Welche Formeln muss ich für Flächen und Körper kennen?

Alle Formeln stehen in der Formelsammlung, die ebenen Figuren in Kapitel 6 (Seiten 5 und 6), die Körper in Kapitel 7 (Seite 6). Der Kommentar zu Deskriptor 2.5 in Teil A nennt Dreiecke, Vierecke, Kreis, Würfel, Quader, gerade Prismen und Pyramiden, Drehzylinder, Drehkegel und Kugel. Wichtig ist, dass du die passende Formel auswählst und im Sachzusammenhang einsetzt.

Wie rechne ich Kubikmeter in Liter um?

Ein Kubikdezimeter fasst genau einen Liter, und ein Kubikmeter hat 1 000 Kubikdezimeter. Also sind 1 m³ gleich 1 000 Liter und 1 cm³ gleich 1 Milliliter. Am einfachsten rechnest du alle Längen schon in Dezimetern, dann ist das Volumen direkt in Litern.

Wie berechne ich die Oberfläche eines Zylinders?

Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel. Der Mantel ist, aufgerollt, ein Rechteck mit der Höhe $h$ und der Breite $2 \cdot \pi \cdot r$. Daher gilt $O = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$. Zeichne die Teile auf, damit du keinen vergisst.

Wie ändern sich Fläche und Volumen, wenn ich alle Längen vergrößere?

Vergrößerst du alle Längen eines Körpers mit demselben Faktor $k$, wächst jede Fläche mit $k^2$ und das Volumen mit $k^3$. Bei dreifachen Längen wird die Oberfläche also 9-mal und das Volumen 27-mal so groß. Das ist die Ähnlichkeit, die der Kommentar zu Deskriptor 2.5 in Teil A nennt.

Wie gehe ich bei einem teilweise gefüllten Körper vor?

Berechne zuerst das Volumen des ganzen Körpers und multipliziere es mit dem Anteil, zum Beispiel mit $0{,}75$, wenn er zu drei Vierteln gefüllt ist. Bei Prisma und Zylinder ist das dasselbe wie das Volumen bis zur Füllhöhe. Beim Kegel ist es das nicht: Ist er bis zur halben Höhe gefüllt, enthält er nicht die Hälfte seines Volumens. Lies die Angabe daher genau, ob sich der Anteil auf die Höhe oder auf das Volumen bezieht.

Kommt im Cluster P der Flächeninhalt eines Dreiecks mit Winkel vor?

Ja, im Teil-B-Katalog des Clusters P (BAfEP, BASOP, BRP) nennt der Kommentar zu B_P_2.2 den Flächeninhalt neben Sinussatz und Cosinussatz. Das Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnest du mit $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (Cluster P)

Flächen und Körper: Flächeninhalt, Volumen und Oberfläche berechnen

Wie viel Wasser fasst ein Pool, wie viel Blech braucht eine Dose, wie groß ist ein Beet? Solche Fragen beantwortest du mit den Formeln der Geometrie. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, welche Flächen und Körper der Kompetenzkatalog Teil A nennt, wie du Flächeninhalt, Volumen und Oberfläche berechnest, Einheiten umrechnest und Formeln nach einer Größe umformst.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B: in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024; Angewandte Mathematik, Teil A: in 5 der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B
- Kommentar B_P_2.2Sinussatz, Cosinussatz, Flächeninhalt
Gefragt in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Wintertermin 2026: Aufgaben 8c1, 8c2; Herbsttermin 2025: Aufgabe 9a3; Haupttermin 2025: Aufgabe 8c2; Wintertermin 2025: Aufgabe 8a3; Herbsttermin 2024: Aufgabe 8a2; Haupttermin 2024: Aufgabe 8c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 2.5Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen und im Kontext interpretieren und begründen
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgaben 3b2, 6b2; Wintertermin 2026: Aufgaben 2a1, 4a1, 4b1, 6a2, 6a3; Haupttermin 2025: Aufgabe 6a1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 2a2, 4b1; Haupttermin 2024: Aufgabe 4b1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Die wichtigsten Flächen: Dreieck $A = \frac{g \cdot h}{2}$ , Rechteck $A = a \cdot b$ , Parallelogramm $A = a \cdot h_a$ , Trapez $A ={}$ $\frac{(a + c) \cdot h}{2}$ und Kreis $A = \pi \cdot r^2$ mit dem Umfang $u ={}$ $2 \cdot \pi \cdot r$ . Sie stehen in der Formelsammlung (Kapitel 6, Seiten 5 und 6).
Für einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ gilt $A ={}$ $\pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$ , für die Länge des Kreisbogens $b ={}$ $\pi \cdot r \cdot \frac{\alpha}{180^\circ}$ . Im rechtwinkeligen Dreieck verbindet der Satz des Pythagoras $a^2 + b^2 = c^2$ die Seiten.
Beim geraden Prisma ist $V = G \cdot h$ und die Oberfläche $O = 2 \cdot G + M$ (Grundflächen plus Mantel). Der Drehzylinder ist ein Prisma mit Kreis als Grundfläche: $V ={}$ $\pi \cdot r^2 \cdot h$ und $O ={}$ $2 \cdot \pi \cdot r^2 +{}$ $2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$ .
Pyramide und Drehkegel haben ein Drittel des Volumens des Körpers mit gleicher Grundfläche und Höhe: $V = \frac{G \cdot h}{3}$ bzw. $V ={}$ $\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$ . Beim Kegel ist die Mantellinie $s = \sqrt{h^2 + r^2}$ und die Mantelfläche $M ={}$ $\pi \cdot r \cdot s$ .
Für die Kugel stehen in der Formelsammlung (Kapitel 7, Seite 6) $V ={}$ $\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ und $O ={}$ $4 \cdot \pi \cdot r^2$ . Quader und Würfel haben $V = a \cdot b \cdot c$ bzw. $V = a^3$ .
Achte auf die Einheiten: Flächen in m², cm², Volumen in m³, cm³. Es gilt 1 dm³ = 1 Liter und 1 m³ = 1 000 Liter. Rechnest du alle Längen in derselben Einheit, kommt das Ergebnis in der passenden Einheit heraus.
Zusammengesetzte Flächen und Körper zerlegst du in Teile oder ziehst ein Teil ab, etwa ein Loch oder einen Hohlraum. Im Teil-B-Katalog des Clusters P steht außerdem der Flächeninhalt über Seiten und Winkel, $A ={}$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ .

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Figur oder Körper erkennen
Lies die Angabe und bestimme, welche Form gemeint ist: Prisma, Zylinder, Kegel, Pyramide, Kugel oder eine ebene Figur. Eine Skizze mit den gegebenen Maßen hilft.
2.Einheiten vereinheitlichen
Rechne alle Längen in eine Einheit um, bevor du einsetzt. Prüfe, ob ein Durchmesser gegeben ist, und halbiere ihn für den Radius.
3.Formel wählen und einsetzen
Suche die Formel zur Form in der Formelsammlung. Fehlt eine Größe, etwa die Mantellinie, berechnest du sie vorher mit dem Satz des Pythagoras.
4.Rechnen und Anteile beachten
Setze die Zahlen ein und rechne mit deiner Technologie. Ist ein Körper nur zum Teil gefüllt oder fehlt ein Teil, rechnest du mit dem Anteil bzw. ziehst den Teil ab.
5.Ergebnis mit Einheit angeben
Schreibe das Ergebnis mit Einheit und sinnvoller Rundung an und prüfe, ob die Größenordnung zum Sachzusammenhang passt.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Volumen und Oberfläche einer Dose
Eine Getränkedose hat die Form eines Drehzylinders mit dem Durchmesser 8,4 cm und der Höhe 11,5 cm. Berechne das Volumen und die Oberfläche.
2.Ein Sandhaufen als Kegel
Ein Sandhaufen hat die Form eines Drehkegels mit dem Radius 1,5 m und der Höhe 0,9 m. Berechne sein Volumen in Litern und die Größe der Mantelfläche.
3.Ein Beet in Form eines Kreissektors
Ein Beet hat die Form eines Kreissektors mit dem Radius 6,5 m und dem Mittelpunktswinkel 75°. Berechne den Flächeninhalt und die Länge des Randbogens.
4.Eine Platte mit Loch
Eine rechteckige Metallplatte mit den Seiten 120 cm und 80 cm hat in der Mitte ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 cm. Berechne den Flächeninhalt der Platte in m².

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaBHS Teil A

Swimmingpools (Aufgabe 6, Teil a)

Lauras Pool hat die Form eines Drehzylinders. Dieser Pool hat einen Innendurchmesser von 4 m und eine Höhe von 130 cm. Er ist zu 90 % mit Wasser befüllt.

Aufgabe 6, Teilaufgabe a1

Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Lauras Pool in Litern.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BHS), Teil A (alle Cluster), Haupttermin 2024/25 (8. Mai 2025), Aufgabe 6, Teilaufgabe a1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

ZentralmaturaBHS Teil A

Island (Aufgabe 6, Teil a)

Am Strand von Dritvík findet man sogenannte Kraftsteine. Sie wurden zum Kräftemessen verwendet und hatten besondere Namen.

Name des Kraftsteins	Brauchbarer	Halbstarker	Ganzstarker
Masse	54 kg	100 kg	154 kg

Wollte man sich früher um einen Platz als Fischer auf einem Boot bewerben, so musste man zumindest den Kraftstein Brauchbarer um etwa 80 cm anheben können. Die dabei verrichtete Arbeit kann mit der nachstehenden Formel berechnet werden.

W = m \cdot g \cdot h

mit

g = 9{,}81

m/s²

W

... verrichtete Arbeit in Joule (J)

m

... Masse des Kraftsteins in kg

h

... Höhe, um die der Kraftstein angehoben wird, in m Der Kraftstein Brauchbarer wird um 80 cm angehoben.

Aufgabe 6, Teilaufgabe a2

Die Kraftsteine werden modellhaft als kugelförmig angenommen und haben alle die gleiche Dichte

\varrho

. Stellen Sie mithilfe von

m

und

\varrho

eine Formel zur Berechnung des Radius

r

eines Kraftsteins auf.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BHS), Teil A (alle Cluster), Wintertermin 2024/25 (13. Jänner 2026), Aufgabe 6, Teilaufgabe a2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, lautet Deskriptor 2.5: „Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen und im Kontext interpretieren und begründen“. Der Kommentar setzt die Inhalte der elementaren Geometrie voraus: Ähnlichkeit, Satz des Pythagoras, Dreiecke, Vierecke, Kreis, Würfel, Quader, gerade Prismen, gerade Pyramiden, Drehzylinder, Drehkegel und Kugel; dazu Längen, Flächen- und Rauminhalte in anwendungsbezogenen Problemen. Die Formeln dazu stehen in der Formelsammlung, du musst sie aber auswählen, einsetzen und im Kontext deuten können. In Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

Cluster P

Aufgabe 1.

Von einem Drehkegel sind der Radius

r

und die Mantellinie

s

bekannt, die Höhe nicht. Welcher Ausdruck gibt sein Volumen an?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 2.

Bei einem Würfel wird die Kantenlänge verdoppelt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 3.

Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm. Das Prisma ist 15 cm hoch. Berechne das Volumen in cm³.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Cluster P

Aufgabe 4.

Ein Kreisbogen gehört zu einem Kreis mit dem Radius 12 cm und hat den Mittelpunktswinkel 50°. Berechne die Länge des Bogens in cm. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Durchmesser und Radius verwechseln. In Formeln steht der Radius; ist der Durchmesser gegeben, musst du ihn halbieren. Mit dem Durchmesser statt dem Radius wird ein Flächeninhalt oder ein Volumen gleich um ein Vielfaches zu groß.
Mit gemischten Einheiten rechnen. Wenn eine Länge in m und eine in cm gegeben ist, rechne vorher alles in dieselbe Einheit um. Ein Volumen in dm³ ist direkt die Anzahl der Liter.
Höhe und Mantellinie beim Kegel verwechseln. Das Volumen braucht die Höhe $h$ , die Mantelfläche die Mantellinie $s$ . Die Mantellinie berechnest du aus $h$ und $r$ mit dem Satz des Pythagoras.
Den Faktor $\frac{1}{3}$ bei Pyramide und Kegel vergessen. Ohne ihn berechnest du das Volumen des Prismas bzw. Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Zu früh runden. Rechne mit $\pi$ aus deiner Technologie und nicht mit $3{,}14$ ; die Rundung kommt zuletzt.

Merk dir

Prisma und Zylinder: $V = G \cdot h$ . Pyramide und Kegel: $V = \frac{G \cdot h}{3}$ .
Kreis: $A = \pi \cdot r^2$ , $u ={}$ $2 \cdot \pi \cdot r$ . Sektor: Anteil $\frac{\alpha}{360^\circ}$ davon.
Kegel: $s = \sqrt{h^2 + r^2}$ , $M ={}$ $\pi \cdot r \cdot s$ .
1 dm³ = 1 Liter, 1 m³ = 1 000 Liter.
Radius ist der halbe Durchmesser.

Häufige Fragen

1.Welche Formeln muss ich für Flächen und Körper kennen?+
Antwort:Alle Formeln stehen in der Formelsammlung, die ebenen Figuren in Kapitel 6 (Seiten 5 und 6), die Körper in Kapitel 7 (Seite 6). Der Kommentar zu Deskriptor 2.5 in Teil A nennt Dreiecke, Vierecke, Kreis, Würfel, Quader, gerade Prismen und Pyramiden, Drehzylinder, Drehkegel und Kugel. Wichtig ist, dass du die passende Formel auswählst und im Sachzusammenhang einsetzt.
2.Wie rechne ich Kubikmeter in Liter um?+
Antwort:Ein Kubikdezimeter fasst genau einen Liter, und ein Kubikmeter hat 1 000 Kubikdezimeter. Also sind 1 m³ gleich 1 000 Liter und 1 cm³ gleich 1 Milliliter. Am einfachsten rechnest du alle Längen schon in Dezimetern, dann ist das Volumen direkt in Litern.
3.Wie berechne ich die Oberfläche eines Zylinders?+
Antwort:Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel. Der Mantel ist, aufgerollt, ein Rechteck mit der Höhe $h$ und der Breite $2 \cdot \pi \cdot r$ . Daher gilt $O ={}$ $2 \cdot \pi \cdot r^2 +{}$ $2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$ . Zeichne die Teile auf, damit du keinen vergisst.
4.Wie ändern sich Fläche und Volumen, wenn ich alle Längen vergrößere?+
Antwort:Vergrößerst du alle Längen eines Körpers mit demselben Faktor $k$ , wächst jede Fläche mit $k^2$ und das Volumen mit $k^3$ . Bei dreifachen Längen wird die Oberfläche also 9-mal und das Volumen 27-mal so groß. Das ist die Ähnlichkeit, die der Kommentar zu Deskriptor 2.5 in Teil A nennt.
5.Wie gehe ich bei einem teilweise gefüllten Körper vor?+
Antwort:Berechne zuerst das Volumen des ganzen Körpers und multipliziere es mit dem Anteil, zum Beispiel mit $0{,}75$ , wenn er zu drei Vierteln gefüllt ist. Bei Prisma und Zylinder ist das dasselbe wie das Volumen bis zur Füllhöhe. Beim Kegel ist es das nicht: Ist er bis zur halben Höhe gefüllt, enthält er nicht die Hälfte seines Volumens. Lies die Angabe daher genau, ob sich der Anteil auf die Höhe oder auf das Volumen bezieht.
6.Kommt im Cluster P der Flächeninhalt eines Dreiecks mit Winkel vor?+
Antwort:Ja, im Teil-B-Katalog des Clusters P (BAfEP, BASOP, BRP) nennt der Kommentar zu B_P_2.2 den Flächeninhalt neben Sinussatz und Cosinussatz. Das Dreieck mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnest du mit $A ={}$ $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$ .

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (Cluster P)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Flächen und Körper: Flächeninhalt, Volumen und Oberfläche berechnen

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Figur oder Körper erkennen

2.Einheiten vereinheitlichen

3.Formel wählen und einsetzen

4.Rechnen und Anteile beachten

5.Ergebnis mit Einheit angeben

Beispiele

1.Volumen und Oberfläche einer Dose

2.Ein Sandhaufen als Kegel

3.Ein Beet in Form eines Kreissektors

4.Eine Platte mit Loch

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Teste dich selbst

Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen