Jak zapíšu vektor mezi dvěma body?

Odečti souřadnice počátečního bodu od souřadnic koncového. Pro $A[1; 4]$ a $B[6; 2]$ je $\overrightarrow{AB} = (6 - 1;\; 2 - 4) = (5; -2)$. Vektor $\overrightarrow{BA} = (-5; 2)$ je opačný. Pořadí bodů proto vždy hlídej.

Jak poznám, že jsou dva vektory kolmé nebo rovnoběžné?

Kolmé: skalární součin je nula, například $(4; 1) \cdot (-1; 4) = -4 + 4 = 0$. Rovnoběžné (kolineární): jeden je násobkem druhého, například $(2; -6)$ a $(1; -3)$, protože $(2; -6) = 2 \cdot (1; -3)$. Souřadnice kolineárních vektorů mají stejný poměr.

Jak z obecné rovnice přímky vyčtu směrnici?

Vyjádři $y$: z $ax + by + c = 0$ plyne $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$, takže $k = -\frac{a}{b}$ a $q = -\frac{c}{b}$. Přímka $2x + 3y - 12 = 0$ má $k = -\frac{2}{3}$ a $q = 4$. Pro $b = 0$ je přímka svislá a směrnici nemá.

Jaký je rozdíl mezi směrovým a normálovým vektorem?

Směrový vektor leží ve směru přímky, normálový je na ni kolmý. Ze směrového $(u_1; u_2)$ vyrobíš normálový výměnou souřadnic a změnou jednoho znaménka: $(u_2; -u_1)$. Jejich skalární součin je vždy nula, což je dobrá kontrola.

Jak vypočtu úhel dvou vektorů?

Použij vztah $\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Kladný kosinus znamená ostrý úhel, nulový pravý, záporný tupý. Úhel pak zjistíš z hodnoty kosinu, u známých hodnot zpaměti, jinak kalkulačkou.

Jak najdu vzdálenost bodu od přímky?

Pro bod $M[m_1; m_2]$ a přímku $ax + by + c = 0$ platí $v = \frac{|a m_1 + b m_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Je to vzdálenost k nejbližšímu bodu přímky. Například bod $[1; 2]$ má od přímky $3x + 4y - 1 = 0$ vzdálenost $\frac{|3 + 8 - 1|}{5} = 2$. Vzorec patří k těm, které je dobré umět zpaměti i s tabulkami po ruce.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Analytická geometrie: vektory, skalární součin a rovnice přímky

Analytická geometrie převádí úlohy o bodech a přímkách na počítání se souřadnicemi: vektor mezi dvěma body, vzdálenost, úhel nebo rovnice přímky. K maturitě z matematiky tu najdeš vzorce, postup krok za krokem, řešené příklady, úlohu ve formátu didaktického testu a úlohy s okamžitou kontrolou výsledku.

Maturita: katalog, okruh 8 „Analytická geometrie“ (orientačně 4–14 % testu); v našich cvičných testech úloha 11 a podle losu úlohy 16–24.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 8 „Analytická geometrie“, 8.2 Souřadnice bodu a vektoru v rovině

Žák dovede určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky.
Žák dovede užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru.
Žák dovede provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů) a užít jejich grafickou interpretaci.
Žák dovede určit velikost úhlu dvou vektorů, užít vlastnosti kolmých a kolineárních vektorů.

