Wie erkenne ich, welche Seite die Gegenkathete ist?

Stell dich gedanklich in die Ecke des Winkels $\alpha$. Die Seite, die du dort nicht berührst und die dem Winkel gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Die Kathete, die an dem Winkel anliegt, ist die Ankathete. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die längste Seite und ändert sich nie.

Warum zeigt mein Taschenrechner bei sin(30) nicht 0,5?

Dann ist er auf Bogenmaß (RAD) eingestellt. Für Winkel in Grad musst du auf Gradmaß (DEG) umstellen. Prüfe das mit einem bekannten Wert: Im Gradmaß ist der Sinus von 30° genau $0{,}5$. Winkel in Grad erkennst du am Gradzeichen °, Winkel im Bogenmaß an der Angabe in $\pi$ oder rad.

Wie berechne ich einen Winkel, wenn zwei Seiten bekannt sind?

Wähle das Verhältnis, das zu den beiden bekannten Seiten passt, und wende darauf die Umkehrfunktion an. Sind Gegenkathete und Hypotenuse bekannt, rechnest du $\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$. Bei Gegenkathete und Ankathete ist es der Arkustangens. Das Ergebnis liegt für ein rechtwinkeliges Dreieck zwischen 0° und 90°.

Brauche ich den Sinussatz und den Cosinussatz für die Mathe-Matura?

Der Grundkompetenzenkatalog der AHS hält zu den Aufgaben der Trigonometrie fest, dass der Sinussatz und der Cosinussatz dabei nicht benötigt werden. In Teil B der HTL 1, der HTL 2 und des Clusters P steht die Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks dagegen im Katalog. Wie du dort rechnest, zeigt die Seite zum Sinussatz und Cosinussatz.

Was ist der Unterschied zwischen Höhenwinkel und Steigungswinkel?

Der Höhenwinkel wird vom Beobachter aus gegen die Waagrechte nach oben gemessen, wenn er ein Ziel anpeilt. Der Steigungswinkel beschreibt, wie stark eine Gerade, eine Straße oder ein Hang gegen die Waagrechte ansteigt. Mathematisch ist beides ein Winkel zwischen einer Geraden und der Waagrechten; es ändert sich nur, was du dir darunter vorstellst. Der Tangens des Steigungswinkels ist die Steigung.

Wie funktioniert der Einheitskreis bei Winkeln über 90°?

Du trägst den Winkel von der positiven $x$-Achse gegen den Uhrzeigersinn ab. Der zweite Schenkel schneidet den Einheitskreis in einem Punkt, dessen Koordinaten $\cos(\alpha)$ und $\sin(\alpha)$ sind. Im zweiten Quadranten ist daher der Sinus positiv und der Cosinus negativ. Mit dem Einheitskreis begründest du auch, warum sich der Wert einer Winkelfunktion nach einem vollen Umlauf von 360° wiederholt.

Steht die Beziehung sin²+cos²=1 in der Formelsammlung?

Ja, das Kapitel Trigonometrie der Formelsammlung (Kapitel 8, Seite 7) druckt bei der Trigonometrie im Einheitskreis sowohl $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ als auch $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Du musst sie also nicht auswendig wissen, aber du solltest sie anwenden können, etwa um aus einem Sinuswert den Cosinuswert desselben spitzen Winkels zu bestimmen.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Trigonometrie: Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis

Mit Sinus, Cosinus und Tangens berechnest du Seiten und Winkel, wenn sonst nur wenig bekannt ist: die Höhe eines Turms, die Neigung einer Rampe, die Länge eines Seils. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du die Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck aufstellst, Winkel über 90° im Einheitskreis deutest und typische Fehler mit dem Taschenrechner vermeidest.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- AG 4.1Definitionen von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
- AG 4.2Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgaben 6, 26a1, 27b1; Haupttermin 2025: Aufgaben 6, 25c1, 27a1; Haupttermin 2024: Aufgaben 6, 25b1; Haupttermin 2023: Aufgaben 6, 26a1; Haupttermin 2022: Aufgaben 5, 6
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 2.12Sinus, Cosinus und Tangens von Winkeln zwischen 0° und 90° als Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck verstehen und anwenden
- Deskriptor 3.10Graphen von $f(x) = \sin(x)$ , $f(x) = \cos(x)$ und $f(x) = \tan(x)$ mit Winkeln im Bogenmaß skizzieren und die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und damit argumentieren; den Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaß verstehen und anwenden; die Zusammenhänge im Einheitskreis verstehen und anwenden
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 6a1, 6a2; Haupttermin 2026: Aufgabe 4a1; Wintertermin 2026: Aufgaben 2a1, 4b2; Herbsttermin 2025: Aufgabe 4c1; Haupttermin 2025: Aufgaben 2c1, 2c2, 6b1; Wintertermin 2025: Aufgaben 3a1, 3a2, 4c1, 4c2; Herbsttermin 2024: Aufgabe 2a1; Haupttermin 2024: Aufgaben 2a1, 2a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel $\alpha$ : $\sin(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ . Gegenkathete und Ankathete hängen vom Winkel ab, den du gerade betrachtest.
Zwischen den drei Werten bestehen feste Beziehungen: $\tan(\alpha) ={}$ $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ für $\cos(\alpha) \neq 0$ und $\sin^2(\alpha) +{}$ $\cos^2(\alpha) ={}$ $1$ . Aus einem der beiden Werte $\sin(\alpha)$ oder $\cos(\alpha)$ erhältst du damit den anderen.
Im Einheitskreis (Radius 1, Mittelpunkt im Ursprung) gehört zu jedem Winkel $\alpha$ ein Punkt $P ={}$ $(\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))$ . So sind Sinus und Cosinus auch für Winkel größer als 90° erklärt; das Vorzeichen folgt aus dem Quadranten, in dem $P$ liegt.
Willst du einen Winkel aus Seiten berechnen, verwendest du die Umkehrfunktionen: $\alpha = \arcsin(\ldots)$ , $\alpha = \arccos(\ldots)$ oder $\alpha = \arctan(\ldots)$ . Deine Technologie muss dafür auf das Gradmaß eingestellt sein.
Zwischen Gradmaß und Bogenmaß gilt $\alpha_{\text{rad}} ={}$ $\alpha_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$ ; 180° entsprechen $\pi$ .
Für die AHS beschränkt der Grundkompetenzenkatalog die Kontexte der Trigonometrie auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum; komplexe Vermessungsaufgaben sind nicht gemeint, und der Sinussatz und der Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Skizze zeichnen und Winkel markieren
Zeichne das rechtwinkelige Dreieck, markiere den rechten Winkel und den Winkel $\alpha$ , um den es geht, und trage alle bekannten Größen ein. Beschrifte dann die Seiten vom Winkel $\alpha$ aus: Hypotenuse, Gegenkathete, Ankathete.
2.Das passende Verhältnis wählen
Überlege, welche zwei Seiten (oder Seite und Winkel) bekannt sind und welche gesucht ist. Kommen Gegenkathete und Hypotenuse vor, nimmst du den Sinus; Ankathete und Hypotenuse den Cosinus; Gegenkathete und Ankathete den Tangens.
3.Gleichung aufstellen und umformen
Schreibe das Verhältnis als Gleichung an, zum Beispiel $\sin(\alpha) ={}$ $\frac{a}{c}$ , und forme nach der gesuchten Größe um. Ist ein Winkel gesucht, wendest du die Umkehrfunktion an.
4.Rechnen und Gradmaß kontrollieren
Setze die Zahlen ein und rechne mit deiner Technologie. Prüfe vorher, dass sie auf Grad eingestellt ist, und runde erst am Ende.
5.Ergebnis prüfen und deuten
Die Hypotenuse ist die längste Seite, und ein spitzer Winkel liegt zwischen 0° und 90°. Gib das Ergebnis mit Einheit an und sag, was es im Sachzusammenhang bedeutet.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Eine Leiter an der Wand
Eine Leiter der Länge 5,2 m lehnt unter einem Winkel von 70° gegen den waagrechten Boden an einer Hauswand. Berechne, in welcher Höhe sie die Wand berührt und wie weit ihr Fußpunkt von der Wand entfernt ist.
2.Neigung einer Rampe
Eine Rampe überwindet einen Höhenunterschied von 1,2 m auf einer waagrechten Länge von 9 m. Berechne ihren Neigungswinkel, die Steigung in Prozent und die Länge der Rampe.
3.Die Höhe eines Baums
Du stehst 25 m vom Fußpunkt eines Baums entfernt und siehst seine Spitze unter einem Höhenwinkel von 38°. Deine Augen befinden sich 1,6 m über dem Boden. Wie hoch ist der Baum?
4.Aus dem Sinus die anderen Werte bestimmen
Für einen spitzen Winkel $\alpha$ gilt $\sin(\alpha) ={}$ $0{,}6$ . Bestimme $\cos(\alpha)$ , $\tan(\alpha)$ und den Winkel $\alpha$ .

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 5

Dreiecke Die nachstehende Abbildung zeigt zwei rechtwinkelige Dreiecke. Die beiden Dreiecke haben die Seite

y

gemeinsam.

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Seitenlänge

x

auf. Verwenden Sie dabei die Winkel

\alpha

und

\beta

und die Seitenlänge

z

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 5 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaAHS

Aufgabe 25 (Teil 2): Eier und Hühner — Teilaufgabe b)

Ein bestimmter Stall für Hühner hat in der Ansicht von vorne modellhaft die Form eines gleichschenkeligen Dreiecks (siehe nachstehende nicht maßstabgetreue Abbildung).

Gleichschenkeliges Dreieck ABC mit der waagrechten Basis AB der Länge c und der Spitze C oben. Die beiden Schenkel AC und BC haben jeweils die Länge x, die Basiswinkel bei A und B sind jeweils α. Die Höhe h steht von C aus normal auf die Basis. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Es gilt:

x = 1{,}2

\alpha = 60^\circ

Aufgabe 25, Teilaufgabe b1.

Ermitteln Sie

h

und

c

h =

c =

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 25, Teilaufgabe b1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, nennt der Kompetenzkatalog zwei Deskriptoren. Nach Deskriptor 2.12 sollst du Sinus, Cosinus und Tangens von Winkeln zwischen 0° und 90° als Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck verstehen und anwenden. Deskriptor 3.10 verlangt die Graphen von Sinus, Cosinus und Tangens mit Winkeln im Bogenmaß, den Zusammenhang zwischen Grad- und Bogenmaß und die Zusammenhänge im Einheitskreis. Der Begriffekatalog führt dazu Höhenwinkel, Tiefenwinkel, Sehwinkel, Neigungswinkel, Steigungswinkel und Horizontalwinkel an. Die Formelsammlung (Kapitel 8, Seite 7) druckt die Seitenverhältnisse, den Einheitskreis und die beiden Beziehungen aus den Merkpunkten oben. In Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz: Schreib das Verhältnis auf, bevor du deine Technologie verwendest.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Aufgabe 1.

In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Hypotenuse 13 cm lang. Die Kathete

a = 5

cm liegt dem Winkel

\alpha

gegenüber. Welcher Ausdruck gibt den Winkel

\alpha

an?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 2.

Betrachte im Einheitskreis den Winkel

\alpha = 240^\circ

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 3.

Du stehst 30 m vom Fußpunkt eines Turms entfernt, seine Spitze erscheint unter dem Höhenwinkel 52° (Augenhöhe bleibt unberücksichtigt). Berechne die Höhe des Turms in Metern. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 4.

Eine Seilbahn steigt unter einem Steigungswinkel von 28° gleichmäßig an und überwindet dabei 420 m Höhenunterschied. Wie lang ist das Seil in Metern? Runde auf ganze Meter.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Die Technologie steht auf Bogenmaß. Dann liefert $\sin(30)$ nicht $0{,}5$ und jedes Ergebnis ist falsch. Kontrolliere die Einstellung, bevor du rechnest, am besten mit einem Winkel, dessen Wert du kennst.
Gegenkathete und Ankathete verwechseln. Beide hängen vom Winkel ab: Dieselbe Seite ist für den einen spitzen Winkel die Gegenkathete und für den anderen die Ankathete. Markiere zuerst den Winkel, dann beschrifte die Seiten.
$\sin^{-1}$ mit $\frac{1}{\sin(\alpha)}$ verwechseln. Die Taste $\sin^{-1}$ ist die Umkehrfunktion $\arcsin$ und liefert einen Winkel; der Kehrwert $\frac{1}{\sin(\alpha)}$ ist eine Zahl.
Ein Seitenverhältnis als Winkel hinschreiben. Aus $\tan(\alpha) ={}$ $0{,}75$ folgt nicht $\alpha = 0{,}75$ , sondern $\alpha = \arctan(0{,}75)$ , und das ist ein Winkel in Grad.
Zu früh runden. Wenn du einen Zwischenwert auf zwei Stellen rundest und damit weiterrechnest, wird das Endergebnis ungenau. Rechne mit dem vollen Wert deiner Technologie und runde zuletzt.

Merk dir

$\sin(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\tan(\alpha) ={}$ $\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ .
$\tan(\alpha) ={}$ $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ und $\sin^2(\alpha) +{}$ $\cos^2(\alpha) ={}$ $1$ .
Im Einheitskreis ist $P ={}$ $(\cos(\alpha) \mid \sin(\alpha))$ .
Winkel gesucht: Umkehrfunktion, Technologie auf Grad.
Zuerst den Winkel markieren, dann die Seiten beschriften.

Häufige Fragen

1.Wie erkenne ich, welche Seite die Gegenkathete ist?+
Antwort:Stell dich gedanklich in die Ecke des Winkels $\alpha$ . Die Seite, die du dort nicht berührst und die dem Winkel gegenüberliegt, ist die Gegenkathete. Die Kathete, die an dem Winkel anliegt, ist die Ankathete. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber, sie ist die längste Seite und ändert sich nie.
2.Warum zeigt mein Taschenrechner bei sin(30) nicht 0,5?+
Antwort:Dann ist er auf Bogenmaß (RAD) eingestellt. Für Winkel in Grad musst du auf Gradmaß (DEG) umstellen. Prüfe das mit einem bekannten Wert: Im Gradmaß ist der Sinus von 30° genau $0{,}5$ . Winkel in Grad erkennst du am Gradzeichen °, Winkel im Bogenmaß an der Angabe in $\pi$ oder rad.
3.Wie berechne ich einen Winkel, wenn zwei Seiten bekannt sind?+
Antwort:Wähle das Verhältnis, das zu den beiden bekannten Seiten passt, und wende darauf die Umkehrfunktion an. Sind Gegenkathete und Hypotenuse bekannt, rechnest du $\alpha = \arcsin\left(\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\right)$ . Bei Gegenkathete und Ankathete ist es der Arkustangens. Das Ergebnis liegt für ein rechtwinkeliges Dreieck zwischen 0° und 90°.
4.Brauche ich den Sinussatz und den Cosinussatz für die Mathe-Matura?+
Antwort:Der Grundkompetenzenkatalog der AHS hält zu den Aufgaben der Trigonometrie fest, dass der Sinussatz und der Cosinussatz dabei nicht benötigt werden. In Teil B der HTL 1, der HTL 2 und des Clusters P steht die Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks dagegen im Katalog. Wie du dort rechnest, zeigt die Seite zum Sinussatz und Cosinussatz.
5.Was ist der Unterschied zwischen Höhenwinkel und Steigungswinkel?+
Antwort:Der Höhenwinkel wird vom Beobachter aus gegen die Waagrechte nach oben gemessen, wenn er ein Ziel anpeilt. Der Steigungswinkel beschreibt, wie stark eine Gerade, eine Straße oder ein Hang gegen die Waagrechte ansteigt. Mathematisch ist beides ein Winkel zwischen einer Geraden und der Waagrechten; es ändert sich nur, was du dir darunter vorstellst. Der Tangens des Steigungswinkels ist die Steigung.
6.Wie funktioniert der Einheitskreis bei Winkeln über 90°?+
Antwort:Du trägst den Winkel von der positiven $x$ -Achse gegen den Uhrzeigersinn ab. Der zweite Schenkel schneidet den Einheitskreis in einem Punkt, dessen Koordinaten $\cos(\alpha)$ und $\sin(\alpha)$ sind. Im zweiten Quadranten ist daher der Sinus positiv und der Cosinus negativ. Mit dem Einheitskreis begründest du auch, warum sich der Wert einer Winkelfunktion nach einem vollen Umlauf von 360° wiederholt.
7.Steht die Beziehung sin²+cos²=1 in der Formelsammlung?+
Antwort:Ja, das Kapitel Trigonometrie der Formelsammlung (Kapitel 8, Seite 7) druckt bei der Trigonometrie im Einheitskreis sowohl $\sin^2(\alpha) +{}$ $\cos^2(\alpha) ={}$ $1$ als auch $\tan(\alpha) ={}$ $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ . Du musst sie also nicht auswendig wissen, aber du solltest sie anwenden können, etwa um aus einem Sinuswert den Cosinuswert desselben spitzen Winkels zu bestimmen.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Trigonometrie: Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Skizze zeichnen und Winkel markieren

2.Das passende Verhältnis wählen

3.Gleichung aufstellen und umformen

4.Rechnen und Gradmaß kontrollieren

5.Ergebnis prüfen und deuten

Beispiele

1.Eine Leiter an der Wand

2.Neigung einer Rampe

3.Die Höhe eines Baums

4.Aus dem Sinus die anderen Werte bestimmen

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

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Typische Fehler

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Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen