Jak z předpisu poznám, jestli je lineární funkce rostoucí?

Podívej se na číslo $a$ u $x$ v předpisu $y = ax + b$. Je-li kladné, funkce roste, je-li záporné, klesá, a pro $a = 0$ je konstantní. Číslo $b$ na tom nic nemění, jen posouvá přímku nahoru nebo dolů.

Jak najdu předpis z dvou bodů?

Spočítej směrnici $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, potom dosaď souřadnice jednoho bodu do $y = ax + b$ a vyřeš rovnici pro $b$. Druhým bodem zkontroluj výsledek.

Jak najdu průsečíky grafu s osami?

S osou $y$ dosadíš $x = 0$ a dostaneš bod $[0; f(0)]$. S osou $x$ položíš $f(x) = 0$ a vyřešíš rovnici. U lomené funkce ověř, že výsledek leží v definičním oboru.

Jaký je rozdíl mezi přímou úměrností a lineární funkcí?

Přímá úměrnost $y = ax$ je zvláštní případ lineární funkce, který má $b = 0$. Jejím grafem je přímka procházející počátkem, takže čím víc jedné veličiny, tím úměrně víc druhé. Lineární funkce s $b \ne 0$ takovou úměrnost nepopisuje.

Jak určím definiční obor a obor hodnot lineární lomené funkce?

Ve tvaru $y = \frac{a}{x - p} + q$ vyloučíš z definičního oboru číslo $p$ a z oboru hodnot číslo $q$. Pro funkci $y = \frac{5}{x + 1} + 3$ je definiční obor $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ a obor hodnot $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Co se o funkcích žádá u přijímaček?

Specifikace pro školní rok 2026/2027 jmenuje přímou a nepřímou úměrnost, vyjádřenou tabulkou, rovnicí a grafem. Obecnou lineární funkci ani lineární lomenou funkci specifikace nejmenuje, ty jmenuje katalog maturity.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Lineární funkce a lineární lomená funkce: graf, předpis, definiční obor a obor hodnot

Lineární funkce je nejjednodušší funkce, kterou známe z grafu přímky, a lineární lomená funkce je její nejbližší příbuzná. Pro přípravu k maturitě z matematiky tu najdeš, co říká směrnice a průsečík s osou, jak určit předpis z bodů, jak číst definiční obor a obor hodnot lomené funkce, řešené příklady a úlohy v našem formátu, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 4 „Funkce“ (orientačně 10–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 8 a 16–21. Přijímačky: specifikace, oblast 2 „Závislosti, vztahy a práce s daty“; v našich cvičných testech na toto téma samostatná úloha není.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.1 Základní poznatky o funkcích

Žák dovede užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce včetně jeho názvu.

Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.2 Lineární funkce, lineární lomená funkce

Žák dovede určit lineární funkci, sestrojit její graf.
Žák dovede objasnit geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = ax + b.
Žák dovede určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce.
Žák dovede užít pojem a vlastnosti lineární lomené funkce, sestrojit její graf.
Žák dovede určit předpis lineární lomené funkce z daných bodů nebo grafu funkce.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Test z matematiky u jednotné přijímací zkoušky má 16 úloh (11 otevřených a 5 uzavřených), trvá 70 minut a dá se v něm získat 50 bodů. Kalkulačka ani tabulky povolené nejsou, jen psací a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.1 Základní poznatky o funkcích
- Žák dovede užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce včetně jeho názvu.
Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.2 Lineární funkce, lineární lomená funkce
- Žák dovede určit lineární funkci, sestrojit její graf.
- Žák dovede objasnit geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = ax + b.
- Žák dovede určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce.
- Žák dovede užít pojem a vlastnosti lineární lomené funkce, sestrojit její graf.
- Žák dovede určit předpis lineární lomené funkce z daných bodů nebo grafu funkce.
Formy úloh v našich testech
více výsledků, výběr z pěti možností
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 4 „Funkce“ orientačně 10–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úlohy 8 a 16–21.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma
Přijímačky
Specifikace, část C1, oblast 2 „Závislosti, vztahy a práce s daty“
- Posoudí typ závislosti mezi dvěma veličinami (přímá, nepřímá úměrnost), vyjádří přímou a nepřímou úměrnost tabulkou, rovnicí a grafem, odhalí funkční vztah v textu úlohy, využívá těchto znalostí k řešení praktických úloh.
V našich cvičných testech: na toto téma samostatná úloha není.
Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Lineární funkce má předpis $y = ax + b$ a jejím grafem je přímka. Číslo $a$ je směrnice: pro $a > 0$ funkce roste, pro $a < 0$ klesá, pro $a = 0$ je konstantní. Číslo $b$ určuje průsečík s osou $y$ , bod $[0; b]$ .
Předpis z dvou bodů $[x_1; y_1]$ a $[x_2; y_2]$ : nejdřív $a ={}$ $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , potom dosaď jeden bod do $y = ax + b$ a dopočti $b$ . Rovnoběžné přímky mají stejné $a$ .
Průsečíky s osami: s osou $y$ leží bod $[0; b]$ . S osou $x$ vyřeš $ax + b = 0$ , tedy $x = -\frac{b}{a}$ pro $a \ne 0$ .
Přímá úměrnost $y = ax$ je lineární funkce s $b = 0$ , její graf prochází počátkem. Nepřímá úměrnost $y = \frac{a}{x}$ má za graf hyperbolu a součin $x \cdot y$ je pořád stejný.
Lineární lomená funkce má tvar $y = \frac{a}{x - p} + q$ s $a \ne 0$ . Graf je hyperbola posunutá tak, že se přibližuje k přímkám $x = p$ a $y = q$ , svým asymptotám.
U lomené funkce nesmíš dosadit $x = p$ , proto je definiční obor $\mathbb{R} \setminus \{p\}$ , a funkce nikdy nenabude hodnoty $q$ , proto je obor hodnot $\mathbb{R} \setminus \{q\}$ .

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Zapiš, co víš
Z textu vypiš body, hodnoty funkce nebo vlastnosti grafu (rovnoběžnost, průsečík s osou). Souřadnice dvojic piš v pořadí $[x; y]$ .
2.Rozhodni o typu funkce
Má předpis tvar $ax + b$ , nebo se $x$ vyskytuje ve jmenovateli? Podle toho zvol rovnici přímky, nebo rovnici lomené funkce.
3.Dopočti parametry
U přímky je to směrnice a potom $b$ , u lomené funkce $a$ a $q$ ze dvou rovnic o dvou neznámých. Do rovnic dosazuj souřadnice bodů grafu.
4.Odpověz na otázku
Hodnotu funkce dostaneš dosazením $x$ , průsečík s osou $x$ položením $y = 0$ , průsečík s osou $y$ dosazením $x = 0$ . Definiční obor lomené funkce najdeš ze jmenovatele.
5.Zkontroluj dosazením
Souřadnice obou zadaných bodů musí předpis splňovat. U lomené funkce ověř i to, že hodnota $x = p$ je vyloučená.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Předpis z dvou bodů
Graf lineární funkce prochází body $A[-1; -4]$ a $B[2; 5]$ . Najdi předpis funkce a obě souřadnice průsečíků jejího grafu s osami.
2.Přímá úměrnost v praxi
Šest stejných sešitů stojí 150 Kč. Zapiš cenu $y$ v korunách jako funkci počtu sešitů $x$ a urči, kolik zaplatíš za 14 sešitů.
3.Lomená funkce: hodnoty a obory
Je dána funkce $f\colon y ={}$ $\frac{2}{x - 3} + 1$ . Urči její definiční obor, obor hodnot, $f(5)$ a průsečíky grafu s osami.
4.Předpis lomené funkce z bodů
Graf funkce $y = \frac{a}{x} + c$ prochází body $[1; 5]$ a $[2; 3]$ . Urči čísla $a$ a $c$ .

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Více výsledků

Úloha 1.

Graf lineární funkce

f

prochází body

A[-3; 2]

B[4; -5]

. 8.1 Vypočtěte

f(5)

. 8.2 Určete první souřadnici průsečíku grafu funkce

f

s osou

x

8.18.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u přijímaček

co se mění

U přijímaček uvádí specifikace pro školní rok 2026/2027 v oblasti „Závislosti, vztahy a práce s daty“, že žák „posoudí typ závislosti mezi dvěma veličinami (přímá, nepřímá úměrnost)“ a „vyjádří přímou a nepřímou úměrnost tabulkou, rovnicí a grafem“. Z této stránky se přijímaček týká přímá úměrnost

y = ax

, nepřímá úměrnost a jejich grafy.

U přímé úměrnosti je podíl

y : x

pořád stejný a graf je přímka z počátku, u nepřímé je stejný součin

x \cdot y

. Lineární funkci

y = ax + b

s obecným

b

a lineární lomenou funkci jmenuje katalog maturity; specifikace pro přijímačky je jako funkce nejmenuje.

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Je dána funkce

f\colon y ={}

\frac{3}{x + 4} - 4

. 8.1 Vypočtěte

f(-7)

. 8.2 Určete první souřadnici průsečíku grafu funkce

f

s osou

x

8.18.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

Je dána funkce

f\colon y ={}

-\frac{8}{x + 1} - 3

. 8.1 Vypočtěte

f(1)

. 8.2 Určete první souřadnici průsečíku grafu funkce

f

s osou

x

8.18.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Graf lineární funkce je rovnoběžný s grafem funkce

y = -3x + 1

a prochází bodem

[2; 0]

. Funkce má předpis

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 5.

Graf lineární funkce

y = ax - 6

prochází bodem

[2; 4]

. Určete číslo

a

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 6.

Je dána funkce

f\colon y ={}

\frac{3}{x + 2} - 4

. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N). Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).

Definiční obor funkce

f

\mathbb{R} \setminus \{-{}

2\}

Obor hodnot funkce

f

\mathbb{R} \setminus \{4\}

Graf funkce

f

protíná osu

y

v bodě

\left[0; -\frac{5}{2}\right]

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Při výpočtu směrnice odečteš souřadnice v různém pořadí: $y_2 - y_1$ děleno $x_1 - x_2$ změní znaménko. Čitatel i jmenovatel musí jít od stejného bodu ke stejnému.
Zaměníš číslo $b$ a průsečík s osou $x$ . Číslo $b$ je druhá souřadnice průsečíku s osou $y$ , průsečík s osou $x$ je $x = -\frac{b}{a}$ .
U funkce $y = \frac{4}{x + 1}$ vyloučíš $x = 1$ místo $x = -1$ . Jmenovatel je roven nule pro $x = -1$ , a tedy $p = -1$ .
Souřadnice bodu dosadíš v opačném pořadí, tedy $[x; y]$ jako $[y; x]$ , a dostaneš rovnici, která nepatří k danému grafu.
Myslíš si, že každá přímka je grafem přímé úměrnosti. Přímá úměrnost je jen ta s $b = 0$ , jinak jde o lineární funkci obecně.

Zapamatuj si

$y = ax + b$ : $a$ je směrnice, $b$ je průsečík s osou $y$ .
$a ={}$ $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , rovnoběžky mají stejné $a$ .
Průsečík s osou $x$ : $x = -\frac{b}{a}$ .
Přímá úměrnost $y = ax$ , nepřímá $y = \frac{a}{x}$ .
$y = \frac{a}{x - p} + q$ : definiční obor $\mathbb{R} \setminus \{p\}$ , obor hodnot $\mathbb{R} \setminus \{q\}$ .

Otázky a odpovědi

1.Jak z předpisu poznám, jestli je lineární funkce rostoucí?+
Odpověď:Podívej se na číslo $a$ u $x$ v předpisu $y = ax + b$ . Je-li kladné, funkce roste, je-li záporné, klesá, a pro $a = 0$ je konstantní. Číslo $b$ na tom nic nemění, jen posouvá přímku nahoru nebo dolů.
2.Jak najdu předpis z dvou bodů?+
Odpověď:Spočítej směrnici $a ={}$ $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , potom dosaď souřadnice jednoho bodu do $y = ax + b$ a vyřeš rovnici pro $b$ . Druhým bodem zkontroluj výsledek.
3.Jak najdu průsečíky grafu s osami?+
Odpověď:S osou $y$ dosadíš $x = 0$ a dostaneš bod $[0; f(0)]$ . S osou $x$ položíš $f(x) = 0$ a vyřešíš rovnici. U lomené funkce ověř, že výsledek leží v definičním oboru.
4.Jaký je rozdíl mezi přímou úměrností a lineární funkcí?+
Odpověď:Přímá úměrnost $y = ax$ je zvláštní případ lineární funkce, který má $b = 0$ . Jejím grafem je přímka procházející počátkem, takže čím víc jedné veličiny, tím úměrně víc druhé. Lineární funkce s $b \ne 0$ takovou úměrnost nepopisuje.
5.Jak určím definiční obor a obor hodnot lineární lomené funkce?+
Odpověď:Ve tvaru $y = \frac{a}{x - p} + q$ vyloučíš z definičního oboru číslo $p$ a z oboru hodnot číslo $q$ . Pro funkci $y = \frac{5}{x + 1} + 3$ je definiční obor $\mathbb{R} \setminus \{-{}$ $1\}$ a obor hodnot $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .
6.Co se o funkcích žádá u přijímaček?+
Odpověď:Specifikace pro školní rok 2026/2027 jmenuje přímou a nepřímou úměrnost, vyjádřenou tabulkou, rovnicí a grafem. Obecnou lineární funkci ani lineární lomenou funkci specifikace nejmenuje, ty jmenuje katalog maturity.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Lineární funkce a lineární lomená funkce: graf, předpis, definiční obor a obor hodnot

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Zapiš, co víš

2.Rozhodni o typu funkce

3.Dopočti parametry

4.Odpověz na otázku

5.Zkontroluj dosazením

Řešené příklady

1.Předpis z dvou bodů

2.Přímá úměrnost v praxi

3.Lomená funkce: hodnoty a obory

4.Předpis lomené funkce z bodů

Úloha ve formátu maturity

Toto téma u přijímaček

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje