Kleksa

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (BHS, BRP)

Formelsammlung für die Angewandte Mathematik (BHS): was drinsteht und was du auswendig wissen musst

In der Klausur in Angewandter Mathematik darfst du die Formelsammlung des BMB verwenden. Sie ist ein Heft für AHS, BHS und BRP, und jeder Cluster braucht andere Kapitel. Diese Seite zeigt dir, welche Kapitel in Teil A und in den Clustern HAK, HUM, HTL 1, HTL 2 und P gebraucht werden, was die Formeln bedeuten, wann eine Aufgabe sie verlangt und was du wissen musst, weil es nicht im Heft steht.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

Die Formelsammlung

ein Heft für alle

Die Formelsammlung des BMB ist ein Heft für alle: Mathematik (AHS), Angewandte Mathematik (BHS, alle Cluster) und die Berufsreifeprüfung. Gültig ist der Stand vom 1. Dezember 2022; das Heft hat 24 Kapitel.

Die Formelsammlung (PDF) auf matura.gv.at
Die Kapitel der Formelsammlung
KapitelSeiteGebraucht in
1. Mengen(deine Klausur)3AHS, BHS Teil A, Cluster P
2. Vorsilben(deine Klausur)3AHS, BHS Teil A, HTL 1, HTL 2
3. Potenzen(deine Klausur)3AHS, BHS Teil A
4. Logarithmen(deine Klausur)4AHS, BHS Teil A, HTL 1, HTL 2, Cluster P
5. Quadratische Gleichungen(deine Klausur)4AHS, BHS Teil A, HTL 2
6. Ebene Figuren(deine Klausur)5BHS Teil A, HTL 1, HTL 2, Cluster P
7. Körper(deine Klausur)6BHS Teil A
8. Trigonometrie(deine Klausur)7AHS, BHS Teil A, HTL 1, HTL 2, Cluster P
9. Komplexe Zahlen(deine Klausur)8HTL 2
10. Vektoren(deine Klausur)8AHS, HTL 1, HTL 2, Cluster P
11. Geraden(deine Klausur)9AHS, BHS Teil A, HTL 2
12. Matrizen(deine Klausur)10HAK, HTL 2
13. Folgen und Reihen(deine Klausur)11HAK, HUM, Cluster P
14. Änderungsmaße(deine Klausur)11AHS, BHS Teil A
15. Wachstums- und Abnahmeprozesse(deine Klausur)12AHS, BHS Teil A, HAK, HUM, HTL 1, HTL 2
16. Ableitung und Integral(deine Klausur)13AHS, BHS Teil A, HAK, HUM, HTL 1, HTL 2
17. Differenzialgleichungen 1. Ordnung(deine Klausur)14HTL 2
18. Statistik(deine Klausur)15AHS, BHS Teil A, HAK, HTL 1, HTL 2
19. Wahrscheinlichkeit(deine Klausur)16AHS, BHS Teil A, HAK, HUM, HTL 1, HTL 2, Cluster P
20. Lineare Regression(deine Klausur)18HAK, HUM, HTL 1, HTL 2, Cluster P
21. Finanzmathematik(deine Klausur)19BHS Teil A, HAK, HUM
22. Investitionsrechnung(deine Klausur)20HAK
23. Kosten- und Preistheorie(deine Klausur)21BHS Teil A, HAK, HUM, HTL 1, HTL 2
24. Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen(deine Klausur)22AHS, BHS Teil A, HTL 1, HTL 2

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung, CC BY 4.0

Was drinsteht

Kapitel für Kapitel

Kapitel 4: Logarithmen (S. 4)

Kapitel 4 (S. 4) definiert den Logarithmus: x=x ={}log⁡a(b)⇔ax= \log_a(b) \Leftrightarrow a^x ={}b b. Dazu stehen log⁡a(b⋅c)=\log_a(b \cdot c) ={}log⁡a(b)+log⁡a(c) \log_a(b) + \log_a(c), log⁡a(bc)=log⁡a(b)−log⁡a(c)\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c) und log⁡a(br)=\log_a(b^r) ={}r⋅log⁡a(b) r \cdot \log_a(b), außerdem ln⁡(b)=\ln(b) ={}log⁡e(b) \log_e(b) und lg⁡(b)=\lg(b) ={}log⁡10(b) \log_{10}(b). Teil A nennt die drei Rechengesetze im Kommentar zu Deskriptor 2.3 und verlangt in Deskriptor 2.10, Exponentialgleichungen vom Typ ak⋅x=ba^{k \cdot x} = b nach xx aufzulösen.
Beispiel: Aus 1,04x=31{,}04^x = 3 wird mit der dritten Regel x⋅ln⁡(1,04)=x \cdot \ln(1{,}04) ={}ln⁡(3) \ln(3), also x=x ={}ln⁡(3)ln⁡(1,04)≈28,01 \frac{\ln(3)}{\ln(1{,}04)} \approx 28{,}01.

Kapitel 6: Ebene Figuren (S. 5)

Kapitel 6 (S. 5 und 6) zeigt die ebenen Figuren mit Flächeninhalt AA und Umfang uu. Für das rechtwinkelige Dreieck stehen der Satz des Pythagoras a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 und hc2=p⋅qh_c^2 = p \cdot q, für das Trapez A=A ={}(a+c)⋅h2 \frac{(a + c) \cdot h}{2}, für den Kreis A=π⋅r2A = \pi \cdot r^2 und u=u ={}2⋅π⋅r 2 \cdot \pi \cdot r und für den Kreissektor mit α\alpha im Gradmaß A=A ={}π⋅r2⋅α360° \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}. Der Kommentar zu Deskriptor 2.5 in Teil A setzt diese Inhalte der elementaren Geometrie voraus.
Beispiel: Ein Kreissektor mit r=6r = 6 cm und α=50°\alpha = 50° hat den Flächeninhalt A=A ={}π⋅62⋅50360≈15,71 \pi \cdot 6^2 \cdot \frac{50}{360} \approx 15{,}71 cm².

Kapitel 8: Trigonometrie (S. 7)

Kapitel 8 (S. 7) enthält Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck, sin⁡2(α)+\sin^2(\alpha) +{}cos⁡2(α)= \cos^2(\alpha) ={}1 1 am Einheitskreis, die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß und die allgemeine Sinusfunktion y(t)=y(t) ={}A⋅sin⁡(ω⋅t+φ) A \cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi) mit T=T ={}2⋅πω \frac{2 \cdot \pi}{\omega} und t0=t_0 ={}−φω -\frac{\varphi}{\omega}. Teil A verlangt in Deskriptor 2.12 die Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck und in Deskriptor 3.10 die Graphen von Sinus, Cosinus und Tangens.
Sinussatz und Cosinussatz gehören zu den Katalogen von HTL 1, HTL 2 und Cluster P. Im Heft stehen sie auf derselben Seite: asin⁡(α)=\frac{a}{\sin(\alpha)} ={}bsin⁡(β)= \frac{b}{\sin(\beta)} ={}csin⁡(γ) \frac{c}{\sin(\gamma)} und c2=c^2 ={}a2+ a^2 +{}b2− b^2 -{}2⋅a⋅b⋅cos⁡(γ) 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma), dazu die trigonometrische Flächenformel A=A ={}12⋅a⋅b⋅sin⁡(γ) \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma). Beispiel: Mit a=7a = 7, b=9b = 9 und γ=40°\gamma = 40° ist c=c ={}130−126⋅cos⁡(40°)≈5,79 \sqrt{130 - 126 \cdot \cos(40°)} \approx 5{,}79.

Kapitel 9: Komplexe Zahlen (S. 8)

Kapitel 9 (S. 8) gehört zum Katalog der HTL 2. Es schreibt die komplexe Zahl in der Komponentenform z=z ={}a+b⋅j a + b \cdot \mathrm{j} mit j2=−1\mathrm{j}^2 = -1 (das Heft schreibt „j bzw. i“) und in der Polarform z=z ={}r⋅[cos⁡(φ)+j⋅sin⁡(φ)]= r \cdot [\cos(\varphi) + \mathrm{j} \cdot \sin(\varphi)] ={}r⋅ej⋅φ r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \varphi}. Die Umrechnungen sind a=a ={}r⋅cos⁡(φ) r \cdot \cos(\varphi), b=b ={}r⋅sin⁡(φ) r \cdot \sin(\varphi), r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2} und tan⁡(φ)=\tan(\varphi) ={}ba \frac{b}{a}.
Beispiel in der HTL 2: Für z=z ={}3+4⋅j 3 + 4 \cdot \mathrm{j} ist r=9+16=5r = \sqrt{9 + 16} = 5 und φ=53,13\varphi = 53{,}13°, weil zz im ersten Quadranten liegt. Bei a<0a < 0 musst du den Quadranten selbst beachten, denn tan⁡(φ)=\tan(\varphi) ={}ba \frac{b}{a} liefert ihn nicht.

Kapitel 10: Vektoren (S. 8)

Kapitel 10 (S. 8 und 9) behandelt Vektoren in R2\mathbb{R}^2 und Rn\mathbb{R}^n: den Pfeil PQ→\overrightarrow{PQ} als Differenz der Koordinaten, die Rechenregeln, das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}a1⋅b1+ a_1 \cdot b_1 +{}a2⋅b2 a_2 \cdot b_2, den Betrag ∣a⃗∣=|\vec{a}| ={}a12+a22 \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, den Normalvektor, das Orthogonalitätskriterium a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}0 0 und den Winkel mit cos⁡(φ)=\cos(\varphi) ={}a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣ \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}. Das Vektorprodukt im R3\mathbb{R}^3 steht auf Seite 9. Vektoren verlangen die Kataloge von HTL 1, HTL 2 und Cluster P.
Beispiel: Für a⃗=(25)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} und b⃗=(4−1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} ist a⃗⋅b⃗=\vec{a} \cdot \vec{b} ={}8−5= 8 - 5 ={}3 3. Mit ∣a⃗∣=29|\vec{a}| = \sqrt{29} und ∣b⃗∣=17|\vec{b}| = \sqrt{17} folgt cos⁡(φ)=\cos(\varphi) ={}329⋅17≈0,1351 \frac{3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{17}} \approx 0{,}1351, also φ≈82,23\varphi \approx 82{,}23°.

Kapitel 12: Matrizen (S. 10)

Kapitel 12 (S. 10) gehört zu den Katalogen von HAK und HTL 2: Addition, Multiplikation mit einer Zahl, die Matrizenmultiplikation C=A⋅BC = A \cdot B mit cij=c_{ij} ={}ai1⋅b1j+ a_{i1} \cdot b_{1j} +{}…+aip⋅bpj \ldots + a_{ip} \cdot b_{pj}, Einheitsmatrix, Transponierte und die inverse Matrix mit A⋅A−1=EA \cdot A^{-1} = E. Dazu stehen lineare Gleichungssysteme A⋅x⃗=A \cdot \vec{x} ={}b⃗ \vec{b} mit x⃗=\vec{x} ={}A−1⋅b⃗ A^{-1} \cdot \vec{b} und die Produktionsprozesse x⃗=\vec{x} ={}A⋅x⃗+n⃗ A \cdot \vec{x} + \vec{n} sowie x⃗=\vec{x} ={}(E−A)−1⋅n⃗ (E - A)^{-1} \cdot \vec{n}, die in der HAK zu den Gozinto-Graphen gehören.
Beispiel: Mit A=(0,40,20,20,4)A = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}4 \end{pmatrix} und n⃗=(4080)\vec{n} = \begin{pmatrix} 40 \\ 80 \end{pmatrix} ist E−A=(0,6−0,2−0,20,6)E - A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & -0{,}2 \\ -0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} und x⃗=(E−A)−1⋅n⃗=(125175)\vec{x} = (E - A)^{-1} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 125 \\ 175 \end{pmatrix}. Probe: 0,4⋅125=500{,}4 \cdot 125 = 50 und 0,2⋅175=350{,}2 \cdot 175 = 35, mit 40 ergibt das 125. Die inverse Matrix bestimmst du mit der Technologie.

Kapitel 13: Folgen und Reihen (S. 11)

Kapitel 13 (S. 11) bringt arithmetische und geometrische Folgen mit an=a_n ={}a1+(n−1)⋅d a_1 + (n - 1) \cdot d und bn=b_n ={}b1⋅qn−1 b_1 \cdot q^{n-1}, die endlichen Reihen sn=s_n ={}n2⋅(a1+an) \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) und sn=s_n ={}b1⋅qn−1q−1 b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} und die unendliche geometrische Reihe s=b11−qs = \frac{b_1}{1 - q} für ∣q∣<1|q| < 1. Folgen stehen im Katalog von Cluster P. Die geometrische Reihe ist die Grundlage der Rentenformeln in Teil B der HAK und der HUM.
Beispiel: Für die geometrische Folge mit b1=5b_1 = 5 und q=2q = 2 ist die Summe der ersten 8 Glieder s8=s_8 ={}5⋅28−12−1= 5 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} ={}1 275 1\,275.

Kapitel 15: Wachstums- und Abnahmeprozesse (S. 12)

Kapitel 15 (S. 12) beschreibt Wachstums- und Abnahmeprozesse mit dem Bestand N(t)N(t) und N0=N(0)N_0 = N(0). Linear: N(t)=N(t) ={}N0±k⋅t N_0 \pm k \cdot t. Exponentiell: N(t)=N(t) ={}N0⋅at N_0 \cdot a^t mit dem Änderungsfaktor aa oder N(t)=N(t) ={}N0⋅e±λ⋅t N_0 \cdot \mathrm{e}^{\pm \lambda \cdot t}. Beschränkt: N(t)=N(t) ={}S−b⋅at S - b \cdot a^t mit b=S−N0b = S - N_0 und dem Sättigungswert SS. Logistisch: N(t)=N(t) ={}S1+c⋅at \frac{S}{1 + c \cdot a^t} mit c=S−N0N0c = \frac{S - N_0}{N_0}. Teil A verlangt lineare Modelle und Exponentialfunktionen (Deskriptoren 3.2, 3.5 und 3.6), Teil B der HAK und der HUM dazu beschränkte und logistische Modelle (B_W_3.5).
Beispiel: Ein beschränktes Wachstum mit S=100S = 100, N0=20N_0 = 20 und a=0,8a = 0{,}8 hat b=80b = 80 und nach 3 Zeiteinheiten den Bestand N(3)=N(3) ={}100−80⋅0,83= 100 - 80 \cdot 0{,}8^3 ={}59,04 59{,}04.

Kapitel 16: Ableitung und Integral (S. 13)

Kapitel 16 (S. 13 und 14) listet die Ableitungen und Stammfunktionen der Grundfunktionen, etwa von xqx^q, ex\mathrm{e}^x, axa^x, ln⁡(x)\ln(x) und den Winkelfunktionen, die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, das bestimmte Integral ∫abf(x) dx=\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x ={}F(b)−F(a) F(b) - F(a) und die lineare Substitution. Auf Seite 14 steht auch das Volumen von Rotationskörpern Vx=V_x ={}π⋅∫aby2 dx \pi \cdot \int_a^b y^2 \, \mathrm{d}x und die Bogenlänge, die beide in den Katalogen der HTL 1 und der HTL 2 stehen.
Beispiel zur linearen Substitution: Mit F(u)=u44F(u) = \frac{u^4}{4} ist ∫01(2⋅x+1)3 dx=[(2⋅x+1)48]01\int_0^1 (2 \cdot x + 1)^3 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{(2 \cdot x + 1)^4}{8} \right]_0^1. Das ist 81−18=10\frac{81 - 1}{8} = 10.

Kapitel 17: Differenzialgleichungen 1. Ordnung (S. 14)

Kapitel 17 (S. 14) gehört zum Katalog der HTL 2 und behandelt Differenzialgleichungen 1. Ordnung: die mit trennbaren Variablen y′=y' ={}f(x)⋅g(y) f(x) \cdot g(y) und die lineare mit konstanten Koeffizienten y′+a⋅y=s(x)y' + a \cdot y = s(x) mit der Lösung y=yh+ypy = y_h + y_p. Dabei ist yhy_h die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, ypy_p eine partikuläre Lösung und ss die Störfunktion.
Beispiel in der HTL 2: Die Gleichung y′=0,5⋅yy' = 0{,}5 \cdot y hat die Lösungen y=y ={}C⋅e0,5⋅x C \cdot \mathrm{e}^{0{,}5 \cdot x}. Mit y(0)=4y(0) = 4 folgt C=4C = 4 und y(2)=y(2) ={}4⋅e≈10,87 4 \cdot \mathrm{e} \approx 10{,}87.

Kapitel 18: Statistik (S. 15)

Kapitel 18 (S. 15) gibt die Lagemaße (arithmetisches Mittel x‾\overline{x}, geometrisches Mittel, Median) und die Streuungsmaße: Spannweite, Quartilsabstand q3−q1q_3 - q_1, die Varianz s2=s^2 ={}1n⋅∑(xi−x‾)2 \frac{1}{n} \cdot \sum (x_i - \overline{x})^2 und die Varianz sn−12s_{n-1}^2 mit dem Faktor 1n−1\frac{1}{n - 1} für eine Stichprobe. Die Quartile erklärt das Heft mit „mindestens 25 %“, „mindestens 50 %“ und „mindestens 75 %“. Teil A legt im Kommentar zu Deskriptor 5.2 fest, dass beide Formeln für die Varianz als richtig gelten.
Beispiel: Für die Daten 4, 8, 6, 10, 12 ist x‾=8\overline{x} = 8 und ∑(xi−x‾)2=\sum (x_i - \overline{x})^2 ={}40 40. Also ist s2=8s^2 = 8 und s≈2,83s \approx 2{,}83, die Stichprobenvarianz ist sn−12=10s_{n-1}^2 = 10.

Kapitel 19: Wahrscheinlichkeit (S. 16)

Kapitel 19 (S. 16 bis 18) beginnt mit dem Binomialkoeffizienten, dem Laplace-Versuch, den Regeln für Gegenereignis, „und“, „oder“ und die bedingte Wahrscheinlichkeit. Für die Binomialverteilung steht P(X=k)=P(X = k) ={}(nk)⋅pk⋅(1−p)n−k \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} mit E(X)=n⋅pE(X) = n \cdot p. Beispiel: Für n=10n = 10 und p=0,3p = 0{,}3 ist P(X=2)=P(X = 2) ={}45⋅0,32⋅0,78≈0,2335 45 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^8 \approx 0{,}2335.
Für die Normalverteilung stehen die σ\sigma-Umgebungen mit 0,683, 0,954 und 0,997, die Standardisierung z=z ={}x−μσ \frac{x - \mu}{\sigma} und Φ(−z)=\Phi(-z) ={}1−Φ(z) 1 - \Phi(z). Teil A verlangt sie im Deskriptor 5.6. Beispiel: Für XX normalverteilt mit μ=100\mu = 100 und σ=15\sigma = 15 ist z=z ={}115−10015= \frac{115 - 100}{15} ={}1 1 und P(X≤115)=P(X \leq 115) ={}Φ(1)≈0,8413 \Phi(1) \approx 0{,}8413.
Das Konfidenzintervall gehört zu den Katalogen von HTL 1 und HTL 2: Für σ\sigma bekannt ist es [x‾−z⋅σn;x‾+z⋅σn]\left[ \overline{x} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \overline{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right], wobei das Heft z1−α2z_{1 - \frac{\alpha}{2}} für zz schreibt, und die Tabelle auf Seite 17 nennt z≈1,960z \approx 1{,}960 für 95 %. Beispiel: Mit x‾=50\overline{x} = 50, σ=6\sigma = 6 und n=36n = 36 ist das Intervall [48,04;51,96][48{,}04; 51{,}96].

Kapitel 20: Lineare Regression (S. 18)

Kapitel 20 (S. 18) gibt die lineare Regression: f(x)=k⋅x+df(x) = k \cdot x + d mit k=k ={}∑(xi−x‾)⋅(yi−y‾)∑(xi−x‾)2 \frac{\sum (x_i - \overline{x}) \cdot (y_i - \overline{y})}{\sum (x_i - \overline{x})^2} und d=d ={}y‾− \overline{y} -{}k⋅x‾ k \cdot \overline{x} sowie den Korrelationskoeffizienten rr nach Pearson. Die Kataloge von HAK, HUM, HTL 1, HTL 2 und P verlangen die Regression mittels Technologieeinsatz.
Beispiel: Mit x‾=6\overline{x} = 6, y‾=20\overline{y} = 20 und k=1,5k = 1{,}5 ist d=d ={}20−1,5⋅6= 20 - 1{,}5 \cdot 6 ={}11 11. Die Regressionsgerade f(x)=f(x) ={}1,5⋅x+11 1{,}5 \cdot x + 11 geht durch (6∣20)(6 \mid 20).

Kapitel 21: Finanzmathematik (S. 19)

Kapitel 21 (S. 19) „Finanzmathematik“ gehört zu den Katalogen von HAK und HUM. Zinseszinsen: Kn=K_n ={}K0⋅(1+i)n K_0 \cdot (1 + i)^n. Unterjährig: Kn=K_n ={}K0⋅(1+im)n⋅m K_0 \cdot (1 + i_m)^{n \cdot m}, äquivalente Zinssätze im=i_m ={}1+im−1 \sqrt[m]{1 + i} - 1 und i=(1+im)m−1i = (1 + i_m)^m - 1. Rentenrechnung mit q=1+iq = 1 + i unter der Voraussetzung „Rentenperiode = Zinsperiode“: nachschüssig Enach=E_{\text{nach}} ={}R⋅qn−1q−1 R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} und Bnach=B_{\text{nach}} ={}R⋅qn−1q−1⋅1qn R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{q^n}, vorschüssig Evor=E_{\text{vor}} ={}R⋅qn−1q−1⋅q R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot q und Bvor=B_{\text{vor}} ={}R⋅qn−1q−1⋅1qn−1 R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{q^{n-1}}. Der Tilgungsplan zeigt Zinsanteil, Tilgungsanteil, Annuität und Restschuld.
Beispiel: Zwölf vorschüssige Monatsraten von € 300 bei q=1,01q = 1{,}01 haben den Barwert B=B ={}300⋅1,0112−10,01⋅11,0111≈3 410,29 300 \cdot \frac{1{,}01^{12} - 1}{0{,}01} \cdot \frac{1}{1{,}01^{11}} \approx 3\,410{,}29.

Kapitel 22: Investitionsrechnung (S. 20)

Kapitel 22 (S. 20) „Investitionsrechnung“ gehört nur zum Katalog der HAK (B_W2_3.6). Mit den Rückflüssen Rt=Et−AtR_t = E_t - A_t steht der Kapitalwert C0=C_0 ={}−A0+ -A_0 +{}R11+i+ \frac{R_1}{1 + i} +{}…+Rn(1+i)n \ldots + \frac{R_n}{(1 + i)^n}, der interne Zinssatz als der Zinssatz mit C0=0C_0 = 0 und der modifizierte interne Zinssatz A0⋅(1+imod)n=A_0 \cdot (1 + i_{\text{mod}})^n ={}E E mit dem Endwert EE der wiederveranlagten Rückflüsse.
Beispiel in der HAK: Bei A0=6 000A_0 = 6\,000, R1=3 000R_1 = 3\,000, R2=3 500R_2 = 3\,500 und i=0,04i = 0{,}04 ist C0=C_0 ={}−6 000+ -6\,000 +{}3 0001,04+ \frac{3\,000}{1{,}04} +{}3 5001,042≈120,56 \frac{3\,500}{1{,}04^2} \approx 120{,}56.

Kapitel 23: Kosten- und Preistheorie (S. 21)

Kapitel 23 (S. 21) „Kosten- und Preistheorie“ gehört zu den Katalogen von HAK und HUM. Das Heft druckt die Begriffe mit ihrer Bedingung: Fixkosten F=K(0)F = K(0), Stückkosten K‾(x)=\overline{K}(x) ={}K(x)x \frac{K(x)}{x}, Betriebsoptimum mit K‾′(xopt)=\overline{K}'(x_{\text{opt}}) ={}0 0, Kostenkehre mit K′′(x)=0K''(x) = 0, Erlös E(x)=E(x) ={}pN(x)⋅x p_N(x) \cdot x, Gewinn G(x)=E(x)−K(x)G(x) = E(x) - K(x) und den Cournot’schen Punkt mit G′(xC)=0G'(x_C) = 0. Das Marktgleichgewicht pA(x)=pN(x)p_A(x) = p_N(x) gehört zur HAK. Einige Begriffe des Kapitels nennen auch die Kataloge der HTL 1 und der HTL 2, etwa Kostenkehre, Gewinngrenzen und Stückkostenfunktion.
Beispiel: Aus pN(x)=p_N(x) ={}60−0,3⋅x 60 - 0{,}3 \cdot x folgt E(x)=E(x) ={}60⋅x− 60 \cdot x -{}0,3⋅x2 0{,}3 \cdot x^2 und E′(x)=E'(x) ={}60−0,6⋅x 60 - 0{,}6 \cdot x. Die Sättigungsmenge ist die Nullstelle von pNp_N, hier x=200x = 200.

Kapitel 24: Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen (S. 22)

Kapitel 24 (S. 22) „Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen“ gibt Dichte ϱ=mV\varrho = \frac{m}{V}, Kraft F=m⋅aF = m \cdot a, Arbeit W=F⋅sW = F \cdot s, Leistung P=WtP = \frac{W}{t} und die Bewegungsvorgänge v=stv = \frac{s}{t}, v=a⋅t+v0v = a \cdot t + v_0, v(t)=s′(t)v(t) = s'(t) und a(t)=a(t) ={}v′(t)= v'(t) ={}s′′(t) s''(t). Die Kataloge von HTL 1 und HTL 2 setzen aus der Physik die Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung voraus (Kommentare zur Differenzial- und Integralrechnung). Teil A kennt aus dem Kapitel nur Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung (Kommentar zu Deskriptor 4.2).
Beispiel: Für s(t)=s(t) ={}2⋅t3−6⋅t2 2 \cdot t^3 - 6 \cdot t^2 ist v(t)=v(t) ={}6⋅t2−12⋅t 6 \cdot t^2 - 12 \cdot t und a(t)=a(t) ={}12⋅t−12 12 \cdot t - 12. Bei t=2t = 2 ist v(2)=0v(2) = 0 und a(2)=12a(2) = 12.

Je nach Cluster

Angewandte Mathematik (HAK)

In der HAK brauchst du über Teil A hinaus vor allem die Kapitel 12 (Matrizen und Produktionsprozesse), 13 (Reihen für die Rentenformeln), 20 (Regression), 21 (Finanzmathematik), 22 (Investitionsrechnung) und 23 (Kosten- und Preistheorie). Kapitel 22 gehört nur zur HAK, Kapitel 12 teilt sie mit der HTL 2.

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

In der HUM brauchst du über Teil A hinaus die Kapitel 13, 20, 21 und 23. Matrizen und Investitionsrechnung stehen nicht im Teil-B-Katalog der HUM, die Kapitel 12 und 22 kannst du daher überspringen.

Angewandte Mathematik (HTL 2)

In der HTL 1 und der HTL 2 kommen zu Teil A der Sinussatz und der Cosinussatz in Kapitel 8, die Vektoren in Kapitel 10, die Rotationskörper und die Bogenlänge in Kapitel 16, das Konfidenzintervall in Kapitel 19 und Kapitel 24 (technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen) dazu. Nur die HTL 2 braucht Kapitel 9 (komplexe Zahlen), 12 (Matrizen) und 17 (Differenzialgleichungen).

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

In Cluster P kommen zu Teil A die Kapitel 1 (Mengen), 6 (ebene Figuren), 8 (Sinussatz und Cosinussatz), 10 (Vektoren), 13 (Folgen) und 20 (Regression) dazu. Die Folgen und die Mengen stehen im Teil-B-Katalog von Cluster P (B_P_3.2, B_P_1.1). Kapitel 1 gibt nur die Zeichen der Mengenlehre, Venn-Diagramme zeichnet das Heft nicht.

Was du ohne Formelsammlung wissen musst

was du selbst wissen musst

Halbwertszeit und Verdoppelungszeit (Deskriptor 3.5)

Teil A verlangt, „die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen“ zu können. Eine Formel dafür steht nicht im Heft: Kapitel 15 gibt nur den Änderungsfaktor aa. Du setzt at=2a^t = 2 oder at=0,5a^t = 0{,}5 an und löst mit den Logarithmusregeln aus Kapitel 4.

Extremstellen und Wendestellen (Deskriptor 4.4)

Teil A verlangt, Monotonieverhalten, lokale Extrema, Krümmungsverhalten und Wendepunkte „mithilfe der Ableitungen“ zu bestimmen. Kapitel 16 gibt nur die Ableitungsregeln, und die Wörter Extremstelle und Wendestelle kommen im Heft nicht vor. Dass an einer lokalen Extremstelle f′(x)=0f'(x) = 0 gilt und an einer Wendestelle f′′(x)=0f''(x) = 0, musst du selbst wissen. Nur in Kapitel 23 stehen solche Bedingungen für die Kosten- und Preistheorie.

Baumdiagramme und Pfadregeln (Deskriptor 5.4)

Teil A verlangt, mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen zu modellieren und mit den Pfadregeln zu rechnen. Kapitel 19 gibt den Multiplikationssatz und den Additionssatz als Formeln, aber nicht, wie du ein Baumdiagramm aufstellst oder „Ziehen mit und ohne Zurücklegen“ unterscheidest.

Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz einer Rente (B_W_3.3)

Der Teil-B-Katalog der HAK und der HUM verlangt, Barwert, Endwert, Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz zu berechnen. Kapitel 21 gibt nur Endwert und Barwert. Die Rate RR löst du aus der Formel heraus, die Laufzeit durch Logarithmieren und den Zinssatz mit der Technologie.

Exponentielle und quadratische Regression (B_W2_5.2)

Der Teil-B-Katalog der HAK verlangt lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regression. Kapitel 20 gibt nur die Formeln der linearen Regression und des Korrelationskoeffizienten. Alle anderen Regressionsfunktionen bestimmst du mit der Technologie und dokumentierst sie mit den Wertepaaren und der Funktion.

Eine Aufgabe mit der Formelsammlung

eine echte Maturaaufgabe
ZentralmaturaHAK

Eigenheim (Aufgabe 8, Teil b)

Erika plant, ein Haus mit einem Kaufpreis von € 340.000 zu kaufen. Der Verkäufer schlägt vor, dass Erika den Kaufpreis in 3 Teilzahlungen vollständig bezahlen soll. Die erste Teilzahlung in Höhe von € 180.000 soll bei Vertragsabschluss (t=0t = 0) erfolgen. Die zweite Teilzahlung in Höhe von € 100.000 soll nach 1 Jahr erfolgen. Die dritte Teilzahlung in Höhe von XX soll nach 3 Jahren erfolgen.

Aufgabe 8, Teilaufgabe b3

Um den gesamten Kaufpreis sofort bezahlen zu können, nimmt Erika einen Kredit in Höhe von € 340.000 auf. Sie möchte diesen Kredit innerhalb von 20 Jahren durch nachschüssige Monatsraten der Höhe RR vollständig tilgen. Der Jahreszinssatz beträgt 3 %. Berechnen Sie RR.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2024/25 (17. September 2025), Aufgabe 8, Teilaufgabe b3 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

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Cluster P

Aufgabe 1.

Im Cluster P hat eine geometrische Folge das erste Glied b1=4b_1 = 4 und den Quotienten q=3q = 3. Berechne mit der Formel für die endliche geometrische Reihe aus Kapitel 13 die Summe der ersten 6 Glieder.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 2.

Eine Verflechtungsmatrix AA und ein Nachfragevektor n⃗\vec{n} sind gegeben. Welche Gleichung liefert nach Kapitel 12 den Produktionsvektor x⃗\vec{x}?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Häufige Fragen

  1. 1.Welche Formelsammlung gilt in der Klausur in Angewandter Mathematik?+
    Antwort:Verwendet wird die freigegebene Formelsammlung des Bundesministeriums für Bildung, die für AHS, BHS und BRP gemeinsam gilt. Der gültige Stand ist der vom 1. Dezember 2022. Was du sonst noch in die Klausur mitnehmen darfst, regeln die Hinweise des BMB auf matura.gv.at. Lies dort nach, bevor du dich auf etwas verlässt.
  2. 2.Gibt es eine eigene Formelsammlung für meinen Cluster?+
    Antwort:Nein. Das Heft hat 24 Kapitel für alle, und jeder Cluster braucht davon andere. Die Tabelle oben zeigt, welche Kapitel zu Teil A und zu welchem Cluster gehören. Kapitel, die dein Cluster nicht braucht, darfst du ignorieren, Kapitel deines Clusters solltest du vor der Klausur so gut kennen, dass du jede Formel in Sekunden findest.
  3. 3.Hilft mir die Formelsammlung in Teil A?+
    Antwort:Bei Aufgaben, die eine Formel brauchen, etwa die Rechengesetze für Logarithmen, den Formeln der elementaren Geometrie oder der Binomialverteilung. Andere Aufgaben prüfen, ob du einen Begriff verstehst, etwa was die Steigung einer Funktion über die Ableitung sagt. Das steht nicht im Heft. Auch in Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz.
  4. 4.Reicht es, die Formel aus dem Heft abzuschreiben?+
    Antwort:Nein. Eine Formel ist erst ein Rechenansatz, wenn du sie mit den Werten der Aufgabe hinschreibst, etwa 340 000=340\,000 ={}R⋅q240−1q−1⋅1q240 R \cdot \frac{q^{240} - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{q^{240}} mit den eingesetzten Größen. Dann folgt das Ergebnis, bei Technologie mit der verwendeten Funktion und den Ausgangsparametern. So verlangt es das Korrekturheft der BHS.
  5. 5.Welche Kapitel sind für mehrere Cluster gemeinsam wichtig?+
    Antwort:Am breitesten sind die Kapitel 4 (Logarithmen), 15 (Wachstum), 16 (Ableitung und Integral), 19 (Wahrscheinlichkeit) und 20 (Regression), weil sie in Teil A oder in mehreren Clustern gebraucht werden. Cluster-eigene Kapitel wie 9 und 17 für die HTL 2 oder 22 für die HAK brauchst du nur dort.

Siehe auch

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Quellen

Die Kapitel und Seiten sind aus der Formelsammlung des BMB (Stand: 1. Dezember 2022); die Erklärungen sind von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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