Sinussatz und Cosinussatz: Seiten und Winkel im allgemeinen Dreieck berechnen
Wenn ein Dreieck keinen rechten Winkel hat, helfen Sinus, Cosinus und Tangens allein nicht weiter. Dann kommen der Sinussatz und der Cosinussatz ins Spiel. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, vor allem für Teil B der HTL 1, der HTL 2 und des Clusters P, welche Angaben du für welchen Satz brauchst, wie du Seiten, Winkel und den Flächeninhalt berechnest und wann der Sinussatz zwei Lösungen liefert.
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B: in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B Cluster P: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 2: in 7 der 8.
In der Klausur
aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
B_T_2.1Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks verstehen und anwenden
Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.
Das Wichtigste
was du wissen musst
In jedem Dreieck mit den Seiten a,b,c liegt die Seite a dem Winkel α gegenüber, b dem Winkel β und c dem Winkel γ. Die Winkelsumme ist immer α+β+γ=180∘.
Der Sinussatz verbindet jede Seite mit dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels: sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c. Du brauchst ihn, wenn ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt ist.
Der Cosinussatz gilt für jede Seite, zum Beispiel c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos(γ). Du brauchst ihn bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder bei drei bekannten Seiten. Für γ=90∘ wird daraus der Satz des Pythagoras.
Für einen Winkel aus drei Seiten formst du um: cos(γ)=2⋅a⋅ba2+b2−c2. Ist der Zähler negativ, ist γ stumpf, also größer als 90°.
Die trigonometrische Flächenformel lautet A=21⋅a⋅b⋅sin(γ): zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel genügen. In der Formelsammlung steht sie im Kapitel Trigonometrie zusammen mit den beiden Sätzen.
Beim Sinussatz kann ein Winkel zwei Lösungen haben: Aus sin(β) liefert die Umkehrfunktion einen spitzen Winkel, aber auch 180∘−β hat denselben Sinus. Ob beide Dreiecke möglich sind, entscheidet die Winkelsumme.
Die Teil-B-Kataloge der HTL 1 und der HTL 2 nennen diesen Stoff „Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks verstehen und anwenden“ (B_T_2.1), der Katalog des Clusters P „Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks in zwei Dimensionen verstehen und anwenden“ (B_P_2.2). Der Kommentar nennt jeweils Sinussatz, Cosinussatz und Flächeninhalt.
Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.
So gehst du vor
Schritt für Schritt
1.Skizze und bekannte Größen eintragen
Zeichne das Dreieck, beschrifte Ecken, Seiten und Winkel nach dem Schema (Seite a gegenüber von α) und markiere, was gegeben und was gesucht ist.
2.Den passenden Satz wählen
Ist ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel bekannt und fehlt eine zweite Größe, nimmst du den Sinussatz. Sind zwei Seiten samt eingeschlossenem Winkel oder alle drei Seiten gegeben, nimmst du den Cosinussatz.
3.Ansatz hinschreiben und umformen
Schreibe den Satz mit deinen Größen an und forme nach der gesuchten Größe um. In Teil B zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz, dieser Schritt ist also Teil der Antwort.
4.Rechnen und die Winkelsumme nutzen
Berechne mit deiner Technologie im Gradmaß. Den dritten Winkel erhältst du aus der Winkelsumme, danach brauchst du oft keinen zweiten Satz mehr.
5.Prüfen
Die größte Seite liegt dem größten Winkel gegenüber. Ist ein Winkel über den Sinus bestimmt worden, überlege, ob auch 180∘−β in Frage kommt.
Beispiele
Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.
1.Sinussatz: Abstand über einen Fluss
Zwei Punkte A und B am Ufer sind 180 m voneinander entfernt. Vom Punkt C am anderen Ufer misst man die Winkel α=62∘ bei A und β=71∘ bei B. Berechne die Entfernungen AC und BC.
Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme: γ=180∘−62∘−71∘=47∘. Die Seite c=180 m liegt ihm gegenüber, das Paar ist bekannt.
Sinussatz für b=AC:sin(71∘)b=sin(47∘)180, also b=sin(47∘)180⋅sin(71∘)≈232,7.
Sinussatz für a=BC:a=sin(47∘)180⋅sin(62∘)≈217,3.
Antwort: AC ist etwa 232,7 m lang, BC etwa 217,3 m.
2.Cosinussatz: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Zwei Segelboote fahren von einem Hafen aus auf geraden Strecken von 45 m und 62 m Länge, die Fahrtrichtungen schließen einen Winkel von 110° ein. Wie weit sind die Boote danach voneinander entfernt?
Die gesuchte Entfernung c liegt dem eingeschlossenen Winkel γ=110∘ gegenüber. Der Cosinussatz gibt c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos(γ) mit a=45,b=62 und γ=110∘.
Weil cos(110∘) negativ ist, wird der letzte Summand positiv: c2≈7777,5 und damit c≈88,19.
Antwort: Die Boote sind etwa 88,19 m voneinander entfernt.
3.Cosinussatz: Winkel aus drei Seiten, Flächeninhalt
Ein Dreieck hat die Seiten a=7 cm, b=9 cm und c=12 cm. Berechne den Winkel γ und den Flächeninhalt.
Es gilt cos(γ)=2⋅7⋅972+92−122=126−14≈−0,1111. Daraus folgt γ=arccos(−0,1111)≈96,38∘, der Winkel ist stumpf, weil der Zähler negativ ist: 72+92 ist kleiner als 122.
Flächeninhalt: A=21⋅7⋅9⋅sin(96,38∘)≈31,3.
Zur Kontrolle liefert die Heron'sche Flächenformel aus der Formelsammlung (Kapitel 6, Seite 5) mit s=14 den Wert 14⋅7⋅5⋅2≈31,3.
Antwort: γ≈96,38∘ und A≈31,3 cm².
4.Sinussatz mit zwei Lösungen
Von einem Dreieck sind a=8 cm, b=10 cm und α=40∘ bekannt. Bestimme alle möglichen Dreiecke und die jeweilige dritte Seite c.
Sinussatz: sin(β)=ab⋅sin(α), also sin(β)=810⋅sin(40∘)≈0,8035.
Die Umkehrfunktion liefert β1≈53,46∘. Auch β2=180∘−β1≈126,54∘ hat diesen Sinus. Beide passen, denn 40∘+126,54∘<180∘.
Erstes Dreieck: γ1=180∘−40∘−53,46∘=86,54∘ und c1=sin(40∘)8⋅sin(86,54∘)≈12,42.
Zweites Dreieck: γ2=180∘−40∘−126,54∘=13,46∘ und c2=sin(40∘)8⋅sin(13,46∘)≈2,90.
Antwort: Es gibt zwei Dreiecke, eines mit c≈12,42 cm und eines mit c≈2,90 cm.
Eine Aufgabe aus der Zentralmatura
eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaHTL 1
Dosenspitzer (Aufgabe 9, Teil c)
In den nachstehenden Abbildungen sind ein bestimmter Dosenspitzer und der Verlauf einer Falte dieses Dosenspitzers dargestellt.Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)Die Gerade h hat den Steigungswinkel 75°.
Die Gerade g hat den Steigungswinkel 26°.
Weiters gilt: OP=6 mm
Aufgabe 9, Teilaufgabe c1.
Die Länge der Strecke OQ soll mit der nachstehenden Gleichung berechnet werden.
sin(1∘)6=sin(2∘)OQ
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
Gesucht sind die beiden Winkel im Sinussatz. Links steht die gegebene Seite OP über dem Sinus des Winkels, der ihr gegenüberliegt, rechts die gesuchte Seite OQ über dem Sinus des Winkels, der ihr gegenüberliegt.
Der Winkel bei O ist die Differenz der beiden Steigungswinkel: 75∘−26∘=49∘.
Die waagrechte Hilfslinie durch Q ist parallel zur x-Achse. Deshalb ist der untere Winkel α=26∘ (Wechselwinkel zum Steigungswinkel von g), und der Winkel bei Q ist 2⋅26∘=52∘. Ihm liegt die Seite OP gegenüber.
Der Winkel bei P folgt aus der Winkelsumme: 180∘−49∘−52∘=79∘. Ihm liegt die Seite OQ gegenüber.
Ergebnis: Kästchen 1: 52, Kästchen 2: 79
ZentralmaturaHTL 1
Schulklassen (Aufgabe 8, Teil a)
Ein Klassenzimmer ist mit einer Leinwand ausgestattet (siehe nachstehende modellhafte Abbildung in der Ansicht von oben, alle Abmessungen in cm). Ein Schüler befindet sich im Punkt P und betrachtet die Leinwand.Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)
Aufgabe 8, Teilaufgabe a2
Stellen Sie mithilfe von x und y eine Formel zur Berechnung von α auf.
Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 1), Herbsttermin 2023/24 (18. September 2024), Aufgabe 8, Teilaufgabe a2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at
Lösungsweg: Kleksa (nicht offiziell)
Im Dreieck aus der Leinwand und den Strecken x und y liegt der Winkel α der Leinwand von 220 cm gegenüber. Alle drei Seiten sind bekannt oder durch x und y gegeben, also nimmst du den Cosinussatz.
Cosinussatz für die Seite gegenüber von α:2202=x2+y2−2⋅x⋅y⋅cos(α).
Umgeformt nach cos(α) und mit der Umkehrfunktion ergibt sich die Formel für den Winkel.
Ergebnis: α=arccos(2⋅x⋅yx2+y2−2202)
Je nach Schulform und Cluster
AHS, Teil A, Teil B
Angewandte Mathematik (HTL 2)
Auch in Teil B der HTL 2 steht „Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks verstehen und anwenden“ (B_T_2.1) mit demselben Kommentar: Sinussatz, Cosinussatz, Flächeninhalt. Daneben verlangt die HTL 2 Vektoren in R2 und R3 samt dem Winkel zwischen Vektoren (B_T2_2.4). Dort bestimmst du einen Winkel mit cos(φ)=∣a∣⋅∣b∣a⋅b; die Formel für den Winkel aus dem Cosinussatz und die Vektorformel führen zum selben Ergebnis. Wie du Vektoren rechnest, zeigt die Seite zu den Vektoren.
Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)
Im Teil-B-Katalog des Clusters P (BAfEP, BASOP, BRP) lautet der Deskriptor B_P_2.2: „Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks in zwei Dimensionen verstehen und anwenden“. Der Kommentar nennt Sinussatz, Cosinussatz und Flächeninhalt. Die Aufgaben spielen also in der Ebene, räumliche Anwendungen sind hier nicht gemeint. Wie in Teil B der anderen Cluster schreibst du den Satz mit deinen Größen als Rechenansatz an und rechnest mit deiner Technologie im Gradmaß.
Teste dich selbst
gleich auswerten
Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
HTL 1
Aufgabe 1.
Von einem Dreieck sind die drei Seiten a,b und c bekannt. Welcher Ausdruck liefert den Winkel β?
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
HTL 2
Aufgabe 2.
Ein Dreieck hat die Seiten a=5 cm, b=7 cm und c=9 cm. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.
Wähle höchstens 2
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
HTL 1
Aufgabe 3.
In einem Dreieck sind c=15 m, α=38∘ und β=64∘ gegeben. Berechne die Seite a in Metern. Runde auf eine Nachkommastelle.
Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.
Cluster P
Aufgabe 4.
Zwei Seiten eines Dreiecks sind 14 m und 9 m lang und schließen einen Winkel von 70° ein. Berechne den Flächeninhalt in m². Runde auf ganze Quadratmeter.
Den Satz des Pythagoras verwenden, obwohl kein rechter Winkel vorkommt. Prüfe immer zuerst, ob das Dreieck einen rechten Winkel hat; sonst brauchst du den Cosinussatz mit seinem letzten Summanden.
Die gegenüberliegende Seite verwechseln. Beim Sinussatz gehören a und α zusammen, nicht a und β. Zeichne die Skizze mit den Beschriftungen, bevor du den Satz hinschreibst.
Beim Cosinussatz den falschen Winkel einsetzen. Der Winkel im letzten Summanden ist der, der der Seite auf der linken Seite der Gleichung gegenüberliegt, also der von den beiden anderen Seiten eingeschlossene.
Das Vorzeichen des Cosinus übersehen. Für Winkel über 90° ist cos(γ) negativ, dann wird aus „minus“ im Satz ein „plus“ im Rechenergebnis. Rechne die Klammern mit der Technologie in einem Zug aus.
Beim Sinussatz die zweite Lösung vergessen. Aus sin(β) allein erhältst du nur einen spitzen Winkel; prüfe, ob 180∘−β mit der Winkelsumme vereinbar ist.
Merk dir
Sinussatz: sin(α)a=sin(β)b=sin(γ)c, bei Seite und gegenüberliegendem Winkel.
Cosinussatz: c2=a2+b2−2⋅a⋅b⋅cos(γ), bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder bei drei Seiten.
Fläche: A=21⋅a⋅b⋅sin(γ).
Winkelsumme 180∘, die größte Seite liegt dem größten Winkel gegenüber.
Häufige Fragen
1.Wann nehme ich den Sinussatz und wann den Cosinussatz?+
Antwort:Schau, was gegeben ist. Kennst du eine Seite samt dem Winkel, der ihr gegenüberliegt, und eine weitere Größe, nimmst du den Sinussatz. Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder alle drei Seiten gegeben, beginnst du mit dem Cosinussatz. Bei zwei Winkeln und einer Seite ergänzt du zuerst den dritten Winkel über die Winkelsumme.
2.Warum gibt es beim Sinussatz manchmal zwei Lösungen für den Winkel?+
Antwort:Weil zwei verschiedene Winkel denselben Sinus haben: β und 180∘−β. Das tritt ein, wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, der der kürzeren dieser Seiten gegenüberliegt, und diese Seite lang genug ist. Liegt der gegebene Winkel der längeren Seite gegenüber, ist das Dreieck eindeutig. Prüfe immer mit der Winkelsumme, ob der zweite Winkel in das Dreieck passt.
3.Ist der Satz des Pythagoras ein Sonderfall des Cosinussatzes?+
Antwort:Ja. Für γ=90∘ ist cos(γ)=0, der letzte Summand fällt weg, und es bleibt c2=a2+b2. Der Cosinussatz erweitert den Satz des Pythagoras also auf Dreiecke, die keinen rechten Winkel haben, und liefert zugleich, ob ein Dreieck stumpf ist.
4.Muss ich die Formeln auswendig können?+
Antwort:Die Formelsammlung (Kapitel 8, Seite 7) druckt den Sinussatz, den Cosinussatz in allen drei Formen und die trigonometrische Flächenformel. Du kannst sie in der Klausur nachschlagen. Wichtiger ist, dass du erkennst, welcher Satz zu den gegebenen Größen passt, und dass du dein Ergebnis im Sachzusammenhang prüfst.
5.Gibt es Sinussatz und Cosinussatz auch in der Mathe-Matura der AHS?+
Antwort:Der Grundkompetenzenkatalog der AHS hält zur Trigonometrie (AG 4) fest, dass der Sinussatz und der Cosinussatz dabei nicht benötigt werden. Der Stoff steht dagegen im Teil-B-Katalog der HTL 1, der HTL 2 und des Clusters P. In der AHS rechnest du mit Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis.
6.Wie schreibe ich so eine Rechnung in Teil B auf?+
Antwort:Schreib zuerst den Satz mit deinen Größen an, zum Beispiel sin(β)b=sin(γ)c, und forme nach der gesuchten Größe um. Das ist der Rechenansatz, den die Klausur verlangt. Setze erst danach Zahlen ein und gib das Ergebnis mit Einheit und sinnvoller Rundung an. Eine Zahl ohne Ansatz zählt in Teil B nicht.