Was bedeutet nachschüssig und vorschüssig?

Nachschüssig heißt, dass die Rate am Ende der Periode gezahlt wird, vorschüssig am Anfang. Zahlst du bei einem Sparplan die erste Rate heute ein, sind die Raten vorschüssig: Jede liegt am Anfang ihrer Periode. Bei einem Kredit, dessen erste Rate einen Monat nach der Auszahlung fällig wird, sind die Raten nachschüssig. Welche Form gilt, steht in der Angabe, etwa in der Formulierung „am Ende“ oder „zu Beginn“ jeder Periode.

Wie unterscheide ich Endwert und Barwert einer Rente?

Der Endwert ist der Wert aller Raten zu einem Zeitpunkt am Ende, der Barwert der Wert aller Raten eine Periode vor der ersten nachschüssigen Rate. Das Guthaben eines Sparplans nach der letzten Rate ist ein Endwert, die Kreditsumme eines Kredits ein Barwert. Beide hängen über den Faktor $q^n$ zusammen: $B = E \cdot \frac{1}{q^n}$.

Steht die Formel für die Rate in der Formelsammlung?

Nein, im Heft stehen nur Endwert und Barwert, jeweils nachschüssig und vorschüssig (Kapitel 21, S. 19). Die Ratenhöhe $R$ erhältst du, indem du die Formel nach $R$ umformst, etwa $R = B \cdot \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1}$ für nachschüssige Raten. Dasselbe gilt für Laufzeit und Zinssatz: Du musst sie selbst aus der Formel gewinnen.

Was ist ein Tilgungsplan?

Ein Tilgungsplan listet für jede Periode eines Kredits auf, wie sich die Rate (Annuität) in Zinsanteil und Tilgungsanteil teilt und wie hoch die Restschuld danach ist. Der Zinsanteil ist die Restschuld am Anfang mal dem Zinssatz. Der Rest der Annuität tilgt die Schuld. Weil die Restschuld sinkt, sinkt auch der Zinsanteil, und der Tilgungsanteil steigt. Die Formelsammlung zeigt die ersten Zeilen als Muster.

Wann brauche ich den internen Zinssatz?

In Teil B der HAK, wenn die Frage lautet, bei welchem Zinssatz sich eine Investition gerade noch rechnet, also der Kapitalwert null ist. Das ist eine Gleichung mit $q$ in mehreren Potenzen, die du mit der Technologie löst und mit Ansatz festhältst. Die Formel steht in der Formelsammlung in Kapitel 22 (S. 20) und gehört im Teil-B-Katalog der HAK zum Deskriptor B_W2_3.6.

Darf ich die Raten mit Technologie in eine Tabelle eintragen?

Ja, eine Tabelle ist ein erlaubter Technologieeinsatz, wenn du ihn dokumentierst: Gib an, welche Funktion du verwendest und mit welchen Ausgangsparametern, etwa Anfangswert, Zinssatz und Anzahl der Perioden. Ohne diese Angabe bekommst du in einem offenen Format keinen Punkt, auch wenn das Ergebnis stimmt. Ein Rechenansatz mit der Formel ist kürzer und sicherer.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HAK)

Rentenrechnung, Kredite und Tilgungsplan: vorschüssig und nachschüssig

Eine Rente ist eine Reihe gleich hoher Zahlungen in gleichen Abständen: eine Sparrate, eine Kreditrate, eine Pension. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du Endwert und Barwert nachschüssiger und vorschüssiger Raten berechnest, nach Rate, Laufzeit oder Zinssatz auflöst und einen Kredit mit Tilgungsplan beschreibst.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HUM: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

Aus dem Katalog

Angewandte Mathematik (HAK)

B_W_3.1Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren und damit argumentieren
B_W_3.3bei Rentenrechnung unter Verwendung geometrischer Reihen modellieren; Barwert, Endwert, Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
B_W_3.4bei Sparformen, Krediten und Schuldtilgung modellieren; zugehörige Berechnungen durchführen, deren Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
B_W2_3.6Kapitalwert, internen Zinssatz und modifizierten internen Zinssatz von Investitionen berechnen, interpretieren; im Kontext argumentieren

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_3.1Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren und damit argumentieren
- B_W_3.3bei Rentenrechnung unter Verwendung geometrischer Reihen modellieren; Barwert, Endwert, Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
- B_W_3.4bei Sparformen, Krediten und Schuldtilgung modellieren; zugehörige Berechnungen durchführen, deren Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
- B_W2_3.6Kapitalwert, internen Zinssatz und modifizierten internen Zinssatz von Investitionen berechnen, interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7c1, 7d1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8b1, 8c2, 8c3, 9d1, 9d2; Wintertermin 2026: Aufgaben 8b1, 8b2, 8c1, 8c2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8b3, 8b4; Haupttermin 2025: Aufgaben 8b1, 8c1, 8c2, 8c3; Wintertermin 2025: Aufgaben 7c1, 7c2, 7c3, 9a1, 9a2, 9a3; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2, 7c1, 7d1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2, 8c1, 9b1, 9b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_3.1Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren und damit argumentieren
- B_W_3.3bei Rentenrechnung unter Verwendung geometrischer Reihen modellieren; Barwert, Endwert, Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz berechnen und die Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
- B_W_3.4bei Sparformen, Krediten und Schuldtilgung modellieren; zugehörige Berechnungen durchführen, deren Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7c1, 7d1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8b1, 8c2, 8c3; Wintertermin 2026: Aufgaben 8b1, 8b2, 8c1, 8c2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8b3, 8b4; Haupttermin 2025: Aufgaben 8b1, 8c1, 8c2, 8c3; Wintertermin 2025: Aufgaben 7c1, 7c2, 7c3; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2, 7c1, 7d1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2, 8c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Bei einer Rente werden $n$ gleich hohe Raten $R$ in gleichen Abständen gezahlt. Mit dem Zinssatz $i$ pro Periode und $q = 1 + i$ gilt die Voraussetzung, die die Formelsammlung in Kapitel 21 (S. 19) nennt: Rentenperiode gleich Zinsperiode. Passen die beiden nicht zusammen, rechnest du zuerst den äquivalenten Zinssatz um.
Nachschüssig heißt: Die Rate wird am Ende jeder Periode gezahlt. Der Endwert gilt zum Zeitpunkt der letzten Rate, der Barwert eine Periode vor der ersten: $E_{\text{nach}} ={}$ $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ und $B_{\text{nach}} ={}$ $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{q^n}$ .
Vorschüssig heißt: Die Rate wird am Anfang jeder Periode gezahlt. Jede Rate ist eine Periode länger auf dem Konto, der Endwert ist also um den Faktor $q$ größer: $E_{\text{vor}} ={}$ $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot q$ und $B_{\text{vor}} ={}$ $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot \frac{1}{q^{n-1}}$ .
Die Formeln stammen aus der geometrischen Reihe: Bei nachschüssigen Raten ist $E ={}$ $R +{}$ $R \cdot q +{}$ $\ldots + R \cdot q^{n-1}$ , und die Summe von $n$ Gliedern ist $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ . Den Barwert erhältst du aus dem Endwert durch Abzinsen über die ganze Laufzeit.
Die Formelsammlung gibt nur Endwert und Barwert an. Die Rate $R$ löst du aus der Formel heraus, die Laufzeit $n$ durch Logarithmieren und den Zinssatz meist mit deiner Technologie, denn $q$ steckt in einer Potenz und in einem Bruch.
Bei einem Kredit ist die Kreditsumme der Barwert der Raten. Der Tilgungsplan hält je Periode fest: Zinsanteil gleich Restschuld mal $i$ , Tilgungsanteil gleich Annuität minus Zinsanteil, neue Restschuld gleich alte Restschuld minus Tilgungsanteil. Die Annuität, also die Rate, bleibt gleich, der Zinsanteil sinkt, der Tilgungsanteil steigt.
In Teil B der HAK kommt die Investitionsrechnung dazu (B_W2_3.6, Formelsammlung Kapitel 22, S. 20). Der Kapitalwert ist $C_0 ={}$ $-A_0 +{}$ $\frac{R_1}{1 + i} +{}$ $\ldots + \frac{R_n}{(1 + i)^n}$ mit den Anschaffungskosten $A_0$ und den Rückflüssen $R_t$ . Der interne Zinssatz ist der Zinssatz, bei dem $C_0 = 0$ ist.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Raten, Perioden und Zeitpunkte festhalten
Lies $R$ , $n$ und die Abstände ab und entscheide: Wird am Ende oder am Anfang der Periode gezahlt? Zeichne die Zeitachse mit allen Raten.
2.Zinsperiode angleichen
Wird monatlich gezahlt und ist ein Jahreszinssatz gegeben, rechne $i_{12} ={}$ $\sqrt[12]{1 + i} - 1$ und verwende $q = 1 + i_{12}$ .
3.Die passende Formel wählen
Gefragt ist der Wert zum Ende der Laufzeit? Dann Endwert. Gefragt ist der Wert zu Beginn, etwa eine Kreditsumme? Dann Barwert. Vorschüssig kommt der Faktor $q$ dazu.
4.Einsetzen oder nach der Unbekannten lösen
Setze alle Größen ein. Ist $R$ gesucht, löse nach $R$ auf. Sind $n$ oder $i$ gesucht, löse die Gleichung durch Logarithmieren oder mit der Technologie und halte den Ansatz fest.
5.Im Kontext deuten
Schreibe das Ergebnis mit Einheit und Zeitpunkt an und prüfe, ob es sinnvoll ist: Der Endwert liegt über der Summe der Raten, der Barwert darunter.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Nachschüssige Sparrate
Am Ende jedes Monats werden € 250 auf ein Sparbuch eingezahlt, 48-mal. Der Zinssatz beträgt 0,2 % pro Monat. Berechne den Endwert unmittelbar nach der letzten Einzahlung und die Zinsen.
2.Kredit und Tilgungsplan
Ein Kredit über € 22 000 wird mit 60 gleich hohen, nachschüssigen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 0,4 % pro Monat. Berechne die Rate und stelle die erste Zeile des Tilgungsplans auf.
3.Vorschüssig oder nachschüssig
Sechs Jahre lang werden jährlich € 1 200 eingezahlt, der Zinssatz beträgt 3 % pro Jahr. Vergleiche den Endwert bei nachschüssiger und bei vorschüssiger Zahlung.
4.Kapitalwert einer Investition in Teil B der HAK
Eine Anschaffung kostet € 10 000. Sie bringt in den drei folgenden Jahren die Rückflüsse € 4 000, € 5 000 und € 3 500. Der kalkulatorische Zinssatz beträgt 5 % pro Jahr. Berechne den Kapitalwert und beurteile die Investition.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHAK

Sparbücher (Aufgabe 7, Teil a)

In dieser Aufgabe steht der Begriff Sparbuch für ein vereinfachtes Modell, bei dem keine Gebühren und Steuern anfallen. Frau Brunner zahlt am Ende eines jeden Monats einen Betrag in Höhe von € 100 auf ein Sparbuch ein. Der Zinssatz beträgt 0,1 % p. m. Mit der

n

-ten Einzahlung (

n \in \mathbb{N}

) wird erstmals ein Guthaben in Höhe von € 5.000 auf dem Sparbuch überschritten.

Aufgabe 7, Teilaufgabe a2

Frau Brunner möchte die Einzahlungen fortsetzen, bis sie insgesamt 100-mal € 100 eingezahlt hat. Der Betrag, der unmittelbar nach der 100. Einzahlung auf dem Sparbuch liegt, wird mit

X

bezeichnet. Berechnen Sie

X

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 7, Teilaufgabe a2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaHAK

Sparbücher (Aufgabe 7, Teil c)

In dieser Aufgabe steht der Begriff Sparbuch für ein vereinfachtes Modell, bei dem keine Gebühren und Steuern anfallen. Frau Auer legt zu Beginn eines Jahres einen Betrag in Höhe von € 50.000 auf ein Sparbuch und hebt 10-mal am Ende eines jeden Jahres € 6.000 ab. Damit ist das Guthaben aufgebraucht.

Aufgabe 7, Teilaufgabe c1

Berechnen Sie den Jahreszinssatz dieses Sparbuchs.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 7, Teilaufgabe c1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

Der Teil-B-Katalog der HUM hat die Deskriptoren B_W_3.3 für die Rentenrechnung mit geometrischen Reihen und B_W_3.4 für Sparformen, Kredite und Schuldtilgung, mit Barwert, Endwert, Ratenhöhe, Laufzeit und Zinssatz. Die Begriffe sind dieselben wie in der HAK: vorschüssig, nachschüssig, Vollrate, Restrate, Annuität, Zinsanteil, Tilgungsanteil und Restschuld. Investitionsrechnung steht nicht im Teil-B-Katalog der HUM. Alles andere von dieser Seite gilt auch für dich.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HAK

n

-ten Einzahlung (

n \in \mathbb{N}

) wird erstmals ein Guthaben in Höhe von € 5.000 auf dem Sparbuch überschritten.

Aufgabe 1.

Ermitteln Sie die Anzahl

n

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 7, Teilaufgabe a1 — matura.gv.at, CC BY 4.0

HAK

Aufgabe 2.

Am Ende jedes Quartals werden € 800 eingezahlt, 10-mal. Der Zinssatz beträgt 1,2 % pro Quartal. Berechne den Endwert unmittelbar nach der letzten Einzahlung in Euro. Runde auf ganze Euro.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 3.

Der Barwert

B

von

n

vorschüssigen Raten

R

soll mit dem Aufzinsungsfaktor

q

berechnet werden. Welche Formel ist richtig?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 4.

Ein Sparplan zahlt

n

gleich hohe Raten

R

ein, die Rentenperiode ist gleich der Zinsperiode. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Vorschüssig und nachschüssig verwechseln. Bei „am Ende jedes Monats“ ist nachschüssig gemeint. Wer die vorschüssige Formel nimmt, liegt um den Faktor $q$ daneben.
Den Zinssatz nicht an die Rentenperiode anpassen. Zahlst du monatlich und ist ein Jahreszinssatz gegeben, rechnest du mit dem äquivalenten Monatszinssatz $\sqrt[12]{1 + i} - 1$ , nicht mit $\frac{i}{12}$ .
Endwert und Barwert vertauschen. Der Endwert liegt über der Summe der Raten, der Barwert darunter. Diese Probe fängt die meisten Fehler ab.
In der Formel für $n$ nicht logarithmieren, sondern $q^n$ wie ein Produkt behandeln. Die Laufzeit steht im Exponenten: Löse erst nach $q^n$ auf und dann mit $\ln$ .
Bei der Annuität den Zinsanteil vergessen. Die Rate besteht aus Zinsanteil und Tilgungsanteil. Getilgt wird nur der Tilgungsanteil, und die Restschuld sinkt nur um ihn.

Merk dir

Nachschüssig: Zahlung am Ende, $E_{\text{nach}} ={}$ $R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ .
Vorschüssig: Zahlung am Anfang, $E_{\text{vor}} ={}$ $E_{\text{nach}} \cdot q$ .
$B ={}$ $E \cdot \frac{1}{q^n}$ für nachschüssige Raten.
Rentenperiode gleich Zinsperiode, sonst äquivalenter Zinssatz.
Tilgungsplan: Zinsanteil, Tilgungsanteil, Annuität, Restschuld.
Kapitalwert $C_0 = 0$ ergibt den internen Zinssatz.

Häufige Fragen

1.Was bedeutet nachschüssig und vorschüssig?+
Antwort:Nachschüssig heißt, dass die Rate am Ende der Periode gezahlt wird, vorschüssig am Anfang. Zahlst du bei einem Sparplan die erste Rate heute ein, sind die Raten vorschüssig: Jede liegt am Anfang ihrer Periode. Bei einem Kredit, dessen erste Rate einen Monat nach der Auszahlung fällig wird, sind die Raten nachschüssig. Welche Form gilt, steht in der Angabe, etwa in der Formulierung „am Ende“ oder „zu Beginn“ jeder Periode.
2.Wie unterscheide ich Endwert und Barwert einer Rente?+
Antwort:Der Endwert ist der Wert aller Raten zu einem Zeitpunkt am Ende, der Barwert der Wert aller Raten eine Periode vor der ersten nachschüssigen Rate. Das Guthaben eines Sparplans nach der letzten Rate ist ein Endwert, die Kreditsumme eines Kredits ein Barwert. Beide hängen über den Faktor $q^n$ zusammen: $B ={}$ $E \cdot \frac{1}{q^n}$ .
3.Steht die Formel für die Rate in der Formelsammlung?+
Antwort:Nein, im Heft stehen nur Endwert und Barwert, jeweils nachschüssig und vorschüssig (Kapitel 21, S. 19). Die Ratenhöhe $R$ erhältst du, indem du die Formel nach $R$ umformst, etwa $R ={}$ $B \cdot \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1}$ für nachschüssige Raten. Dasselbe gilt für Laufzeit und Zinssatz: Du musst sie selbst aus der Formel gewinnen.
4.Was ist ein Tilgungsplan?+
Antwort:Ein Tilgungsplan listet für jede Periode eines Kredits auf, wie sich die Rate (Annuität) in Zinsanteil und Tilgungsanteil teilt und wie hoch die Restschuld danach ist. Der Zinsanteil ist die Restschuld am Anfang mal dem Zinssatz. Der Rest der Annuität tilgt die Schuld. Weil die Restschuld sinkt, sinkt auch der Zinsanteil, und der Tilgungsanteil steigt. Die Formelsammlung zeigt die ersten Zeilen als Muster.
5.Wann brauche ich den internen Zinssatz?+
Antwort:In Teil B der HAK, wenn die Frage lautet, bei welchem Zinssatz sich eine Investition gerade noch rechnet, also der Kapitalwert null ist. Das ist eine Gleichung mit $q$ in mehreren Potenzen, die du mit der Technologie löst und mit Ansatz festhältst. Die Formel steht in der Formelsammlung in Kapitel 22 (S. 20) und gehört im Teil-B-Katalog der HAK zum Deskriptor B_W2_3.6.
6.Darf ich die Raten mit Technologie in eine Tabelle eintragen?+
Antwort:Ja, eine Tabelle ist ein erlaubter Technologieeinsatz, wenn du ihn dokumentierst: Gib an, welche Funktion du verwendest und mit welchen Ausgangsparametern, etwa Anfangswert, Zinssatz und Anzahl der Perioden. Ohne diese Angabe bekommst du in einem offenen Format keinen Punkt, auch wenn das Ergebnis stimmt. Ein Rechenansatz mit der Formel ist kürzer und sicherer.

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HAK)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Rentenrechnung, Kredite und Tilgungsplan: vorschüssig und nachschüssig

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Raten, Perioden und Zeitpunkte festhalten

2.Zinsperiode angleichen

3.Die passende Formel wählen

4.Einsetzen oder nach der Unbekannten lösen

5.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Nachschüssige Sparrate

2.Kredit und Tilgungsplan

3.Vorschüssig oder nachschüssig

4.Kapitalwert einer Investition in Teil B der HAK

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

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Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen