Wann brauche ich den Logarithmus?

Immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht, etwa in $1{,}18^t = 4$. Das typische Beispiel ist die Frage nach der Zeit, nach der ein exponentielles Wachstum oder eine Abnahme einen bestimmten Wert erreicht. Steht die Unbekannte in der Basis, brauchst du dagegen die Wurzel. Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz.

Was ist der Unterschied zwischen $\ln$, $\lg$ und $\log_a$?

Alle drei sind Logarithmen, nur die Basis ist verschieden: $\ln$ hat die Basis $\mathrm{e} \approx 2{,}718$, $\lg$ die Basis 10 und $\log_a$ die Basis $a$. Für das Lösen von Exponentialgleichungen kannst du jeden verwenden, solange du ihn auf beiden Seiten gleich anwendest. Die Formelsammlung des BMB führt $\ln$ und $\lg$ in Kapitel 4 auf Seite 4 an.

Wie löse ich $a^{k \cdot x} = b$?

Wende auf beide Seiten den Logarithmus an und hole den Exponenten mit $\log_a(b^r) = r \cdot \log_a(b)$ herunter. Dann steht $k \cdot x \cdot \ln(a) = \ln(b)$, und du teilst durch $k \cdot \ln(a)$. Das Ergebnis prüfst du durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.

Warum ist $\ln(x + y)$ nicht $\ln(x) + \ln(y)$?

Die Rechengesetze gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen, nicht für Summen. Es ist $\ln(x) + \ln(y) = \ln(x \cdot y)$. Ein Zahlenbeispiel zeigt es: $\lg(10 + 10) \approx 1{,}30$, aber $\lg(10) + \lg(10) = 2$.

Was bedeutet eine logarithmische Skala?

Auf einer logarithmischen Achse liegen gleiche Abstände für gleiche Faktoren, nicht für gleiche Differenzen: von 1 nach 10 ist es so weit wie von 10 nach 100. Dadurch passen Werte über mehrere Zehnerpotenzen in ein Diagramm. Bei HTL 2 (B_T2_3.4) sollst du damit modellieren, interpretieren und argumentieren. Ist nur die senkrechte Achse logarithmisch geteilt, erscheint eine Exponentialfunktion als Gerade.

Wie hängen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion zusammen?

Sie sind Umkehrfunktionen: $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ und $\mathrm{e}^{\ln(x)} = x$ für $x > 0$. Der Graph der einen entsteht aus dem der anderen durch Spiegelung an der Geraden $y = x$. Im Cluster P (B_P_3.3) wird dieser Zusammenhang ausdrücklich verlangt: Was die eine Funktion tut, macht die andere rückgängig.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HTL 2)

Logarithmus: Rechengesetze, Exponentialgleichungen und logarithmische Skalierung

Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welchem Exponenten du eine Basis potenzieren musst, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Du brauchst ihn immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht, etwa bei der Zeit, nach der ein Wachstum einen Wert erreicht. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du mit den Rechengesetzen umgehst, Exponentialgleichungen löst, die Logarithmusfunktion deutest und was eine logarithmische Skala bedeutet.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B: in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024; Angewandte Mathematik, Teil A: in 6 der 8; Teil B HTL 1: in 2 der 8.

Aus dem Katalog

Angewandte Mathematik (HTL 2)

B_T_2.2anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen
B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
B_T2_3.4logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade)

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T_2.2anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
- B_T2_3.4logarithmische Skalierung: modellieren, interpretieren und argumentieren (Darstellung über mehrere Zehnerpotenzen; Darstellung von Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktion als Gerade)
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgabe 9b1; Wintertermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2; Haupttermin 2025: Aufgabe 9c1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7b2, 9d1, 9d2; Haupttermin 2024: Aufgaben 9c1, 9c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 2.3Rechengesetze für Logarithmen verstehen und anwenden
- Deskriptor 2.10Exponentialgleichungen vom Typ $a^{k \cdot x} = b$ nach $x$ auflösen
Gefragt in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgabe 1b1; Wintertermin 2026: Aufgabe 5b1; Haupttermin 2025: Aufgabe 4c2; Wintertermin 2025: Aufgabe 6a2; Herbsttermin 2024: Aufgabe 6a2; Haupttermin 2024: Aufgabe 5b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
- B_T_2.2anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
Gefragt in 2 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2024: Aufgabe 7b2; Haupttermin 2024: Aufgabe 9a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B
- B_P_3.3bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe der Logarithmusfunktionen zu den Basen $\mathrm{e}$ und 10 modellieren, diese Aufgabenstellungen lösen, Sachverhalte grafisch darstellen und Zusammenhänge beschreiben; den Zusammenhang von Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion als Umkehrfunktionen voneinander interpretieren
Gefragt in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Haupttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Der Logarithmus $\log_a(b)$ ist die Lösung der Gleichung $a^x = b$ mit $a, b > 0$ und $a \neq 1$ : $x ={}$ $\log_a(b) \Leftrightarrow a^x ={}$ $b$ . Der natürliche Logarithmus ist $\ln(b) ={}$ $\log_{\mathrm{e}}(b)$ , der dekadische $\lg(b) ={}$ $\log_{10}(b)$ (Formelsammlung, Kapitel 4, Seite 4).
Rechengesetze, die der Kompetenzkatalog Teil A nennt (Kommentar zu Deskriptor 2.3): $\log_a(b \cdot c) ={}$ $\log_a(b) + \log_a(c)$ , $\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c)$ und $\log_a(b^r) ={}$ $r \cdot \log_a(b)$ .
Dazu kommen $\log_a(a^x) = x$ , $\log_a(a) = 1$ und $\log_a(1) = 0$ . Eine Summe lässt sich nicht aufspalten: $\log_a(b + c)$ ist im Allgemeinen nicht $\log_a(b) + \log_a(c)$ .
Eine Exponentialgleichung $a^{k \cdot x} = b$ löst du durch Logarithmieren (Deskriptor 2.10): $x ={}$ $\frac{\ln(b)}{k \cdot \ln(a)}$ . Mit der Basis $\mathrm{e}$ ist $\mathrm{e}^{k \cdot x} ={}$ $b$ gleichwertig mit $x = \frac{\ln(b)}{k}$ .
Die Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(x)$ ist nur für $x > 0$ definiert, hat die Nullstelle 1 und steigt streng monoton. Sie ist die Umkehrfunktion von $\mathrm{e}^x$ . Im Cluster P (B_P_3.3) sollst du mit Logarithmusfunktionen zu den Basen $\mathrm{e}$ und 10 modellieren, etwa $f(t) ={}$ $a + b \cdot \ln(t + 1)$ .
Bei HTL 2 (B_T2_3.4) kommt die logarithmische Skalierung dazu: Eine Achse, die über mehrere Zehnerpotenzen reicht, wird logarithmisch geteilt. In einem ordinatenlogarithmischen Koordinatensystem erscheint eine Exponentialfunktion als Gerade, in einem doppelt logarithmischen eine Potenzfunktion.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Die Gleichung auf die Grundform bringen
Forme so um, dass die Potenz allein auf einer Seite steht: Aus $450 \cdot 1{,}2^t ={}$ $3\,000$ wird $1{,}2^t ={}$ $\frac{3\,000}{450}$ . Erst danach logarithmierst du.
2.Logarithmieren
Wende auf beide Seiten $\ln$ oder $\lg$ an. Die Regel $\log_a(b^r) ={}$ $r \cdot \log_a(b)$ holt den Exponenten herunter: Aus $a^{k \cdot x} = b$ wird $k \cdot x \cdot \ln(a) ={}$ $\ln(b)$ .
3.Nach der Unbekannten lösen
Teile durch den Faktor vor $x$ : $x ={}$ $\frac{\ln(b)}{k \cdot \ln(a)}$ . Achte auf die Klammer: Der Nenner ist ein Produkt.
4.Probe machen
Setze das Ergebnis in die Ausgangsgleichung ein. Prüfe auch, ob es im Definitionsbereich liegt: Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.
5.Technologie dokumentieren
Löst du die Gleichung mit Technologie, schreibst du die Gleichung und gegebenenfalls das Suchintervall auf. In Teil A und Teil B zählt der Rechenansatz mit.
6.Im Kontext deuten
Gib das Ergebnis mit Einheit und sinnvoll gerundet an und sag, was es im Zusammenhang bedeutet, etwa „nach rund 8,6 Tagen“.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Rechengesetze anwenden
Berechne ohne Technologie: $\log_2(8) +{}$ $\log_2(32)$ , $\lg(0{,}001)$ und $\log_5(125) -{}$ $\log_5(5)$ .
2.Wann wird ein Wert erreicht?
Eine Population wächst modellhaft nach $W(t) ={}$ $120 \cdot 1{,}18^t$ ( $t$ in Tagen). Berechne, nach wie vielen Tagen sie 500 Individuen erreicht.
3.Eine Exponentialgleichung vom Typ $a^{k \cdot x} = b$
Löse $5^{3 \cdot x} = 200$ nach $x$ und runde auf zwei Nachkommastellen.
4.Eine logarithmische Achse lesen
Der Graph von $f(x) ={}$ $4 \cdot 1{,}5^x$ wird in einem ordinatenlogarithmischen Koordinatensystem gezeichnet. Zeige, dass er eine Gerade ist, und gib ihre Steigung an.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHTL 2

Thermosflasche (Aufgabe 7, Teil b)

Die Temperatur von Tee in einer Thermosflasche nimmt mit der Zeit ab. Die zeitliche Entwicklung der Temperatur des Tees kann näherungsweise durch die Funktion

T

beschrieben werden.

T(t) ={}

20 +{}

70 \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \cdot t}

t

… Zeit ab Beginn der Messung in Stunden

T(t)

… Temperatur zur Zeit

t

in °C

\lambda

… positiver Parameter

Aufgabe 7, Teilaufgabe b2

20 Stunden nach Beginn der Messung wurde eine Temperatur von 25 °C gemessen. Berechnen Sie

\lambda

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Herbsttermin 2023/24 (18. September 2024), Aufgabe 7, Teilaufgabe b2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

ZentralmaturaHTL 2

Dreibein (Aufgabe 9, Teil c)

Auf dem nachstehenden Foto ist ein Dreibein mit Topf über einer Feuerstelle abgebildet. An einer Kette am Dreibein ist ein Topf aufgehängt, der für die Zubereitung von Speisen verwendet wird.

Schwarz-Weiß-Foto: ein Dreibein aus drei dünnen Metallstangen steht auf Kiesboden über einer runden Feuerstelle; an einer Kette von der Spitze hängt ein kleiner Topf. — Quelle: BMBWF — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Eine im Topf des Dreibeins zubereitete Suppe kühlt nach der Zubereitung ab. Der zeitliche Verlauf der Temperatur der Suppe kann durch die Exponentialfunktion

T

modelliert werden.

T(t) = a \cdot b^t

t

... Zeit in min

T(t)

... Temperatur zur Zeit

t

in °C

a, b

... positive Parameter Zum Zeitpunkt

t = 0

beträgt die Temperatur der Suppe 80 °C. Nach 45 min beträgt die Temperatur der Suppe 6 °C.

Aufgabe 9, Teilaufgabe c1

Berechnen Sie, nach wie vielen Minuten die Temperatur der Suppe 37 °C beträgt.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Haupttermin 2023/24 (7. Mai 2024), Aufgabe 9, Teilaufgabe c1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, stehen zwei Deskriptoren: Du sollst die Rechengesetze für Logarithmen verstehen und anwenden (Deskriptor 2.3, im Kommentar mit den drei Gesetzen für Produkt, Quotient und Potenz) und Exponentialgleichungen vom Typ

a^{k \cdot x} = b

nach

x

auflösen (Deskriptor 2.10). Schreib in Teil A den Rechenansatz auf, auch wenn du die Gleichung mit Technologie löst, und gib an, welche Gleichung du gelöst hast.

Angewandte Mathematik (HTL 1)

In Teil B der HTL 1 (B_T_2.2) sollst du anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen mittels Technologieeinsatz lösen, und in B_T_3.2 steht die Logarithmusfunktion in der Reihe der Funktionstypen, die du grafisch darstellen, interpretieren und für Berechnungen verwenden sollst. Die logarithmische Skalierung steht im Katalog der HTL 1 nicht; sie gehört zu HTL 2.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

Im Cluster P (BAfEP, BASOP, BRP) lautet der Deskriptor B_P_3.3: Du sollst bei anwendungsbezogenen Aufgaben mithilfe der Logarithmusfunktionen zu den Basen

\mathrm{e}

und 10 modellieren, die Aufgaben lösen, Sachverhalte grafisch darstellen und Zusammenhänge beschreiben. Dazu gehört, den Zusammenhang von Logarithmus- und Exponentialfunktion als Umkehrfunktionen zu interpretieren. Ein Beispiel ist die Aufgabe oben, in der die Parameter einer Funktion

a + b \cdot \ln(t + 1)

bestimmt werden.

ZentralmaturaCluster P

Mikroplastik (Aufgabe 8, Teil a)

Als Mikroplastik werden kleine Kunststoffteilchen bezeichnet, die unter anderem in der Nahrung und im Meer zu finden sind. Die zeitliche Entwicklung der jährlich weltweit produzierten Menge an Plastik kann durch die Logarithmusfunktion

f

modelliert werden.

f(t) ={}

a + b \cdot \ln(t + 1)

t

... Zeit in Jahren mit

t = 0

für das Jahr 2017

f(t)

... jährlich weltweit produzierte Menge an Plastik zur Zeit

t

in Millionen Tonnen

a

b

... Parameter Laut einer Schätzung der World Health Organization (WHO) sind im Jahr 2017 weltweit rund 348 Millionen Tonnen Plastik produziert worden. Diese Menge soll sich bis zum Jahr 2050 verdreifacht haben.

Aufgabe 8, Teilaufgabe a1.

Ermitteln Sie die Parameter

a

und

b

a =

b =

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BAfEP/BASOP/BRP), Haupttermin 2025/26 (11. Mai 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe a1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HTL 2

Aufgabe 1.

Gegeben ist die Gleichung

3^x = 20

. Welche Gleichung beschreibt ihre Lösung?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 2.

Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 3.

Ein Wert nimmt nach

W(t) ={}

4 \cdot 0{,}85^t

ab (

t

in Jahren). Berechne, nach wie vielen Jahren er auf 1 gesunken ist. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Cluster P

Aufgabe 4.

Die Funktion

f(t) ={}

12 + 5 \cdot \ln(t + 1)

beschreibt eine Größe in Abhängigkeit von der Zeit

t

in Jahren. Berechne, nach wie vielen Jahren

f(t) = 25

gilt. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Den Logarithmus einer Summe aufspalten. $\ln(3 + 5)$ ist $\ln(8) \approx 2{,}08$ , nicht $\ln(3) + \ln(5) ={}$ $\ln(15) \approx 2{,}71$ . Aufspalten darfst du nur Produkte, Quotienten und Potenzen.
Die Klammer im Nenner vergessen. Aus $5^{3 \cdot x} = 200$ folgt $x ={}$ $\frac{\ln(200)}{3 \cdot \ln(5)}$ , nicht $\frac{\ln(200)}{3} \cdot \ln(5)$ .
Zähler und Nenner vertauschen. $\log_a(b) ={}$ $\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$ : Die Zahl, deren Exponent du suchst, steht im Zähler, die Basis im Nenner.
Das Vorzeichen übersehen. Für Zahlen zwischen 0 und 1 ist der Logarithmus negativ; bei einer Abnahme sind $\ln(\text{Zielwert})$ und $\ln(a)$ beide negativ, der Quotient ist positiv.
Den Definitionsbereich ignorieren. $\ln(x)$ gibt es nur für $x > 0$ ; bei $\ln(t + 1)$ muss $t > -1$ gelten.

Merk dir

$x ={}$ $\log_a(b) \Leftrightarrow a^x ={}$ $b$ mit $a, b > 0$ und $a \neq 1$ .
$\log_a(b \cdot c) ={}$ $\log_a(b) + \log_a(c)$ und $\log_a(b^r) ={}$ $r \cdot \log_a(b)$ .
$a^{k \cdot x} = b$ gibt $x ={}$ $\frac{\ln(b)}{k \cdot \ln(a)}$ .
$\ln$ hat die Basis $\mathrm{e}$ , $\lg$ die Basis 10.
Exponentialfunktion in ordinatenlogarithmischer Darstellung: Gerade.

Häufige Fragen

1.Wann brauche ich den Logarithmus?+
Antwort:Immer dann, wenn die Unbekannte im Exponenten steht, etwa in $1{,}18^t = 4$ . Das typische Beispiel ist die Frage nach der Zeit, nach der ein exponentielles Wachstum oder eine Abnahme einen bestimmten Wert erreicht. Steht die Unbekannte in der Basis, brauchst du dagegen die Wurzel. Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz.
2.Was ist der Unterschied zwischen $\ln$ , $\lg$ und $\log_a$ ?+
Antwort:Alle drei sind Logarithmen, nur die Basis ist verschieden: $\ln$ hat die Basis $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ , $\lg$ die Basis 10 und $\log_a$ die Basis $a$ . Für das Lösen von Exponentialgleichungen kannst du jeden verwenden, solange du ihn auf beiden Seiten gleich anwendest. Die Formelsammlung des BMB führt $\ln$ und $\lg$ in Kapitel 4 auf Seite 4 an.
3.Wie löse ich $a^{k \cdot x} = b$ ?+
Antwort:Wende auf beide Seiten den Logarithmus an und hole den Exponenten mit $\log_a(b^r) ={}$ $r \cdot \log_a(b)$ herunter. Dann steht $k \cdot x \cdot \ln(a) ={}$ $\ln(b)$ , und du teilst durch $k \cdot \ln(a)$ . Das Ergebnis prüfst du durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
4.Warum ist $\ln(x + y)$ nicht $\ln(x) + \ln(y)$ ?+
Antwort:Die Rechengesetze gelten für Produkte, Quotienten und Potenzen, nicht für Summen. Es ist $\ln(x) + \ln(y) ={}$ $\ln(x \cdot y)$ . Ein Zahlenbeispiel zeigt es: $\lg(10 + 10) \approx 1{,}30$ , aber $\lg(10) + \lg(10) ={}$ $2$ .
5.Was bedeutet eine logarithmische Skala?+
Antwort:Auf einer logarithmischen Achse liegen gleiche Abstände für gleiche Faktoren, nicht für gleiche Differenzen: von 1 nach 10 ist es so weit wie von 10 nach 100. Dadurch passen Werte über mehrere Zehnerpotenzen in ein Diagramm. Bei HTL 2 (B_T2_3.4) sollst du damit modellieren, interpretieren und argumentieren. Ist nur die senkrechte Achse logarithmisch geteilt, erscheint eine Exponentialfunktion als Gerade.
6.Wie hängen Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion zusammen?+
Antwort:Sie sind Umkehrfunktionen: $\ln(\mathrm{e}^x) ={}$ $x$ und $\mathrm{e}^{\ln(x)} ={}$ $x$ für $x > 0$ . Der Graph der einen entsteht aus dem der anderen durch Spiegelung an der Geraden $y = x$ . Im Cluster P (B_P_3.3) wird dieser Zusammenhang ausdrücklich verlangt: Was die eine Funktion tut, macht die andere rückgängig.

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HTL 2)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Logarithmus: Rechengesetze, Exponentialgleichungen und logarithmische Skalierung

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Die Gleichung auf die Grundform bringen

2.Logarithmieren

3.Nach der Unbekannten lösen

4.Probe machen

5.Technologie dokumentieren

6.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Rechengesetze anwenden

2.Wann wird ein Wert erreicht?

3.Eine Exponentialgleichung vom Typ ak⋅x=ba^{k \cdot x} = bak⋅x=b

4.Eine logarithmische Achse lesen

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HTL 1)

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

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Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen

3.Eine Exponentialgleichung vom Typ $a^{k \cdot x} = b$