Kleksa

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Goniometrické funkce: sinus, kosinus a tangens, jednotková kružnice a goniometrické rovnice

Sinus, kosinus a tangens spojují úhel s poměrem stran pravoúhlého trojúhelníku a na jednotkové kružnici se rozšíří na libovolný úhel. K maturitě z matematiky tu najdeš, jak vybrat správnou funkci, jak určit znaménko podle kvadrantu, jak převádět stupně na radiány a jak vyřešit jednoduchou goniometrickou rovnici. K tomu řešené příklady a úlohy ve formátu didaktického testu, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruhy 4 „Funkce“ (orientačně 10–20 % testu) a 6 „Planimetrie“ (orientačně 8–18 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 9 a 16–21.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT
Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

  • Maturita

    Katalog, okruh 4 „Funkce“, 4.5 Goniometrické funkce

    • Žák dovede užít pojmy orientovaný úhel, velikost úhlu, stupňová míra, oblouková míra a jejich převody.
    • Žák dovede definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku.
    • Žák dovede definovat goniometrické funkce v intervalu ⟨0; 2π⟩, resp. ⟨−π/2; π/2⟩ nebo ⟨0; π⟩, resp. v oboru reálných čísel, u každé z nich určit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf.
    • Žák dovede užívat vlastností goniometrických funkcí, určit z grafu funkce intervaly monotonie a body, v nichž nabývá funkce extrému.
    • Žák dovede užívat vlastností a vztahů goniometrických funkcí při řešení jednoduchých goniometrických rovnic.

    Katalog, okruh 6 „Planimetrie“, 6.2 Trojúhelníky

    • Žák dovede řešit úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, obsah trojúhelníku určeného sus).

    Formy úloh v našich testech

    více výsledků, výběr z pěti možností

    Váha v testu

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 4 „Funkce“ orientačně 10–20 % testu.

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 6 „Planimetrie“ orientačně 8–18 % testu.

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 9 a 16–21.

    Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát
  • V pravoúhlém trojúhelníku s ostrým úhlem α\alpha, protilehlou odvěsnou aa, přilehlou odvěsnou bb a přeponou cc platí sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c} a tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}. Protilehlá odvěsna leží naproti úhlu, přilehlá se úhlu dotýká.
  • Mezi funkcemi platí tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} a sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. Z jedné hodnoty tak dopočítáš zbylé dvě, jen u znaménka musíš znát kvadrant.
  • Na jednotkové kružnici (poloměr 1, střed v počátku) má bod příslušný úhlu α\alpha souřadnice [cos⁡α; sin⁡α][\cos\alpha;\ \sin\alpha]. Kosinus je tedy vodorovná souřadnice, sinus svislá. Tangens je kladný v I. a III. kvadrantu, sinus v I. a II., kosinus v I. a IV.
  • Hodnoty, které se vyplatí znát: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; kosinus má stejné hodnoty v opačném pořadí; tg⁡45∘=1\operatorname{tg} 45^\circ = 1, tg⁡60∘=3\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}.
  • Oblouková míra: 180∘=π180^\circ = \pi rad, tedy 1∘=π1801^\circ = \frac{\pi}{180} rad. Sinus a kosinus mají obor hodnot ⟨−1;1⟩\langle -1; 1\rangle a periodu 2π2\pi, tangens má periodu π\pi a není definován pro x=x ={}π2+kπ \frac{\pi}{2} + k\pi, kde kk je celé číslo.
  • V goniometrické rovnici nejdřív najdi hodnotu funkce, pak úhly z jednotkové kružnice v daném intervalu a nakonec připiš periodu, pokud to zadání chce.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

  1. 1.Načrtni situaci

    Nakresli pravoúhlý trojúhelník nebo jednotkovou kružnici, označ úhel α\alpha a pojmenuj odvěsny vzhledem k němu: protilehlá, přilehlá, přepona.

  2. 2.Vyber funkci

    Zjisti, které dvě strany znáš nebo hledáš. Protilehlá a přepona vedou na sinus, přilehlá a přepona na kosinus, protilehlá a přilehlá na tangens.

  3. 3.Sestav rovnici a vyřeš ji

    Například a=a ={}c⋅sin⁡α c \cdot \sin\alpha. Neznámou ze jmenovatele vyjádři dělením: c=c ={}asin⁡α \frac{a}{\sin\alpha}.

  4. 4.Hlídej jednotky úhlu

    Kalkulačku přepni na stupně (DEG), nebo na radiány (RAD), podle toho, v čem je úhel zadán. V didaktickém testu je povolená kalkulačka bez grafického režimu.

  5. 5.U neostrého úhlu použij kvadrant

    Zjisti, v kterém kvadrantu úhel leží, a podle toho urči znaménko. Hodnotu pak převeď na ostrý úhel stejné velikosti.

  6. 6.Zaokrouhli až na konci

    Mezivýsledky si nech v kalkulačce a zaokrouhli až konečný výsledek na požadovaný počet míst.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

  1. 1.Výška podle úhlu

    Žebřík dlouhý 4,5 m je opřený o svislou zeď a se zemí svírá úhel 72∘72^\circ. V jaké výšce se dotýká zdi? Výsledek zaokrouhli na centimetry.

  2. 2.Úhel podle stran

    Cesta stoupá na vodorovné vzdálenosti 12 m o 5 m. Jaký úhel svírá s vodorovnou rovinou? Výsledek zaokrouhli na desetiny stupně.

  3. 3.Jednoduchá goniometrická rovnice

    Řeš v intervalu ⟨0;2π)\langle 0; 2\pi) rovnici 2sin⁡x=32\sin x = \sqrt{3}.

  4. 4.Stupně a radiány

    Převeď 135∘135^\circ na radiány a 7π4\frac{7\pi}{4} rad na stupně. Potom urči cos⁡7π4\cos\frac{7\pi}{4}.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha
Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.
Úloha ve formátu maturityMaturita

Více výsledků

Úloha 1.

V pravoúhlém trojúhelníku ABCABC s pravým úhlem při vrcholu CC má přepona ABAB délku 7 cm a vnitřní úhel při vrcholu AA velikost α=27∘\alpha = 27^\circ (viz obrázek). Oba výsledky zaokrouhlete na desetiny. 9.1 Vypočtěte délku odvěsny BCBC v centimetrech. 9.2 Vypočtěte obsah trojúhelníku ABCABC v centimetrech čtverečních.
αABC7 cm

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned
Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.
Maturita

Úloha 2.

Pro úhel α∈(270∘;360∘)\alpha \in (270^\circ; 360^\circ) platí sin⁡α=−2029\sin \alpha = -\frac{20}{29}. Výsledky zapište zlomkem. 9.1 Vypočtěte cos⁡α\cos \alpha. 9.2 Vypočtěte tg⁡α\operatorname{tg} \alpha.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

Pro úhel α∈(180∘;270∘)\alpha \in (180^\circ; 270^\circ) platí cos⁡α=−817\cos \alpha = -\frac{8}{17}. Výsledky zapište zlomkem. 9.1 Vypočtěte sin⁡α\sin \alpha. 9.2 Vypočtěte tg⁡α\operatorname{tg} \alpha.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Kolik stupňů je 5π6\frac{5\pi}{6} rad?

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 5.

Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny 9 cm a 12 cm. Vypočtěte tangens menšího ostrého úhlu. Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body
  • Zaměníš protilehlou a přilehlou odvěsnu. Pomůže je pokaždé označit v náčrtku vzhledem k úhlu, ne vzhledem k poloze na papíře.
  • Máš kalkulačku v radiánech, ale úhel je ve stupních (nebo naopak). Výsledek je pak zcela jiný, například sin⁡30\sin 30 v radiánech vyjde záporné.
  • U úhlu ve II., III. nebo IV. kvadrantu zapomeneš na znaménko. Hodnotu najdi pro ostrý úhel a znaménko přidej podle kvadrantu.
  • V rovnici sin⁡x=a\sin x = a najdeš jen jedno řešení. Na intervalu délky 2π2\pi má rovnice se sinem nebo kosinem dvě řešení, pokud ∣a∣<1|a| < 1.
  • Zaokrouhlíš mezivýsledek a pak s ním dál počítáš. Odchylka se přenese do výsledku a zadaná přesnost už nevyjde.

Zapamatuj si

  • sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}, cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}, tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} (aa protilehlá, bb přilehlá, cc přepona).
  • tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
  • 180∘=π180^\circ = \pi rad.
  • Bod na jednotkové kružnici: [cos⁡α; sin⁡α][\cos\alpha;\ \sin\alpha].
  • Perioda sinu a kosinu je 2π2\pi, tangensu π\pi.

Otázky a odpovědi

  1. 1.Jak poznám, jakou funkci mám v trojúhelníku použít?+
    Odpověď:Podívej se, které dvě strany jsou v úloze zadané nebo hledané. Pokud je to protilehlá odvěsna a přepona, použij sinus, u přilehlé odvěsny a přepony kosinus a u obou odvěsen tangens. Strany vždy pojmenuj vzhledem ke zvolenému úhlu, ne podle polohy v obrázku.
  2. 2.Proč tangens neexistuje pro 90∘90^\circ?+
    Odpověď:Tangens je podíl sinu a kosinu a kosinus je pro 90∘90^\circ roven nule. Dělení nulou není definované. Graf tangensu má v bodech π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi svislé asymptoty: v jejich blízkosti nabývá tangens libovolně velkých kladných i záporných hodnot.
  3. 3.Co je radián a jak ho převedu na stupně?+
    Odpověď:Radián je míra úhlu, při které se velikost úhlu rovná délce odpovídajícího oblouku na jednotkové kružnici. Plný úhel 360∘360^\circ je 2π2\pi rad, poloviční 180∘180^\circ je π\pi rad. Převod: vynásob stupně číslem π180\frac{\pi}{180}, opačně radiány číslem 180π\frac{180}{\pi}.
  4. 4.Které hodnoty sinu a kosinu je dobré znát zpaměti?+
    Odpověď:Hodnoty pro 30∘30^\circ, 45∘45^\circ a 60∘60^\circ a pro 0∘0^\circ a 90∘90^\circ. Tabulky jsou u maturity povolené, ale u úloh s rovnicí uspoříš čas, když si hodnoty vybavíš sám. Pomůže jednotková kružnice: ostré úhly dají tytéž hodnoty ve všech čtyřech kvadrantech, jen se mění znaménko.
  5. 5.Jak nastavím kalkulačku?+
    Odpověď:Podle úhlu v zadání: stupně jsou režim DEG, radiány RAD. U maturity je v didaktickém testu povolená kalkulačka bez grafického režimu. Před výpočtem si ověř jednoduchý případ, třeba sin⁡30∘\sin 30^\circ musí vyjít 0,50{,}5.
  6. 6.Jak řešit jednoduchou goniometrickou rovnici?+
    Odpověď:Rovnici uprav na tvar sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=a\cos x = a nebo tg⁡x=\operatorname{tg} x ={}a a. Najdi hodnotu úhlu v základním intervalu a podle jednotkové kružnice doplň druhý úhel se stejnou hodnotou. Pokud zadání nezužuje interval, přidej periodu: u sinu a kosinu 2kπ2k\pi, u tangensu kπk\pi.
  7. 7.Kde se goniometrie hodí mimo pravoúhlý trojúhelník?+
    Odpověď:V obecném trojúhelníku pomáhá sinová a kosinová věta. Obě mají vlastní stránku; katalog je uvádí v podokruhu 6.2 Trojúhelníky. Sinovou větu použiješ, když znáš dva úhly a jednu stranu, kosinovou větu, když znáš dvě strany a úhel mezi nimi nebo všechny tři strany.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut