenie zmienia się w czasie jak sinus lub cosinus.
amplituda: Największe wychylenie ciała z położenia równowagi w ruchu drgającym, oznaczane $A$ .
częstość kołowa: Wielkość $\omega = \frac{2\pi}{T} ={}$ $2\pi f$ , mierzona w radianach na sekundę, opisująca, jak szybko zmienia się faza drgań.
przesunięcie fazowe: Różnica faz dwóch drgań o tym samym okresie; drgania o fazach zgodnych osiągają największe wychylenie jednocześnie, a o fazach przeciwnych w przeciwnych kierunkach.
współczynnik sprężystości: Stała $k$ w zależności $F_s = k\Delta l$ między siłą sprężystości a wydłużeniem sprężyny, mierzona w $\mathrm{N/m}$ .
wahadło matematyczne: Punktowy ciężarek zawieszony na nieważkiej, nierozciągliwej nici, wykonujący drgania w pionowej płaszczyźnie.
energia potencjalna sprężystości: Energia odkształconej sprężyny, $E_{pot} ={}$ $\frac{1}{2}kx^2$ , gdzie $x$ jest jej wydłużeniem lub skróceniem.
rezonans mechaniczny: Wzrost amplitudy drgań wymuszonych, gdy częstotliwość siły wymuszającej jest równa częstotliwości drgań własnych układu.

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 3.3

Zadanie 3.3. (0–4)

Ciężarek o masie

m ={}

100{,}0\ \mathrm{g}

jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Przyjmujemy, że ciężarek drga wzdłuż osi

y

skierowanej pionowo w górę. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości

v_y

ciężarka od czasu

t

. Dodatnia wartość współrzędnej prędkości

v_y

oznacza, że zwrot wektora prędkości ciężarka jest w górę, a ujemna wartość – że zwrot wektora prędkości jest w dół. Prędkość ciężarka określamy w układzie odniesienia związanym z ziemią.Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym: • na ciężarek działają tylko siła sprężystości

\vec{F}_s

sprężyny i siła grawitacji

\vec{F}_g

• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciężarek, jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną (gdy jest nierozciągnięta) • układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako układ inercjalny • pomijamy opory ruchu • pomijamy masę sprężyny • przyśpieszenie grawitacyjne ziemskie ma wartość

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 3.3. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Dla sposobu 1.: zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym: F_wyp max = F_s max − F_g LUB zapisanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym oraz identyfikacja/określenie okresu z wykresu, np. zapisy równoważne poniższym: a_max = (2π/T)·v_max oraz T = 0,4 s albo (a_max = (2π/T)²·A oraz v_max = (2π/T)·A) oraz T = 0,4 s. ALBO dla sposobu 2.: zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A), y₀ – wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym: F_wyp max = F_s max − F_g LUB zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: F_w max = kA oraz (2π/T)² = k/m LUB zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym: F_w max = kA oraz v_max = (2π/T)·A. Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności określenia siły wypadkowej. ALBO dla sposobu 4. (energetycznego): zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi, np. zapisy równoważne poniższym: E_pot spr max = E_kin rownowagi + E_pot spr rownowagi + E_pot graw rownowagi. Uwaga! W tym kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności wyrażenia tych energii wzorami. LUB zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: E_mech max wych = E_mech rownowagi oraz (2π/T)² = k/m LUB zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym: E_mech max wych = E_mech rownowagi oraz v_max = (2π/T)·A. Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności rozpisania energii mechanicznej jako sumy odpowiednich rodzajów energii, tylko w ogóle sam fakt przyrównania energii mechanicznej w danych chwilach. LUB zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A), y₀ – wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi.1 pkt
Dla sposobu 1.: zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym: m·a_max = F_s max − F_g LUB zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym: F_wyp max = F_s max − F_g oraz a_max = (2π/T)·v_max albo F_wyp max = F_s max − F_g oraz (a_max = (2π/T)²·A oraz v_max = (2π/T)·A). ALBO dla sposobu 2.: zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie warunku równowagi sił, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A) oraz ky₀ = mg LUB zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A) oraz (2π/T)² = k/m LUB zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A) oraz v_max = (2π/T)·A. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: F_w max = kA oraz F_w max = F_s max − F_g oraz (2π/T)² = k/m albo w jednym równaniu m·(2π/T)²·A = F_s max − F_g LUB zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym: F_w max = kA oraz F_w max = F_s max − F_g oraz v_max = (2π/T)·A albo w jednym równaniu k·v_max/(2π/T) = F_s max − F_g. ALBO dla sposobu 4. (energetycznego): zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, np. zapisy równoważne poniższym: 1/2·k(y₀ + A)² = 1/2·m·v_max² + 1/2·k·y₀² + mgA LUB zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie dwóch związków spośród czterech: v_max = (2π/T)·A lub (2π/T)² = k/m lub ky₀ = mg lub F_s max = k(y₀ + A), np. zapisy równoważne poniższym: E_pot spr max = E_kin rownowagi + E_pot spr rownowagi + E_pot graw rownowagi oraz (v_max = (2π/T)·A lub (2π/T)² = k/m lub ky₀ = mg lub F_s max = k(y₀ + A)).1 pkt
Dla sposobu 1.: zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną i okresem w ruchu drgającym, np. zapisy równoważne poniższym: m·a_max = F_wyp max oraz F_wyp max = F_s max − F_g oraz a_max = (2π/T)·v_max albo w jednym równaniu: m·(2π/T)·v_max = F_s max − F_g. ALBO dla sposobu 2.: zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie warunku równowagi sił, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max = k(y₀ + A) oraz ky₀ = mg oraz (2π/T)² = k/m oraz v_max = (2π/T)·A albo w jednym równaniu: F_s max = ky₀ + kA = mg + (2π/T)·m·v_max. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym: F_s max − F_g = kA oraz (2π/T)² = k/m oraz v_max = (2π/T)·A albo w jednym równaniu: F_s max − F_g = kA = (2π/T)²·m·v_max/(2π/T). ALBO dla sposobu 4. (energetycznego): zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, oraz poprawne wykorzystanie dwóch związków spośród czterech: v_max = (2π/T)·A lub (2π/T)² = k/m lub ky₀ = mg lub F_s max = k(y₀ + A), np. zapisy równoważne poniższym: 1/2·k(y₀ + A)² = 1/2·m·v_max² + 1/2·k·y₀² + mgA oraz (v_max = (2π/T)·A lub (2π/T)² = k/m lub ky₀ = mg lub F_s max = k(y₀ + A)).1 pkt
Dla sposobu 1., 2., 3. i 4.: poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: F_s max ≈ 1,92 N.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Z wykresu: okres drgań

T = 0{,}4\ \mathrm{s}

, największa wartość prędkości

v_{max} ={}

0{,}6\ \mathrm{m/s}

.

W najniższym położeniu siła sprężystości jest największa i większa od ciężaru, a siła wypadkowa jest skierowana w górę i ma największą wartość:

F_{wyp\,max} ={}

F_{s\,max} - mg

.

Z II zasady dynamiki i związku

a_{max} ={}

\omega v_{max} ={}

\frac{2\pi}{T}v_{max}

:

m\frac{2\pi}{T}v_{max} ={}

F_{s\,max} - mg

.

F_{s\,max} = m\left(\frac{2\pi v_{max}}{T} + g\right) = 0{,}1\ \mathrm{kg} \cdot \left(\frac{2\pi \cdot 0{,}6\ \mathrm{m/s}}{0{,}4\ \mathrm{s}} + 9{,}81\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right) \approx 1{,}92\ \mathrm{N}

Wyjaśnienie od Kleksy

Odczytaj z wykresu dwie wielkości: okres drgań

T = 0{,}4\ \mathrm{s}

(prędkość wraca do tej samej wartości po czterech kratkach) i największą wartość prędkości

v_{max} ={}

0{,}6\ \mathrm{m/s}

. Masę ciężarka zamień na kilogramy:

m = 0{,}1\ \mathrm{kg}

.

W najniższym położeniu sprężyna jest rozciągnięta najbardziej, więc siła sprężystości jest skierowana w górę i większa od siły grawitacji. Siła wypadkowa jest wtedy największa i zwrócona do położenia równowagi:

F_{s\,max} - mg ={}

ma_{max}

. Największe przyśpieszenie wiążesz z prędkością:

a_{max} ={}

\omega v_{max} ={}

\frac{2\pi}{T}v_{max} \approx 9{,}42\ \mathrm{m/s^2}

.

Stąd

F_{s\,max} ={}

m(a_{max} + g) ={}

0{,}1\ \mathrm{kg} \cdot (9{,}42 + 9{,}81)\ \mathrm{m/s^2} \approx 1{,}92\ \mathrm{N}

. Nie myl tej siły z siłą wypadkową: sama siła wypadkowa wynosi tylko

ma_{max} \approx 0{,}94\ \mathrm{N}

.

Według zasad oceniania CKE: 4 punkty, po jednym za każdy etap — wyrażenie na siłę wypadkową w najniższym położeniu albo związek

a_{max} ={}

\frac{2\pi}{T}v_{max}

z okresem odczytanym z wykresu, II zasada dynamiki z tą siłą, połączenie obu związków i wynik z jednostką. CKE uznaje też oszacowanie

a_{max}

z nachylenia wykresu przy

v = 0

, z wynikiem od 1,8 N do 2,0 N.

Przykładowe rozwiązanie:

a_{max} ={}

\frac{2\pi v_{max}}{T} ={}

\frac{2\pi \cdot 0{,}6\ \mathrm{m/s}}{0{,}4\ \mathrm{s}} \approx 9{,}42\ \mathrm{m/s^2}

, czyli

F_{s\,max} ={}

m(a_{max} + g) ={}

0{,}1\ \mathrm{kg} \cdot 19{,}23\ \mathrm{m/s^2} \approx 1{,}92\ \mathrm{N}

.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 3.1

Zadanie 3.1. (0–2)

Ciężarek o masie

m ={}

100{,}0\ \mathrm{g}

jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Przyjmujemy, że ciężarek drga wzdłuż osi

y

skierowanej pionowo w górę. Na poniższym wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości

v_y

ciężarka od czasu

t

. Dodatnia wartość współrzędnej prędkości

v_y

oznacza, że zwrot wektora prędkości ciężarka jest w górę, a ujemna wartość – że zwrot wektora prędkości jest w dół. Prędkość ciężarka określamy w układzie odniesienia związanym z ziemią.Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym: • na ciężarek działają tylko siła sprężystości

\vec{F}_s

sprężyny i siła grawitacji

\vec{F}_g

• wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciężarek, jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny ponad jej długość swobodną (gdy jest nierozciągnięta) • układ odniesienia związany z ziemią traktujemy jako układ inercjalny • pomijamy opory ruchu • pomijamy masę sprężyny • przyśpieszenie grawitacyjne ziemskie ma wartość

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W chwili

t = 0{,}2\ \mathrm{s}

siły działające na ciężarek się równoważą.

Energia kinetyczna ciężarka w chwili

t = 0{,}1\ \mathrm{s}

jest równa energii kinetycznej ciężarka w chwili

t = 0{,}3\ \mathrm{s}

.

Wartość przyśpieszenia ciężarka w chwili

t = 0{,}4\ \mathrm{s}

jest większa od wartości przyśpieszenia ciężarka w chwili

t = 0{,}5\ \mathrm{s}

.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 3.1. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Wahadło matematyczne o długości

l = 0{,}90\ \mathrm{m}

wykonuje małe drgania w miejscu, w którym

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Okres tych drgań, zaokrąglony do trzech cyfr znaczących, jest równy

T = \ldots\ldots

s

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Jeżeli masa ciężarka zawieszonego na tej samej sprężynie wzrośnie czterokrotnie, to okres jego drgań

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wychylenie ciężarka z położenia równowagi opisuje równanie

x(t) = 0{,}03\ \mathrm{m} \cdot \sin\left(10\pi\ \mathrm{s^{-1}} \cdot t\right)

. Częstotliwość drgań ciężarka jest równa

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Ciężarek wykonuje drgania harmoniczne wzdłuż osi

x

, a

x = 0

jest jego położeniem równowagi. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przyśpieszenie ciężarka ma w każdej chwili zwrot przeciwny do jego wychylenia z położenia równowagi.

Wychylenie i prędkość ciężarka mają w każdej chwili zgodne fazy.

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 5. (0–1)

Przyporządkuj każdej zmianie (1–3) jej skutek (A–D).

Skutek

Anie zmienia się.
Brośnie dwukrotnie.
Crośnie czterokrotnie.
Dmaleje dwukrotnie.

Zmiana

1Długość nici wahadła matematycznego rośnie czterokrotnie; okres jego małych drgań

2Amplituda małych drgań wahadła matematycznego rośnie dwukrotnie; okres drgań

3Amplituda drgań ciężarka na sprężynie rośnie dwukrotnie; energia drgań

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Wstawianie do wzoru na okres wahadła masy ciężarka. Okres małych drgań wahadła matematycznego zależy tylko od długości nici i przyśpieszenia grawitacyjnego.
Mylenie częstotliwości z częstością kołową. W zapisie $x(t) ={}$ $A\sin(\omega t)$ liczba przy $t$ to $\omega$ , a częstotliwość otrzymasz, dzieląc ją przez $2\pi$ .
Przyjmowanie, że w punkcie największego wychylenia siła wypadkowa jest równa zeru, bo ciało się zatrzymuje. Właśnie tam siła i przyśpieszenie mają największe wartości, a równe zeru są w położeniu równowagi.
Liczenie siły sprężystości w najniższym położeniu ciężarka jako samej siły wypadkowej. Siła sprężystości równoważy jeszcze siłę grawitacji, więc $F_s = m(a + g)$ .

Zapamiętaj

Siła w ruchu harmonicznym: $F = -kx$ ; przyśpieszenie: $a = -\omega^2 x$ .
Okresy: $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ dla sprężyny, $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ dla wahadła.
Częstość kołowa: $\omega = \frac{2\pi}{T} ={}$ $2\pi f$ .
Energia drgań: $E = \frac{1}{2}kA^2$ , największa prędkość w położeniu równowagi.
Rezonans: częstotliwość wymuszenia równa częstotliwości drgań własnych.

Pytania i odpowiedzi

1.Od czego zależy okres wahadła matematycznego?+
Odp.:Okres małych drgań wahadła matematycznego wynosi $T ={}$ $2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , więc zależy tylko od długości nici $l$ i przyśpieszenia grawitacyjnego $g$ . Masa ciężarka i amplituda (dopóki drgania są małe) nie mają na niego wpływu.
2.Czym różni się częstotliwość od częstości kołowej?+
Odp.:Częstotliwość $f$ to liczba drgań w ciągu sekundy, mierzona w hercach, a częstość kołowa $\omega = 2\pi f$ mówi, o ile radianów na sekundę zmienia się faza drgań. W równaniu ruchu stoi przy czasie częstość kołowa, dlatego przed obliczeniem okresu albo częstotliwości trzeba ją podzielić przez $2\pi$ .
3.Gdzie ciało w ruchu harmonicznym ma największą prędkość, a gdzie największe przyśpieszenie?+
Odp.:Największą prędkość ciało ma w położeniu równowagi, gdzie siła wypadkowa i przyśpieszenie są równe zeru. Największe przyśpieszenie ma w punktach największego wychylenia, gdzie się zatrzymuje. Wynika to z zależności $a = -\omega^2 x$ : przyśpieszenie rośnie razem z wychyleniem.
4.Jak obliczyć energię ciężarka drgającego na sprężynie?+
Odp.:Energia drgań jest równa największej energii potencjalnej sprężystości, $E = \frac{1}{2}kA^2$ , i największej energii kinetycznej, $\frac{1}{2}mv_{max}^2$ . Bez oporów ruchu ta suma się nie zmienia, więc z niej obliczysz prędkość ciężarka w dowolnym punkcie, znając jego wychylenie.
5.Na czym polega rezonans mechaniczny?+
Odp.:Rezonans zachodzi, gdy siła wymuszająca drgania działa z częstotliwością równą częstotliwości drgań własnych układu. Energia jest wtedy dostarczana w odpowiednim rytmie i amplituda drgań rośnie najbardziej. Przykładem jest huśtawka popychana zawsze w tej samej fazie ruchu.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 31 października 2026.

Ruch harmoniczny: okres drgań, wahadło matematyczne, ciężarek na sprężynie i rezonans

W skrócie

Wychylenie, prędkość i przyśpieszenie w czasie

Okres ciężarka na sprężynie i wahadła matematycznego

Energia w ruchu drgającym

Drgania wymuszone i rezonans mechaniczny

Doświadczenie

Pojęcia

Zadanie z matury

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 3.3

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 3.1

Sprawdź się

Częste pomyłki

Zapamiętaj

Pytania i odpowiedzi

Zobacz też

Źródła

Zadanie ostatnie.