Was ist der Unterschied zwischen Kostenkehre und Betriebsoptimum?

In Teil B der HAK und der HUM ist die Kostenkehre die Wendestelle der Kostenfunktion: Dort ändert sich der Kostenverlauf von degressiv zu progressiv, und die Grenzkosten sind am kleinsten. Das Betriebsoptimum liegt weiter rechts: Es ist die Menge, bei der die Stückkosten am kleinsten sind. Die Formelsammlung nennt für die Kostenkehre $K''(x) = 0$ und für das Betriebsoptimum $\overline{K}'(x_{\text{opt}}) = 0$ (Kapitel 23, S. 21).

Was ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion?

Sie beschreibt Kosten, die zuerst unterproportional und später überproportional wachsen: bei kleinen Mengen nutzt der Betrieb seine Anlagen besser aus, bei großen Mengen wird jede weitere Einheit teurer. Mathematisch ist es eine Polynomfunktion 3. Grades mit positiven Fixkosten, einer Kostenkehre als Wendestelle und einem S-förmigen Graphen. Die Begriffe stehen im Teil-B-Katalog der HAK und der HUM.

Wann brauche ich die Technologie, und was schreibe ich auf?

Beim Betriebsoptimum und bei den Gewinngrenzen einer Polynomfunktion 3. Grades führt die Gleichung auf einen Grad über 2, den du mit der Technologie löst. Schreibe die Gleichung auf, die du löst, nenne die verwendete Funktion und die Ausgangsparameter, etwa Koeffizienten und Lösungsbereich. Das verlangt das Korrekturheft der BHS: Berechnungen im offenen Format ohne nachvollziehbaren Ansatz geben keinen Punkt.

Wie finde ich den Gewinn, wenn nur die Grenzfunktionen gegeben sind?

Stelle zuerst aus den Stammfunktionen von Grenzerlös und Grenzkosten die Funktionen $E$ und $K$ auf. Die Integrationskonstanten sind bei der Erlösfunktion null, weil $E(0) = 0$ gilt, und bei den Kosten gleich den Fixkosten. Dann ist $G(x) = E(x) - K(x)$. Der Satz „Gewinn maximal, wenn Grenzerlös gleich Grenzkosten“ führt schneller zur Menge, der Gewinn selbst braucht aber $G$.

Welche Formeln dieser Seite stehen in der Formelsammlung?

Alle Begriffe von Fixkosten bis Cournot’scher Punkt, die in Teil B der HAK und der HUM verlangt werden, stehen in Kapitel 23 auf Seite 21, mit der Schreibweise, die auch die Klausur verwendet. Nicht im Heft stehen Lösungswege: wie du aus $p_N$ und $K$ zum Gewinn kommst, wie du das Maximum findest und was ein Ergebnis wirtschaftlich bedeutet. Das ist der Teil, den du üben musst.

Was verlangt Teil A zu diesem Thema?

Nur den Zusammenhang zwischen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion und die Begriffe Fixkosten, variable Kosten, Gewinngrenzen und Gewinnbereich (Kommentar zu Deskriptor 3.9 und Begriffekatalog Teil A). Rechnungen mit Betriebsoptimum und Cournot’schem Punkt gehören in Teil B der HAK und der HUM. Auch in Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HAK)

Kosten- und Preistheorie: Kostenfunktion, Break-even-Point und Cournot’scher Punkt

In der Kosten- und Preistheorie beschreibst du einen Betrieb mit Funktionen: Kosten, Erlös und Gewinn in Abhängigkeit von der Menge. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du Fixkosten, Stückkosten und Grenzkosten bestimmst, Betriebsoptimum und Preisuntergrenze findest, Gewinngrenzen berechnest und den Cournot’schen Punkt mit der Ableitung ermittelst.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Angewandte Mathematik, Teil A: in keiner der 8; Teil B HUM: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

Aus dem Katalog

Angewandte Mathematik (HAK)

B_W_4.1bei Aufgabenstellungen in wirtschaftlichen Kontexten Kosten-, Nachfrage-, Erlös- und Gewinnfunktionen mithilfe von Polynomfunktionen modellieren
B_W_4.2typische Verläufe der Graphen der Preisfunktion der Nachfrage, der Erlösfunktion, der Kostenfunktion und der Gewinnfunktion skizzieren, darstellen und interpretieren; Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechnen, interpretieren und damit argumentieren
B_W_4.3Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze sowie Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze mithilfe der (variablen) Stückkostenfunktion bestimmen, in diesem Kontext modellieren, interpretieren und argumentieren
B_W_4.4wirtschaftliche Grenzfunktionen als Ableitungsfunktionen modellieren, berechnen und interpretieren; Stammfunktionen von Grenzfunktionen ermitteln und den Zusammenhang der beiden Funktionen erklären
B_W2_4.5bei Aufgabenstellungen in wirtschaftlichen Kontexten mit der Angebotsfunktion modellieren; das Marktgleichgewicht ermitteln und interpretieren

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_4.1bei Aufgabenstellungen in wirtschaftlichen Kontexten Kosten-, Nachfrage-, Erlös- und Gewinnfunktionen mithilfe von Polynomfunktionen modellieren
- B_W_4.2typische Verläufe der Graphen der Preisfunktion der Nachfrage, der Erlösfunktion, der Kostenfunktion und der Gewinnfunktion skizzieren, darstellen und interpretieren; Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechnen, interpretieren und damit argumentieren
- B_W_4.3Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze sowie Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze mithilfe der (variablen) Stückkostenfunktion bestimmen, in diesem Kontext modellieren, interpretieren und argumentieren
- B_W_4.4wirtschaftliche Grenzfunktionen als Ableitungsfunktionen modellieren, berechnen und interpretieren; Stammfunktionen von Grenzfunktionen ermitteln und den Zusammenhang der beiden Funktionen erklären
- B_W2_4.5bei Aufgabenstellungen in wirtschaftlichen Kontexten mit der Angebotsfunktion modellieren; das Marktgleichgewicht ermitteln und interpretieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8b1, 8c1, 8d1, 8d2; Haupttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2, 7b3; Wintertermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3, 9b1, 9b2, 9c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7b2, 7c1; Wintertermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8b1, 8c1, 8d1, 8d2; Haupttermin 2024: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7c1, 7c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Kommentar 3.9Vorausgesetzt wird die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion sowie grundlegender Begriffe der Zinseszinsrechnung.
Gefragt in keiner der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_4.1bei Aufgabenstellungen in wirtschaftlichen Kontexten Kosten-, Nachfrage-, Erlös- und Gewinnfunktionen mithilfe von Polynomfunktionen modellieren
- B_W_4.2typische Verläufe der Graphen der Preisfunktion der Nachfrage, der Erlösfunktion, der Kostenfunktion und der Gewinnfunktion skizzieren, darstellen und interpretieren; Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechnen, interpretieren und damit argumentieren
- B_W_4.3Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze sowie Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze mithilfe der (variablen) Stückkostenfunktion bestimmen, in diesem Kontext modellieren, interpretieren und argumentieren
- B_W_4.4wirtschaftliche Grenzfunktionen als Ableitungsfunktionen modellieren, berechnen und interpretieren; Stammfunktionen von Grenzfunktionen ermitteln und den Zusammenhang der beiden Funktionen erklären
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8b1, 8c1, 8d1, 8d2; Haupttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2, 7b3; Wintertermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3, 9b1, 9b2, 9c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7b2, 7c1; Wintertermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8b1, 8c1, 8d1, 8d2; Haupttermin 2024: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1, 7c1, 7c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Die Menge $x \geq 0$ ist die produzierte, angebotene oder verkaufte Menge. Die Kostenfunktion $K(x)$ gibt die Gesamtkosten an, die Fixkosten sind $F = K(0)$ , die variablen Kosten $K_v(x) = K(x) - F$ , die Grenzkosten $K'(x)$ . Die Formelsammlung nennt alle in Kapitel 23 (S. 21).
Die Stückkostenfunktion (Durchschnittskostenfunktion) ist $\overline{K}(x) ={}$ $\frac{K(x)}{x}$ , die variable Stückkostenfunktion $\overline{K_v}(x) ={}$ $\frac{K_v(x)}{x}$ . Sie sagen dir, was ein Stück im Durchschnitt kostet.
In Teil B der HAK und der HUM bestimmst du das Betriebsoptimum $x_{\text{opt}}$ als Minimumstelle von $\overline{K}$ : $\overline{K}'(x_{\text{opt}}) ={}$ $0$ . Der Wert $\overline{K}(x_{\text{opt}})$ ist die langfristige Preisuntergrenze. Das Betriebsminimum ist die Minimumstelle der variablen Stückkosten, ihr Wert die kurzfristige Preisuntergrenze. Im Betriebsoptimum schneidet der Graph von $K'$ den von $\overline{K}$ .
Eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion ist eine Polynomfunktion 3. Grades. Die Kostenkehre in Teil B der HAK und der HUM ist ihre Wendestelle: $K''(x) = 0$ . Davor ist der Kostenverlauf degressiv ( $K''(x) < 0$ ), danach progressiv ( $K''(x) > 0$ ).
Die Preisfunktion der Nachfrage $p_N(x)$ (Preis-Absatz-Funktion) gibt den Preis an, bei dem die Menge $x$ nachgefragt wird. Der Höchstpreis ist $p_N(0)$ , die Sättigungsmenge die Stelle mit $p_N(x) = 0$ . Der Erlös ist Preis mal Menge: $E(x) ={}$ $p_N(x) \cdot x$ .
Der Gewinn ist $G(x) = E(x) - K(x)$ . Die Gewinngrenzen sind die Nullstellen $x_u \leq x_o$ von $G$ , die untere ist der Break-even-Point. Zwischen ihnen liegt der Gewinnbereich $[x_u; x_o]$ . In Teil B der HAK und der HUM ist der Cournot’sche Punkt $C ={}$ $(x_C \mid p_N(x_C))$ der Punkt des maximalen Gewinns, mit $G'(x_C) = 0$ .
Die Grenzfunktionen sind Ableitungen: $K'$ , $E'$ und $G' = E' - K'$ . Der Gewinn ist dort maximal, wo Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind. Umgekehrt ergibt eine Stammfunktion der Grenzkosten mit den Fixkosten als Konstante die Kostenfunktion. In Teil B der HAK kommt das Marktgleichgewicht $p_A(x) = p_N(x)$ mit der Preisfunktion des Angebots dazu (B_W2_4.5).

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Funktionen und Größen festhalten
Lies ab, was $x$ und was die Funktionswerte bedeuten, und schreibe auf, welche der Funktionen $K$ , $p_N$ , $E$ und $G$ gegeben sind und welche du aufstellen musst.
2.Fehlende Funktionen aufstellen
Aus der Preisfunktion der Nachfrage wird $E(x) ={}$ $p_N(x) \cdot x$ , aus Erlös und Kosten $G(x) = E(x) - K(x)$ . Fixkosten sind $K(0)$ .
3.Die richtige Bedingung ansetzen
In Teil B der HAK und der HUM: Nullstellen von $G$ für die Gewinngrenzen, $G'(x) = 0$ für den Cournot’schen Punkt, $\overline{K}'(x) ={}$ $0$ für das Betriebsoptimum, $K''(x) = 0$ für die Kostenkehre.
4.Lösen und Randbedingungen prüfen
Löse die Gleichung, bei höherem Grad mit der Technologie und festgehaltenem Ansatz. Prüfe $x \geq 0$ und ob es wirklich ein Maximum oder Minimum ist.
5.Wirtschaftlich deuten
Gib Menge und Preis mit Einheit an und sage, was das Ergebnis im Betrieb bedeutet, etwa „unter diesem Preis macht der Betrieb auf Dauer Verlust“.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Kostenkehre und Betriebsoptimum (Teil B der HAK und der HUM)
Die Kosten eines Betriebs werden durch $K(x) ={}$ $0{,}1 \cdot x^3 -{}$ $1{,}5 \cdot x^2 +{}$ $20 \cdot x +{}$ $50$ beschrieben ( $x$ in ME, $K(x)$ in GE). Gib die Fixkosten an und berechne die Kostenkehre, das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze.
2.Erlös, Gewinn und Cournot’scher Punkt (Teil B der HAK und der HUM)
Ein Betrieb hat die Preisfunktion der Nachfrage $p_N(x) ={}$ $-0{,}5 \cdot x + 40$ und die Kostenfunktion $K(x) ={}$ $4 \cdot x + 150$ ( $x$ in ME, Preise in GE/ME). Gib Höchstpreis und Sättigungsmenge an, stelle die Gewinnfunktion auf und berechne die Gewinngrenzen und den Cournot’schen Punkt.
3.Marktgleichgewicht in Teil B der HAK
Die Preisfunktion der Nachfrage ist $p_N(x) ={}$ $90 - 0{,}6 \cdot x$ , die Preisfunktion des Angebots $p_A(x) ={}$ $0{,}4 \cdot x + 20$ . Berechne das Marktgleichgewicht.
4.Von den Grenzkosten zur Kostenfunktion
Die Grenzkosten eines Betriebs sind $K'(x) ={}$ $a \cdot x^2 + b \cdot x + c$ mit $a = 0{,}09$ , $b = -1{,}8$ und $c = 12$ . Die Fixkosten betragen 180 GE. Stelle die Kostenfunktion auf und berechne die Kosten bei 10 ME.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHAK

Autolacke (Aufgabe 8, Teil a)

Ein Betrieb stellt Autolacke her. Der Erlös aus dem Verkauf eines bestimmten Acryl-Autolacks kann durch die Erlösfunktion

E

beschrieben werden.

E(x) ={}

-0{,}2 \cdot x^2 +{}

120 \cdot x

x

... Absatzmenge in L

E(x)

... Erlös bei der Absatzmenge

x

in €

Aufgabe 8, Teilaufgabe a2

Berechnen Sie denjenigen Preis, bei dem der Erlös maximal ist.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe a2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaHAK

Autolacke (Aufgabe 8, Teil c)

Ein Betrieb stellt Autolacke her. In der nachstehenden Abbildung sind der Graph der Grenzkostenfunktion

K'

und der Graph der Durchschnittskostenfunktion

\overline{K}

für einen bestimmten Metallic-Autolack dargestellt.

x

... Produktionsmenge in L

K'(x)

... Grenzkosten bei der Produktionsmenge

x

in €/L

\overline{K}(x)

... Durchschnittskosten bei der Produktionsmenge

x

in €/L

Koordinatensystem mit der waagrechten Achse x in L und der senkrechten Achse K′(x), Durchschnittskosten in €/L, Ursprung O. Darin die Graphen der Grenzkostenfunktion und der Durchschnittskostenfunktion, die einander schneiden. Auf der senkrechten Achse sind die Werte A und B markiert, auf der waagrechten Achse die Stellen C und D; dünne Hilfslinien verbinden sie mit Punkten der Graphen. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Aufgabe 8, Teilaufgabe c1.

Ordnen Sie den beiden Begriffen jeweils die zutreffende Stelle bzw. den zutreffenden Funktionswert aus A bis D zu.

1langfristige Preisuntergrenze

2Kostenkehre

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe c1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A steht das Thema nur im Kommentar zu Deskriptor 3.9: Vorausgesetzt wird die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion. Im Begriffekatalog Teil A stehen dazu variable Kosten, variable Kostenfunktion, Fixkosten, Gewinngrenzen und Gewinnbereich. Du brauchst also

G(x) = E(x) - K(x)

, die Fixkosten

K(0)

und die Gewinngrenzen als Nullstellen von

G

. Betriebsoptimum, Preisuntergrenze und Cournot’scher Punkt: Das steht nicht im Kompetenzkatalog Teil A.

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

Der Teil-B-Katalog der HUM hat die Deskriptoren B_W_4.1 bis B_W_4.4: Kosten-, Nachfrage-, Erlös- und Gewinnfunktionen mit Polynomfunktionen modellieren, Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkt berechnen, Betriebsoptimum, Betriebsminimum und Preisuntergrenzen bestimmen, Grenzfunktionen als Ableitungen und ihre Stammfunktionen. Die Angebotsfunktion und das Marktgleichgewicht stehen nicht im Teil-B-Katalog der HUM. Alles andere von dieser Seite gilt auch für dich.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HAK

Ein Betrieb stellt Autolacke her. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Preisfunktion der Nachfrage

p

für einen bestimmten Autolack mit dem Höchstpreis

p_{\mathrm{H}}

und der Sättigungsmenge

x_{\mathrm{S}}

dargestellt.

x

... Absatzmenge in L

p(x)

... Preis bei der Absatzmenge

x

in €/L

Koordinatensystem mit der waagrechten Achse x in L und der senkrechten Achse p(x) in €/L, beide ohne Zahlen bis auf 0. Der Graph von p ist eine fallende Strecke vom Punkt pH auf der senkrechten Achse bis zum Punkt xS auf der waagrechten Achse. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Aufgabe 1.

Kreuzen Sie die auf jeden Fall zutreffende Funktionsgleichung von

p

an. [1 aus 5]

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HAK), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe b1 — matura.gv.at, CC BY 4.0

HAK

Aufgabe 2.

Die Gewinnfunktion eines Betriebs ist

G(x) ={}

-2 \cdot x^2 +{}

120 \cdot x -{}

700

(

x

in ME,

G(x)

in GE). Berechne den maximalen Gewinn in GE.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 3.

In Teil B der HAK hat ein Betrieb die Gewinnfunktion

G

und die Preisfunktion der Nachfrage

p_N

. Welche Aussage über den Cournot’schen Punkt

C ={}

(x_C \mid p_N(x_C))

ist richtig?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 4.

Für einen Betrieb sind die Kostenfunktion

K

mit den Fixkosten

F

, der Erlös

E

und der Gewinn

G

gegeben. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Die Grenzkosten mit den Stückkosten verwechseln. Beim Betriebsoptimum in Teil B der HAK und der HUM sind beide gleich, sonst nicht: Die Grenzkosten $K'(x)$ sind die Ableitung, die Stückkosten $\frac{K(x)}{x}$ sind ein Durchschnitt.
Die Menge statt des Preises angeben. Wer den Erlös maximiert, erhält zuerst die Menge $x$ . Gefragt kann der Preis sein, und den liefert erst $p_N(x)$ .
Beim Break-even-Point die Gewinnfunktion nicht gleich null setzen, sondern den Erlös oder die Kosten für sich ableiten. Die Gewinngrenzen sind die Nullstellen von $G$ .
Beim Betriebsoptimum in Teil B der HAK und der HUM die Kostenfunktion ableiten statt der Stückkostenfunktion. Das Betriebsoptimum ist die Minimumstelle von $\overline{K}$ , die Kostenkehre die Wendestelle von $K$ .
Nur die Ableitung null setzen und nicht prüfen, ob es ein Maximum ist. Bei $G'(x_C) = 0$ zeigt $G''(x_C) < 0$ , dass es ein Maximum ist, und $x_C \geq 0$ muss gelten.

Merk dir

$G(x) = E(x) - K(x)$ und $E(x) ={}$ $p_N(x) \cdot x$ .
Fixkosten $F = K(0)$ , variable Kosten $K_v(x) = K(x) - F$ .
Betriebsoptimum: $\overline{K}'(x) ={}$ $0$ . Kostenkehre: $K''(x) = 0$ .
Cournot’scher Punkt: $G'(x_C) = 0$ , Preis $p_N(x_C)$ .
Gewinngrenzen sind die Nullstellen von $G$ , der Break-even-Point die untere.
Formelsammlung: Kapitel 23 „Kosten- und Preistheorie“, S. 21.

Häufige Fragen

1.Was ist der Unterschied zwischen Kostenkehre und Betriebsoptimum?+
Antwort:In Teil B der HAK und der HUM ist die Kostenkehre die Wendestelle der Kostenfunktion: Dort ändert sich der Kostenverlauf von degressiv zu progressiv, und die Grenzkosten sind am kleinsten. Das Betriebsoptimum liegt weiter rechts: Es ist die Menge, bei der die Stückkosten am kleinsten sind. Die Formelsammlung nennt für die Kostenkehre $K''(x) = 0$ und für das Betriebsoptimum $\overline{K}'(x_{\text{opt}}) ={}$ $0$ (Kapitel 23, S. 21).
2.Was ist eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion?+
Antwort:Sie beschreibt Kosten, die zuerst unterproportional und später überproportional wachsen: bei kleinen Mengen nutzt der Betrieb seine Anlagen besser aus, bei großen Mengen wird jede weitere Einheit teurer. Mathematisch ist es eine Polynomfunktion 3. Grades mit positiven Fixkosten, einer Kostenkehre als Wendestelle und einem S-förmigen Graphen. Die Begriffe stehen im Teil-B-Katalog der HAK und der HUM.
3.Wann brauche ich die Technologie, und was schreibe ich auf?+
Antwort:Beim Betriebsoptimum und bei den Gewinngrenzen einer Polynomfunktion 3. Grades führt die Gleichung auf einen Grad über 2, den du mit der Technologie löst. Schreibe die Gleichung auf, die du löst, nenne die verwendete Funktion und die Ausgangsparameter, etwa Koeffizienten und Lösungsbereich. Das verlangt das Korrekturheft der BHS: Berechnungen im offenen Format ohne nachvollziehbaren Ansatz geben keinen Punkt.
4.Wie finde ich den Gewinn, wenn nur die Grenzfunktionen gegeben sind?+
Antwort:Stelle zuerst aus den Stammfunktionen von Grenzerlös und Grenzkosten die Funktionen $E$ und $K$ auf. Die Integrationskonstanten sind bei der Erlösfunktion null, weil $E(0) = 0$ gilt, und bei den Kosten gleich den Fixkosten. Dann ist $G(x) = E(x) - K(x)$ . Der Satz „Gewinn maximal, wenn Grenzerlös gleich Grenzkosten“ führt schneller zur Menge, der Gewinn selbst braucht aber $G$ .
5.Welche Formeln dieser Seite stehen in der Formelsammlung?+
Antwort:Alle Begriffe von Fixkosten bis Cournot’scher Punkt, die in Teil B der HAK und der HUM verlangt werden, stehen in Kapitel 23 auf Seite 21, mit der Schreibweise, die auch die Klausur verwendet. Nicht im Heft stehen Lösungswege: wie du aus $p_N$ und $K$ zum Gewinn kommst, wie du das Maximum findest und was ein Ergebnis wirtschaftlich bedeutet. Das ist der Teil, den du üben musst.
6.Was verlangt Teil A zu diesem Thema?+
Antwort:Nur den Zusammenhang zwischen Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion und die Begriffe Fixkosten, variable Kosten, Gewinngrenzen und Gewinnbereich (Kommentar zu Deskriptor 3.9 und Begriffekatalog Teil A). Rechnungen mit Betriebsoptimum und Cournot’schem Punkt gehören in Teil B der HAK und der HUM. Auch in Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz.

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HAK)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Kosten- und Preistheorie: Kostenfunktion, Break-even-Point und Cournot’scher Punkt

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Funktionen und Größen festhalten

2.Fehlende Funktionen aufstellen

3.Die richtige Bedingung ansetzen

4.Lösen und Randbedingungen prüfen

5.Wirtschaftlich deuten

Beispiele

1.Kostenkehre und Betriebsoptimum (Teil B der HAK und der HUM)

2.Erlös, Gewinn und Cournot’scher Punkt (Teil B der HAK und der HUM)

3.Marktgleichgewicht in Teil B der HAK

4.Von den Grenzkosten zur Kostenfunktion

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

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Siehe auch

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