Co oznacza wzór E = mc²?

Wzór E₀ = mc² podaje energię spoczynkową ciała o masie m: masa jest miarą energii, którą ciało ma nawet w spoczynku. Ta energia wchodzi do energii całkowitej, E = E₀ + Eₖᵢₙ, a jej zmiany odpowiadają zmianom masy układu, ΔE = Δm · c².

Dlaczego nic z masą nie może poruszać się z prędkością światła?

Energia całkowita E = (mc²)/√(1 − v²/c²) rośnie bez granic, gdy v dąży do c, a przy v = c wymagałaby nieskończonej energii. Dlatego cząstka o niezerowej masie spoczynkowej może się do c zbliżać, ale nigdy jej nie osiągnie.

Jak obliczyć energię kinetyczną cząstki relatywistycznej?

Oblicz energię całkowitą E = (mc²)/√(1 − v²/c²) i odejmij energię spoczynkową E₀ = mc². Wynik Eₖᵢₙ = E − E₀ dla małych prędkości przechodzi we wzór (1/2)mv². W rachunkach wygodnie jest wyrażać energię w jednostkach E₀.

Dla jakich prędkości trzeba stosować wzory relatywistyczne?

Wtedy, gdy prędkość jest porównywalna z c albo energia kinetyczna z energią spoczynkową. Dla 0,1c wzór klasyczny myli się o mniej niż 1 %, dla 0,5c o około 19 %, dla 0,9c pomija ponad połowę energii. Nie ma ostrej granicy, więc kierujesz się wymaganą dokładnością.

Czym jest układ inercjalny?

To układ odniesienia, w którym ciało niepoddane działaniu sił porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym albo spoczywa. Szczególna teoria względności opisuje zjawiska w takich układach, a prędkość światła w próżni ma w każdym z nich tę samą wartość.

Matura 2027 · fizyka, poziom rozszerzony

Szczególna teoria względności: energia spoczynkowa, energia całkowita i E = mc²

Podstawa programowa wymaga, żebyś wskazywał niezależność prędkości światła w próżni od prędkości źródła i obserwatora, posługiwał się związkiem między energią całkowitą, masą cząstki i jej prędkością oraz pojęciem energii spoczynkowej, opisywał równoważność masy i energii spoczynkowej i wskazywał prędkość światła jako maksymalną prędkość przekazu energii i informacji. Tak przygotujesz się do tej części matury z fizyki na poziomie rozszerzonym.

Na maturze 2023–2026: w każdej z 4 sesji, zadań: 8.

Podstawa programowa: fizyka

Podstawa programowa (zakres rozszerzony): dział XII „Elementy fizyki relatywistycznej i fizyka jądrowa”, pkt 1–4

Pokaż wymagania

XII.1wskazuje niezależność prędkości światła w próżni od prędkości źródła i prędkości obserwatora;
XII.2posługuje się związkiem między energią całkowitą, masą cząstki i jej prędkością; posługuje się pojęciem energii spoczynkowej;
XII.3opisuje równoważność masy i energii spoczynkowej;
XII.4wskazuje prędkość światła w próżni jako maksymalną prędkość przekazu energii i informacji;

Dz.U. 2024 poz. 1019 · w arkuszach 2023–2026: w każdej z 4 sesji

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Prędkość światła w próżni, $c ={}$ $299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$ , ma tę samą wartość dla każdego obserwatora w układzie inercjalnym i nie zależy od ruchu źródła.
Energia całkowita ciała o masie $m$ i prędkości $v$ to $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ; dla ciała w spoczynku $E_0 = mc^2$ .
Energia kinetyczna to różnica energii całkowitej i spoczynkowej, $E_{kin} = E - E_0$ . Dla małych prędkości daje $\frac{1}{2}mv^2$ .
Prędkość $c$ jest maksymalną prędkością przekazu energii i informacji; ciało o masie spoczynkowej różnej od zera jej nie osiągnie.
Zmiana masy układu o $\Delta m$ odpowiada zmianie jego energii o $\Delta E ={}$ $\Delta m \cdot c^2$ .

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Stała prędkość światła i jej rola granicy

Prędkość światła w próżni wynosi $c ={}$ $299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$ i zaokrąglasz ją do $3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$ . Szczególna teoria względności opiera się na tym, że mierzysz ją tak samo w każdym układzie inercjalnym, bez względu na to, jak szybko porusza się źródło światła i jak szybko porusza się obserwator. Światło z reflektora pojazdu jadącego z prędkością $0{,}5c$ nie biegnie więc z prędkością $1{,}5c$ : dla każdego obserwatora ma wartość $c$ . Światło ze Słońca dociera do Ziemi po około $8{,}3\ \mathrm{min}$ .

