Czym różni się droga od przemieszczenia?

Droga s jest długością toru, wielkością skalarną, która tylko rośnie. Przemieszczenie Δr jest wektorem od położenia początkowego do końcowego, więc może maleć, a po powrocie do punktu wyjścia wynosi zero. Wartość przemieszczenia nigdy nie przekracza przebytej drogi.

Jak z wykresu prędkości od czasu obliczyć drogę?

Droga w danym przedziale czasu to pole figury pod wykresem v(t) w tym przedziale. Rozbij figurę na trójkąty, prostokąty i trapezy, oblicz ich pola i dodaj. Pole pod osią czasu, gdzie prędkość jest ujemna, odpowiada przemieszczeniu w stronę przeciwną do przyjętego zwrotu.

Jak obliczyć drogę hamowania, gdy znasz prędkość i opóźnienie?

Skorzystaj ze wzoru bez czasu, s = v₀²/(2a), gdzie a to wartość opóźnienia. Prędkość wstaw w metrach na sekundę. Dla 54 km/h i opóźnienia 3,0 m/s² droga wynosi 37,5 m; podwojenie prędkości początkowej czterokrotnie wydłuża drogę hamowania.

Jakie przyśpieszenie ma ciało w najwyższym punkcie rzutu pionowego?

Takie samo jak w każdej chwili lotu: g, skierowane w dół. W najwyższym punkcie zerem jest tylko prędkość, bo zmienia się tam zwrot ruchu z wznoszenia na opadanie. Gdyby przyśpieszenie było tam zerowe, ciało zawisłoby w powietrzu.

Od czego zależy zasięg rzutu poziomego?

Zasięg z = v₀ t zależy od prędkości początkowej i od czasu lotu, a ten wynika z wysokości, t = √((2h)/g). Zasięg rośnie więc wprost proporcjonalnie do v₀ i jak pierwiastek z wysokości. Masy ciała w tych wzorach nie ma.

Czy w ruchu jednostajnie zmiennym prędkość i przyśpieszenie mają zawsze ten sam zwrot?

Nie. Gdy zwroty są zgodne, ciało przyśpiesza, a gdy przeciwne, hamuje. Rzut pionowy w górę pokazuje obie sytuacje: przyśpieszenie g jest cały czas skierowane w dół, a prędkość najpierw w górę, potem w dół.

Matura 2027 · fizyka, poziom rozszerzony

Kinematyka: ruch jednostajny, ruch jednostajnie zmienny, rzut pionowy i rzut poziomy

Podstawa programowa wymaga, żebyś opisywał ruch względem różnych układów odniesienia, rozróżniał położenie, tor i drogę, posługiwał się przemieszczeniem, prędkością i przyśpieszeniem, opisywał ruchy jednostajne i jednostajnie zmienne wzorami i wykresami oraz analizował rzut poziomy jako ruch złożony. Tak przygotujesz się do tej części matury z fizyki na poziomie rozszerzonym.

Na maturze 2023–2026: w 3 z 4 sesji – 2023 (zadanie 1), 2025 (zadania 1.1 i 1.2), 2026 (zadania 1.1, 1.2 i 1.3).

Podstawa programowa: fizyka

Podstawa programowa (zakres rozszerzony): dział II „Mechanika”, pkt 1–7

Pokaż wymagania

II.1opisuje ruch względem różnych układów odniesienia;
II.2rozróżnia pojęcia położenie, tor i droga;
II.3opisuje ruchy postępowe, posługując się wielkościami wektorowymi: przemieszczeniem, prędkością i przyspieszeniem wraz z ich jednostkami;
II.4opisuje ruchy prostoliniowe jednostajne i jednostajnie zmienne, posługując się zależnościami położenia, wartości prędkości i przyspieszenia oraz drogi od czasu;
II.5sporządza i interpretuje wykresy zależności parametrów ruchu od czasu;
II.6wyznacza położenie, wartość prędkości, wartość przyspieszenia i drogę w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym na podstawie danych zawartych w postaci tabel i wykresów;
II.7opisuje ruchy złożone jako sumę ruchów prostych; analizuje rzut poziomy jako przykład ruchu dwuwymiarowego;

Dz.U. 2024 poz. 1019 · w arkuszach 2023–2026: w 3 z 4 sesji

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Ruch opisujesz względem układu odniesienia; droga $s$ jest skalarem, a przemieszczenie $\Delta\vec{r}$ wektorem, więc po powrocie do punktu startu przemieszczenie jest równe zeru.
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy: $v = v_0 + at$ oraz $s ={}$ $v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ ; bez czasu $v^2 = v_0^2 + 2as$ .
Z wykresu $v(t)$ odczytujesz przyśpieszenie jako nachylenie, a drogę jako pole pod wykresem; z wykresu $s(t)$ prędkość jako nachylenie.
Rzut pionowy to ruch z przyśpieszeniem $g$ skierowanym w dół: wznoszenie trwa $\frac{v_0}{g}$ , a wysokość maksymalna wynosi $\frac{v_0^2}{2g}$ .
Rzut poziomy to ruch jednostajny w poziomie i spadek swobodny w pionie; czas lotu $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ nie zależy od $v_0$ .

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Układ odniesienia, położenie, tor i droga

Ruch opisujesz zawsze względem wybranego ciała odniesienia, z którym wiążesz osie współrzędnych i zegar; razem tworzą układ odniesienia. Ta sama podróż ma różne prędkości w różnych układach. Pasażer idący w wagonie z prędkością o wartości $1{,}5\ \mathrm{m/s}$ względem wagonu porusza się względem ziemi z prędkością $21{,}5\ \mathrm{m/s}$ , jeśli idzie w kierunku jazdy pociągu, który jedzie z prędkością $20\ \mathrm{m/s}$ , a z prędkością $18{,}5\ \mathrm{m/s}$ , jeśli idzie przeciwnie do kierunku jazdy.

Położenie ciała podajesz współrzędnymi w wybranym układzie, a linię, którą kreśli ciało, nazywasz torem. Droga $s$ jest długością toru i tylko rośnie, natomiast przemieszczenie $\Delta\vec{r}$ to wektor od położenia początkowego do końcowego. Biegacz, który obiegł bieżnię długości $400\ \mathrm{m}$ i wrócił na start, przebył drogę $400\ \mathrm{m}$ , a jego przemieszczenie jest równe zeru. Tabela zbiera wielkości, którymi opisujesz ruch.

Wielkość	Zapis i jednostka	Rodzaj
położenie	$\vec{r}$ , m	wektor
droga	$s$ , m	skalar
przemieszczenie	$\Delta\vec{r}$ , m	wektor
prędkość	$\vec{v} ={}$ $\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ , m/⁠s	wektor
przyśpieszenie	$\vec{a} ={}$ $\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ , $\mathrm{m/s^2}$	wektor

Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po prostej

W ruchu jednostajnym prostoliniowym prędkość jest stała, a przebyta droga rośnie z czasem liniowo: $s = vt$ . W ruchu jednostajnie zmiennym stałe jest przyśpieszenie i obowiązują związki z karty wzorów: $v = v_0 + at$ oraz $s ={}$ $v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ . Ruch jest przyśpieszony, gdy wektory prędkości i przyśpieszenia mają ten sam zwrot, a opóźniony, gdy zwroty są przeciwne. Gdy czas nie jest dany, wyeliminuj go z obu wzorów i dostaniesz $v^2 = v_0^2 + 2as$ .

Samochód jadący z prędkością $54\ \mathrm{km/h}$ , czyli $15{,}0\ \mathrm{m/s}$ , hamuje ze stałym opóźnieniem o wartości $3{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ . Zatrzyma się po czasie $t ={}$ $\frac{v_0}{a} ={}$ $5{,}0\ \mathrm{s}$ na drodze $s ={}$ $\frac{v_0^2}{2a} ={}$ $37{,}5\ \mathrm{m}$ . Tę samą drogę odczytasz jako pole trójkąta pod wykresem prędkości od czasu, $\frac{1}{2} \cdot 15{,}0\ \mathrm{m/s} \cdot 5{,}0\ \mathrm{s}$ .

Wykresy ruchu i odczytywanie z nich wielkości

Z wykresu położenia od czasu odczytasz prędkość jako nachylenie, z wykresu prędkości od czasu przyśpieszenie jako nachylenie, a drogę jako pole pod wykresem; karta wzorów podaje to jako związek drogi z polem pod wykresem $v(t)$ . Gdy wartość prędkości rośnie od zera do $8\ \mathrm{m/s}$ w ciągu $4\ \mathrm{s}$ , a potem przez $6\ \mathrm{s}$ jest stała, przyśpieszenie na pierwszym odcinku wynosi $2{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ , a cała droga to pole trójkąta $\frac{1}{2} \cdot 4\ \mathrm{s} \cdot 8\ \mathrm{m/s}$ i prostokąta $6\ \mathrm{s} \cdot 8\ \mathrm{m/s}$ , czyli $16\ \mathrm{m} +{}$ $48\ \mathrm{m} ={}$ $64\ \mathrm{m}$ .

Zwróć uwagę, że nachylenie ma znak: na wykresie $v(t)$ ruchu opóźnionego prosta opada, więc przyśpieszenie jest ujemne względem wybranego zwrotu osi. Odczytując dane, sprawdź zawsze skalę osi i jednostki, bo ta sama krzywa o innej podziałce opisuje inną prędkość.

Ruch	Wykres $s(t)$	Wykres $v(t)$	Wykres $a(t)$
jednostajny	prosta rosnąca	linia pozioma	zero
jednostajnie przyśpieszony od spoczynku	parabola o ramionach w górę	prosta rosnąca od zera	linia pozioma nad osią czasu
jednostajnie opóźniony do zatrzymania	fragment paraboli o ramionach w dół	prosta malejąca do zera	linia pozioma pod osią czasu
spoczynek	linia pozioma	zero	zero

Rzut pionowy i spadek swobodny

W rzucie pionowym i spadku swobodnym bez oporów powietrza przyśpieszenie jest stałe, skierowane w dół i równe $g$ . Dla osi skierowanej w górę $v = v_0 - gt$ , a wysokość nad punktem wyrzutu $h ={}$ $v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ . Ciało wyrzucone w górę z prędkością $v_0$ wznosi się przez czas $t = \frac{v_0}{g}$ do wysokości $h_{max} ={}$ $\frac{v_0^2}{2g}$ . W najwyższym punkcie prędkość jest równa zeru, a przyśpieszenie nadal wynosi $g$ . Cały lot do powrotu na poziom wyrzutu trwa dwa razy dłużej niż samo wznoszenie.

Dla $v_0 ={}$ $12\ \mathrm{m/s}$ i $g ={}$ $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ wznoszenie trwa $1{,}22\ \mathrm{s}$ , wysokość maksymalna wynosi $7{,}34\ \mathrm{m}$ , a ciało wraca na poziom wyrzutu po $2{,}45\ \mathrm{s}$ . Przy powrocie ma prędkość o tej samej wartości $12\ \mathrm{m/s}$ , lecz skierowaną w dół. W spadku swobodnym $v_0 = 0$ , więc $h = \frac{1}{2}gt^2$ .

Rzut poziomy jako ruch złożony

Rzut poziomy opisujesz jako sumę dwóch niezależnych ruchów: jednostajnego w poziomie, $x = v_0 t$ , i spadku swobodnego w pionie, $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ . Czas lotu zależy tylko od wysokości, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ , a zasięg wynosi $z = v_0 t$ . Składowa pozioma prędkości się nie zmienia, a pionowa rośnie liniowo, $v_y = gt$ . Torem jest fragment paraboli.

Kamień rzucony poziomo z wysokości $45\ \mathrm{m}$ z prędkością $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ spada przez $3{,}03\ \mathrm{s}$ i uderza w ziemię w odległości $15{,}1\ \mathrm{m}$ w poziomie od miejsca rzutu. Tuż przed uderzeniem składowa pionowa prędkości ma wartość $29{,}7\ \mathrm{m/s}$ , a pozioma nadal $5{,}0\ \mathrm{m/s}$ . Ruchy w pionie i w poziomie liczysz osobno; łączy je tylko czas.

Pojęcia

układ odniesienia: Ciało odniesienia z osiami współrzędnych i zegarem, względem których opisujesz położenie i ruch.
położenie i tor: Położenie ciała podajesz współrzędnymi w wybranym układzie, a tor to linia, którą ciało kreśli w przestrzeni podczas ruchu.
droga: Długość toru przebytego przez ciało; wielkość skalarna, która nie maleje.
przemieszczenie: Wektor poprowadzony od położenia początkowego ciała do jego położenia końcowego, $\Delta\vec{r}$ .
prędkość: Wektor $\vec{v} ={}$ $\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$ , czyli przemieszczenie w jednostce czasu; jednostka to $\mathrm{m/s}$ .
przyśpieszenie: Wektor $\vec{a} ={}$ $\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ , czyli zmiana prędkości w jednostce czasu; jednostka to $\mathrm{m/s^2}$ .
ruch jednostajnie zmienny: Ruch prostoliniowy, w którym przyśpieszenie jest stałe: prędkość zmienia się o jednakowe wartości w jednakowych odstępach czasu.
rzut poziomy: Ruch ciała wyrzuconego poziomo, złożony z ruchu jednostajnego w poziomie i spadku swobodnego w pionie.

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2025, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 1.2

Zadanie 1.2. (0–3)

Rozważamy rzuty wykonane w doświadczalnej komorze próżniowej. Do analizy zadań 1.1. i 1.2. przyjmij model zjawiska, w którym: • ruchy ciał odbywają się bez działania sił oporu • ciała poruszają się w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym • poruszające się ciała traktujemy jako punkty materialne • podłoże, na które upadają rzucone ciała, jest poziome • przyśpieszenie ziemskie ma wartość

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Z punktu

A

w chwili

t_0 = 0\ \mathrm{s}

rzucono kulkę

\mathrm{K_A}

. Prędkość kulki

\mathrm{K_A}

w chwili

t_0

miała kierunek poziomy i wartość równą

v_{0A} ={}

8\ \mathrm{m/s}

. Z punktu

B

– w tej samej chwili

t_0

– rzucono kulkę

\mathrm{K_B}

. Prędkość kulki

\mathrm{K_B}

w chwili

t_0

miała kierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczymy jako

v_{0B}

. Rzucone kulki

\mathrm{K_A}

\mathrm{K_B}

zderzyły się w chwili

t_z

w punkcie

C

. Współrzędne punktów

A

B

C

wyrażone w metrach, w kartezjańskim układzie współrzędnych, są następujące:

A ={}

(0;\ 12) \qquad B ={}

(6;\ 0) \qquad C ={}

(6;\ y_C)

Opisaną sytuację ilustruje rysunek na stronie 5. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne. RysunekOblicz $v_{0B}$ – wartość prędkości początkowej kulki $\mathrm{K_B}$ w punkcie $B$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2025, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2505), zadanie 1.2. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Dla sposobu 1. lub 2.: zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia kulki K_A wzdłuż osi x: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki K_A od chwili t₀ do chwili t_z zderzenia się kulek, np. zapisy równoważne poniższym: x_C(KA) = x_A(KA) + v₀A·t_z albo Δx(KA) = v₀A·t_z albo t_z = 6 m / (8 m/s) LUB zastosowanie równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w stronę przeciwną do zwrotu osi y) bez prędkości początkowej dla opisania położenia kulki K_A wzdłuż osi y: zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu C w funkcji położenia początkowego kulki K_A, g i t_z, np. zapisy równoważne poniższym: y_C(KA) = 12 − 1/2·g·t_z² LUB zastosowanie równania (albo równań) ruchu jednostajnie opóźnionego (w stronę zwrotu osi y) dla opisania położenia kulki K_B wzdłuż osi y: zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu C w funkcji prędkości początkowej v₀B kulki K_B, g i t_z, np. zapisy równoważne poniższym: y_C(KB) = v₀B·t_z − 1/2·g·t_z² albo (y_C(KB) = (v₀B + v_C(KB))/2 · t_z i v_C(KB) = v₀B − g·t_z). ALBO dla sposobu 3. lub 4.: spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA LUB spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE LUB spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU LUB spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU. ALBO dla sposobu 5.: zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia kulki K_A wzdłuż osi x: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki K_A od chwili t₀ do chwili t_z zderzenia się kulek, np. zapisy równoważne poniższym: x_C(KA) = x_A(KA) + v₀A·t_z albo Δx(KA) = v₀A·t_z albo t_z = 6 m / (8 m/s) LUB zapisanie zasady zachowania energii dla kulki K_A w punktach A i C oraz uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki K_A w punkcie C, np. zapisy równoważne poniższym: m·v₀A²/2 + m·g·h_A = m·(v₀A² + (g·t_z)²)/2 + m·g·y_C LUB zapisanie zasady zachowania energii dla kulki K_B w punktach B i C oraz uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki K_B w punkcie C, np. zapisy równoważne poniższym: m·v₀B²/2 = m·(v₀B − g·t_z)²/2 + m·g·y_C.1 pkt
Dla sposobu 1. lub 2.: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki K_A od chwili t₀ do chwili t_z oraz zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć położenie kulki K_A wzdłuż osi y w chwili t_z, czyli rzędną punktu C w funkcji położenia początkowego kulki K_A, g i t_z oraz zapisanie równania (albo równań) pozwalającego wyznaczyć położenie kulki K_B wzdłuż osi y w chwili t_z, czyli rzędną punktu C w funkcji prędkości początkowej v₀B kulki K_B, g i t_z, np. zapisy równoważne poniższym: 6 m = 8 m/s · t_z oraz y_C(KA) = 12 − 1/2·g·t_z² oraz y_C(KB) = v₀B·t_z − 1/2·g·t_z² albo 6 m = 8 m/s · t_z oraz y_C(KA) = 12 − 1/2·g·t_z² oraz (y_C(KB) = (v₀B + v_C(KB))/2 · t_z i v_C(KB) = v₀B − g·t_z). ALBO dla sposobu 3. lub 4.: spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA oraz warunku PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE oraz zastosowanie związków między przemieszczeniem względnym a prędkością względną kulki K_B względem kulki K_A (w obu kierunkach: poziomym i pionowym) i czasem ruchu do zderzenia kulek, np. zapisy równoważne poniższym: 6 m = 8 m/s · t_z oraz 12 m = v₀B·t_z LUB spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU oraz warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU oraz zastosowanie związków między przemieszczeniem a prędkością i czasem (ruchu do zderzenia kulek) dla ruchu obu kulek w spadającym układzie odniesienia NU, np. zapisy równoważne poniższym: 6 m = 8 m/s · t_z oraz 12 m = v₀B·t_z. ALBO dla sposobu 5.: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki K_A od chwili t₀ do chwili t_z oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki K_A w punktach A i C z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki K_A w punkcie C, oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki K_B w punktach B i C z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki K_B w punkcie C, np. zapisy równoważne poniższym: 6 m = 8 m/s · t_z oraz m·v₀A²/2 + m·g·h_A = m·(v₀A² + (g·t_z)²)/2 + m·g·y_C oraz m·v₀B²/2 = m·(v₀B − g·t_z)²/2 + m·g·y_C.1 pkt
Dla sposobu 1. lub 2.: poprawna metoda obliczenia v₀B – wartości prędkości początkowej kulki K_B, tzn. poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek K_A i K_B (w układzie inercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v₀B = 16 m/s. ALBO dla sposobu 3. lub 4.: poprawna metoda obliczenia v₀B – wartości prędkości początkowej kulki K_B, tzn. poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek K_A i K_B (w układzie spoczynkowym kulki K_A lub w układzie swobodnie spadającym pionowo) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v₀B = 16 m/s. ALBO dla sposobu 5.: poprawna metoda obliczenia v₀B – wartości prędkości początkowej kulki K_B, tzn. poprawne zastosowanie zasady zachowania energii dla kulek K_A i K_B (w układzie inercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v₀B = 16 m/s.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Ruch kulki

\mathrm{K_A}

w poziomie jest jednostajny:

x_C = v_{0A}t_z

, więc

t_z ={}

\frac{6\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{m/s}} ={}

0{,}75\ \mathrm{s}

W pionie:

y_C ={}

12\ \mathrm{m} -{}

\frac{1}{2}gt_z^2

(kulka

\mathrm{K_A}

) oraz

y_C ={}

v_{0B}t_z -{}

\frac{1}{2}gt_z^2

(kulka

\mathrm{K_B}

Porównując:

12\ \mathrm{m} ={}

v_{0B}t_z

, czyli

v_{0B} ={}

\frac{12\ \mathrm{m}}{0{,}75\ \mathrm{s}} ={}

16\ \mathrm{m/s}

Wyjaśnienie od Kleksy

Wypisz dane z treści: kulka

\mathrm{K_A}

startuje z punktu

A = (0;\ 12)

poziomo z prędkością

8\ \mathrm{m/s}

, kulka

\mathrm{K_B}

z punktu

B = (6;\ 0)

pionowo w górę, a kulki zderzają się w punkcie

C = (6;\ y_C)

w tej samej chwili

t_z

. Przyśpieszenie obu kulek to

g

skierowane w dół.

Ruch poziomy kulki

\mathrm{K_A}

jest jednostajny, więc czas do zderzenia wynika z przesunięcia o

6\ \mathrm{m}

t_z ={}

\frac{6\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{m/s}} ={}

0{,}75\ \mathrm{s}

. W pionie

y_C ={}

12\ \mathrm{m} -{}

\frac{1}{2}gt_z^2

dla kulki

\mathrm{K_A}

oraz

y_C ={}

v_{0B}t_z -{}

\frac{1}{2}gt_z^2

dla kulki

\mathrm{K_B}

Przyrównaj oba zapisy rzędnej: obie kulki spadają o tyle samo,

\frac{1}{2}gt_z^2

, więc człon z

g

się skraca i zostaje

v_{0B}t_z ={}

12\ \mathrm{m}

. Wynik nie zależy od przyjętej wartości

g

, więc zaokrąglenie

g

niczego nie psuje.

Według zasad oceniania CKE: 3 punkty. Pierwszy punkt za równanie ruchu jednostajnego w poziomie kulki

\mathrm{K_A}

albo za równanie rzędnej punktu

C

którejś z kulek, drugi za czas do zderzenia wraz z równaniami rzędnej obu kulek, trzeci za poprawną metodę i wynik z jednostką. CKE uznaje też rozwiązanie w układzie związanym z kulką

\mathrm{K_A}

albo w układzie swobodnie spadającym, w którym ruch kulek jest jednostajny, oraz rozwiązanie z zasady zachowania energii.

Przykładowe rozwiązanie:

t_z ={}

\frac{6\ \mathrm{m}}{8\ \mathrm{m/s}} ={}

0{,}75\ \mathrm{s}

, czyli

v_{0B} ={}

\frac{12\ \mathrm{m}}{t_z} ={}

\frac{12\ \mathrm{m}}{0{,}75\ \mathrm{s}} ={}

16\ \mathrm{m/s}

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 1

Zadanie 1. (0–4)

Samochód policyjny

\mathcal{P}

jechał ze stałą prędkością o wartości

v_{0\mathcal{P}} ={}

20\ \mathrm{m/s}

. W pewnej chwili został on wyprzedzony przez samochód osobowy

\mathcal{F}

, jadący w tym samym kierunku ze stałą prędkością o wartości

v_{\mathcal{F}} ={}

35\ \mathrm{m/s}

(zobacz rysunek 1.). W chwili

t_0 = 0

, gdy odległość między samochodami

\mathcal{P}

\mathcal{F}

zwiększyła się do

d_0 = 40\ \mathrm{m}

, samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości

a ={}

6\ \mathrm{m/s^2}

(zobacz rysunek 2.).Odległość

d

między samochodami

\mathcal{P}

\mathcal{F}

jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili osiągnęła wartość maksymalną

d_{max}

, a następnie zaczęła maleć. Przyjmij, że: • od chwili

t_0 = 0

samochód policyjny

\mathcal{P}

poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym • samochód

\mathcal{F}

cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym • odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi punktami na przednich zderzakach. Oblicz $d_{max}$ – maksymalną odległość pomiędzy samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ podczas pościgu. Zapisz obliczenia.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2023, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2305), zadanie 1. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Zasady oceniania CKE

Dla sposobu 1.: opisanie strategii rozwiązania (bez wykonania dalszych obliczeń): stwierdzenie, że maksymalna odległość pomiędzy samochodami jest w chwili, w której wartości prędkości samochodów są sobie równe, a odległość między nimi jest równa różnicy położeń LUB przyrównanie wartości prędkości obu samochodów oraz zastosowanie wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla samochodu 𝒫 (na symbolach wielkości lub z podstawionymi danymi), np. zapisy równoważne poniższym: {v𝒫 = vℱ oraz v𝒫 = v0𝒫 + a·t} albo 20 + 6t_max = 35 albo a = (vℱ − v0𝒫)/t_max (w jednym zapisie) LUB przyrównanie wartości prędkości obu samochodów oraz zapisanie odległości maksymalnej między samochodami jako różnicy położeń samochodów w chwili t_max (bądź sumy położenia początkowego i różnicy dróg, jakie przebyły oba samochody do wyrównania prędkości), np. zapisy równoważne poniższym: v𝒫 = vℱ oraz d_max = xℱ(t_max) − x𝒫(t_max) albo v𝒫 = vℱ oraz d_max = d₀ + Δs LUB poprawne zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów z wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla samochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: x𝒫 = 20t + 3t² oraz xℱ = 40 + 35t. ALBO dla sposobu 2.: opisanie strategii rozwiązania: zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako różnicy położeń oraz stwierdzenie, że maksymalna odległość będzie największą wartością funkcji opisującej zależność różnicy położeń od czasu LUB poprawne zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów z wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla samochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: x𝒫 = 20t + 3t² oraz xℱ = 40 + 35t. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie wzoru na prędkość ṽP samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa, np. zapisy równoważne poniższym: ṽ𝒫(t) = 6t − 15 oraz ṽ𝒫(t_max) = 0 LUB zapisanie warunku na prędkość ṽP samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym z samochodem ℱ, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy odległości początkowej i drogi s̃, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: ṽ𝒫(t_max) = 0 oraz d_max = d₀ + s̃.1 pkt
Dla sposobu 1.: poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu t_max, w którym odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym) oraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili t_max (lub sumy położenia początkowego d₀ i różnicy Δs dróg, jakie przebyły oba samochody do wyrównania prędkości) np. zapisy równoważne poniższym: 20 + 6t_max = 35 oraz {d_max = xℱ(t_max) − x𝒫(t_max) lub d_max = d₀ + Δs} LUB poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu t_max, w którym odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym) oraz zapisanie wyrażenia (na symbolach lub z podstawionymi danymi) poprawnie określającego położenie jednego z samochodów dla dowolnego t bądź wyznaczonego t_max (tzn. skorzystanie z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego lub ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy równoważne poniższym: 20 + 6t_max = 35 oraz {xℱ(t) = 40 + 35t lub x𝒫(t) = 20t + 3t²}. ALBO dla sposobu 2.: zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako różnicy położeń oraz poprawne zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów, np. zapisy równoważne poniższym: d = xℱ − x𝒫 oraz x𝒫 = 20t + 3t² i xℱ = 40 + 35t. ALBO dla sposobu 3.: zapisanie wzoru na prędkość ṽP samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy odległości początkowej i drogi s̃, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: ṽ𝒫(t) = 6t − 15 oraz ṽ𝒫(t_max) = 0 oraz d_max = d₀ + s̃ LUB zapisanie wzoru na prędkość ṽP samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa, oraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: ṽ𝒫(t) = 6t − 15 oraz ṽ𝒫(t_max) = 0 oraz s̃ = ṽ𝒫(0)²/(2a).1 pkt
Dla sposobu 1.: poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu t_max, w którym odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym) oraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili t_max, oraz zapisanie wyrażeń (na symbolach lub z podstawionymi danymi) poprawnie określających położenia samochodów (tzn. skorzystanie z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego i ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy równoważne poniższym: 20 + 6t_max = 35 oraz d_max = (40 + 35t_max) − (20t_max + 3t_max²). ALBO dla sposobu 2.: poprawna metoda wyznaczenia zależności d(t) (funkcji d(t)) jako różnicy położeń samochodów od czasu oraz zapisanie prawidłowej postaci tej funkcji, oraz prawidłowa metoda obliczenia wartości maksymalnej funkcji d(t), np. zapisy równoważne poniższym: d(t) = (40 + 35t) − (20t + 3t²) = −3t² + 15t + 40 oraz d_max = −Δ/(4A). ALBO dla sposobu 3.: zapisanie wzoru na prędkość ṽP samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy odległości początkowej i drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, oraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym: ṽ𝒫(t) = 6t − 15 oraz ṽ𝒫(t_max) = 0 oraz d_max = d₀ + ṽ𝒫(0)²/(2a).1 pkt
Dla sposobu 1.: poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: d_max = 58,75 m. ALBO dla sposobu 2.: poprawna metoda (opisana w warunkach za 3 pkt i 2 pkt) obliczenia maksymalnej odległości pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: d_max = 58,75 m. ALBO dla sposobu 3.: poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: d_max = 58,75 m.1 pkt

Rozwiązanie i przykładowe odpowiedzi według CKE

Odległość między samochodami rośnie tak długo, jak samochód

\mathcal{F}

jest szybszy od

\mathcal{P}

; jest największa w chwili

t_{max}

, gdy ich prędkości się zrównają:

v_{\mathcal{P}} ={}

v_{0\mathcal{P}} + at ={}

v_{\mathcal{F}}

, czyli

20 + 6t_{max} = 35

, więc

t_{max} ={}

2{,}5\ \mathrm{s}

Położenia w chwili

t_{max}

(początek osi w miejscu

\mathcal{P}

w chwili

t_0

x_{\mathcal{P}} ={}

v_{0\mathcal{P}}t +{}

\frac{1}{2}at^2 ={}

20 \cdot 2{,}5 +{}

\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2{,}5^2 ={}

68{,}75\ \mathrm{m}

x_{\mathcal{F}} ={}

d_0 + v_{\mathcal{F}}t ={}

40 + 35 \cdot 2{,}5 ={}

127{,}5\ \mathrm{m}

d_{max} ={}

127{,}5\ \mathrm{m} -{}

68{,}75\ \mathrm{m} ={}

58{,}75\ \mathrm{m}

Wyjaśnienie od Kleksy

Odległość

d

między samochodami rośnie, dopóki samochód

\mathcal{F}

jest szybszy od

\mathcal{P}

, a maleje, gdy

\mathcal{P}

go dogania. Największa jest więc w chwili

t_{max}

, w której wartości prędkości się zrównają:

v_{0\mathcal{P}} +{}

at_{max} ={}

v_{\mathcal{F}}

. Stąd

t_{max} ={}

\frac{35 - 20}{6}\ \mathrm{s} ={}

2{,}5\ \mathrm{s}

Położenia w tej chwili liczysz od miejsca, w którym samochód

\mathcal{P}

był w chwili

t_0

. Samochód

\mathcal{P}

jedzie ruchem jednostajnie przyśpieszonym:

x_{\mathcal{P}} ={}

v_{0\mathcal{P}}t_{max} +{}

\frac{1}{2}at_{max}^2 ={}

68{,}75\ \mathrm{m}

. Samochód

\mathcal{F}

jedzie ruchem jednostajnym i zaczyna

d_0 = 40\ \mathrm{m}

dalej:

x_{\mathcal{F}} ={}

d_0 +{}

v_{\mathcal{F}}t_{max} ={}

127{,}5\ \mathrm{m}

Odległość maksymalna to różnica położeń,

d_{max} ={}

x_{\mathcal{F}} -{}

x_{\mathcal{P}} ={}

58{,}75\ \mathrm{m}

. Nie pomijaj odległości początkowej

d_0

: bez niej wyszłoby tylko

18{,}75\ \mathrm{m}

Według zasad oceniania CKE: 4 punkty, po jednym za: strategię (zrównanie wartości prędkości albo zapis położeń obu samochodów), metodę wyznaczenia

t_{max}

razem z odległością jako różnicą położeń, wyrażenia na położenia obu samochodów oraz wynik z jednostką. CKE uznaje trzy drogi: z przyrównaniem prędkości, z maksimum funkcji

d(t) ={}

-3t^2 + 15t + 40

i z prędkością samochodu

\mathcal{P}

w układzie związanym z samochodem

\mathcal{F}

Przykładowe rozwiązanie:

t_{max} ={}

\frac{v_{\mathcal{F}} - v_{0\mathcal{P}}}{a} ={}

2{,}5\ \mathrm{s}

, czyli

d_{max} ={}

127{,}5\ \mathrm{m} -{}

68{,}75\ \mathrm{m} ={}

58{,}75\ \mathrm{m}

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

matura

Zadanie 1.1. (0–1)

W chwili

t_0 = 0\ \mathrm{s}

z wysokości

h_0

ponad podłożem wyrzucono pionowo w górę ciało

\mathcal{C}

. Wartość prędkości ciała

\mathcal{C}

w chwili

t_0

oznaczymy jako

v_0

. Ciało wzniosło się pionowo na wysokość maksymalną

h_{max}

, po czym opadło na podłoże. Przyjmij, że: • ciało

\mathcal{C}

porusza się w komorze próżniowej, bez działania sił oporu, w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym • przyśpieszenie ziemskie ma wartość

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

. Analizujemy ruch ciała

\mathcal{C}

od chwili

t_0

do momentu uderzenia w podłoże. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Przyśpieszenie ciała

\mathcal{C}

zależy od jego masy.

Czas trwania ruchu ciała

\mathcal{C}

zależy od

v_0

Zadanie 1.1 z arkusza CKE MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2605 (matura z fizyki, poziom rozszerzony, 2026) – objaśnienie Kleksy

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wózek rusza ze spoczynku i porusza się ze stałym przyśpieszeniem o wartości

1{,}6\ \mathrm{m/s^2}

. Droga przebyta przez wózek w ciągu pierwszych

5{,}0\ \mathrm{s}

ruchu jest równa

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Rowerzysta przejechał dokładnie połowę okręgu o promieniu

50\ \mathrm{m}

. Wartość przemieszczenia rowerzysty jest równa

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Przyporządkuj każdemu ruchowi (1–3) wartość przyśpieszenia ciała. Przyjmij

g ={}

9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

i pomiń opory ruchu.

Wartość przyśpieszenia

A $0$ .
B $2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ .
C $9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ .
D $0{,}40\ \mathrm{m/s^2}$ .

Ruch

1wózek, którego prędkość rośnie jednostajnie od zera do

20\ \mathrm{m/s}

w ciągu

8{,}0\ \mathrm{s}

2kamień puszczony swobodnie,

1{,}0\ \mathrm{s}

po rozpoczęciu spadania

3samochód jadący po prostej drodze ze stałą prędkością

20\ \mathrm{m/s}

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Mylenie drogi z przemieszczeniem. Droga jest długością toru i nie maleje, a przemieszczenie zależy tylko od położenia początkowego i końcowego, więc po powrocie do punktu startu jest równe zeru.
Przyjmowanie, że w najwyższym punkcie rzutu pionowego wszystko się zatrzymuje. Prędkość jest tam równa zeru, ale przyśpieszenie nadal wynosi $g$ i jest skierowane w dół.
Liczenie drogi w ruchu przyśpieszonym ze wzoru $s = vt$ z prędkością końcową. Ten wzór dotyczy ruchu jednostajnego; w ruchu jednostajnie przyśpieszonym od spoczynku $s = \frac{1}{2}at^2$ .
Wpisywanie do wzorów prędkości w km/⁠h obok przyśpieszenia w m/⁠s². Przed obliczeniami zamień wszystko na jednostki SI, bo inaczej wynik ma zły rząd wielkości.

Zapamiętaj

Ruch jednostajnie zmienny: $v = v_0 + at$ , $s ={}$ $v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ .
Wykres $v(t)$ : nachylenie wykresu to przyśpieszenie, a droga to pole figury pod nim.
Rzut pionowy: $t = \frac{v_0}{g}$ , $h_{max} ={}$ $\frac{v_0^2}{2g}$ .
Rzut poziomy: czas lotu $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ , zasięg $z = v_0 t$ .
Przemieszczenie jest wektorem, droga skalarem.

Pytania i odpowiedzi

1.Czym różni się droga od przemieszczenia?+
Odp.:Droga $s$ jest długością toru, wielkością skalarną, która tylko rośnie. Przemieszczenie $\Delta\vec{r}$ jest wektorem od położenia początkowego do końcowego, więc może maleć, a po powrocie do punktu wyjścia wynosi zero. Wartość przemieszczenia nigdy nie przekracza przebytej drogi.
2.Jak z wykresu prędkości od czasu obliczyć drogę?+
Odp.:Droga w danym przedziale czasu to pole figury pod wykresem $v(t)$ w tym przedziale. Rozbij figurę na trójkąty, prostokąty i trapezy, oblicz ich pola i dodaj. Pole pod osią czasu, gdzie prędkość jest ujemna, odpowiada przemieszczeniu w stronę przeciwną do przyjętego zwrotu.
3.Jak obliczyć drogę hamowania, gdy znasz prędkość i opóźnienie?+
Odp.:Skorzystaj ze wzoru bez czasu, $s = \frac{v_0^2}{2a}$ , gdzie $a$ to wartość opóźnienia. Prędkość wstaw w metrach na sekundę. Dla $54\ \mathrm{km/h}$ i opóźnienia $3{,}0\ \mathrm{m/s^2}$ droga wynosi $37{,}5\ \mathrm{m}$ ; podwojenie prędkości początkowej czterokrotnie wydłuża drogę hamowania.
4.Jakie przyśpieszenie ma ciało w najwyższym punkcie rzutu pionowego?+
Odp.:Takie samo jak w każdej chwili lotu: $g$ , skierowane w dół. W najwyższym punkcie zerem jest tylko prędkość, bo zmienia się tam zwrot ruchu z wznoszenia na opadanie. Gdyby przyśpieszenie było tam zerowe, ciało zawisłoby w powietrzu.
5.Od czego zależy zasięg rzutu poziomego?+
Odp.:Zasięg $z = v_0 t$ zależy od prędkości początkowej i od czasu lotu, a ten wynika z wysokości, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ . Zasięg rośnie więc wprost proporcjonalnie do $v_0$ i jak pierwiastek z wysokości. Masy ciała w tych wzorach nie ma.
6.Czy w ruchu jednostajnie zmiennym prędkość i przyśpieszenie mają zawsze ten sam zwrot?+
Odp.:Nie. Gdy zwroty są zgodne, ciało przyśpiesza, a gdy przeciwne, hamuje. Rzut pionowy w górę pokazuje obie sytuacje: przyśpieszenie $g$ jest cały czas skierowane w dół, a prędkość najpierw w górę, potem w dół.

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury z fizyki (poziom rozszerzony) z maja 2026 roku – 180 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i to, w którym dziale tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo