Jak z wykresu p(V) poznać, że temperatura gazu rośnie?

Z równania Clapeyrona temperatura jest proporcjonalna do iloczynu pV. Dla stałej liczby moli porównujesz więc pola prostokątów rozpiętych między osiami a kolejnymi punktami wykresu. Punkty na jednej hiperboli pV = const mają tę samą temperaturę, a punkty na hiperboli leżącej dalej od początku układu – wyższą.

Czym różni się przemiana izotermiczna od adiabatycznej?

Izotermę gaz przechodzi w stałej temperaturze, więc jego energia wewnętrzna się nie zmienia, a ciepło wymienione z otoczeniem równoważy pracę. Adiabatę gaz przechodzi w izolacji cieplnej: zmiana jego energii wewnętrznej i temperatury pochodzi wyłącznie z pracy. Dlatego na wykresie p(V) adiabata opada stromiej niż izoterma wychodząca z tego samego stanu.

Dlaczego w równaniu Clapeyrona temperatura musi być w kelwinach?

Równanie pV = nRT wyraża proporcjonalność iloczynu pV do temperatury liczonej od zera bezwzględnego. W skali Celsjusza zero jest umowne, więc podwojenie wartości t nie podwaja ani ciśnienia, ani objętości. Z kelwinami to działa: przy stałej objętości dwa razy wyższa temperatura bezwzględna daje dwa razy wyższe ciśnienie.

Czy w przemianie izochorycznej gaz wykonuje pracę?

Nie. Praca siły parcia jest równa p|ΔV| albo polu pod wykresem p(V), a w stałej objętości ΔV = 0 i pole wynosi zero. Całe pobrane ciepło zwiększa wtedy energię wewnętrzną gazu, a wraz z nią jego temperaturę.

Jak obliczyć liczbę moli gazu z ciśnienia, objętości i temperatury?

Przekształć równanie Clapeyrona do postaci n = (pV)/(RT), wstawiając ciśnienie w paskalach, objętość w metrach sześciennych i temperaturę w kelwinach. Dla p = 1,0 · 10⁵ Pa, V = 2,5 dm³ i 20 °C dostajesz n ≈ 0,10 mol.

Matura 2027 · fizyka, poziom rozszerzony

Przemiany gazowe i równanie Clapeyrona: gaz doskonały i wykresy przemian

Podstawa programowa wymaga, żebyś rozróżniał przemiany izotermiczną, izobaryczną, izochoryczną i adiabatyczną gazów, posługiwał się założeniami teorii kinetyczno-molekularnej gazu doskonałego, wiązał temperaturę w skali Kelvina ze średnią energią ruchu cząsteczek, analizował wykresy przemian i stosował równanie Clapeyrona do wyznaczania parametrów gazu. Tak przygotujesz się do tej części matury z fizyki na poziomie rozszerzonym.

Na maturze 2023–2026: w 3 z 4 sesji – 2023 (zadanie 6.1), 2025 (zadanie 6.2), 2026 (zadania 6.1 i 6.2).

Podstawa programowa: fizyka

Podstawa programowa (zakres rozszerzony): dział VI „Termodynamika”, pkt 8–12

Pokaż wymagania

VI.8stosuje pierwszą zasadę termodynamiki do analizy przemian gazowych; rozróżnia przemiany: izotermiczną, izobaryczną, izochoryczną i adiabatyczną gazów;
VI.9posługuje się założeniami teorii kinetyczno-molekularnej gazu doskonałego;
VI.10opisuje związek między temperaturą w skali Kelvina a średnią energią ruchu cząsteczek i energią wewnętrzną gazu doskonałego;
VI.11analizuje wykresy przemian gazu doskonałego;
VI.12stosuje równanie gazu doskonałego (równanie Clapeyrona) do wyznaczenia parametrów gazu;

Dz.U. 2024 poz. 1019 · w arkuszach 2023–2026: w 3 z 4 sesji

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

W skrócie

najważniejsze w kilku zdaniach

Gaz doskonały to model: cząsteczki są punktami, które oddziałują tylko w zderzeniach sprężystych. Opisuje go równanie Clapeyrona $pV = nRT$ z temperaturą w kelwinach.
Średnia energia ruchu postępowego cząsteczki jest proporcjonalna do temperatury bezwzględnej: $\frac{3}{2}k_BT$ . Energia wewnętrzna gazu jednoatomowego to $U = \frac{3}{2}nRT$ .
Przy stałej liczbie moli iloczyn $pV$ jest proporcjonalny do $T$ . Stąd cztery przemiany szczególne: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna i adiabatyczna.
Praca siły parcia gazu to pole pod wykresem $p(V)$ . Skośny odcinek na tym wykresie nie jest żadną z czterech przemian szczególnych.
Pierwsza zasada termodynamiki, $\Delta U = Q + W$ , łączy ciepło i pracę ze zmianą energii wewnętrznej.

Egzamin maturalny z fizyki na poziomie rozszerzonym trwa 180 minut; za cały arkusz można uzyskać 60 punktów. Zadania zamknięte dają około 20% punktów, otwarte — około 80%; za zadanie otwarte można otrzymać od 1 do 4 punktów. Podczas egzaminu korzystasz z linijki, kalkulatora naukowego i „Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych”.

Gaz doskonały i równanie Clapeyrona

Gaz doskonały to model, w którym cząsteczki są punktowe, nie przyciągają się ani nie odpychają, a ze sobą i ze ściankami naczynia zderzają się sprężyście. Rozrzedzony gaz opisujesz tym modelem bardzo dobrze. Stan określonej ilości gazu wyznaczają ciśnienie $p$ , objętość $V$ i temperatura bezwzględna $T$ , związane równaniem Clapeyrona $pV = nRT$ , gdzie $n$ to liczba moli, a $R ={}$ $8{,}31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}$ – uniwersalna stała gazowa.

Zwróć uwagę na jednostki: ciśnienie wstawiasz w paskalach, objętość w metrach sześciennych (a $1\ \mathrm{dm^3} ={}$ $10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ ), temperaturę w kelwinach: $T = t + 273{,}15$ dla temperatury $t$ w stopniach Celsjusza. Przykład: w naczyniu o objętości $5{,}0\ \mathrm{dm^3}$ jest gaz pod ciśnieniem $2{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ i w temperaturze $127\ ^\circ\mathrm{C}$ . Liczba moli tego gazu to $n ={}$ $\frac{pV}{RT} \approx 0{,}30\ \mathrm{mol}$ .

Energia cząsteczek i energia wewnętrzna gazu

Temperatura bezwzględna jest miarą średniej energii ruchu cząsteczek. W „Wybranych wzorach i stałych fizykochemicznych” średnia energia ruchu jednej cząsteczki ma postać $\frac{s}{2}k_BT$ , gdzie $s$ to liczba współrzędnych opisujących jej położenie. Dla gazu jednoatomowego $s = 3$ , więc $E_{kin} ={}$ $\frac{3}{2}k_BT$ , a przy $k_B ={}$ $1{,}38 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ i $T = 300\ \mathrm{K}$ daje to $6{,}2 \cdot 10^{-21}\ \mathrm{J}$ na cząsteczkę.

Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest sumą energii kinetycznych jego cząsteczek, bo energia oddziaływań wynosi zero. Dla $n$ moli gazu jednoatomowego $U ={}$ $\frac{3}{2}nRT ={}$ $\frac{3}{2}pV$ , czyli gdyby gaz z poprzedniego przykładu był jednoatomowy, miałby $U = 1{,}5\ \mathrm{kJ}$ . Zależy ona więc tylko od temperatury. Czterokrotny wzrost temperatury (np. z $300\ \mathrm{K}$ do $1200\ \mathrm{K}$ ) czterokrotnie zwiększa średnią energię cząsteczki, ale średnia prędkość rośnie wtedy dwukrotnie, bo energia jest proporcjonalna do kwadratu prędkości.

Cztery przemiany szczególne

Dla stałej liczby moli iloczyn $pV$ jest proporcjonalny do $T$ . Gdy jedna z wielkości $p$ , $V$ , $T$ jest stała, mówisz o przemianie szczególnej. Na wykresie $p(V)$ izoterma jest gałęzią hiperboli, izobara – odcinkiem poziomym, izochora – pionowym. Adiabata, czyli przemiana bez wymiany ciepła z otoczeniem, opada stromiej niż izoterma, bo gaz podczas rozprężania wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej i stygnie.

Przykład: gaz o objętości $3{,}0\ \mathrm{dm^3}$ w temperaturze $300\ \mathrm{K}$ ogrzano pod stałym ciśnieniem do $450\ \mathrm{K}$ . Z proporcji $\frac{V}{T} ={}$ $\text{const}$ jego objętość wzrosła do $4{,}5\ \mathrm{dm^3}$ . Ogrzany tak samo w stałej objętości, zwiększyłby ciśnienie $1{,}5$ raza.

Przemiana	Zależność	Pierwsza zasada
izotermiczna, $T = \text{const}$	$pV = \text{const}$	$\Delta U = 0$ , więc $Q = -W$
izobaryczna, $p = \text{const}$	$\frac{V}{T} ={}$ $\text{const}$	$W = -p\Delta V$
izochoryczna, $V = \text{const}$	$\frac{p}{T} ={}$ $\text{const}$	$W = 0$ , więc $Q = \Delta U$
adiabatyczna, bez wymiany ciepła	opada stromiej niż izoterma	$Q = 0$ , więc $\Delta U = W$

Wykres p(V): praca i temperatura

Praca siły parcia gazu między dwoma stanami ma wartość pola figury pod wykresem $p(V)$ , a przy stałym ciśnieniu $|W| = p|\Delta V|$ . Gaz, który się rozpręża, wykonuje pracę, więc praca wykonana nad nim ma wtedy znak ujemny. Temperaturę w punkcie wykresu porównujesz przez iloczyn $pV$ : z równania Clapeyrona jest do niego proporcjonalna.

Przykład: odcinek prostej łączy stan $A$ ( $3{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ ; $2{,}0\ \mathrm{dm^3}$ ) ze stanem $B$ ( $1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ ; $6{,}0\ \mathrm{dm^3}$ ). W obu stanach $pV = 600\ \mathrm{J}$ , więc $T_B = T_A$ i $\Delta U = 0$ . To jednak nie izoterma: w środku odcinka $pV = 800\ \mathrm{J}$ , więc temperatura jest tam o jedną trzecią wyższa. Praca gazu to pole trapezu, $800\ \mathrm{J}$ , a z pierwszej zasady gaz pobrał w całej przemianie ciepło $Q = 800\ \mathrm{J}$ .

Pojęcia

gaz doskonały: Model gazu, w którym cząsteczki są punktami oddziałującymi tylko w zderzeniach sprężystych; energia wewnętrzna jest sumą ich energii kinetycznych.
równanie Clapeyrona: Związek $pV = nRT$ między ciśnieniem, objętością, liczbą moli i temperaturą bezwzględną gazu doskonałego.
temperatura w skali Kelvina: Temperatura bezwzględna $T = t + 273{,}15$ ; średnia energia ruchu postępowego cząsteczek gazu doskonałego jest do niej proporcjonalna.
przemiana izotermiczna: Przemiana w stałej temperaturze: $pV = \text{const}$ , energia wewnętrzna gazu doskonałego się nie zmienia.
przemiana izobaryczna: Przemiana pod stałym ciśnieniem: $\frac{V}{T} ={}$ $\text{const}$ , praca gazu ma wartość $p|\Delta V|$ .
przemiana izochoryczna: Przemiana w stałej objętości: $\frac{p}{T} ={}$ $\text{const}$ , gaz nie wykonuje pracy, a dostarczone ciepło idzie w całości na wzrost jego energii wewnętrznej.
przemiana adiabatyczna: Przemiana bez wymiany ciepła z otoczeniem, $Q = 0$ ; zmiana energii wewnętrznej jest równa pracy wykonanej nad gazem.
teoria kinetyczno-molekularna gazu: Opis gazu przez ruch jego cząsteczek: ciśnienie i temperatura wynikają ze zderzeń i ze średniej energii ruchu cząsteczek.

Zadanie z matury

źródło: CKE

Prawdziwe zadanie z arkusza CKE, słowo w słowo, z materiałem źródłowym. Rozwiąż je, zanim zajrzysz do wyjaśnienia.

Zadanie z arkusza CKEmatura

Matura 2023, fizyka (poziom rozszerzony), zadanie 6.1

Zadanie 6.1. (0–1)

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się

n = 1\ \mathrm{mol}

jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom. • W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu

Q_1 ={}

100\ \mathrm{J}

ciepła. • W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu

Q_2 ={}

100\ \mathrm{J}

ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie. Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi

C_V = \frac{3}{2}R

, gdzie

R

jest stałą gazową. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W pierwszej przemianie wartość siły parcia gazu na tłok jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej tego gazu.

W drugiej przemianie objętość gazu w cylindrze jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek tego gazu.

Źródło: CKE, egzamin maturalny 2023, fizyka, poziom rozszerzony (arkusz MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2305), zadanie 6.1. Rozwiązanie — według zasad oceniania CKE. · Arkusz na stronie CKE

Sprawdź się

sprawdzisz od razu

Zaznacz lub wpisz odpowiedź i sprawdź ją od razu: pod zadaniem zobaczysz wyjaśnienie. Jak ocenia CKE: rozwiązanie zadania otwartego ocenia się etapami — za pokonanie zasadniczych trudności dostajesz co najmniej połowę punktów, więc niedokończone obliczenie też warto zapisać. Wynik bez jednostki albo z błędną jednostką nie daje maksymalnej liczby punktów, a gdy polecenie podaje liczbę cyfr znaczących, wynik musi ją mieć.

matura

Zadanie 6.1. (0–1)

Na poniższym wykresie przedstawiono zależność ciśnienia

p

od objętości

V

dla pewnej przemiany termodynamicznej

A \to B

ustalonej masy gazu doskonałego. Przyjmij, że: • ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi

C_V = \frac{3}{2}R

, gdzie

R

jest stałą gazową • stany

A

B

gazu znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu •

AB

jest odcinkiem prostym. WykresOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W przemianie

A \to B

temperatura bezwzględna

T

gazu zmienia się wprost proporcjonalnie do kwadratu objętości tego gazu.

W przemianie

A \to B

średnia wartość prędkości cząsteczek gazu wzrasta.

Zadanie 6.1 z arkusza CKE MFAP-⁠R0-⁠100-⁠2605 (matura z fizyki, poziom rozszerzony, 2026) – objaśnienie Kleksy

zadanie Kleksy

Zadanie 1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowane miejsce. W zamkniętym naczyniu o objętości

V ={}

4{,}0\ \mathrm{dm^3}

znajduje się

n ={}

0{,}50\ \mathrm{mol}

gazu doskonałego w temperaturze

27\ ^\circ\mathrm{C}

. Przyjmij

R ={}

8{,}31\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}

. Ciśnienie tego gazu, zaokrąglone do trzech cyfr znaczących, jest równe

p = \ldots\ldots

kPa

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 2. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Objętość gazu doskonałego zmniejszono trzykrotnie w przemianie izotermicznej. Ciśnienie tego gazu

ponieważ

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

zadanie Kleksy

Zadanie 3. (0–1)

Gaz doskonały ogrzewano w stałej objętości. Na którym rysunku (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono tę przemianę strzałką na wykresie

p(V)

? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie przygotowane do tej strony – wyjaśnienie Kleksy.

Więcej zadań: rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z maja 2026 roku

Częste pomyłki

tu najłatwiej stracić punkt

Wstawianie do równania Clapeyrona temperatury w stopniach Celsjusza. Temperatura w tym równaniu jest bezwzględna, więc do $t$ dodajesz $273{,}15$ . Różnica dwóch temperatur wychodzi tak samo w skali Kelvina i Celsjusza.
Brak przeliczenia jednostek. Objętość w $\mathrm{dm^3}$ albo ciśnienie w kilopaskalach, wstawione do wzoru z $R$ w dżulach na mol i kelwin, dają wynik błędny tysiąckrotnie; przelicz je na $\mathrm{m^3}$ i $\mathrm{Pa}$ .
Uznanie każdego skośnego odcinka na wykresie $p(V)$ za izotermę albo izobarę. Izoterma jest hiperbolą, izobara – odcinkiem poziomym; temperaturę w punktach odcinka skośnego ustalasz z iloczynu $pV$ .
Liczenie pracy jako $p\Delta V$ przy zmiennym ciśnieniu. Wtedy pracę dostajesz z pola pod wykresem, np. z pola trapezu, a nie z jednego prostokąta.
Przyjmowanie, że w przemianie izotermicznej nie ma wymiany ciepła. Nie zmienia się wtedy energia wewnętrzna, więc ciepło jest równe pracy z przeciwnym znakiem; brak wymiany ciepła to cecha adiabaty.

Zapamiętaj

Równanie Clapeyrona: $pV = nRT$ , temperatura w kelwinach.
Gaz jednoatomowy: $E_{kin} ={}$ $\frac{3}{2}k_BT$ na cząsteczkę i $U = \frac{3}{2}nRT$ dla całego gazu.
Izoterma: $pV = \text{const}$ . Izobara: $\frac{V}{T} ={}$ $\text{const}$ . Izochora: $\frac{p}{T} ={}$ $\text{const}$ .
Praca gazu to pole figury pod wykresem $p(V)$ .
Adiabata: $Q = 0$ , więc $\Delta U = W$ .

Pytania i odpowiedzi

1.Jak z wykresu p(V) poznać, że temperatura gazu rośnie?+
Odp.:Z równania Clapeyrona temperatura jest proporcjonalna do iloczynu $pV$ . Dla stałej liczby moli porównujesz więc pola prostokątów rozpiętych między osiami a kolejnymi punktami wykresu. Punkty na jednej hiperboli $pV = \text{const}$ mają tę samą temperaturę, a punkty na hiperboli leżącej dalej od początku układu – wyższą.
2.Czym różni się przemiana izotermiczna od adiabatycznej?+
Odp.:Izotermę gaz przechodzi w stałej temperaturze, więc jego energia wewnętrzna się nie zmienia, a ciepło wymienione z otoczeniem równoważy pracę. Adiabatę gaz przechodzi w izolacji cieplnej: zmiana jego energii wewnętrznej i temperatury pochodzi wyłącznie z pracy. Dlatego na wykresie $p(V)$ adiabata opada stromiej niż izoterma wychodząca z tego samego stanu.
3.Dlaczego w równaniu Clapeyrona temperatura musi być w kelwinach?+
Odp.:Równanie $pV = nRT$ wyraża proporcjonalność iloczynu $pV$ do temperatury liczonej od zera bezwzględnego. W skali Celsjusza zero jest umowne, więc podwojenie wartości $t$ nie podwaja ani ciśnienia, ani objętości. Z kelwinami to działa: przy stałej objętości dwa razy wyższa temperatura bezwzględna daje dwa razy wyższe ciśnienie.
4.Czy w przemianie izochorycznej gaz wykonuje pracę?+
Odp.:Nie. Praca siły parcia jest równa $p|\Delta V|$ albo polu pod wykresem $p(V)$ , a w stałej objętości $\Delta V = 0$ i pole wynosi zero. Całe pobrane ciepło zwiększa wtedy energię wewnętrzną gazu, a wraz z nią jego temperaturę.
5.Jak obliczyć liczbę moli gazu z ciśnienia, objętości i temperatury?+
Odp.:Przekształć równanie Clapeyrona do postaci $n = \frac{pV}{RT}$ , wstawiając ciśnienie w paskalach, objętość w metrach sześciennych i temperaturę w kelwinach. Dla $p ={}$ $1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Pa}$ , $V ={}$ $2{,}5\ \mathrm{dm^3}$ i $20\ ^\circ\mathrm{C}$ dostajesz $n \approx 0{,}10\ \mathrm{mol}$ .

Zobacz też

Wszystkie tematy matury z fizyki

Źródła

Serwis nie jest związany z Centralną Komisją Egzaminacyjną. Zadania oznaczone „CKE” pochodzą z arkuszy CKE; objaśnienia do nich i pozostałe zadania na stronie napisaliśmy sami.

Strona sprawdzona 1 listopada 2026.

Zadanie ostatnie.

Rozwiąż za darmo cały arkusz CKE z matury z fizyki (poziom rozszerzony) z maja 2026 roku – 180 minut, jak na egzaminie. Po oddaniu zobaczysz wynik i to, w którym dziale tracisz punkty.

Rozwiąż arkusz za darmo