Prędkość $c$ jest też maksymalną prędkością, z jaką można przekazać energię lub informację. Ciało o niezerowej masie spoczynkowej może się do niej zbliżać, ale jej nie osiągnie, bo jego energia całkowita rosłaby wtedy do nieskończoności. Światło porusza się z prędkością $c$ , bo jego cząstki, fotony, nie mają masy spoczynkowej.

Energia całkowita, spoczynkowa i kinetyczna

Energia całkowita ciała o masie $m$ , poruszającego się w układzie inercjalnym z prędkością $v$ , wynosi $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ . Gdy $v = 0$ , zostaje energia spoczynkowa $E_0 = mc^2$ . Różnica jest energią kinetyczną, $E_{kin} = E - E_0$ . Pęd ciała to $p ={}$ $\frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ , a energie wiąże niezmiennik $E_0^2 ={}$ $E^2 - (cp)^2$ . Symbol $m$ oznacza masę ciała, jedną i tę samą w każdym układzie.

Tabela porównuje energię relatywistyczną z klasycznym wzorem $\frac{1}{2}mv^2$ , czyli $\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c}\right)^2 E_0$ . Dla $v = 0{,}1c$ wzór klasyczny jest za mały o około $0{,}8\ \%$ , dla $v = 0{,}5c$ o około $19\ \%$ , a dla $v = 0{,}9c$ pomija ponad połowę prawdziwej wartości. Odczytaj z wykresu, że krzywa $E = \gamma E_0$ rośnie coraz szybciej i pnie się ku nieskończoności, gdy $v$ zbliża się do $c$ .

$v/c$	$E/E_0$	$E_{kin}/E_0$	$\frac{1}{2}mv^2/E_0$
0,10	1,01	0,00504	0,00500
0,50	1,15	0,155	0,125
0,80	1,67	0,667	0,320
0,90	2,29	1,29	0,405
0,99	7,09	6,09	0,490

Równoważność masy i energii

Wzór $E_0 = mc^2$ mówi, że masa ciała jest zarazem miarą jego energii spoczynkowej. Gram materii ma energię spoczynkową $8{,}99 \cdot 10^{13}\ \mathrm{J}$ . Energia spoczynkowa elektronu wynosi $511\ \mathrm{keV}$ , a jednej jednostce masy atomowej odpowiada $931{,}5\ \mathrm{MeV}$ .

Gdy układ pochłania albo wydziela energię, zmienia się jego masa: $\Delta E ={}$ $\Delta m \cdot c^2$ . Dla zmian energii zwykłych reakcji chemicznych zmiana masy jest zbyt mała do zmierzenia, a w reakcjach jądrowych staje się mierzalna. Zapisz więc, że energii uwolnionej w reakcji odpowiada ubytek masy układu, nie ubytek liczby cząstek.

Rozpędzanie cząstki w polu elektrycznym

Elektron startujący ze spoczynku i przechodzący napięcie $U ={}$ $0{,}500\ \mathrm{MV}$ zyskuje energię kinetyczną $E_{kin} ={}$ $eU ={}$ $0{,}500\ \mathrm{MeV}$ . Jego energia całkowita to $E ={}$ $E_0 + E_{kin} ={}$ $1{,}011\ \mathrm{MeV}$ , więc $\frac{E}{E_0} = 1{,}98$ . Z wzoru na energię całkowitą wynika $\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{E_0}{E}\right)^2} \approx 0{,}86$ .

Wzór klasyczny dałby dla tej samej energii $v ={}$ $\sqrt{\frac{2E_{kin}}{m}} \approx 1{,}40c$ , czyli prędkość większą od prędkości światła. Ten wynik pokazuje, że przy energiach porównywalnych z energią spoczynkową opis klasyczny przestaje być wystarczający, a prędkość graniczna $c$ jest nieprzekraczalna.

Pojęcia

prędkość światła w próżni: Stała $c ={}$ $299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$ , taka sama w każdym układzie inercjalnym, niezależna od prędkości źródła i obserwatora.
energia całkowita: Energia ciała poruszającego się w układzie inercjalnym, $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ; łączy energię spoczynkową i kinetyczną.
energia spoczynkowa: Energia ciała w spoczynku, $E_0 = mc^2$ , wyrażona jego masą.
energia kinetyczna: Energia ciała w ruchu; w teorii względności to różnica energii całkowitej i spoczynkowej, $E_{kin} = E - E_0$ , dla małych prędkości równa $\frac{1}{2}mv^2$ .
układ inercjalny: Układ odniesienia, w którym ciało swobodne spoczywa albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
równoważność masy i energii: Zmianie energii układu o $\Delta E$ odpowiada zmiana jego masy o $\Delta m ={}$ $\frac{\Delta E}{c^2}$ .

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2024, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 10.2

Zadanie 10.2. (0–3)

Elektron został rozpędzony w polu elektrycznym (w próżni) od punktu

A

do punktu

B

. Wartość prędkości elektronu w punkcie

A

była równa zero, a wartość prędkości elektronu w punkcie

B

była równa

v ={}

2{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

. Przyjmij, że: • energia spoczynkowa

E_0

elektronu jest równa (w zaokrągleniu)

E_0 \approx 5{,}11 \cdot 10^5\ \mathrm{eV}

• energię całkowitą elektronu w punkcie

B

oznaczymy jako

E_B

. Oblicz napięcie elektryczne $U_{AB}$ między punktami $A$ oraz $B$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2024, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2405), zadanie 10.2. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Zapisanie związku wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej (tutaj – pracy siły elektrycznej) i zmianie energii kinetycznej, np. zapisy równoważne poniższym: qU_AB = ΔE_kinB albo qU_AB = E_kinB − 0 albo qU_AB = E_kinA LUB zapisanie relatywistycznego wyrażenia na energię kinetyczną z prędkością (albo związku między energią całkowitą a kinetyczną i spoczynkową oraz związku między energią całkowitą a prędkością), np. zapisy równoważne poniższym: E_kinB = E₀/√(1 − (v/c)²) − E₀ albo E_B = E_kinB + E₀ oraz E_B = E₀/√(1 − (v/c)²).1 pkt
Zapisanie/wykorzystanie związku wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej (tutaj – pracy siły elektrycznej) i zmianie energii kinetycznej, oraz zapisanie/wykorzystanie relatywistycznego wyrażenia na energię kinetyczną (albo związku między energią całkowitą a kinetyczną i spoczynkową oraz związku między energią całkowitą a prędkością), np. zapisy równoważne poniższym: qU_AB = E₀/√(1 − (v/c)²) − E₀.1 pkt
Poprawna metoda obliczenia napięcia oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką mieszczącego się w zakresie od 1,70·10⁵ V do 1,80·10⁵ V.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Praca siły elektrycznej równa się przyrostowi energii kinetycznej elektronu (w

A

spoczywał):

eU_{AB} = E_{kin\,B}

Relatywistycznie

E_{kin\,B} ={}

E_B - E_0 ={}

\frac{E_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} -{}

E_0 \approx 1{,}342E_0 -{}

E_0 ={}

0{,}342E_0

eU_{AB} ={}

0{,}342 \cdot 5{,}11 \cdot 10^5\ \mathrm{eV}

, więc

U_{AB} \approx 1{,}75 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

Wyjaśnienie od Kleksy

Elektron został rozpędzony ze spoczynku w punkcie

A

do prędkości

v ={}

2{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

w punkcie

B

; zadanie podaje jego energię spoczynkową

E_0 \approx 5{,}11 \cdot 10^5\ \mathrm{eV}

. Praca siły elektrycznej między punktami jest równa przyrostowi energii kinetycznej elektronu:

eU_{AB} = E_{kin}

, bo w

A

elektron spoczywał.

Prędkość to dwie trzecie prędkości światła, więc czynnik we wzorze na energię całkowitą wynosi

\frac{1}{\sqrt{1 - (2/3)^2}} ={}

\frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1{,}342

. Energia kinetyczna jest relatywistyczna:

E_{kin} ={}

E - E_0 ={}

(1{,}342 - 1)E_0 \approx 0{,}342E_0 \approx 1{,}75 \cdot 10^5\ \mathrm{eV}

Stąd

U_{AB} ={}

\frac{E_{kin}}{e} \approx 1{,}75 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

. Wzór klasyczny

\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}E_0\left(\frac{v}{c}\right)^2

dałby tylko

1{,}14 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

, więc dla tej prędkości nie wystarcza.

Według zasad oceniania CKE: 3 punkty – pierwszy za związek pracy siły elektrycznej ze zmianą energii kinetycznej albo za relatywistyczne wyrażenie na energię kinetyczną, drugi za oba, trzeci za poprawną metodę i wynik z jednostką z zakresu od

1{,}70 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

1{,}80 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

. Wzór nierelatywistyczny daje co najwyżej 1 punkt.

Przykładowe rozwiązanie:

eU_{AB} = E_{kin} = E_0\left(\frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} - 1\right)

, czyli

U_{AB} \approx 0{,}342 \cdot 5{,}11 \cdot 10^5\ \mathrm{V} \approx 1{,}75 \cdot 10^5\ \mathrm{V}

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 10.1

Zadanie 10.1. (0–1)

Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu

U

do prędkości o wartości

v

. Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej. Na którym wykresie (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono zależność energii całkowitej $E$ (sumy energii kinetycznej i spoczynkowej) elektronu od jego prędkości? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2023, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2305), zadanie 10.1. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. Masa protonu wynosi

m_p ={}

1{,}6726 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}

. Przyjmij

c ={}

2{,}998 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

oraz

1\ \mathrm{eV} ={}

1{,}6022 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}

. Po zamianie na megaelektronowolty i zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących energia spoczynkowa protonu wynosi

E_0 ={}

\ldots\ldots

MeV

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Cząstka o masie

m

porusza się z prędkością

0{,}6c

. Jej energia całkowita jest

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cząstka o niezerowej masie spoczynkowej porusza się z prędkością

0{,}60c

. Stosunek jej energii kinetycznej do energii spoczynkowej jest równy

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 4. (0–1)

Rozważ ruch ciał i światła w układach inercjalnych. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla obserwatora zbliżającego się do źródła światła w próżni prędkość tego światła jest większa niż

c

Cząstka o niezerowej masie spoczynkowej może mieć dowolnie dużą energię kinetyczną, ale nie może osiągnąć prędkości

c

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Dodawanie prędkości światła i prędkości źródła lub obserwatora. W próżni światło ma dla każdego obserwatora w układzie inercjalnym prędkość $c$ .
Przyjmowanie, że energia całkowita ciała w spoczynku jest równa zeru. Wynosi $E_0 = mc^2$ , a energię kinetyczną dostajesz dopiero z różnicy $E - E_0$ .
Stosowanie wzoru $\frac{1}{2}mv^2$ dla prędkości porównywalnych z $c$ . Dla $v = 0{,}5c$ wzór klasyczny jest za mały o około $19\ \%$ , a dla większych prędkości błąd rośnie.
Wstawianie do wzorów energii w dżulach i elektronowoltach bez przeliczenia. Najpierw zamień jednostki: $1\ \mathrm{eV} ={}$ $1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$ .
Przypisywanie ciału większej masy, gdy się szybciej porusza. W tym opisie masa $m$ jest stała, a rośnie energia całkowita.

Zapamiętaj

Energia całkowita: $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ ; spoczynkowa: $E_0 = mc^2$ .
Energia kinetyczna: $E_{kin} = E - E_0$ .
Zmiana masy układu o $\Delta m$ to zmiana energii o $\Delta E ={}$ $\Delta m \cdot c^2$ .
Światło w próżni ma tę samą prędkość w każdym układzie inercjalnym; jest to prędkość graniczna.
Przy małych prędkościach $E_{kin} \approx \frac{1}{2}mv^2$ .

Pytania i odpowiedzi

1.Co oznacza wzór E = mc²?+
Odp.:Wzór $E_0 = mc^2$ podaje energię spoczynkową ciała o masie $m$ : masa jest miarą energii, którą ciało ma nawet w spoczynku. Ta energia wchodzi do energii całkowitej, $E = E_0 + E_{kin}$ , a jej zmiany odpowiadają zmianom masy układu, $\Delta E ={}$ $\Delta m \cdot c^2$ .
2.Dlaczego nic z masą nie może poruszać się z prędkością światła?+
Odp.:Energia całkowita $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ rośnie bez granic, gdy $v$ dąży do $c$ , a przy $v = c$ wymagałaby nieskończonej energii. Dlatego cząstka o niezerowej masie spoczynkowej może się do $c$ zbliżać, ale nigdy jej nie osiągnie.
3.Jak obliczyć energię kinetyczną cząstki relatywistycznej?+
Odp.:Oblicz energię całkowitą $E ={}$ $\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ i odejmij energię spoczynkową $E_0 = mc^2$ . Wynik $E_{kin} = E - E_0$ dla małych prędkości przechodzi we wzór $\frac{1}{2}mv^2$ . W rachunkach wygodnie jest wyrażać energię w jednostkach $E_0$ .
4.Dla jakich prędkości trzeba stosować wzory relatywistyczne?+
Odp.:Wtedy, gdy prędkość jest porównywalna z $c$ albo energia kinetyczna z energią spoczynkową. Dla $0{,}1c$ wzór klasyczny myli się o mniej niż $1\ \%$ , dla $0{,}5c$ o około $19\ \%$ , dla $0{,}9c$ pomija ponad połowę energii. Nie ma ostrej granicy, więc kierujesz się wymaganą dokładnością.
5.Czym jest układ inercjalny?+
Odp.:To układ odniesienia, w którym ciało niepoddane działaniu sił porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym albo spoczywa. Szczególna teoria względności opisuje zjawiska w takich układach, a prędkość światła w próżni ma w każdym z nich tę samą wartość.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury z fizyki (poziom rozszerzony) z maja 2026 roku – 180 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i to, w którym dziale tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo