Jak poznám, že je posloupnost geometrická?

Vyděl každý člen jeho předchozím. Vyjde-li pokaždé totéž číslo, je posloupnost geometrická a toto číslo je kvocient. Řada $4, 12, 36, 108$ má podíly 3, 3, 3. Řada $1, 4, 9, 16$ má podíly $4$; $2{,}25$ a přibližně $1{,}78$, takže geometrická není; není ani aritmetická, protože rozdíly jsou 3, 5, 7.

Proč se složené úročení řeší geometrickou posloupností?

Po každém roce se k částce připočte stejné procento z ní samé, takže se částka pokaždé násobí stejným úročitelem. Částky na konci jednotlivých let tedy tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $1 + \frac{p}{100}$ a s prvním členem rovným jistině, popřípadě jistině po prvním roce.

Může být kvocient záporný nebo menší než 1?

Ano. Při $q < 0$ členy střídají znaménko, například $3, -6, 12, -24$ s $q = -2$. Při $0 < q < 1$ se členy zmenšují, třeba $80, 40, 20$ s $q = \frac{1}{2}$. To odpovídá poklesu o stejné procento každé období, třeba odpisu stroje.

Jak zjistím, po kolika letech částka přesáhne danou hodnotu?

Řeš nerovnici $J \cdot q^n > K$. Vyděl obě strany číslem $J$, zlogaritmuj a vyděl $\log q$: $n > \frac{\log (K : J)}{\log q}$. Výsledek zaokrouhli nahoru na celé číslo, protože rok musí být celý. U maturity smíš v didaktickém testu použít kalkulačku, takže stačí zadat logaritmy nebo zkusit několik mocnin za sebou.

Jak se do složeného úročení započítá daň z úroků?

Zadání úlohy musí říct, že se daň počítá. Odvádí-li se z úroku například 15 %, zůstane ti 85 % úroku a čistá úroková míra je $0{,}85 \cdot p$. Úročitel pak je $1 + 0{,}85 \cdot \frac{p}{100}$. Nezmiňuje-li zadání daň, uvažuj čisté úročení bez ní.

Co z tohoto tématu je u přijímaček?

Specifikace přijímaček geometrickou posloupnost ani složené úročení nejmenuje. Z finanční matematiky uvádí úrok z vkladu za jeden rok a daň z úroku. Úrok za více let je pro tebe u přijímaček jen opakované zdražení o stejné procento; vzorce pro geometrickou posloupnost uvádí až katalog k maturitě.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Geometrická posloupnost a složené úročení: kvocient, n-tý člen, součet a spoření

Q: Může být kvocient záporný nebo menší než 1?

Ano. Při $q < 0$ členy střídají znaménko, například $3, -6, 12, -24$ s $q = -2$. Při $0 < q < 1$ se členy zmenšují, třeba $80, 40, 20$ s $q = \frac{1}{2}$. To odpovídá poklesu o stejné procento každé období, třeba odpisu stroje.

Q: Jak zjistím, po kolika letech částka přesáhne danou hodnotu?

Řeš nerovnici $J \cdot q^n > K$. Vyděl obě strany číslem $J$, zlogaritmuj a vyděl $\log q$: $n > \frac{\log (K : J)}{\log q}$. Výsledek zaokrouhli nahoru na celé číslo, protože rok musí být celý. U maturity smíš v didaktickém testu použít kalkulačku, takže stačí zadat logaritmy nebo zkusit několik mocnin za sebou.

U geometrické posloupnosti se každý člen získá z předchozího vynásobením stejným číslem, kvocientem. Stejně se chová částka na účtu, na kterém úroky zůstávají a úročí se dál. K maturitě z matematiky tu najdeš vzorce pro člen a součet, postup pro složené úročení, řešené příklady, úlohy ve formátu didaktického testu a úlohy s okamžitou kontrolou. Co k tématu říká specifikace přijímaček, shrnuje samostatná část.

Maturita: katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“ (orientačně 4–14 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 12. Přijímačky: specifikace, oblast 1 „Číslo a proměnná“; v našich cvičných testech na toto téma samostatná úloha není.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.3 Geometrická posloupnost

Žák dovede určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu.
Žák dovede užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost.

Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z praxe, finanční matematika

Žák dovede využít poznatků o posloupnostech při řešení problémů v reálných situacích.
Žák dovede řešit úlohy finanční matematiky.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Test z matematiky u jednotné přijímací zkoušky má 16 úloh (11 otevřených a 5 uzavřených), trvá 70 minut a dá se v něm získat 50 bodů. Kalkulačka ani tabulky povolené nejsou, jen psací a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.3 Geometrická posloupnost
- Žák dovede určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu.
- Žák dovede užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost.
Katalog, okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“, 5.4 Využití posloupností pro řešení úloh z praxe, finanční matematika
- Žák dovede využít poznatků o posloupnostech při řešení problémů v reálných situacích.
- Žák dovede řešit úlohy finanční matematiky.
Formy úloh v našich testech
postup řešení
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 5 „Posloupnosti a finanční matematika“ orientačně 4–14 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úloha 12.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma
Přijímačky
Specifikace, část C1, oblast 1 „Číslo a proměnná“
- Řeší aplikační úlohy na procenta včetně úloh z oblasti finanční matematiky, používá s porozuměním základní pojmy finanční matematiky (jistina, úroková míra, úrok, úrokovací období, daň, inflace), vypočítá úrok z vkladu za jeden rok a daň z úroku, získá základní informace o půjčkách a úvěrech.
V našich cvičných testech: na toto téma samostatná úloha není.
Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Geometrická posloupnost má stálý podíl dvou sousedních členů, kvocient $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Každý další člen je $q$ -násobkem předchozího: $a_{n+1} = a_n \cdot q$ .
N-tý člen: $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ . Z libovolného známého členu platí $a_n ={}$ $a_k \cdot q^{n-k}$ .
Součet prvních $n$ členů: $s_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ pro $q \neq 1$ . Při $q = 1$ jsou všechny členy stejné a $s_n = n \cdot a_1$ .
Kvocient může být záporný — členy pak střídají znaménko. Při $|q| < 1$ se členy blíží nule, při $|q| > 1$ jejich velikost roste.
Prostřední člen: kladná čísla $x$ , $y$ , $z$ jdou za sebou v geometrické posloupnosti, právě když $y^2 = x \cdot z$ .
Složené úročení: jistina $J$ při roční úrokové míře $p\,\%$ naroste za $n$ let na $J \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ . Úročitel $1 + \frac{p}{100}$ je kvocient geometrické posloupnosti.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Poznej geometrickou posloupnost
Dává-li podíl každého členu a členu předchozího stále stejné číslo, je posloupnost geometrická. V textu úlohy hledej opakované procentní změny: „roční nárůst o 3 %“, „po každém roce o třetinu méně“.
2.Zapiš, co znáš
Z veličin $a_1$ , $q$ , $n$ , $a_n$ , $s_n$ obvykle znáš tři. U úročení je $a_1$ jistina, $q$ úročitel a $n$ počet let.
3.Najdi kvocient
Ze dvou členů: $q^{m-k} ={}$ $\frac{a_m}{a_k}$ . Je-li exponent $m - k$ sudý a podíl kladný, vyjdou dvě hodnoty $q$ (opačná čísla), obě ověř; při lichém exponentu je jediné řešení.
4.Dosaď do vzorce
Pro člen použij $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ , pro součet $s_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ . U úročení po $n$ letech je to $J \cdot q^n$ — exponent je počet let.
5.Počet let hledej nerovnicí
Chceš-li vědět, kdy částka přesáhne hranici $K$ , řeš $J \cdot q^n > K$ . Zlogaritmuj obě strany a vyděl $\log q$ ; výsledek zaokrouhli nahoru na celé číslo.
6.Zkontroluj zkouškou
Dosaď nalezené $q$ zpět do $a_n ={}$ $a_k \cdot q^{n-k}$ . U úročení rychle odhadni, zda částka roste přibližně o $p\,\%$ ročně.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Člen a součet z prvních členů
Je dána posloupnost $2, 6, 18, 54, \dots$ Dokaž, že je geometrická, a urči sedmý člen a součet prvních sedmi členů.
2.Dvě možné posloupnosti
V geometrické posloupnosti je $a_4 = 54$ a $a_6 = 486$ . Urči všechny možné hodnoty kvocientu a prvního členu.
3.Spoření na tři roky
Na účet vložíš 80 000 Kč s roční úrokovou mírou 2,5 %. Úroky se připisují na konci roku a zůstávají na účtu, daň neuvažuj. Kolik korun bude na účtu po třech letech? Výsledek zaokrouhli na celé koruny.

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 1.

V geometrické posloupnosti

(a_n)_{n=1}^{\infty}

a_2 = -3

a_5 = 81

. 12.1 Určete kvocient

q

této posloupnosti. 12.2 Vypočtěte součet prvních 5 členů této posloupnosti. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 2.

Paní Nováková uložila na začátku roku 160 000 Kč na spořicí účet s roční úrokovou sazbou 3 %. Úroky se připisují vždy na konci roku a zůstávají na účtu. Daň z úroků neuvažujte, jiné vklady ani výběry nejsou. 12.1 Kolik korun bude na účtu na konci prvního roku? 12.2 Na konci kolikátého roku poprvé přesáhne částka na účtu 194 000 Kč? Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u přijímaček

co se mění

Specifikace pro přijímačky geometrickou posloupnost ani složené úročení nejmenuje. V oblasti „Číslo a proměnná“ ale počítá s finanční matematikou: žák „vypočítá úrok z vkladu za jeden rok a daň z úroku“ a rozumí pojmům jistina, úroková míra, úrok, úrokovací období, daň a inflace.

U přijímaček tak stačí jeden rok: úrok je procentová část jistiny a daň je procentová část úroku. Opakované násobení úročitelem přes více let, tedy to, co se tady počítá jako geometrická posloupnost, specifikace nejmenuje. Základ — úročitel

1 + \frac{p}{100}

jako násobitel — je stejný jako u zdražení o

p\,\%

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 3.

V geometrické posloupnosti

(a_n)

platí

a_1 = 6

a_2 = -12

. Určete

a_5

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 4.

Na účet se vkládá 50 000 Kč s úrokovou mírou 4 % ročně. Úroky se připisují na konci roku a zůstávají na účtu, daň neuvažujte. Kolik korun bude na účtu po dvou letech?

Kč

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Maturita

Úloha 5.

Geometrická posloupnost má první člen

a_1 = 5

a kvocient

q = 3

. Vypočtěte součet jejích prvních čtyř členů.

Úloha sestavená pro tuto stránku.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Kvocient určíš odečtením, $q = a_2 - a_1$ . Kvocient je podíl, $q = a_2 : a_1$ ; rozdíl sousedních členů patří aritmetické posloupnosti.
Napíšeš $a_n = a_1 \cdot q^n$ . Mezi prvním a $n$ -tým členem je ale jen $n - 1$ násobení, proto $a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ .
Při složeném úročení nejdřív spočítáš úrok z celé doby, $J \cdot \frac{p \cdot n}{100}$ . Tak vyjde jednoduché úročení; správně je $J \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ , kde se úrok po každém roce připočítá k základu.
Z rovnice $q^2 = 9$ vezmeš jen $q = 3$ . Při sudé mocnině má rovnice dvě řešení, $q = 3$ a $q = -3$ , a úloha pak může mít dvě posloupnosti.
Úročitel zaokrouhlíš dřív, než umocníš: $1{,}025$ změníš na $1{,}03$ . Chyba se umocněním zvětší, zaokrouhluj až výsledek.

Zapamatuj si

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ je stálý podíl sousedních členů.
$a_n ={}$ $a_1 \cdot q^{n-1}$ , obecněji $a_n ={}$ $a_k \cdot q^{n-k}$ .
$s_n ={}$ $a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$ pro $q \neq 1$ .
Složené úročení: $J \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .
Sudá mocnina dává dvě hodnoty $q$ , lichá jednu.

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, že je posloupnost geometrická?+
Odpověď:Vyděl každý člen jeho předchozím. Vyjde-li pokaždé totéž číslo, je posloupnost geometrická a toto číslo je kvocient. Řada $4, 12, 36, 108$ má podíly 3, 3, 3. Řada $1, 4, 9, 16$ má podíly $4$ ; $2{,}25$ a přibližně $1{,}78$ , takže geometrická není; není ani aritmetická, protože rozdíly jsou 3, 5, 7.
2.Proč se složené úročení řeší geometrickou posloupností?+
Odpověď:Po každém roce se k částce připočte stejné procento z ní samé, takže se částka pokaždé násobí stejným úročitelem. Částky na konci jednotlivých let tedy tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem $1 + \frac{p}{100}$ a s prvním členem rovným jistině, popřípadě jistině po prvním roce.
3.Může být kvocient záporný nebo menší než 1?+
Odpověď:Ano. Při $q < 0$ členy střídají znaménko, například $3, -6, 12, -24$ s $q = -2$ . Při $0 < q < 1$ se členy zmenšují, třeba $80, 40, 20$ s $q = \frac{1}{2}$ . To odpovídá poklesu o stejné procento každé období, třeba odpisu stroje.
4.Jak zjistím, po kolika letech částka přesáhne danou hodnotu?+
Odpověď:Řeš nerovnici $J \cdot q^n > K$ . Vyděl obě strany číslem $J$ , zlogaritmuj a vyděl $\log q$ : $n > \frac{\log (K : J)}{\log q}$ . Výsledek zaokrouhli nahoru na celé číslo, protože rok musí být celý. U maturity smíš v didaktickém testu použít kalkulačku, takže stačí zadat logaritmy nebo zkusit několik mocnin za sebou.
5.Jak se do složeného úročení započítá daň z úroků?+
Odpověď:Zadání úlohy musí říct, že se daň počítá. Odvádí-li se z úroku například 15 %, zůstane ti 85 % úroku a čistá úroková míra je $0{,}85 \cdot p$ . Úročitel pak je $1 +{}$ $0{,}85 \cdot \frac{p}{100}$ . Nezmiňuje-li zadání daň, uvažuj čisté úročení bez ní.
6.Co z tohoto tématu je u přijímaček?+
Odpověď:Specifikace přijímaček geometrickou posloupnost ani složené úročení nejmenuje. Z finanční matematiky uvádí úrok z vkladu za jeden rok a daň z úroku. Úrok za více let je pro tebe u přijímaček jen opakované zdražení o stejné procento; vzorce pro geometrickou posloupnost uvádí až katalog k maturitě.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Geometrická posloupnost a složené úročení: kvocient, n-tý člen, součet a spoření

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Poznej geometrickou posloupnost

2.Zapiš, co znáš

3.Najdi kvocient

4.Dosaď do vzorce

5.Počet let hledej nerovnicí

6.Zkontroluj zkouškou

Řešené příklady

1.Člen a součet z prvních členů

2.Dvě možné posloupnosti

3.Spoření na tři roky

Úloha ve formátu maturity

Toto téma u přijímaček

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje