Un programme de calcul est une suite d’instructions appliquées à un nombre de départ : « choisir un nombre, lui ajouter 3, multiplier le résultat par 2 ». Au brevet, il ouvre très souvent un exercice : on le teste sur un nombre, on l’écrit en fonction de x, on démontre un résultat général, puis on cherche le nombre de départ avec une équation. Voici la méthode pour chacune de ces questions, des exemples corrigés et une vraie question du brevet.
5e
4e
3e
brevet
L’essentiel
à connaître par cœur
Un programme de calcul est une suite d’instructions que l’on applique, dans l’ordre, à un nombre choisi au départ. Chaque instruction porte sur le résultat de la précédente, sauf quand l’énoncé parle du « nombre de départ » ou du « nombre choisi ».
On peut le suivre avec un nombre, ou avec une lettre x qui désigne n’importe quel nombre de départ :
Instruction
Avec 4
Avec x
Choisir un nombre.
4
x
Lui ajouter 3.
4+3=7
x+3
Multiplier le résultat par 2.
7×2=14
2(x+3)
Soustraire le nombre de départ.
14−4=10
2(x+3)−x
On développe et on réduit : 2(x+3)−x=2x+6−x=x+6. Le programme revient à ajouter 6 au nombre de départ ; avec 4, on retrouve bien 4+6=10.
Le programme du cycle 4 le dit ainsi : « les programmes de calcul constituent le versant procédural des expressions algébriques ». Un programme et une expression sont deux écritures du même calcul : le programme dit quoi faire, l’expression l’écrit avec une lettre.
Les quatre questions du brevet. Presque toujours dans cet ordre : tester le programme avec un nombre, souvent négatif ou décimal ; écrire le résultat en fonction de x ; montrer qu’il est égal à une expression donnée, ou qu’il a toujours une propriété ; trouver le nombre de départ qui donne un résultat imposé, avec une équation.
Un essai ne prouve rien. Un ou deux essais ne suffisent pas à montrer qu’un programme donne « toujours » un résultat : il faut le calcul avec x. En revanche, un seul contre-exemple suffit à montrer qu’une affirmation est fausse.
Avec Scratch. Le même programme peut être écrit en blocs. On le lit comme le programme en phrases, un bloc par instruction ; la variable réponse garde le nombre choisi :
quand le drapeau vert est cliqué
demander « Choisis un nombre » et attendre
mettre résultat à réponse + 3
mettre résultat à résultat * 2
mettre résultat à résultat - réponse
dire résultat
En 5e, on traduit un programme de calcul par une expression et on calcule sa valeur pour un nombre donné ; en 4e, on démontre que deux programmes sont équivalents et on résout des équations ; en 3e, on transforme les expressions obtenues, et un programme de calcul devient l’une des façons de définir une fonction.
La méthode, pas à pas
dans l’ordre
1.Tester avec un nombre
Applique les instructions une par une et écris chaque calcul : avec −3, « ajouter 7 » donne −3+7=4, puis « multiplier par 5 » donne 4×5=20. Mets un nombre négatif entre parenthèses : (−3)2=9.
2.Écrire l’expression
Remplace le nombre de départ par x et garde les parenthèses : « ajouter 7 puis multiplier par 5 » donne (x+7)×5, et non x+7×5.
3.Développer et réduire
Développe avec la distributivité, puis réduis : (x+7)×5=5x+35. Pour montrer que le programme donne une expression imposée, développe les deux et compare.
4.Démontrer « toujours »
Pour montrer qu’un programme donne toujours le même nombre, ou toujours un multiple de 3, le calcul avec x est obligatoire : dix essais réussis ne sont pas une preuve.
5.Retrouver le nombre de départ
Pose l’équation « expression = résultat voulu » et résous-la. Si chaque instruction ne porte que sur le résultat précédent et qu’il n’y a pas de carré, tu peux aussi remonter le programme avec les opérations inverses, de la dernière à la première. Vérifie en testant le nombre trouvé.
6.Comparer deux programmes
Écris les deux expressions en fonction de x. Si elles sont égales après réduction, les programmes donnent toujours le même résultat ; sinon, l’équation « expression A = expression B » donne le nombre de départ pour lequel ils coïncident.
La rédaction attendue
« On note x le nombre de départ. On obtient successivement x+7, puis (x+7)×5=5x+35, puis 5x+35−5x=35. Le résultat ne dépend pas de x : le programme donne toujours 35. »
Le mot « toujours » dans une question annonce qu’un calcul avec une lettre est attendu. En partie 2, ces phrases de conclusion comptent aussi dans les deux points de rédaction.
En partie 2, 2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : écris des phrases, cite la propriété, conclus.
Exemples corrigés
Cherche d’abord, puis compare avec la correction. Chaque nombre a été recalculé.
1.Tester, puis traduire (5e, 4e)
On considère le programme : choisir un nombre ; le multiplier par 4 ; soustraire 6 au résultat ; diviser le résultat par 2. a) Quel résultat obtient-on avec 5 ? avec −1 ? b) Écris le résultat en fonction du nombre de départ x et réduis-le.
a) Avec 5 : 5×4=20, puis 20−6=14, puis 14÷2=7. Avec −1 : (−1)×4=−4, puis −4−6=−10, puis −10÷2=−5.
b) Avec x : 4x, puis 4x−6, puis (4x−6)÷2=24x−26=2x−3. Vérification : 2×5−3=7 et 2×(−1)−3=−5.
2.Démontrer une propriété (3e)
Programme : choisir un nombre ; calculer son carré ; ajouter le double du nombre de départ ; ajouter 1. Léa affirme : « Le résultat est toujours le carré du nombre qui suit le nombre de départ. » A-t-elle raison ?
On teste d’abord : avec 4, on obtient 16+8+1=25, et 25=52. Avec −3, on obtient 9−6+1=4=(−2)2. Les essais vont dans son sens, mais ne prouvent rien.
Avec x, le programme donne x2+2x+1. Le carré du nombre qui suit x est (x+1)2 ; on le développe par double distributivité : (x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1.
Les deux expressions sont égales pour tout nombre x : Léa a raison.
3.Retrouver le nombre de départ (4e, 3e)
Programme : choisir un nombre ; lui ajouter 4 ; multiplier le résultat par 3 ; soustraire le double du nombre de départ. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 20 ?
Ici, on ne peut pas simplement remonter le programme : la dernière instruction utilise le nombre de départ, que l’on ne connaît pas. On passe donc par une équation.
Avec x : (x+4)×3−2x=3x+12−2x=x+12. On résout x+12=20 : x=8.
Vérification : 8+4=12, puis 12×3=36, puis 36−16=20. Il faut choisir 8.
Au brevet, ça tombe comment ?
source : éduscol
Partie 1 — automatismes, sans calculatrice
Ce que dit la liste d’automatismes d’éduscol (octobre 2025)
« Interpréter une suite d’instructions : programme de calcul, déplacement, construction géométrique. »
« Pour un nombre entier n, exprimer son double, son triple, sa moitié, son prédécesseur, son successeur, son carré. »
« Simplifier des expressions littérales. »
En partie 1, sans calculatrice, la liste d’automatismes demande d’« interpréter une suite d’instructions : programme de calcul, déplacement, construction géométrique ». La question type : le résultat d’un programme pour un nombre donné, parfois écrit en blocs Scratch, comme la question 9 du sujet zéro B. On peut aussi te demander d’écrire le double, le carré ou le successeur d’un entier n.
Partie 2 — raisonnement et résolution de problèmes
En partie 2, un programme de calcul ouvre un exercice de calcul littéral : tester un nombre, souvent négatif ou décimal ; écrire le résultat en fonction de x ; montrer qu’il est égal à une expression donnée, développée ou factorisée ; résoudre une équation, parfois une équation produit. Il mène aussi aux fonctions : le programme définit une fonction, dont on cherche une image ou un antécédent.
Dans les 30 sujets de 2022 à 2025 (série générale, sessions normales et de remplacement) : environ 15 sujets. Un décompte du site, approximatif.
Dans les sujets au format 2027 publiés par le ministère
Sujet de référence n° 02 (ministère, septembre 2026) · Partie 2, exercice 3Un programme de calcul à tester avec 3, à écrire en fonction de x, à mettre sous la forme (x+5)(x−1), puis les nombres de départ qui donnent 0.
Sujet zéro A (ministère, décembre 2025) · Partie 2, exercice 2Un programme de calcul présenté en cases reliées par des flèches : le tester avec 4, l’écrire en fonction de x, puis reconnaître la forme (2x−3)(2x+3).
Sujet zéro B (ministère, décembre 2025) · Partie 1, question 9Le résultat d’un algorithme écrit en blocs Scratch quand on choisit 1 comme nombre de départ : 9.
Sujet de l’ancien format : 100 points en cinq exercices, calculatrice autorisée sur tout le sujet. Les questions restent typiques du brevet 2027.
Voici deux programmes de calcul.
Programme A
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par −2.
Ajouter 5 à ce résultat.
Programme B
Choisir un nombre.
Soustraire 5 à ce nombre.
Multiplier le résultat par 3.
Ajouter 11 au résultat.
1. a. Montrer que, si on choisit −3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.
b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?
2. En désignant par x le nombre de départ, on obtient −2x+5 comme résultat avec le programme A.
Montrer, qu’avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à 3x−4.
[…]
4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
Source : ministère de l’Éducation nationale – éduscol, DNB 2023, Métropole, exercice 5 (Licence Ouverte / etalab-2.0) · Le sujet original sur éduscol (PDF)
Corrigé : Kleksa (non officiel)
1. a. Programme A avec −3 : (−3)×(−2)=6, puis 6+5=11. On obtient bien 11.
b. Programme B avec 5,5 : 5,5−5=0,5, puis 0,5×3=1,5, puis 1,5+11=12,5. Le résultat est 12,5.
2. Avec x, le programme B donne x−5, puis (x−5)×3=3x−15, puis 3x−15+11=3x−4. Le résultat du programme B est bien 3x−4.
4. Les deux programmes donnent le même résultat quand −2x+5=3x−4. On ajoute 2x aux deux membres : 5=5x−4 ; on ajoute 4 : 9=5x ; donc x=59=1,8.
Vérification : avec 1,8, le programme A donne 1,8×(−2)+5=−3,6+5=1,4 et le programme B (1,8−5)×3+11=−9,6+11=1,4. Il faut choisir 1,8 ; c’est aussi l’abscisse du point où se coupent les deux droites de la question 3.
Teste-toi
vérifie tout de suite
Réponds, puis vérifie : la correction s’affiche aussitôt, avec l’explication.
Question 1. (0–0,5)
/0,5
Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Ajouter 1 à ce nombre.
Élever le résultat au carré.
Soustraire 6 au résultat.
Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit 6 comme nombre de départ ?
Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.
Question 2. (0–0,5)
/0,5
Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par 3.
Ajouter 4 au résultat.
Élever le résultat au carré.
Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit −5 comme nombre de départ ?
Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.
Question 3. (0–0,5)
/0,5
n désigne un nombre entier. Écris, en fonction de n, le carré de n augmenté de 6.
Difficile de taper une fraction, une racine ou une puissance ? Appuyez sur le crayon à côté de la case et écrivez la réponse à la main.
Vous pouvez aussi écrire la réponse sur une feuille et la photographier : appuyez sur l’appareil photo à côté de la case.
Pour écrire : une puissance x^2 ou x², un produit 3x ou 3*x, un quotient (x + 1)/2, un exposant de plusieurs symboles entre parenthèses, e^(-0,4t) ; ln(x), √x ou sqrt(x), pi pour π.
Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.
Question 4. (0–1)
/1
Voici un programme de calcul :
Choisir un nombre.
Multiplier ce nombre par 3.
Soustraire 3 au résultat.
Multiplier le résultat par 3.
Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir 18 ?
Exercice du site, dans le format de la partie 1 — corrigé Kleksa.
Un exercice de partie 2 écrit par nous, au format du brevet 2027 : cherche chaque question, puis compare avec notre corrigé et notre barème.
Deux programmes de calcul(5 pts)
Voici deux programmes de calcul.
Programme A :
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 3.
• Multiplier le résultat par le nombre choisi au départ.
• Soustraire 15 au résultat obtenu.
Programme B :
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 6.
• Élever le résultat au carré.
• Soustraire 6 au résultat obtenu.
Question 1(1 pt)
Vérifie que, si l’on choisit 5 comme nombre de départ, le programme A donne 25. Détaille les étapes du calcul.
Réponse rédigée
On choisit 5. On lui ajoute 3 : 5+3=8. On multiplie le résultat par le nombre de départ : 8×5=40. On soustrait 15 : 40−15=25.
Conclusion : le programme A donne bien 25.
Barème (Kleksa)
Étapes du programme effectuées dans l’ordre0,5 pt
Résultat obtenu0,5 pt
Question 2(1 pt)
Quel résultat obtient-on avec le programme B si l’on choisit −1 comme nombre de départ ?
Réponse rédigée
On choisit −1. On lui ajoute 6 : −1+6=5. On élève le résultat au carré : 52=25. On soustrait 6 : 25−6=19.
Résultat : le programme B donne 19.
Barème (Kleksa)
Étapes du programme effectuées dans l’ordre0,5 pt
Résultat juste0,5 pt
Question 3(1,5 pts)
On note x le nombre choisi au départ. Montre que le résultat du programme A peut s’écrire x2+3x−15. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
On choisit x. On lui ajoute 3 : on obtient x+3. On multiplie le résultat par le nombre de départ : (x+3)×x=x2+3x. On soustrait 15 : on obtient x2+3x−15.
Conclusion : le résultat du programme A est bien x2+3x−15.
Barème (Kleksa)
Expression du résultat en fonction de x0,5 pt
Développement et réduction justes0,5 pt
Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Question 4(1,5 pts)
Existe-t-il un nombre de départ pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ? Si oui, lequel ? Justifie. Présente ta démarche avec un vocabulaire mathématique adapté et des phrases claires et précises.
Réponse rédigée
Avec x comme nombre de départ, le programme B donne (x+6)2−6=(x+6)(x+6)−6=x2+6x+6x+36−6=x2+12x+30 (double distributivité).
Les deux programmes donnent le même résultat lorsque x2+3x−15=x2+12x+30. En soustrayant x2 à chaque membre, on obtient 3x−15=12x+30, donc 3x−12x=30+15, soit −9x=45, donc x=−945=−5.
Vérification : le programme A donne (−5+3)×(−5)−15=−5 et le programme B donne (−5+6)2−6=−5.
Résultat : oui, il faut choisir −5 comme nombre de départ.
Barème (Kleksa)
Résultat du programme B exprimé et développé en fonction de x0,5 pt
Équation résolue et nombre de départ trouvé0,5 pt
Rédaction : réponse rédigée en phrases correctes et bien enchaînées, avec un vocabulaire mathématique précis (orthographe, syntaxe, lexique, organisation du raisonnement)0,5 pt
Les erreurs fréquentes
à ne pas faire
Oublier les parenthèses en traduisant : « ajouter 3 puis multiplier par 2 » donne 2(x+3)=2x+6, et non x+3×2=x+6. Avec 4 : 14 dans un cas, 10 dans l’autre.
Appliquer une instruction au nombre de départ au lieu du résultat précédent : chaque instruction porte sur le dernier résultat, sauf si l’énoncé dit « le nombre de départ ».
Conclure « toujours » à partir de quelques essais : trois exemples qui marchent ne prouvent rien ; il faut le calcul avec x.
Se tromper de signe avec un nombre de départ négatif : avec −3, « élever au carré » donne (−3)2=9, et « multiplier par −2 » donne 6.
Remonter le programme dans le mauvais ordre : pour retrouver le nombre de départ, on part du résultat et on fait les opérations inverses en commençant par la dernière instruction.
À savoir par cœur
Chaque instruction porte sur le résultat précédent ; « le nombre de départ » désigne le nombre choisi au début.
Traduire avec des parenthèses : « ajouter a, puis multiplier par b » donne (x+a)×b.
Pour un entier n : le double 2n, le triple 3n, la moitié 2n, le carré n2, le successeur n+1, le prédécesseur n−1.
Prouver « toujours » : un calcul avec x. Prouver « faux » : un contre-exemple.
Retrouver le nombre de départ : une équation, ou les opérations inverses dans l’ordre inverse.
Questions fréquentes
1.Qu’est-ce qu’un programme de calcul ?+
Rép. :C’est une suite d’instructions appliquées, dans l’ordre, à un nombre choisi au départ : « choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 5 ». Avec 2, il donne 2×3+5=11 ; avec un nombre x quelconque, il donne l’expression 3x+5. Au brevet, il sert à introduire le calcul littéral, les équations et les fonctions.
2.Comment écrire un programme de calcul en fonction de x ?+
Rép. :Remplace le nombre de départ par x et applique les instructions une par une en gardant les parenthèses. « Soustraire 5, multiplier par 3, ajouter 11 » donne x−5, puis (x−5)×3, puis (x−5)×3+11. Développe et réduis à la fin : 3x−15+11=3x−4.
3.Comment montrer qu’un programme de calcul donne toujours le même résultat ?+
Rép. :Fais le calcul avec x, le nombre de départ, et réduis l’expression. Si les x disparaissent, le résultat ne dépend pas du nombre choisi : (x+7)×5−5x=5x+35−5x=35. Des essais avec 1,2 ou 10 montrent seulement que c’est vrai pour ces nombres.
4.Comment trouver le nombre de départ d’un programme de calcul ?+
Rép. :Écris le résultat en fonction de x, puis résous l’équation « expression = résultat voulu ». Pour « multiplier par 2, ajouter 6 » et un résultat de 20 : 2x+6=20, donc x=7. Si chaque instruction porte sur le résultat précédent, on peut aussi remonter : 20−6=14, puis 14÷2=7.
5.Comment comparer deux programmes de calcul ?+
Rép. :Écris chacun en fonction de x et réduis. Les attendus de fin de 4e prennent cet exemple : « choisir un nombre, le tripler puis ajouter 15 au résultat » donne 3x+15 ; « choisir un nombre, lui ajouter 5 puis multiplier le résultat par 3 » donne 3(x+5)=3x+15. Les deux expressions sont égales : les programmes donnent toujours le même résultat.
6.Quel lien entre un programme de calcul et une fonction ?+
Rép. :Un programme de calcul associe un résultat à chaque nombre de départ : c’est une fonction. Le programme « ajouter 3, multiplier par 2, soustraire le nombre de départ » est la fonction f:x↦x+6. L’image de 4 est f(4)=10, et l’antécédent de 0 est −6.
7.Programme de calcul et Scratch, quelle différence ?+
Rép. :C’est le même calcul, écrit autrement. Dans Scratch, « demander … et attendre » range le nombre choisi dans la variable réponse, et chaque bloc « mettre résultat à … » joue le rôle d’une instruction du programme. On le lit et on le teste exactement comme un programme écrit en phrases.
8.Le programme de calcul, c’est en quelle classe ?+
Rép. :Dès la 5e, on traduit un programme de calcul par une expression littérale et on calcule sa valeur pour un nombre. En 4e, on démontre que deux programmes sont équivalents et on résout des équations. En 3e, on transforme les expressions obtenues et on relie le programme à une fonction. Le brevet peut tout demander.
Le programme et les repères proviennent du Bulletin officiel ; la liste d’automatismes et les sujets du brevet, d’éduscol (Licence Ouverte / etalab-2.0). Le cours, les exemples, les exercices et les corrigés sont les nôtres.
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