Quelle est la règle des signes ?

Elle donne le signe d’un produit ou d’un quotient de deux nombres non nuls : de même signe, le résultat est positif ; de signes contraires, il est négatif. Ainsi $(-6) \times (-4) = 24$, $(-6) \times 4 = -24$ et $(-24) \div (-6) = 4$. Elle ne sert pas pour l’addition : $(-6) + (-4) = -10$.

Comment additionner deux nombres relatifs ?

S’ils ont le même signe, additionne leurs distances à zéro et garde ce signe : $(-2{,}5) + (-1{,}5) = -4$. S’ils sont de signes contraires, soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande et garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro : $(-11) + 4 = -7$ et $11 + (-4) = 7$.

Comment soustraire un nombre négatif ?

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Soustraire $-5$, c’est donc ajouter $5$ : $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$. De même, $-3 - (-8) = -3 + 8 = 5$. Avec une température : passer de $-8$ °C à $-3$ °C, c’est monter de $-3 - (-8) = 5$ degrés.

Pourquoi moins par moins fait-il plus ?

On peut le montrer avec la distributivité. On sait que $(-1) \times 0 = 0$. Or $0 = 1 + (-1)$, donc, en développant $(-1) \times (1 + (-1))$, on obtient $(-1) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0$, c’est-à-dire $-1 + (-1) \times (-1) = 0$. Le nombre $(-1) \times (-1)$ est donc l’opposé de $-1$ : il vaut $1$. Le même raisonnement marche pour tous les nombres.

Qu’est-ce que l’opposé d’un nombre ?

C’est le nombre situé à la même distance de zéro, de l’autre côté sur la droite graduée : l’opposé de $4$ est $-4$, celui de $-2{,}5$ est $2{,}5$, et l’opposé de $0$ est $0$. Un nombre et son opposé ont pour somme $0$ : $4 + (-4) = 0$.

Les nombres relatifs, c’est en quelle classe ?

On les construit en 5e, avec l’opposé, l’addition et la soustraction. La 4e ajoute la multiplication et la division, donc la règle des signes. En 3e, on s’en sert dans tous les calculs, et ils peuvent être demandés au brevet, en partie 1 comme en partie 2.

Nombres relatifs : règle des signes et priorités opératoires

Q: Qu’est-ce qu’un nombre relatif ?

C’est un nombre positif ou négatif, écrit avec son signe : $-7$, $-0{,}5$, $0$, $3{,}2$. Les entiers relatifs sont $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ ; les nombres décimaux relatifs ont aussi une partie décimale. Ils permettent toutes les soustractions : $3 - 8 = -5$. Sur une droite graduée, les négatifs sont à gauche de zéro.

L’essentiel

à connaître par cœur

Qu’est-ce qu’un nombre relatif ? C’est un nombre muni d’un signe :

-4{,}5

est négatif,

3

(que l’on peut écrire

+3

) est positif, et

0

est à la fois positif et négatif. Sa distance à zéro est le nombre sans son signe :

-4{,}5

est à

4{,}5

de zéro. Les nombres négatifs servent pour les températures sous zéro, les altitudes sous le niveau de la mer, les dettes.

La droite graduée. Les nombres négatifs sont à gauche de zéro, les positifs à droite. Deux nombres sont opposés quand ils sont à la même distance de zéro, de part et d’autre : l’opposé de

-3

est

3

, celui de

7

est

-7

. Sur la droite, plus un nombre est à gauche, plus il est petit :

-8 < -3

, et un nombre négatif non nul est plus petit que tout nombre positif.

Additionner. Deux nombres de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde ce signe,

(-5) + (-3) = -8

. Deux nombres de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro,

(-9) + 4 = -5

et

(-2) + 6 = 4

.

Soustraire, c’est additionner l’opposé :

3 - 8 = 3 + (-8) = -5

et

5 - (-2) = 5 + 2 = 7

. Dans une suite d’additions et de soustractions, on peut donc tout transformer en additions, puis regrouper les positifs et les négatifs.

La règle des signes, pour multiplier ou diviser deux nombres :

Signes des deux nombres	Résultat	Exemples
les deux positifs	positif	$3 \times 4 = 12$  ; $20 \div 5 = 4$
les deux négatifs	positif	$(-3) \times (-4) ={}$ $12$  ; $(-20) \div (-5) = 4$
de signes contraires	négatif	$3 \times (-4) = -12$  ; $(-20) \div 5 = -4$

Pour un produit de plusieurs nombres non nuls, compte les facteurs négatifs : s’il y en a un nombre pair, le produit est positif ; un nombre impair, il est négatif. Ainsi

(-2) \times (-3) \times (-5) ={}

-30

. Un carré n’est jamais négatif :

(-6)^2 ={}

(-6) \times (-6) ={}

36

, alors que

-6^2 ={}

-(6 \times 6) ={}

-36

.

Les priorités opératoires. On calcule d’abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions ; à priorité égale, on calcule de gauche à droite. Ainsi

7 - 2 \times (-5) ={}

7 + 10 ={}

17

et

-12 \div 4 + 3 ={}

-3 + 3 ={}

0

.

En 5e, on construit les nombres relatifs, l’opposé, l’addition et la soustraction ; en 4e, la multiplication et la division. En 3e, ces règles servent dans tous les calculs, et le programme demande de les avoir mémorisées.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre

1.Repérer les priorités
Avant de calculer, repère ce qui se fait en premier : les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite.
2.Transformer les soustractions
Remplace chaque soustraction par l’addition de l’opposé : $4 - (-6) = 4 + 6 = 10$ . Il ne reste plus que des additions, que l’on peut faire dans n’importe quel ordre.
3.Appliquer la règle des signes
Pour un produit ou un quotient, décide d’abord du signe en comptant les facteurs négatifs, puis calcule avec les distances à zéro : $(-4) \times 2{,}5 \times (-2)$ a deux facteurs négatifs, il vaut $+20$ .
4.Regrouper
Dans une longue somme, additionne les positifs entre eux et les négatifs entre eux : $-7 + 12 - 5 + 3 ={}$ $(12 + 3) - (7 + 5) ={}$ $15 - 12 ={}$ $3$ .
5.Remplacer une lettre par un négatif
Écris toujours le nombre négatif entre parenthèses : pour $x = -3$ , $x^2 = (-3)^2 = 9$ et $2x ={}$ $2 \times (-3) ={}$ $-6$ .

La rédaction attendue

« Pour

x = -2

:

x^2 - 4x + 1 ={}

(-2)^2 -{}

4 \times (-2) +{}

1 ={}

4 + 8 + 1 ={}

13

. »

Écris une étape par ligne, avec des parenthèses autour des nombres négatifs. En partie 2, les démarches engagées, même non abouties, sont prises en compte : un calcul détaillé peut rapporter des points, même s’il contient une erreur de signe.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.

1.Additionner et soustraire (5e)
Partie 1, sans calculatrice. Calcule $A = -8 + 3$ , $B = -4 - 9$ , $C = 6 - (-5)$ et $D = -2{,}5 + 7 - 4{,}5$ .
2.Multiplier et diviser (4e)
Partie 1, sans calculatrice. Calcule $E = (-6) \times 7$ , $F = (-48) \div (-8)$ , $G ={}$ $(-2) \times (-5) \times (-1{,}5)$ , puis $H = (-3)^2$ et $I = -3^2$ .
3.Les priorités opératoires
Partie 1, sans calculatrice. Calcule $J ={}$ $10 - 4 \times (-3)$ , $K ={}$ $(10 - 4) \times (-3)$ et $L ={}$ $-20 \div (2 - 7) +{}$ $3 \times (-1)$ .

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)

« Comparer des nombres décimaux et calculer avec des nombres décimaux (y compris négatifs) »
« Sur une droite graduée, lire l’abscisse d’un point et placer un point d’abscisse donnée. »

En partie 1, sans calculatrice, la liste d’automatismes demande de comparer et de calculer avec des nombres décimaux, « y compris négatifs », et de lire ou de placer un point sur une droite graduée. La première question du sujet de référence n° 02 est

2{,}5 - 5{,}5 + 3 \times 4

 ; dans le sujet de référence n° 01, réduire

3a - 1 - 4(2a + 3)

demande de distribuer un

-4

.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, les nombres négatifs sont rarement le sujet d’un exercice, mais ils sont partout : un programme de calcul testé avec

-3

, l’image de

-2

par une fonction, une équation dont la solution est négative, une valeur de

x

négative à remplacer dans une expression. Le décompte ci-dessous compte les sujets où une question fait calculer avec un nombre négatif.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 19 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 1Calculer $A ={}$ $2{,}5 - 5{,}5 + 3 \times 4$ : la multiplication d’abord, puis $-3 + 12 = 9$ .
Sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) · Partie 1, question 6Réduire $3a - 1 - 4(2a + 3)$ , en distribuant le $-4$ sur chacun des deux termes de la parenthèse.
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3, question 3.cDonner une valeur de $x$ pour laquelle le produit $(x + 5)(x - 1)$ est négatif : le signe d’un produit de deux nombres.

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2023, Métropole (session de remplacement), exercice 1 · question 3

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
[…]
Questions Réponse A Réponse B Réponse C
3. Quelle est la valeur de l’expression $x^2 + 3x - 5$ pour $x = -2$  ? $-15$ $5$ $-7$

Questions	Réponse A	Réponse B	Réponse C
3. Quelle est la valeur de l’expression $x^2 + 3x - 5$ pour $x = -2$  ?	$-15$	$5$	$-7$

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2023, Métropole (session de remplacement), exercice 1 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

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Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Réduire l’expression :

3a - 1 - 4(2a + 3)

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Question 6 du sujet de référence n° 01 (ministère, septembre 2026) — corrigé Kleksa (non officiel)

Question 2. (0–0,5)

Calcule la valeur de l’expression

B = -3x^2 - 2x + 1

pour

x = -3

.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–0,5)

Calcule la valeur de l’expression

B = -3x^2 - 4x + 1

pour

x = -2

.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–0,5)

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Multiplier ce nombre par 6.

Soustraire 1 au résultat.

Prendre l’opposé du résultat.

Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit

-3

comme nombre de départ ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire

Confondre $(-3)^2$ et $-3^2$ : le premier vaut $(-3) \times (-3) ={}$ $9$ , le second $-(3 \times 3) = -9$ . Quand on remplace $x$ par $-3$ dans $x^2$ , on écrit $(-3)^2$ , qui vaut $9$ .
Appliquer la règle des signes à une addition : $(-5) + (-3)$ vaut $-8$ , et non $8$ . « Moins par moins donne plus » ne vaut que pour la multiplication et la division.
Ne changer qu’un signe en distribuant un nombre négatif : $-4(2a + 3) = -8a - 12$ , et non $-8a + 12$ ni $-8a + 3$ .
Calculer de gauche à droite sans respecter les priorités : $10 - 4 \times (-3)$ vaut $10 + 12 = 22$ , et non $6 \times (-3) = -18$ .
Croire que $-8$ est plus grand que $-3$ parce que $8$ est plus grand que $3$ : sur la droite graduée, $-8$ est plus à gauche, donc $-8 < -3$ .

À savoir par cœur

Soustraire un nombre, c’est additionner son opposé : $a - b = a + (-b)$ .
Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Produit ou quotient de deux nombres : même signe, positif ; signes contraires, négatif.
Nombre pair de facteurs négatifs : produit positif. Nombre impair : produit négatif.
Priorités : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions ; de gauche à droite à priorité égale.
$(-a)^2 = a^2$ , mais $-a^2 = -(a^2)$ .

Questions fréquentes

1.Qu’est-ce qu’un nombre relatif ?+
Rép. :C’est un nombre positif ou négatif, écrit avec son signe : $-7$ , $-0{,}5$ , $0$ , $3{,}2$ . Les entiers relatifs sont $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$  ; les nombres décimaux relatifs ont aussi une partie décimale. Ils permettent toutes les soustractions : $3 - 8 = -5$ . Sur une droite graduée, les négatifs sont à gauche de zéro.
2.Quelle est la règle des signes ?+
Rép. :Elle donne le signe d’un produit ou d’un quotient de deux nombres non nuls : de même signe, le résultat est positif ; de signes contraires, il est négatif. Ainsi $(-6) \times (-4) ={}$ $24$ , $(-6) \times 4 = -24$ et $(-24) \div (-6) = 4$ . Elle ne sert pas pour l’addition : $(-6) + (-4) = -10$ .
3.Comment additionner deux nombres relatifs ?+
Rép. :S’ils ont le même signe, additionne leurs distances à zéro et garde ce signe : $(-2{,}5) + (-1{,}5) ={}$ $-4$ . S’ils sont de signes contraires, soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande et garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro : $(-11) + 4 = -7$ et $11 + (-4) = 7$ .
4.Comment soustraire un nombre négatif ?+
Rép. :Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Soustraire $-5$ , c’est donc ajouter $5$ : $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$ . De même, $-3 - (-8) = -3 + 8 = 5$ . Avec une température : passer de $-8$ °C à $-3$ °C, c’est monter de $-3 - (-8) = 5$ degrés.
5.Quelles sont les priorités opératoires ?+
Rép. :On calcule d’abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. Quand deux opérations ont la même priorité, on calcule de gauche à droite : $20 \div 4 \times 5 ={}$ $5 \times 5 ={}$ $25$ , et $10 - 3 + 2 = 9$ .
6.Pourquoi moins par moins fait-il plus ?+
Rép. :On peut le montrer avec la distributivité. On sait que $(-1) \times 0 = 0$ . Or $0 = 1 + (-1)$ , donc, en développant $(-1) \times (1 + (-1))$ , on obtient $(-1) \times 1 +{}$ $(-1) \times (-1) ={}$ $0$ , c’est-à-dire $-1 + (-1) \times (-1) ={}$ $0$ . Le nombre $(-1) \times (-1)$ est donc l’opposé de $-1$ : il vaut $1$ . Le même raisonnement marche pour tous les nombres.
7.Qu’est-ce que l’opposé d’un nombre ?+
Rép. :C’est le nombre situé à la même distance de zéro, de l’autre côté sur la droite graduée : l’opposé de $4$ est $-4$ , celui de $-2{,}5$ est $2{,}5$ , et l’opposé de $0$ est $0$ . Un nombre et son opposé ont pour somme $0$ : $4 + (-4) = 0$ .
8.Les nombres relatifs, c’est en quelle classe ?+
Rép. :On les construit en 5e, avec l’opposé, l’addition et la soustraction. La 4e ajoute la multiplication et la division, donc la règle des signes. En 3e, on s’en sert dans tous les calculs, et ils peuvent être demandés au brevet, en partie 1 comme en partie 2.

Notions liées

Toutes les notions du brevet de maths

Sources

Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.

Page vérifiée le 13 octobre 2026.

Nombres relatifs : règle des signes et priorités opératoires (5e, 4e, 3e, brevet)

L’essentiel

La méthode, pas à pas

1.Repérer les priorités

2.Transformer les soustractions

3.Appliquer la règle des signes

4.Regrouper

5.Remplacer une lettre par un négatif

La rédaction attendue

Exemples corrigés

1.Additionner et soustraire (5e)

2.Multiplier et diviser (4e)

3.Les priorités opératoires

Au brevet, ça tombe comment ?

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Brevet 2023, Métropole (session de remplacement), exercice 1 · question 3

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Les erreurs fréquentes

À savoir par cœur

Questions fréquentes

Notions liées

Sources

Dernier exercice.