Was ist der Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins?

Bei der einfachen Verzinsung werden nur auf das Anfangskapital Zinsen gerechnet, das Kapital wächst linear: $K_n = K_0 \cdot (1 + i \cdot n)$. Beim Zinseszins werden die gutgeschriebenen Zinsen im nächsten Jahr mitverzinst, das Kapital wächst exponentiell: $K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n$. Die Formelsammlung druckt beide Formeln in Kapitel 21 untereinander. Barwert und Endwert unregelmäßiger Zahlungen bauen auf dem Zinseszins auf.

Wie rechne ich einen Monatszinssatz in einen Jahreszinssatz um?

Du hebst den Monatsfaktor auf die 12. Potenz: $i = (1 + i_{12})^{12} - 1$. Bei einem Monatszinssatz von 0,5 % ist der Jahresfaktor $1{,}005^{12} \approx 1{,}0617$, der effektive Jahreszinssatz also rund 6,17 % und nicht 6 %. Umgekehrt nimmst du die 12. Wurzel. Beide Formeln stehen in der Formelsammlung in Kapitel 21 zwischen den Feldern „unterjähriger Zinssatz“ und „effektiver Jahreszinssatz“.

Was ist der Unterschied zwischen Barwert und Endwert?

Beide sind ein Wert aller Zahlungen zu einem Bezugszeitpunkt. Der Barwert gilt zum Zeitpunkt 0, dem Beginn des Geschäfts, der Endwert zum Zeitpunkt der letzten Zahlung oder zu einem späteren Zeitpunkt, den die Aufgabe nennt. Den Barwert erhältst du durch Abzinsen, den Endwert durch Aufzinsen. Mit dem Aufzinsungsfaktor $q^n$ kommst du von einem zum anderen.

Wann hilft mir eine Zeitachse?

Sobald Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten vorkommen. Eine Zeitachse musst du nicht zeichnen, wenn die Aufgabe sie nicht verlangt, aber sie verhindert einen typischen Fehler, nämlich eine Zahlung mit dem falschen Exponenten aufzuzinsen. Im Teil-B-Katalog der HAK und der HUM steht ein eigener Deskriptor dafür: B_W_3.1, Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren.

Wie schreibe ich einen Rechenansatz mit Technologie auf?

Schreib die Gleichung auf, die du löst, und gib an, womit du sie löst. Für die Laufzeit etwa: „Gleichung $4\,000 \cdot 1{,}035^n = 6\,400$ mit der Funktion zum Lösen von Gleichungen nach $n$ gelöst“. Gib die Ausgangsparameter an und nenne die Technologiefunktion, so verlangt es das Korrekturheft der BHS. Ein Ergebnis allein ohne diesen Ansatz bringt in einem offenen Format keinen Punkt.

Steht die Zinseszinsformel in der Formelsammlung?

Ja, in Kapitel 21 „Finanzmathematik“ auf Seite 19, mit $K_0$, $K_n$ und $i$. Dort stehen auch die Formel für die unterjährige Verzinsung und der Umrechnungspfeil für äquivalente Zinssätze. Nicht im Heft steht, wie du nach $i$ oder $n$ auflöst: Das musst du selbst können, durch die Wurzel und durch Logarithmieren (Kapitel 4).

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HAK)

Zinseszins: Zinseszinsformel, äquivalente Zinssätze, Barwert und Endwert

Beim Zinseszins werden die Zinsen mitverzinst, ein Kapital wächst also mit demselben Faktor pro Jahr. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du das Endkapital berechnest, einen Betrag abzinst, einen unterjährigen Zinssatz in den Jahreszinssatz umrechnest und Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten auf der Zeitachse vergleichst.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Angewandte Mathematik, Teil A: in keiner der 8; Teil B HUM: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_3.1Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren und damit argumentieren
- B_W_3.2unregelmäßige Zahlungsströme auf Grundlage der Zinseszinsrechnung modellieren; Berechnungen für Barwert, Endwert und Zinssatz durchführen; die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a3, 7b1, 7d1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1; Wintertermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1, 8c3; Wintertermin 2025: Aufgabe 7c3; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7a1, 7a2, 7d1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Kommentar 3.9Vorausgesetzt wird die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion sowie grundlegender Begriffe der Zinseszinsrechnung.
Gefragt in keiner der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_3.1Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren und damit argumentieren
- B_W_3.2unregelmäßige Zahlungsströme auf Grundlage der Zinseszinsrechnung modellieren; Berechnungen für Barwert, Endwert und Zinssatz durchführen; die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a3, 7b1, 7d1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1; Wintertermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1, 8c3; Wintertermin 2025: Aufgabe 7c3; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7a1, 7a2, 7d1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Bei Zinseszinsen werden die Zinsen mitverzinst. Aus dem Anfangskapital $K_0$ wird nach $n$ Jahren bei dem Jahreszinssatz $i$ das Endkapital $K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i)^n$ . Der Aufzinsungsfaktor ist $q = 1 + i$ . Die Formelsammlung druckt die Formel in Kapitel 21 (S. 19) neben der einfachen Verzinsung $K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i \cdot n)$ .
Abzinsen ist die Umkehrung. Der Barwert eines Betrags $K_n$ , der erst in $n$ Jahren fällig ist, beträgt $K_0 ={}$ $\frac{K_n}{(1 + i)^n}$ . Der Abzinsungsfaktor ist $\frac{1}{1 + i}$ , nicht $1 - i$ .
Eine Zeitachse zeigt, wann welche Zahlung fällt. Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten darfst du nur zusammenzählen oder vergleichen, wenn sie sich auf denselben Bezugszeitpunkt beziehen: Was früher liegt, wird aufgezinst, was später liegt, abgezinst. Der Wert zum Zeitpunkt 0 heißt Barwert, der Wert zum letzten Zeitpunkt Endwert.
Bei unterjähriger Verzinsung gibt es $m$ Zinsperioden pro Jahr (p. s., p. q., p. m.): $K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i_m)^{n \cdot m}$ . In Teil B der HAK und der HUM rechnest du äquivalente Zinssätze so um: $i_m ={}$ $\sqrt[m]{1 + i} - 1$ und $i = (1 + i_m)^m - 1$ . Ein Zwölftel des Jahreszinssatzes ist nicht der Monatszinssatz.
Gesucht ist der Zinssatz oder die Laufzeit? Forme $K_n = K_0 \cdot q^n$ um: $q ={}$ $\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}$ und $n ={}$ $\frac{\ln(K_n / K_0)}{\ln(q)}$ . Das ist dieselbe Rechnung wie bei der Exponentialfunktion.
Wenn in einer Aufgabe nichts anderes steht, bleiben Spesen, Gebühren und Steuern unberücksichtigt. Das steht in Teil B der HAK und der HUM unter „Finanzmathematik“.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Zeitachse zeichnen
Trage alle Zahlungen mit ihrem Zeitpunkt ein und lies ab, in welcher Zeiteinheit die Zinsperiode gemessen wird: Jahr, Quartal oder Monat.
2.Bezugszeitpunkt wählen
Wähle den Zeitpunkt, zu dem die Frage gestellt ist: Für den Barwert ist es 0, für den Endwert der letzte Zeitpunkt. Jede andere Wahl führt zum selben Ergebnis, wenn du konsequent bleibst.
3.Zinssatz auf die Zinsperiode bringen
Passt die Zinsperiode nicht zum Zeitraster der Zahlungen, rechne den Zinssatz über die äquivalente Formel um, statt ihn zu teilen oder zu vervielfachen.
4.Jede Zahlung auf- oder abzinsen
Multipliziere mit $q^k$ , wenn sie $k$ Perioden vor dem Bezugszeitpunkt liegt, und dividiere durch $q^k$ , wenn sie $k$ Perioden danach liegt.
5.Zusammenzählen und deuten
Addiere die Werte, runde erst am Ende und schreibe das Ergebnis mit Einheit und Zeitpunkt an, etwa „Wert aller Zahlungen nach 5 Jahren“.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Endkapital nach mehreren Jahren
Ein Kapital von € 7 500 wird 8 Jahre lang mit 2,5 % pro Jahr verzinst. Berechne das Endkapital.
2.Ein unterjähriger Zinssatz
Ein Sparbuch wird mit 4,2 % pro Jahr verzinst, die Zinsen werden monatlich gutgeschrieben. Berechne den äquivalenten Monatszinssatz und das Guthaben von € 3 000 nach 18 Monaten.
3.Zwei Zahlungen auf der Zeitachse
Ein Betrag von € 2 000 wird heute eingezahlt, ein weiterer von € 3 500 in 3 Jahren. Der Zinssatz beträgt 3 % pro Jahr. Berechne den Wert beider Zahlungen zum Zeitpunkt 5 und zum Zeitpunkt 0.
4.Laufzeit gesucht
Ein Kapital von € 4 000 wird mit 3,5 % pro Jahr verzinst. Nach wie vielen vollen Jahren ist es auf mehr als € 6 400 angewachsen?

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHAK

Sparbücher (Aufgabe 7, Teil d)

In dieser Aufgabe steht der Begriff Sparbuch für ein vereinfachtes Modell, bei dem keine Gebühren und Steuern anfallen. Auf ein Sparbuch werden folgende Einzahlungen

R

getätigt:

Zeitachse „Zeit in Jahren“ mit den Zeitpunkten 0 bis 5. Unter drei der Zeitpunkte steht jeweils ein Pfeil zur Achse mit der Beschriftung R. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Eine der nachstehenden Formeln passt zur obigen Zeitachse.

B

... Wert aller Einzahlungen zum Zeitpunkt 0

E

... Wert aller Einzahlungen zum Zeitpunkt 5

q

... jährlicher Aufzinsungsfaktor

Aufgabe 7, Teilaufgabe d1.

Kreuzen Sie die auf jeden Fall zutreffende Formel an. [1 aus 5]

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 7, Teilaufgabe d1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster schreiben, steht das Thema nur im Kommentar zu Deskriptor 3.9: Vorausgesetzt wird die Kenntnis „grundlegender Begriffe der Zinseszinsrechnung“. Der Begriffekatalog Teil A nennt dazu Zinssatz, Laufzeit, Anfangskapital und Endkapital. Eine Aufgabe in Teil A verlangt also,

K_n ={}

K_0 \cdot (1 + i)^n

anzuwenden oder umzuformen. Zeitachse, äquivalente Zinssätze und Renten: Das steht nicht im Kompetenzkatalog Teil A. Auch in Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz.

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

Der Teil-B-Katalog der HUM hat dieselben Deskriptoren wie der der HAK: B_W_3.1 für die Zeitachse und B_W_3.2 für unregelmäßige Zahlungsströme auf Grundlage der Zinseszinsrechnung, mit Barwert, Endwert und Zinssatz. Aus dem Begriffekatalog der HUM kommen dazu vorschüssig, nachschüssig, äquivalente Zinssätze und effektiver Jahreszinssatz. Du rechnest wie auf dieser Seite, mit einem Rechenansatz und der Formelsammlung neben dir.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HAK

Aufgabe 1.

Ein Kapital von € 11 000 wird 6 Jahre lang mit 1,8 % pro Jahr verzinst. Berechne das Endkapital in Euro. Runde auf ganze Euro.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 2.

Der Jahreszinssatz beträgt 9 %. Welche Gleichung liefert den äquivalenten Monatszinssatz

i_{12}

(p. m.)?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 3.

Ein Kapital

K_0

wird mit dem Jahreszinssatz

i

verzinst, es sei

q = 1 + i

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 4.

Ein Betrag von € 4 000 wächst in 3 Jahren auf € 4 600 an. Berechne den Jahreszinssatz in Prozent. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Den Jahreszinssatz durch 12 teilen. Ein Zinssatz von 6 % pro Jahr ist nicht 0,5 % pro Monat: Der äquivalente Monatszinssatz ist $\sqrt[12]{1{,}06} -{}$ $1 \approx 0{,}4868$ %, denn die Zinsen werden mitverzinst. In Teil B der HAK und der HUM ist bei „monatliche Zahlung bei … % p. a.“ genau dieser Satz gemeint.
Prozent statt Faktor einsetzen. Bei einem Zinssatz von 3 % ist $q = 1{,}03$ , nicht $0{,}03$ und nicht $3$ .
Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten ohne Auf- oder Abzinsen addieren. € 2 000 heute und € 3 500 in 3 Jahren sind nicht € 5 500 wert.
Auf- und Abzinsen verwechseln. Was später fällig ist, hat zu einem früheren Zeitpunkt weniger Wert: Du dividierst durch $q^k$ , du multiplizierst nicht.
Zu früh runden. Wer $q$ schon auf zwei Stellen rundet, ist nach 14 Jahren um einige Euro daneben. Rechne mit dem vollen Wert und runde erst das Ergebnis.

Merk dir

$K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i)^n$ mit dem Aufzinsungsfaktor $q = 1 + i$ .
Abzinsen heißt dividieren: $K_0 = \frac{K_n}{q^n}$ .
Zahlungen vergleichst du nur zu einem gemeinsamen Bezugszeitpunkt.
Äquivalenter Zinssatz: $i_m ={}$ $\sqrt[m]{1 + i} - 1$ , nie $\frac{i}{m}$ .
Laufzeit: $n ={}$ $\frac{\ln(K_n / K_0)}{\ln(q)}$ .
Formelsammlung: Kapitel 21 „Finanzmathematik“, S. 19.

Häufige Fragen

1.Was ist der Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins?+
Antwort:Bei der einfachen Verzinsung werden nur auf das Anfangskapital Zinsen gerechnet, das Kapital wächst linear: $K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i \cdot n)$ . Beim Zinseszins werden die gutgeschriebenen Zinsen im nächsten Jahr mitverzinst, das Kapital wächst exponentiell: $K_n ={}$ $K_0 \cdot (1 + i)^n$ . Die Formelsammlung druckt beide Formeln in Kapitel 21 untereinander. Barwert und Endwert unregelmäßiger Zahlungen bauen auf dem Zinseszins auf.
2.Wie rechne ich einen Monatszinssatz in einen Jahreszinssatz um?+
Antwort:Du hebst den Monatsfaktor auf die 12. Potenz: $i = (1 + i_{12})^{12} - 1$ . Bei einem Monatszinssatz von 0,5 % ist der Jahresfaktor $1{,}005^{12} \approx 1{,}0617$ , der effektive Jahreszinssatz also rund 6,17 % und nicht 6 %. Umgekehrt nimmst du die 12. Wurzel. Beide Formeln stehen in der Formelsammlung in Kapitel 21 zwischen den Feldern „unterjähriger Zinssatz“ und „effektiver Jahreszinssatz“.
3.Was ist der Unterschied zwischen Barwert und Endwert?+
Antwort:Beide sind ein Wert aller Zahlungen zu einem Bezugszeitpunkt. Der Barwert gilt zum Zeitpunkt 0, dem Beginn des Geschäfts, der Endwert zum Zeitpunkt der letzten Zahlung oder zu einem späteren Zeitpunkt, den die Aufgabe nennt. Den Barwert erhältst du durch Abzinsen, den Endwert durch Aufzinsen. Mit dem Aufzinsungsfaktor $q^n$ kommst du von einem zum anderen.
4.Wann hilft mir eine Zeitachse?+
Antwort:Sobald Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten vorkommen. Eine Zeitachse musst du nicht zeichnen, wenn die Aufgabe sie nicht verlangt, aber sie verhindert einen typischen Fehler, nämlich eine Zahlung mit dem falschen Exponenten aufzuzinsen. Im Teil-B-Katalog der HAK und der HUM steht ein eigener Deskriptor dafür: B_W_3.1, Ein- und Auszahlungen auf einer Zeitachse veranschaulichen und gegebene grafische Darstellungen interpretieren.
5.Wie schreibe ich einen Rechenansatz mit Technologie auf?+
Antwort:Schreib die Gleichung auf, die du löst, und gib an, womit du sie löst. Für die Laufzeit etwa: „Gleichung $4\,000 \cdot 1{,}035^n ={}$ $6\,400$ mit der Funktion zum Lösen von Gleichungen nach $n$ gelöst“. Gib die Ausgangsparameter an und nenne die Technologiefunktion, so verlangt es das Korrekturheft der BHS. Ein Ergebnis allein ohne diesen Ansatz bringt in einem offenen Format keinen Punkt.
6.Steht die Zinseszinsformel in der Formelsammlung?+
Antwort:Ja, in Kapitel 21 „Finanzmathematik“ auf Seite 19, mit $K_0$ , $K_n$ und $i$ . Dort stehen auch die Formel für die unterjährige Verzinsung und der Umrechnungspfeil für äquivalente Zinssätze. Nicht im Heft steht, wie du nach $i$ oder $n$ auflöst: Das musst du selbst können, durch die Wurzel und durch Logarithmieren (Kapitel 4).

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HAK)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Zinseszins: Zinseszinsformel, äquivalente Zinssätze, Barwert und Endwert

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Zeitachse zeichnen

2.Bezugszeitpunkt wählen

3.Zinssatz auf die Zinsperiode bringen

4.Jede Zahlung auf- oder abzinsen

5.Zusammenzählen und deuten

Beispiele

1.Endkapital nach mehreren Jahren

2.Ein unterjähriger Zinssatz

3.Zwei Zahlungen auf der Zeitachse

4.Laufzeit gesucht

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

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Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen