Woran erkenne ich in einer Tabelle eine Exponentialfunktion?

Teile jeden Wert durch den vorigen, wenn die Zeitpunkte gleich weit auseinanderliegen. Sind die Quotienten gleich, passt ein exponentielles Modell, und der Quotient ist der Faktor für diesen Abstand. Sind stattdessen die Differenzen gleich, ist das Modell linear. Bei Messwerten aus der Wirklichkeit sind die Quotienten oft nur ungefähr gleich; dann beschreibt das Modell den Vorgang näherungsweise.

Was ist der Unterschied zwischen $a^t$ und $\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}$?

Es sind zwei Schreibweisen für dieselben Funktionen. Mit $a = \mathrm{e}^{\lambda}$ wird $c \cdot a^t$ zu $c \cdot \mathrm{e}^{\lambda \cdot t}$. Den Faktor $a$ liest du direkt als Änderung pro Zeiteinheit; $\lambda$ brauchst du, wenn die Angabe die Funktion mit $\mathrm{e}$ schreibt oder wenn du ableitest. Umrechnen kannst du jederzeit mit $\lambda = \ln(a)$.

Wie berechne ich die Halbwertszeit?

Setze $a^t = 0{,}5$ an und löse durch Logarithmieren: $t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}$. Bei der Form mit $\mathrm{e}$ ist $t_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\lambda}$. Das Ergebnis ist positiv, weil bei einer Abnahme sowohl $\ln(0{,}5)$ als auch $\ln(a)$ negativ sind. Den Anfangswert brauchst du dafür nicht.

Steht die Formel für die Verdoppelungszeit in der Formelsammlung?

Die Formelsammlung des BMB hat ein Kapitel zu Wachstums- und Abnahmeprozessen (Kapitel 15, Seite 12) mit der Exponentialfunktion in beiden Schreibweisen, aber ohne eigene Formel für diese beiden Zeiten. Wie du die Verdoppelungszeit oder die Halbwertszeit daraus bestimmst, solltest du trotzdem selbst können: Es ist eine Gleichung, die du durch Logarithmieren löst.

Wann ist ein exponentielles Modell nicht angemessen?

Wenn der Vorgang auf Dauer nicht unbegrenzt wachsen kann, etwa weil Platz oder Nahrung knapp werden, oder wenn die Werte in gleichen Abständen um ungefähr denselben Betrag statt um denselben Faktor zunehmen. Dann passt ein beschränktes, logistisches oder lineares Modell besser, und eine Aufgabe kann genau nach dieser Begründung fragen.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Exponentialfunktionen: Wachstumsfaktor, Halbwertszeit und Verdoppelungszeit

Q: Darf ich Exponentialgleichungen mit der Technologie lösen?

Ja, deine Technologie darfst du in der ganzen Klausur verwenden. Schreib aber die Gleichung, die du löst, in deine Bearbeitung. An der BHS zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz, und auch an der AHS hilft dir der Ansatz, wenn sich ein Tippfehler einschleicht.

Eine Exponentialfunktion beschreibt einen Vorgang, bei dem sich ein Wert in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Faktor ändert: ein Kapital mit festem Zinssatz, eine Bakterienkultur, ein Medikament im Blut. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du den Wachstumsfaktor abliest, die Halbwertszeit und die Verdoppelungszeit berechnest und erkennst, wann ein Modell exponentiell ist.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 1: in 5 der 8.

Aus dem Katalog

Mathematik (AHS)

FA 5.1verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
FA 5.2aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
FA 5.3die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
FA 5.4wichtige Eigenschaften ( $f(x + 1) ={}$ $b \cdot f(x)$ ; $[\mathrm{e}^x]' ={}$ $\mathrm{e}^x$ ) kennen und im Kontext deuten können
FA 5.5die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
FA 5.6die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- FA 5.1verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
- FA 5.2aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
- FA 5.3die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
- FA 5.4wichtige Eigenschaften ( $f(x + 1) ={}$ $b \cdot f(x)$ ; $[\mathrm{e}^x]' ={}$ $\mathrm{e}^x$ ) kennen und im Kontext deuten können
- FA 5.5die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
- FA 5.6die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgabe 12; Haupttermin 2025: Aufgaben 11, 25b1, 26a1, 27a2; Haupttermin 2024: Aufgabe 11; Haupttermin 2023: Aufgaben 11, 28a1, 28a2; Haupttermin 2022: Aufgaben 11, 25b1, 27a1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 2.10Exponentialgleichungen vom Typ $a^{k \cdot x} = b$ nach $x$ auflösen
- Deskriptor 2.11Polynomgleichungen, Exponentialgleichungen und Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mittels Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis interpretieren
- Deskriptor 3.5Graphen von Exponentialfunktionen skizzieren, Exponentialfunktionen als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie die Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
- Deskriptor 3.6lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen im Kontext beurteilen
- Deskriptor 3.9anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, Polynomfunktion bis zum Grad 3 und Exponentialfunktion) modellieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 3b1, 3b2; Haupttermin 2026: Aufgaben 1a1, 1b1, 1d1, 1d2; Wintertermin 2026: Aufgabe 5b1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 5c1, 6b1; Haupttermin 2025: Aufgaben 4c1, 4c2, 5a1, 5b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 6a1, 6a2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 6a1, 6a2; Haupttermin 2024: Aufgaben 5b1, 5b2, 5c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_3.5geeignete Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (linear, exponentiell, beschränkt, logistisch) aufstellen, mit den zugehörigen Funktionen Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in 4 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Wintertermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2, 7c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2; Wintertermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1; Herbsttermin 2024: Aufgabe 9c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_3.5geeignete Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (linear, exponentiell, beschränkt, logistisch) aufstellen, mit den zugehörigen Funktionen Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in 4 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Wintertermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7b1, 7b2, 7c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2; Wintertermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2, 8c1; Herbsttermin 2024: Aufgabe 9c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
- B_T_2.2anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
- B_T_4.1Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben und erklären; Unstetigkeitsstellen interpretieren
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgabe 9a2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7c3; Haupttermin 2025: Aufgaben 9a1, 9a4; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2; Haupttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T_2.2anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
- B_T_4.1Eigenschaften von Funktionen: asymptotisches Verhalten bei Sättigungs- und Abklingfunktionen beschreiben und erklären; Unstetigkeitsstellen interpretieren
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgabe 9b1; Wintertermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2; Haupttermin 2025: Aufgaben 8a2, 8b1, 8b3, 9c1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7b1, 7b2, 9d1, 9d2; Haupttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8a3, 8a4, 9c1, 9c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B
- B_P_3.3bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe der Logarithmusfunktionen zu den Basen $\mathrm{e}$ und 10 modellieren, diese Aufgabenstellungen lösen, Sachverhalte grafisch darstellen und Zusammenhänge beschreiben; den Zusammenhang von Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion als Umkehrfunktionen voneinander interpretieren
- B_P_5.1bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe von Ausgleichsfunktionen/Regressionsfunktionen (Polynomfunktionen bis Grad 4, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen) mittels Technologieeinsatz modellieren, im Sachzusammenhang interpretieren und damit argumentieren; den Korrelationskoeffizienten nach Pearson bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren
Gefragt in 3 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgabe 8c1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Eine Exponentialfunktion hat die Form $f(t) = c \cdot a^t$ mit $c > 0$ und $a > 0$ , $a \neq 1$ . Dabei ist $c = f(0)$ der Anfangswert und $a$ der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit.
Für $a > 1$ wächst $f$ , für $0 < a < 1$ nimmt $f$ ab. Bei einer Zunahme um $p$ % pro Zeiteinheit ist $a = 1 + \frac{p}{100}$ , bei einer Abnahme um $p$ % ist $a = 1 - \frac{p}{100}$ .
Das Kennzeichen: In gleich langen Zeitabschnitten ändert sich der Wert immer um denselben Faktor, nicht um denselben Betrag. Es gilt $f(t + 1) ={}$ $a \cdot f(t)$ und allgemein $f(t + h) ={}$ $a^h \cdot f(t)$ .
Die Form $f(t) ={}$ $c \cdot \mathrm{e}^{\lambda \cdot t}$ beschreibt dieselben Funktionen: $a ={}$ $\mathrm{e}^{\lambda}$ und $\lambda = \ln(a)$ . Ist $\lambda > 0$ , wächst $f$ ; ist $\lambda < 0$ , nimmt $f$ ab. Die Formelsammlung des BMB (Kapitel 15, Seite 12) nennt $a$ den Änderungsfaktor und schreibt die Abnahme als $N(t) ={}$ $N_0 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}$ mit positivem $\lambda$ .
Die Verdoppelungszeit ist die Zeit, in der sich der Wert verdoppelt: $t_D ={}$ $\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$ . Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der er sich halbiert: $t_H ={}$ $\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}$ . Beide hängen nicht vom Anfangswert ab.
Eine Gleichung wie $a^t = b$ löst du durch Logarithmieren: $t ={}$ $\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$ .

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Anfangswert und Zeiteinheit festlegen
Lies ab, welcher Wert zum Zeitpunkt $t = 0$ gilt und in welcher Einheit die Zeit gemessen wird: Jahre, Stunden oder Minuten.
2.Den Wachstumsfaktor bestimmen
Aus einer Prozentangabe wird $a = 1 \pm \frac{p}{100}$ . Aus zwei Werten im Abstand $h$ erhältst du $a^h ={}$ $\frac{f(t + h)}{f(t)}$ und daraus $a$ als $h$ -te Wurzel.
3.Die Funktionsgleichung aufstellen
Setze $f(t) = c \cdot a^t$ an und prüfe mit einem gegebenen Wert, ob die Gleichung stimmt.
4.Rechnen oder nach der Zeit lösen
Für einen Wert setzt du $t$ ein. Für einen Zeitpunkt löst du $c \cdot a^t = b$ durch Logarithmieren oder mit deiner Technologie.
5.Im Kontext deuten
Gib das Ergebnis mit Einheit und in sinnvoller Genauigkeit an und sag, was es im Sachzusammenhang bedeutet. Runde erst am Ende.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Ein Kapital mit festem Zinssatz
Ein Kapital von € 8 000 wird mit 3 % pro Jahr verzinst, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Stelle eine Funktion für das Kapital nach $t$ Jahren auf, berechne das Kapital nach 10 Jahren und die Verdoppelungszeit.
2.Ein Medikament im Blut
Von einem Medikament sind 200 mg im Blut. Die Menge nimmt pro Stunde um 15 % ab. Berechne die Menge nach 6 Stunden und die Halbwertszeit.
3.Den Wachstumsfaktor aus zwei Werten bestimmen
Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 500 Bakterien, nach 2 Stunden sind es 720. Bestimme die Funktionsgleichung und berechne, nach welcher Zeit sich die Anzahl verdoppelt hat.
4.Linear oder exponentiell?
Eine Tabelle zeigt für $t = 0$ , $1$ und $2$ die Werte 40, 52 und 67,6. Entscheide, ob ein lineares oder ein exponentielles Modell passt, und gib die Funktionsgleichung an.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 11.

Kapital Ein bestimmtes Kapital wächst jährlich um den gleichen Prozentsatz. In der nachstehenden Tabelle ist das Kapital für ausgewählte Jahre angegeben.

Jahr	Kapital in Euro
0	$K_0$
2	15.125,00
4	18.301,25
6	22.144,51

Berechnen Sie

K_0

K_0

in Euro

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 11 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 12

Halbwertszeit Die Menge einer radioaktiven Substanz nimmt mit der Zeit modellhaft exponentiell ab. Berechnen Sie den Zeitpunkt

t_1

, an dem die Menge der radioaktiven Substanz auf 6,25 % der ursprünglichen Menge sinkt, und geben Sie diesen Zeitpunkt als Vielfaches der Halbwertszeit an.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 12 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, steht das Thema in mehreren Deskriptoren: Du sollst Exponentialfunktionen als Wachstums- und Abnahmemodelle deuten, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen (Deskriptor 3.5), lineare und exponentielle Modelle vergleichen (Deskriptor 3.6) und Gleichungen wie

a^{k \cdot x} = b

nach

x

auflösen (Deskriptor 2.10). In Teil A zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz: Schreib die Gleichung auf, bevor du sie mit deiner Technologie löst.

Angewandte Mathematik (HAK)

In Teil B der HAK und der HUM geht es um passende Modelle für Änderungsprozesse: linear, exponentiell, beschränkt und logistisch (B_W_3.5). Beim beschränkten Wachstum nähert sich der Wert einer Schranke, beim logistischen wächst er zuerst fast exponentiell und dann immer langsamer. Lies in der Angabe, welches Modell verlangt ist.

Angewandte Mathematik (HTL 1)

In Teil B der HTL 1 und der HTL 2 kommen zur Wachstumsfunktion die Sättigungs- und die Abklingfunktion dazu (B_T_3.2), mit ihrem asymptotischen Verhalten (B_T_4.1), etwa

f(t) ={}

S -{}

(S - f_0) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}

. Exponential- und Logarithmusgleichungen sollst du dort laut B_T_2.2 mittels Technologieeinsatz lösen.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

Im Cluster P (BAfEP, BASOP, BRP) steht die Exponentialfunktion in B_P_3.3 als Gegenstück der Logarithmusfunktion: Du sollst mit Logarithmusfunktionen zu den Basen

\mathrm{e}

und 10 modellieren und den Zusammenhang von Logarithmus- und Exponentialfunktion als Umkehrfunktionen interpretieren. Löst du

c \cdot a^t = b

nach

t

, verwendest du genau diesen Zusammenhang.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Aufgabe 1.

Bakterienkulturen Die Anzahl der Bakterien von Bakterienkulturen in Abhängigkeit von der Zeit

t

kann durch eine Exponentialfunktion

f

modelliert werden.

t

… Zeit in h

f(t)

… Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt

t

Ordnen Sie den vier Aussagen jeweils die zutreffende Darstellung aus A bis F zu.

A $f(t) ={}$ $f(0) \cdot 2^t$
B $f(t) ={}$ $f(0) \cdot 8^t$
CTabelle: für $t = 0$ ist $f(t) = f(0)$ , für $t = 9$ ist $f(t) = 2 \cdot f(0)$
DTabelle: für $t = 0$ ist $f(t) = f(0)$ , für $t = 1$ ist $f(t) = 3 \cdot f(0)$
E
F

1Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich alle 20 Minuten.

2Die Anzahl der Bakterien verneunfacht sich alle 2 Stunden.

3Die Anzahl der Bakterien erhöht sich jede Stunde um 100 %.

4Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich alle 0,5 Stunden.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 10 — matura.gv.at, CC BY 4.0

AHS

Aufgabe 2.

Von einer Substanz sind zu Beginn 50 mg vorhanden. Die Menge nimmt pro Stunde um 20 % ab. Welche Funktion beschreibt die Menge nach

t

Stunden?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 3.

Gegeben ist die Funktion

f(t) ={}

3 \cdot 1{,}5^t

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 4.

Ein Wert nimmt pro Jahr um 4 % ab. Mit welchem Faktor ändert er sich in 5 Jahren? Runde auf drei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Prozent und Faktor verwechseln. Eine Zunahme um 7 % ist der Faktor $1{,}07$ , nicht $0{,}07$ und nicht $7$ ; eine Abnahme um 7 % ist der Faktor $0{,}93$ .
Gleiche Differenzen für exponentiell halten. Bei einer Exponentialfunktion sind die Quotienten aufeinanderfolgender Werte gleich, bei einer linearen Funktion die Differenzen.
Die Zeiteinheit übersehen. Ist der Faktor pro Stunde gegeben und wird nach Minuten gefragt, musst du umrechnen: Bei $a = 1{,}2$ pro Stunde ist der Faktor pro Minute $1{,}2^{1/60}$ .
Zu früh runden. Rundest du $a$ schon auf zwei Stellen, wird das Ergebnis nach vielen Zeitschritten deutlich falsch. Rechne mit dem vollen Wert und runde am Ende.
Die Halbwertszeit vom Anfangswert abhängig machen. Sie hängt nur vom Faktor ab: Ob 200 mg oder 2 mg, die Hälfte ist nach derselben Zeit weg.

Merk dir

$f(t) = c \cdot a^t$ : $c$ ist der Anfangswert, $a$ der Faktor pro Zeiteinheit.
Zunahme um $p$ %: $a = 1 + \frac{p}{100}$ ; Abnahme um $p$ %: $a = 1 - \frac{p}{100}$ .
Exponentiell heißt: gleiche Quotienten in gleichen Abständen.
$t_D ={}$ $\frac{\ln(2)}{\ln(a)}$ und $t_H ={}$ $\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}$ .
$a ={}$ $\mathrm{e}^{\lambda}$ und $\lambda = \ln(a)$ .

Häufige Fragen

1.Woran erkenne ich in einer Tabelle eine Exponentialfunktion?+
Antwort:Teile jeden Wert durch den vorigen, wenn die Zeitpunkte gleich weit auseinanderliegen. Sind die Quotienten gleich, passt ein exponentielles Modell, und der Quotient ist der Faktor für diesen Abstand. Sind stattdessen die Differenzen gleich, ist das Modell linear. Bei Messwerten aus der Wirklichkeit sind die Quotienten oft nur ungefähr gleich; dann beschreibt das Modell den Vorgang näherungsweise.
2.Was ist der Unterschied zwischen $a^t$ und $\mathrm{e}^{\lambda \cdot t}$ ?+
Antwort:Es sind zwei Schreibweisen für dieselben Funktionen. Mit $a ={}$ $\mathrm{e}^{\lambda}$ wird $c \cdot a^t$ zu $c \cdot \mathrm{e}^{\lambda \cdot t}$ . Den Faktor $a$ liest du direkt als Änderung pro Zeiteinheit; $\lambda$ brauchst du, wenn die Angabe die Funktion mit $\mathrm{e}$ schreibt oder wenn du ableitest. Umrechnen kannst du jederzeit mit $\lambda = \ln(a)$ .
3.Wie berechne ich die Halbwertszeit?+
Antwort:Setze $a^t = 0{,}5$ an und löse durch Logarithmieren: $t_H ={}$ $\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(a)}$ . Bei der Form mit $\mathrm{e}$ ist $t_H ={}$ $\frac{\ln(0{,}5)}{\lambda}$ . Das Ergebnis ist positiv, weil bei einer Abnahme sowohl $\ln(0{,}5)$ als auch $\ln(a)$ negativ sind. Den Anfangswert brauchst du dafür nicht.
4.Steht die Formel für die Verdoppelungszeit in der Formelsammlung?+
Antwort:Die Formelsammlung des BMB hat ein Kapitel zu Wachstums- und Abnahmeprozessen (Kapitel 15, Seite 12) mit der Exponentialfunktion in beiden Schreibweisen, aber ohne eigene Formel für diese beiden Zeiten. Wie du die Verdoppelungszeit oder die Halbwertszeit daraus bestimmst, solltest du trotzdem selbst können: Es ist eine Gleichung, die du durch Logarithmieren löst.
5.Darf ich Exponentialgleichungen mit der Technologie lösen?+
Antwort:Ja, deine Technologie darfst du in der ganzen Klausur verwenden. Schreib aber die Gleichung, die du löst, in deine Bearbeitung. An der BHS zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz, und auch an der AHS hilft dir der Ansatz, wenn sich ein Tippfehler einschleicht.
6.Wann ist ein exponentielles Modell nicht angemessen?+
Antwort:Wenn der Vorgang auf Dauer nicht unbegrenzt wachsen kann, etwa weil Platz oder Nahrung knapp werden, oder wenn die Werte in gleichen Abständen um ungefähr denselben Betrag statt um denselben Faktor zunehmen. Dann passt ein beschränktes, logistisches oder lineares Modell besser, und eine Aufgabe kann genau nach dieser Begründung fragen.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Exponentialfunktionen: Wachstumsfaktor, Halbwertszeit und Verdoppelungszeit

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Anfangswert und Zeiteinheit festlegen

2.Den Wachstumsfaktor bestimmen

3.Die Funktionsgleichung aufstellen

4.Rechnen oder nach der Zeit lösen

5.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Ein Kapital mit festem Zinssatz

2.Ein Medikament im Blut

3.Den Wachstumsfaktor aus zwei Werten bestimmen

4.Linear oder exponentiell?

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HAK)

Angewandte Mathematik (HTL 1)

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

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Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen