Jak poznám, že je posloupnost aritmetická?

Vypočítej rozdíly po sobě jdoucích členů. Pokud jsou všechny stejné, je posloupnost aritmetická a tento rozdíl je diference. Řada $2, 5, 8, 11$ má rozdíly 3, 3, 3, je tedy aritmetická. Řada $1, 2, 4, 8$ má rozdíly 1, 2, 4, takže aritmetická není — její členy se násobí stejným číslem.

Jak zjistím, kolik členů má součet, když znám první a poslední člen?

Použij vztah $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$. Pro čísla $3, 9, 15, \dots, 99$ je $d = 6$ a $n = \frac{99 - 3}{6} + 1 = 17$. Počet členů vždy vyjde o jedničku větší než počet kroků. Pokud nevyjde celé číslo, zadaný člen v posloupnosti neleží.

Jaký je rozdíl mezi $a_n$ a $s_n$?

Symbol $a_n$ je jediný člen na $n$-tém místě, kdežto $s_n$ je součet prvních $n$ členů, tedy $a_1 + a_2 + \dots + a_n$. V zadání proto hlídej slovo „součet“ — úloha, která chce $a_{20}$, se řeší jinak než úloha, která chce $s_{20}$.

Může být diference záporná nebo nulová?

Ano. Při $d < 0$ posloupnost klesá, například $20, 17, 14, \dots$ má $d = -3$. Při $d = 0$ jsou všechny členy stejné a součet prvních $n$ členů je prostě $n \cdot a_1$. Vzorce $a_n = a_1 + (n - 1)d$ a $s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ platí v obou případech beze změny.

Čím se aritmetická posloupnost liší od geometrické?

U aritmetické se k předchozímu členu stále přičítá stejné číslo $d$, u geometrické se předchozí člen násobí stejným číslem $q$ (kvocient). Body $[n; a_n]$ aritmetické posloupnosti proto leží na přímce. Součet geometrické posloupnosti má jiný vzorec, $s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$; jak se používá, vysvětluje stránka o geometrické posloupnosti.

Mám vzorce znát zpaměti, nebo je najdu v tabulkách?

U maturity smíš mít Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. Vzorce pro $n$-tý člen a součet ale patří k těm, které je dobré umět zpaměti i s tabulkami po ruce. Zapamatuješ si je snadno, když víš, proč platí: $n$-tý člen je první člen a $n - 1$ kroků o diferenci, součet je počet členů krát průměr prvního a posledního.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Aritmetická posloupnost: diference, n-tý člen a součet prvních n členů

Q: Může být diference záporná nebo nulová?

Ano. Při $d < 0$ posloupnost klesá, například $20, 17, 14, \dots$ má $d = -3$. Při $d = 0$ jsou všechny členy stejné a součet prvních $n$ členů je prostě $n \cdot a_1$. Vzorce $a_n = a_1 + (n - 1)d$ a $s_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ platí v obou případech beze změny.

Q: Čím se aritmetická posloupnost liší od geometrické?

U aritmetické se k předchozímu členu stále přičítá stejné číslo $d$, u geometrické se předchozí člen násobí stejným číslem $q$ (kvocient). Body $[n; a_n]$ aritmetické posloupnosti proto leží na přímce. Součet geometrické posloupnosti má jiný vzorec, $s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$; jak se používá, vysvětluje stránka o geometrické posloupnosti.

Q: Mám vzorce znát zpaměti, nebo je najdu v tabulkách?

U maturity smíš mít Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. Vzorce pro $n$-tý člen a součet ale patří k těm, které je dobré umět zpaměti i s tabulkami po ruce. Zapamatuješ si je snadno, když víš, proč platí: $n$-tý člen je první člen a $n - 1$ kroků o diferenci, součet je počet členů krát průměr prvního a posledního.

Aritmetická posloupnost je řada čísel, v níž se každý člen liší od předchozího o stejné číslo, o diferenci. Stačí znát první člen a diferenci a dokážeš vypočítat libovolný člen i součet. K maturitě z matematiky tu najdeš vzorce, postup krok za krokem, řešené příklady, úlohu ve formátu didaktického testu a úlohy, které si hned zkontroluješ.

Maturita: katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“ (orientačně 4–14 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 1–5, 12 a 25.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.1 Základní poznatky o posloupnostech

Žák dovede určit posloupnost vzorcem pro n–tý člen, graficky, výčtem prvků.

Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.2 Aritmetická posloupnost

Žák dovede určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference.
Žák dovede užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.1 Základní poznatky o posloupnostech
- Žák dovede určit posloupnost vzorcem pro n–tý člen, graficky, výčtem prvků.
Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.2 Aritmetická posloupnost
- Žák dovede určit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference.
- Žák dovede užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost.
Formy úloh v našich testech
výsledek, postup řešení, přiřazování
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“ orientačně 4–14 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úlohy 1–5, 12 a 25.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem jsou přirozená čísla; její hodnoty $a_1, a_2, a_3, \dots$ jsou členy posloupnosti a $a_n$ je $n$ -tý člen. Zadat ji lze vzorcem pro $n$ -tý člen, výčtem prvků nebo grafem — body $[n; a_n]$ .
Aritmetická posloupnost má stálý rozdíl dvou sousedních členů, diferenci: $d = a_{n+1} - a_n$ . Při $d > 0$ je posloupnost rostoucí, při $d < 0$ klesající, při $d = 0$ konstantní.
N-tý člen: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ . Z libovolného známého členu platí také $a_n = a_k + (n - k)d$ .
Součet prvních $n$ členů: $s_n ={}$ $\frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$ , po dosazení za $a_n$ také $s_n ={}$ $\frac{n}{2}\,\bigl(2a_1 + (n - 1)d\bigr)$ .
Prostřední člen: čísla $x$ , $y$ , $z$ jdou za sebou v aritmetické posloupnosti, právě když $2y = x + z$ . Prostřední člen je aritmetický průměr svých sousedů.
Počet členů mezi prvním členem $a_1$ a členem $a_n$ vyjde z rovnice $n ={}$ $\frac{a_n - a_1}{d} + 1$ . Výsledek musí být přirozené číslo — jinak číslo členem posloupnosti není.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Poznej aritmetickou posloupnost
Hledej stálý rozdíl: každý člen se od předchozího liší o totéž číslo. Řady sedadel, z nichž každá má o stejný počet míst víc, nebo částka, která každý měsíc vzroste o stejnou hodnotu, vedou na aritmetickou posloupnost.
2.Zapiš, co znáš
Z těchto veličin — $a_1$ , $d$ , $n$ , $a_n$ , $s_n$ — znáš zpravidla tři. Napiš je pod sebe a hledané označ otazníkem.
3.Najdi diferenci
Znáš-li dva členy, odečti je a rozdíl vyděl rozdílem indexů: $d ={}$ $\frac{a_m - a_k}{m - k}$ . Znaménko hlídej: klesající posloupnost má $d < 0$ .
4.Dosaď do vzorce
Pro člen použij $a_n = a_1 + (n - 1)d$ , pro součet $s_n ={}$ $\frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$ . Chybí-li $a_n$ , nejdřív ho dopočítej.
5.Zkontroluj zkouškou
Vypočítej $d$ zpětně z prvních dvou členů a ověř, že hledaný počet členů vyšel celé číslo. U součtu odhadni: je to přibližně počet členů krát průměr krajních členů.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Je číslo členem posloupnosti?
Je dána posloupnost $5, 9, 13, 17, \dots$ Zapiš vzorec pro $n$ -tý člen a urči čtyřicátý člen. Rozhodni, zda je členem posloupnosti číslo 205 a zda číslo 207.
2.Součet sudých dvouciferných čísel
Vypočítej součet všech sudých dvouciferných čísel.
3.Tři členy s neznámou
Čísla $x + 1$ , $2x - 1$ a $4x - 8$ jsou za sebou jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Urči $x$ , diferenci a součet prvních dvaceti členů této posloupnosti.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 1.

V hledišti divadla je 28 řad. V první řadě je 23 sedadel a v každé další řadě je o 4 sedadla více než v řadě předcházející. 12.1 Kolik sedadel je v poslední řadě? 12.2 Kolik sedadel je v celém hledišti? Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

V aritmetické posloupnosti

(a_n)_{n=1}^{\infty}

platí

a_{2} = -1

a_{6} = -13

. Vypočtěte

a_{13}

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

V aritmetické posloupnosti

(a_n)_{n=1}^{\infty}

platí

a_{3} = -2

a_{7} = -18

. Vypočtěte

a_{26}

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Přiřaďte ke každé úloze správný výsledek (A–F).

1Člen

a_{18}

aritmetické posloupnosti, v níž

a_1 = 11

a diference

d = -7

2Součet prvních 5 členů geometrické posloupnosti, v níž

a_1 = 2

a kvocient

q = 2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Napíšeš $a_n = a_1 + n \cdot d$ . Mezi prvním a $n$ -tým členem je ale jen $n - 1$ kroků, proto $a_n = a_1 + (n - 1)d$ . Zkus si to na $a_1$ : vzorec musí dát znovu $a_1$ .
Při určení počtu členů zapomeneš přičíst jedničku. Čísla $3, 6, \dots, 30$ nemají $\frac{30 - 3}{3} = 9$ , ale deset členů — počítá se i první.
Do součtu $s_n ={}$ $\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ dosadíš za $n$ hodnotu posledního členu. Číslo $n$ je počet členů, $a_n$ je jejich poslední hodnota.
U klesající posloupnosti odečteš členy v obráceném pořadí a diference ti vyjde kladná. Vždy počítej $d = a_{n+1} - a_n$ , tedy pozdější člen mínus dřívější.
Diferenci určíš jako podíl $a_2 : a_1$ . Podíl sousedních členů je kvocient geometrické posloupnosti; u aritmetické se členy odčítají.

Zapamatuj si

$d = a_{n+1} - a_n$ je stálý rozdíl sousedních členů.
$a_n = a_1 + (n - 1)d$ , obecněji $a_n = a_k + (n - k)d$ .
$s_n ={}$ $\frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$ .
Počet členů: $n ={}$ $\frac{a_n - a_1}{d} + 1$ a musí vyjít přirozené číslo.
Tři čísla jdou za sebou, právě když $2y = x + z$ .

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, že je posloupnost aritmetická?+
Odpověď:Vypočítej rozdíly po sobě jdoucích členů. Pokud jsou všechny stejné, je posloupnost aritmetická a tento rozdíl je diference. Řada $2, 5, 8, 11$ má rozdíly 3, 3, 3, je tedy aritmetická. Řada $1, 2, 4, 8$ má rozdíly 1, 2, 4, takže aritmetická není — její členy se násobí stejným číslem.
2.Jak zjistím, kolik členů má součet, když znám první a poslední člen?+
Odpověď:Použij vztah $n ={}$ $\frac{a_n - a_1}{d} + 1$ . Pro čísla $3, 9, 15, \dots, 99$ je $d = 6$ a $n ={}$ $\frac{99 - 3}{6} + 1 ={}$ $17$ . Počet členů vždy vyjde o jedničku větší než počet kroků. Pokud nevyjde celé číslo, zadaný člen v posloupnosti neleží.
3.Jaký je rozdíl mezi $a_n$ a $s_n$ ?+
Odpověď:Symbol $a_n$ je jediný člen na $n$ -tém místě, kdežto $s_n$ je součet prvních $n$ členů, tedy $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ . V zadání proto hlídej slovo „součet“ — úloha, která chce $a_{20}$ , se řeší jinak než úloha, která chce $s_{20}$ .
4.Může být diference záporná nebo nulová?+
Odpověď:Ano. Při $d < 0$ posloupnost klesá, například $20, 17, 14, \dots$ má $d = -3$ . Při $d = 0$ jsou všechny členy stejné a součet prvních $n$ členů je prostě $n \cdot a_1$ . Vzorce $a_n = a_1 + (n - 1)d$ a $s_n ={}$ $\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ platí v obou případech beze změny.
5.Čím se aritmetická posloupnost liší od geometrické?+
Odpověď:U aritmetické se k předchozímu členu stále přičítá stejné číslo $d$ , u geometrické se předchozí člen násobí stejným číslem $q$ (kvocient). Body $[n; a_n]$ aritmetické posloupnosti proto leží na přímce. Součet geometrické posloupnosti má jiný vzorec, $s_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; jak se používá, vysvětluje stránka o geometrické posloupnosti.
6.Mám vzorce znát zpaměti, nebo je najdu v tabulkách?+
Odpověď:U maturity smíš mít Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy. Vzorce pro $n$ -tý člen a součet ale patří k těm, které je dobré umět zpaměti i s tabulkami po ruce. Zapamatuješ si je snadno, když víš, proč platí: $n$ -tý člen je první člen a $n - 1$ kroků o diferenci, součet je počet členů krát průměr prvního a posledního.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Aritmetická posloupnost: diference, n-tý člen a součet prvních n členů

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Poznej aritmetickou posloupnost

2.Zapiš, co znáš

3.Najdi diferenci

4.Dosaď do vzorce

5.Zkontroluj zkouškou

Řešené příklady

1.Je číslo členem posloupnosti?

2.Součet sudých dvouciferných čísel

3.Tři členy s neznámou

Úloha ve formátu maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje