Jak poznám, že rovnice nemá řešení, nebo jich má nekonečně mnoho?

Po sloučení a převedení členů s neznámou na jednu stranu zmizí $x$. Pokud zbyde nepravdivá rovnost jako $-6 = 4$, rovnice nemá řešení. Pokud zbyde pravdivá, třeba $4 = 4$, platí pro každé $x$ a řešení je nekonečně mnoho.

Čím mám rovnici se zlomky vynásobit?

Nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů. U jmenovatelů $4$ a $6$ je to $12$, nikoli $24$, i když i $24$ by vedlo k výsledku. Menší číslo znamená menší čísla v dalším počítání a menší šanci na chybu.

Mám použít dosazovací, nebo sčítací metodu?

Je to na tobě. Dosazovací se hodí, když má některá neznámá koeficient $1$ nebo $-1$ a dá se snadno vyjádřit. Sčítací je rychlejší, když koeficienty stačí vynásobit tak, aby se jedna neznámá po sečtení vyrušila. Obě dají totéž řešení.

Co se u soustav změnilo ve specifikaci pro školní rok 2026/2027?

Ve specifikaci už není požadavek řešit soustavu dosazovací nebo sčítací metodou. Řešit soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými tam zůstává a metodu si volíš sám. Znění změny je ve shrnutí, které je mezi zdroji.

Jak se dělá zkouška u soustavy?

Obě čísla dosaď do každé z původních rovnic. Teprve když platí obě rovnosti, je dvojice $[x; y]$ řešením. Dosazení jen do jedné rovnice chybu v té druhé neodhalí.

Co k lineárním rovnicím přidává maturita?

Katalog maturity jmenuje rovnice s neznámou ve jmenovateli. U maturity tak ke každému řešení patří podmínky a zkouška, že kořen jmenovatele nevynuluje. Postup ekvivalentních úprav je jinak stejný.

Jak z textové úlohy sestavím rovnici?

Označ neznámou, přepiš každou větu úlohy jako vztah mezi čísly a dej do rovnosti dvě vyjádření téže veličiny. Postupy pro pohyb a společnou práci najdeš na stránce o slovních úlohách.

Přijímačky 2027 · Česko · Matematika

Lineární rovnice a soustavy rovnic: ekvivalentní úpravy, dosazovací a sčítací metoda

Lineární rovnice je rovnice, ve které je neznámá jen v první mocnině, a soustava dvou rovnic hledá dvojici čísel, která vyhovuje oběma najednou. K přijímačkám z matematiky tu najdeš ekvivalentní úpravy, rovnice se zlomky a se závorkami, řešení soustavy a zkoušku. K tomu řešené příklady a úlohy ve formátu přijímaček, které si hned zkontroluješ.

Přijímačky: specifikace, oblast 1 „Číslo a proměnná“; v našich cvičných testech úlohy 4.1 a 4.2. Maturita: katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ (orientačně 12–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 1–5 a 7.

Specifikace požadavků

Přijímačky

Specifikace, část C1, oblast 1 „Číslo a proměnná“

Řeší lineární rovnice pomocí ekvivalentních úprav a provádí zkoušku správnosti řešení rovnice, rozhodne, má-li rovnice jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá řešení, sestaví rovnici ze zadaných údajů slovní úlohy.
Řeší soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými, řeší slovní úlohy z praxe, provede rozbor úlohy, pro řešení zvolí známý algoritmus nebo řeší úlohu úsudkem, provede zkoušku správnosti řešení.
Matematizuje reálné situace užitím rovnic, při řešení úloh označí neznámou, sestaví a vyřeší rovnici, posoudí reálnost výsledku a ověří ho zkouškou do zadání.

Test z matematiky u jednotné přijímací zkoušky má 16 úloh (11 otevřených a 5 uzavřených), trvá 70 minut a dá se v něm získat 50 bodů. Kalkulačka ani tabulky povolené nejsou, jen psací a rýsovací potřeby.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká specifikace přijímaček a katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Přijímačky
Specifikace, část C1, oblast 1 „Číslo a proměnná“
- Řeší lineární rovnice pomocí ekvivalentních úprav a provádí zkoušku správnosti řešení rovnice, rozhodne, má-li rovnice jedno řešení, nekonečně mnoho řešení, nebo nemá řešení, sestaví rovnici ze zadaných údajů slovní úlohy.
- Řeší soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými, řeší slovní úlohy z praxe, provede rozbor úlohy, pro řešení zvolí známý algoritmus nebo řeší úlohu úsudkem, provede zkoušku správnosti řešení.
- