Brevet de maths 2027 · Nombres et calculs

Programme de calcul : tester, écrire l’expression, démontrer (5e, 4e, 3e, brevet)

Un programme de calcul est une suite d’instructions appliquées à un nombre de départ : « choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par 2 ». Au brevet, il ouvre très souvent un exercice : on le teste sur un nombre, on l’écrit en fonction de xx, on démontre un résultat général, puis on cherche le nombre de départ avec une équation. Voici la méthode pour chacune de ces questions, des exemples corrigés et une vraie question du brevet.

  • 5e
  • 4e
  • 3e
  • brevet

L’essentiel

à connaître par cœur
Un programme de calcul est une suite d’instructions que l’on applique, dans l’ordre, à un nombre choisi au départ. Chaque instruction porte sur le résultat de la précédente, sauf quand l’énoncé parle du « nombre de départ » ou du « nombre choisi ».
On peut le suivre avec un nombre, ou avec une lettre xx qui désigne n’importe quel nombre de départ :
InstructionAvec 44Avec xx
Choisir un nombre.44xx
Lui ajouter 33.4+3=74 + 3 = 7x+3x + 3
Multiplier le résultat par 22.7×2=147 \times 2 = 142(x+3)2(x + 3)
Soustraire le nombre de départ.14−4=1014 - 4 = 102(x+3)−x2(x + 3) - x
On développe et on réduit : 2(x+3)−x=2(x + 3) - x ={}2x+6−x= 2x + 6 - x ={}x+6 x + 6. Le programme revient à ajouter 66 au nombre de départ ; avec 44, on retrouve bien 4+6=104 + 6 = 10.
Le programme du cycle 4 le dit ainsi : « les programmes de calcul constituent le versant procédural des expressions algébriques ». Un programme et une expression sont deux écritures du même calcul : le programme dit quoi faire, l’expression l’écrit avec une lettre.
Les quatre questions du brevet. Presque toujours dans cet ordre : tester le programme avec un nombre, souvent négatif ou décimal ; écrire le résultat en fonction de xx ; montrer qu’il est égal à une expression donnée, ou qu’il a toujours une propriété ; trouver le nombre de départ qui donne un résultat imposé, avec une équation.
Un essai ne prouve rien. Un ou deux essais ne suffisent pas à montrer qu’un programme donne « toujours » un résultat : il faut le calcul avec xx. En revanche, un seul contre-exemple suffit à montrer qu’une affirmation est fausse.
Avec Scratch. Le même programme peut être écrit en blocs. On le lit comme le programme en phrases, un bloc par instruction ; la variable réponse garde le nombre choisi :
quand le drapeau vert est cliqué demander « Choisis un nombre » et attendre mettre résultat à réponse + 3 mettre résultat à résultat * 2 mettre résultat à résultat - réponse dire résultat
En 5e, on traduit un programme de calcul par une expression et on calcule sa valeur pour un nombre donné ; en 4e, on démontre que deux programmes sont équivalents et on résout des équations ; en 3e, on transforme les expressions obtenues, et un programme de calcul devient l’une des façons de définir une fonction.

La méthode, pas à pas

dans l’ordre
  1. 1.Tester avec un nombre

    Applique les instructions une par une et écris chaque calcul : avec −3-3, « ajouter 77 » donne −3+7=4-3 + 7 = 4, puis « multiplier par 55 » donne 4×5=204 \times 5 = 20. Mets un nombre négatif entre parenthèses : (−3)2=9(-3)^2 = 9.
  2. 2.Écrire l’expression

    Remplace le nombre de départ par xx et garde les parenthèses : « ajouter 77 puis multiplier par 55 » donne (x+7)×5(x + 7) \times 5, et non x+7×5x + 7 \times 5.
  3. 3.Développer et réduire

    Développe avec la distributivité, puis réduis : (x+7)×5=(x + 7) \times 5 ={}5x+35 5x + 35. Pour montrer que le programme donne une expression imposée, développe les deux et compare.
  4. 4.Démontrer « toujours »

    Pour montrer qu’un programme donne toujours le même nombre, ou toujours un multiple de 33, le calcul avec xx est obligatoire : dix essais réussis ne sont pas une preuve.
  5. 5.Retrouver le nombre de départ

    Pose l’équation « expression == résultat voulu » et résous-la. Si chaque instruction ne porte que sur le résultat précédent et qu’il n’y a pas de carré, tu peux aussi remonter le programme avec les opérations inverses, de la dernière à la première. Vérifie en testant le nombre trouvé.
  6. 6.Comparer deux programmes

    Écris les deux expressions en fonction de xx. Si elles sont égales après réduction, les programmes donnent toujours le même résultat ; sinon, l’équation « expression A == expression B » donne le nombre de départ pour lequel ils coïncident.

La rédaction attendue

« On note xx le nombre de départ. On obtient successivement x+7x + 7, puis (x+7)×5=(x + 7) \times 5 ={}5x+35 5x + 35, puis 5x+35−5x=355x + 35 - 5x = 35. Le résultat ne dépend pas de xx : le programme donne toujours 3535. »
Le mot « toujours » dans une question annonce qu’un calcul avec une lettre est attendu. En partie 2, ces phrases de conclusion comptent aussi dans les deux points de rédaction.

En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.

Exemples corrigés

Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.
  1. 1.Tester, puis traduire (5e, 4e)

    On considère le programme : choisir un nombre ; le multiplier par 44 ; soustraire 66 au résultat ; diviser le résultat par 22. a) Quel résultat obtient-on avec 55 ? avec −1-1 ? b) Écris le résultat en fonction du nombre de départ xx et réduis-le.
  2. 2.Démontrer une propriété (3e)

    Programme : choisir un nombre ; calculer son carré ; ajouter le double du nombre de départ ; ajouter 11. Léa affirme : « Le résultat est toujours le carré du nombre qui suit le nombre de départ. » A-t-elle raison ?
  3. 3.Retrouver le nombre de départ (4e, 3e)

    Programme : choisir un nombre ; lui ajouter 44 ; multiplier le résultat par 33 ; soustraire le double du nombre de départ. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 2020 ?

Au brevet, ça tombe comment ?

source : éduscol

Partie 1 — automatismes, sans calculatrice

Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)
  • « Interpréter une suite d’instructions : programme de calcul, déplacement, construction géométrique. »
  • « Pour un nombre entier n, exprimer son double, son triple, sa moitié, son prédécesseur, son successeur, son carré. »
  • « Simplifier des expressions littérales. »
En partie 1, sans calculatrice, la liste d’automatismes demande d’« interpréter une suite d’instructions : programme de calcul, déplacement, construction géométrique ». La question type : le résultat d’un programme pour un nombre donné, parfois écrit en blocs Scratch, comme la question 9 du sujet zéro B. On peut aussi te demander d’écrire le double, le carré ou le successeur d’un entier nn.

Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes

En partie 2, un programme de calcul ouvre un exercice de calcul littéral : tester un nombre, souvent négatif ou décimal ; écrire le résultat en fonction de xx ; montrer qu’il est égal à une expression donnée, développée ou factorisée ; résoudre une équation, parfois une équation produit. Il mène aussi aux fonctions : le programme définit une fonction, dont on cherche une image ou un antécédent.

Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 15 sujets. Un décompte du site, approximatif.

Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère

Une vraie question du brevet, corrigée

Brevet 2023, Métropole, exercice 5 · questions 1, 2 et 4

Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.

Voici deux programmes de calcul.
Programme A
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par −2-2.
Ajouter 55 à ce résultat.
Programme B
Choisir un nombre.
Soustraire 55 à ce nombre.
Multiplier le résultat par 33.
Ajouter 1111 au résultat.
1. a. Montrer que, si on choisit −3-3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 1111.
b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,55{,}5 comme nombre de départ ?
2. En désignant par xx le nombre de départ, on obtient −2x+5-2x + 5 comme résultat avec le programme A.
Montrer, qu’avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à 3x−43x - 4.
[…]
4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.

Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2023, Métropole, exercice 5 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)

Teste-toi

vérifie tout de suite
Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.

Question 1. (0–0,5)

Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Ajouter 1 à ce nombre.
Élever le résultat au carré.
Soustraire 6 au résultat.
Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit 66 comme nombre de départ ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 2. (0–0,5)

Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par 3.
Ajouter 4 au résultat.
Élever le résultat au carré.
Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit −5-5 comme nombre de départ ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 3. (0–0,5)

nn désigne un nombre entier. Écris, en fonction de nn, le carré de nn augmenté de 6.

Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.

Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.

Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Question 4. (0–1)

Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par 3.
Soustraire 3 au résultat.
Multiplier le résultat par 3.
Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 1818 ?

Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.

Plus d’exercices sur ce chapitre : fais le sujet de référence n° 01 en entier, gratuit

Exercice type brevet

Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.

Deux programmes de calcul (5 pts)

Voici deux programmes de calcul. Programme A : • Choisir un nombre. • Lui ajouter 3. • Multiplier le résultat par le nombre choisi au départ. • Soustraire 15 au résultat obtenu. Programme B : • Choisir un nombre. • Lui ajouter 6. • Élever le résultat au carré. • Soustraire 6 au résultat obtenu.
  1. Question 1(1 pt)

    Vérifie que, si l’on choisit 5 comme nombre de départ, le programme A donne 25. Détaille les étapes du calcul.
  2. Question 2(1 pt)

    Quel résultat obtient-on avec le programme B si l’on choisit −1 comme nombre de départ ?
  3. Question 3(1,5 pts)

    On note xx le nombre choisi au départ. Montre que le résultat du programme A peut s’écrire x2+3x−15x^2 + 3x - 15. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
  4. Question 4(1,5 pts)

    Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.

Les erreurs fréquentes

à ne pas faire
  • Oublier les parenthèses en traduisant : « ajouter 33 puis multiplier par 22 » donne 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6, et non x+3×2=x+6x + 3 \times 2 = x + 6. Avec 44 : 1414 dans un cas, 1010 dans l’autre.
  • Appliquer une instruction au nombre de départ au lieu du résultat précédent : chaque instruction porte sur le dernier résultat, sauf si l’énoncé dit « le nombre de départ ».
  • Conclure « toujours » à partir de quelques essais : trois exemples qui marchent ne prouvent rien ; il faut le calcul avec xx.
  • Se tromper de signe avec un nombre de départ négatif : avec −3-3, « élever au carré » donne (−3)2=9(-3)^2 = 9, et « multiplier par −2-2 » donne 66.
  • Remonter le programme dans le mauvais ordre : pour retrouver le nombre de départ, on part du résultat et on fait les opérations inverses en commençant par la dernière instruction.

À savoir par cœur

  • Chaque instruction porte sur le résultat précédent ; « le nombre de départ » désigne le nombre choisi au début.
  • Traduire avec des parenthèses : « ajouter aa, puis multiplier par bb » donne (x+a)×b(x + a) \times b.
  • Pour un entier nn : le double 2n2n, le triple 3n3n, la moitié n2\frac{n}{2}, le carré n2n^2, le successeur n+1n + 1, le prédécesseur n−1n - 1.
  • Prouver « toujours » : un calcul avec xx. Prouver « faux » : un contre-exemple.
  • Retrouver le nombre de départ : une équation, ou les opérations inverses dans l’ordre inverse.

Questions fréquentes

  1. 1.Qu’est-ce qu’un programme de calcul ?+
    Rép. :C’est une suite d’instructions appliquées, dans l’ordre, à un nombre choisi au départ : « choisir un nombre, le multiplier par 33, ajouter 55 ». Avec 22, il donne 2×3+5=112 \times 3 + 5 = 11 ; avec un nombre xx quelconque, il donne l’expression 3x+53x + 5. Au brevet, il sert à introduire le calcul littéral, les équations et les fonctions.
  2. 2.Comment écrire un programme de calcul en fonction de x ?+
    Rép. :Remplace le nombre de départ par xx et applique les instructions une par une en gardant les parenthèses. « Soustraire 55, multiplier par 33, ajouter 1111 » donne x−5x - 5, puis (x−5)×3(x - 5) \times 3, puis (x−5)×3+11(x - 5) \times 3 + 11. Développe et réduis à la fin : 3x−15+11=3x−43x - 15 + 11 = 3x - 4.
  3. 3.Comment montrer qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat ?+
    Rép. :Fais le calcul avec xx, le nombre de départ, et réduis l’expression. Si les xx disparaissent, le résultat ne dépend pas du nombre choisi : (x+7)×5−5x=(x + 7) \times 5 - 5x ={}5x+35−5x= 5x + 35 - 5x ={}35 35. Des essais avec 11, 22 ou 1010 montrent seulement que c’est vrai pour ces nombres.
  4. 4.Comment trouver le nombre de départ d’un programme de calcul ?+
    Rép. :Écris le résultat en fonction de xx, puis résous l’équation « expression == résultat voulu ». Pour « multiplier par 22, ajouter 66 » et un résultat de 2020 : 2x+6=202x + 6 = 20, donc x=7x = 7. Si chaque instruction porte sur le résultat précédent, on peut aussi remonter : 20−6=1420 - 6 = 14, puis 14÷2=714 \div 2 = 7.
  5. 5.Comment comparer deux programmes de calcul ?+
    Rép. :Écris chacun en fonction de xx et réduis. Les attendus de fin de 4e prennent cet exemple : « choisir un nombre, le tripler puis ajouter 15 au résultat » donne 3x+153x + 15 ; « choisir un nombre, lui ajouter 5 puis multiplier le résultat par 3 » donne 3(x+5)=3x+153(x + 5) = 3x + 15. Les deux expressions sont égales : les programmes donnent toujours le même résultat.
  6. 6.Quel lien entre un programme de calcul et une fonction ?+
    Rép. :Un programme de calcul associe un résultat à chaque nombre de départ : c’est une fonction. Le programme « ajouter 33, multiplier par 22, soustraire le nombre de départ » est la fonction f:x↦x+6f : x \mapsto x + 6. L’image de 44 est f(4)=10f(4) = 10, et l’antécédent de 00 est −6-6.
  7. 7.Programme de calcul et Scratch, quelle différence ?+
    Rép. :C’est le même calcul, écrit autrement. Dans Scratch, « demander … et attendre » range le nombre choisi dans la variable réponse, et chaque bloc « mettre résultat à … » joue le rôle d’une instruction du programme. On le lit et on le teste exactement comme un programme écrit en phrases.
  8. 8.Le programme de calcul, c’est en quelle classe ?+
    Rép. :Dès la 5e, on traduit un programme de calcul par une expression littérale et on calcule sa valeur pour un nombre. En 4e, on démontre que deux programmes sont équivalents et on résout des équations. En 3e, on transforme les expressions obtenues et on relie le programme à une fonction. Le brevet peut tout demander.

Dernier exercice.

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