Katalog, okruh 8 „Analytická geometrie“, 8.3 Přímka v rovině

Žák dovede užít parametrické vyjádření přímky, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině.
Žák dovede určit polohové a metrické vztahy bodů a přímek v rovině a aplikovat je v úlohách.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 8 „Analytická geometrie“, 8.2 Souřadnice bodu a vektoru v rovině
- Žák dovede určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky.
- Žák dovede užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru.
- Žák dovede provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů) a užít jejich grafickou interpretaci.
- Žák dovede určit velikost úhlu dvou vektorů, užít vlastnosti kolmých a kolineárních vektorů.
Katalog, okruh 8 „Analytická geometrie“, 8.3 Přímka v rovině
- Žák dovede užít parametrické vyjádření přímky, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině.
- Žák dovede určit polohové a metrické vztahy bodů a přímek v rovině a aplikovat je v úlohách.
Formy úloh v našich testech
více výsledků, výběr z pěti možností
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 8 „Analytická geometrie“ orientačně 4–14 % testu.
V našich cvičných testech: úloha 11 a podle losu úlohy 16–24.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Vektor mezi body $A[a_1; a_2]$ a $B[b_1; b_2]$ je $\overrightarrow{AB} ={}$ $B - A ={}$ $(b_1 - a_1;\; b_2 - a_2)$ — konec minus začátek. Jeho velikost je $|\vec{u}| ={}$ $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$ , vzdálenost bodů je $|AB| ={}$ $|\overrightarrow{AB}|$ .
Střed úsečky $AB$ má souřadnice $S\left[\frac{a_1 + b_1}{2};\, \frac{a_2 + b_2}{2}\right]$ .
Skalární součin je číslo: $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $u_1 v_1 + u_2 v_2$ . Platí $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \varphi$ , takže úhel dvou vektorů vyjde z $\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ .
Kolmé vektory mají skalární součin roven nule. Kolineární (rovnoběžné) vektory jsou násobkem jeden druhého: $\vec{v} ={}$ $k \cdot \vec{u}$ .
Přímka má obecnou rovnici $ax + by + c = 0$ s normálovým vektorem $\vec{n} = (a; b)$ , směrnicový tvar $y = kx + q$ se směrnicí $k = -\frac{a}{b}$ a parametrické vyjádření $x ={}$ $a_1 + t u_1,\; y ={}$ $a_2 + t u_2$ se směrovým vektorem $\vec{u} = (u_1; u_2)$ .
Vzájemná poloha: přímky jsou rovnoběžné, mají-li kolineární normálové vektory, a kolmé, je-li skalární součin normálových vektorů nulový. Průsečík najdeš řešením soustavy jejich rovnic.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Zapiš souřadnice
U každého bodu a vektoru si napiš obě souřadnice pod sebe. Chyby vznikají hlavně při přepisu znamének.
2.Vektor vždy odečítej konec minus začátek
U vektoru $\overrightarrow{AB}$ odečti souřadnice bodu $A$ od souřadnic bodu $B$ . Vzdálenost, střed i směr přímky pak vyjdou z něj.
3.Zvol správný vzorec
Délka: odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic. Kolmost: skalární součin nula. Úhel: jeho kosinus je podíl skalárního součinu a součinu velikostí vektorů.
4.Rovnici přímky sestav z vektoru a bodu
Ze směrového vektoru $(u_1; u_2)$ udělej normálový $(u_2; -u_1)$ , napiš $ax + by + c = 0$ a dosazením známého bodu najdi $c$ .
5.Zkontroluj dosazením
Souřadnice bodů, kterými má přímka procházet, dosaď do rovnice: musí vyjít nula. U kolmosti ověř skalární součin.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Úhel dvou vektorů
Jsou dány vektory $\vec{u} = (2; 1)$ a $\vec{v} = (1; 3)$ . Urči jejich skalární součin, velikosti a úhel, který vektory svírají.
2.Přímka procházející dvěma body
Napiš obecnou rovnici přímky $AB$ , je-li $A[2; -3]$ a $B[4; 5]$ . Urči její směrnici.
3.Z parametrického vyjádření na obecnou rovnici
Přímka $p$ je dána parametricky: $x = 1 + 2t$ , $y = -3 + t$ , kde $t \in \mathbb{R}$ . Napiš její obecnou rovnici a rozhodni, zda na ní leží bod $C[7; 0]$ .

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Více výsledků

Úloha 1.

V kartézské soustavě souřadnic

Oxy

jsou dány body

A[6; 5]

B[9; 1]

. 11.1 Vypočtěte délku úsečky

AB

. 11.2 Určete druhou souřadnici průsečíku přímky

AB

s osou

y

11.111.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Přímka

p

je dána obecnou rovnicí

p\colon 2x + 4y + 7 ={}

0

. 11.1 Určete směrnici přímky

p

. 11.2 Bod

P[-2; p_2]

leží na přímce

p

. Určete

p_2

11.111.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

Jsou dány vektory

\vec{u} = (3; 2)

\vec{v} = (-5; -4)

. 11.1 Vypočtěte skalární součin

\vec{u} \cdot \vec{v}

. 11.2 Určete reálné číslo

t

tak, aby vektor

\vec{w} = (t; -3)

byl kolmý k vektoru

\vec{u}

11.111.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

V kartézské soustavě souřadnic je dána přímka

p\colon 5x + 4y - 3 ={}

0

a bod

M[0; 5]

. Která z následujících přímek prochází bodem

M

a je kolmá k přímce

p

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Vektor $\overrightarrow{AB}$ spočítáš jako $A - B$ . Vektor míří z $A$ do $B$ , takže se odečítá konec minus začátek: $B - A$ . Opačné pořadí dá vektor opačný.
Skalární součin napíšeš jako vektor, $(u_1 v_1;\; u_2 v_2)$ . Je to číslo, součet $u_1 v_1 + u_2 v_2$ .
V obecné rovnici $ax + by + c = 0$ považuješ $(a; b)$ za směrový vektor. Je to vektor normálový, tedy kolmý k přímce.
Směrnici určíš jako $\frac{a}{b}$ . Správně je $k = -\frac{a}{b}$ , protože $by = -ax - c$ . Znaménko ověř na bodu.
Kolmost zaměníš s rovnoběžností. Rovnoběžné přímky mají kolineární vektory, kolmé mají skalární součin nulový — a pro směrnice $k_1 \cdot k_2 = -1$ .

Zapamatuj si

$\overrightarrow{AB} ={}$ $B - A$ , $|AB| ={}$ $\sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ .
$\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $u_1 v_1 + u_2 v_2$ je číslo.
Kolmé vektory: $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $0$ .
$ax + by + c = 0$ má normálový vektor $(a; b)$ a směrnici $k = -\frac{a}{b}$ .
Střed úsečky je průměr souřadnic krajních bodů.

Otázky a odpovědi

1.Jak zapíšu vektor mezi dvěma body?+
Odpověď:Odečti souřadnice počátečního bodu od souřadnic koncového. Pro $A[1; 4]$ a $B[6; 2]$ je $\overrightarrow{AB} ={}$ $(6 - 1;\; 2 - 4) ={}$ $(5; -2)$ . Vektor $\overrightarrow{BA} ={}$ $(-5; 2)$ je opačný. Pořadí bodů proto vždy hlídej.
2.Jak poznám, že jsou dva vektory kolmé nebo rovnoběžné?+
Odpověď:Kolmé: skalární součin je nula, například $(4; 1) \cdot (-1; 4) ={}$ $-4 + 4 ={}$ $0$ . Rovnoběžné (kolineární): jeden je násobkem druhého, například $(2; -6)$ a $(1; -3)$ , protože $(2; -6) ={}$ $2 \cdot (1; -3)$ . Souřadnice kolineárních vektorů mají stejný poměr.
3.Jak z obecné rovnice přímky vyčtu směrnici?+
Odpověď:Vyjádři $y$ : z $ax + by + c = 0$ plyne $y ={}$ $-\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ , takže $k = -\frac{a}{b}$ a $q = -\frac{c}{b}$ . Přímka $2x + 3y - 12 = 0$ má $k = -\frac{2}{3}$ a $q = 4$ . Pro $b = 0$ je přímka svislá a směrnici nemá.
4.Jaký je rozdíl mezi směrovým a normálovým vektorem?+
Odpověď:Směrový vektor leží ve směru přímky, normálový je na ni kolmý. Ze směrového $(u_1; u_2)$ vyrobíš normálový výměnou souřadnic a změnou jednoho znaménka: $(u_2; -u_1)$ . Jejich skalární součin je vždy nula, což je dobrá kontrola.
5.Jak vypočtu úhel dvou vektorů?+
Odpověď:Použij vztah $\cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ . Kladný kosinus znamená ostrý úhel, nulový pravý, záporný tupý. Úhel pak zjistíš z hodnoty kosinu, u známých hodnot zpaměti, jinak kalkulačkou.
6.Jak najdu vzdálenost bodu od přímky?+
Odpověď:Pro bod $M[m_1; m_2]$ a přímku $ax + by + c = 0$ platí $v ={}$ $\frac{|a m_1 + b m_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ . Je to vzdálenost k nejbližšímu bodu přímky. Například bod $[1; 2]$ má od přímky $3x + 4y - 1 = 0$ vzdálenost $\frac{|3 + 8 - 1|}{5} = 2$ . Vzorec patří k těm, které je dobré umět zpaměti i s tabulkami po ruce.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Analytická geometrie: vektory, skalární součin a rovnice přímky

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Zapiš souřadnice

2.Vektor vždy odečítej konec minus začátek

3.Zvol správný vzorec

4.Rovnici přímky sestav z vektoru a bodu

5.Zkontroluj dosazením

Řešené příklady

1.Úhel dvou vektorů

2.Přímka procházející dvěma body

3.Z parametrického vyjádření na obecnou rovnici

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje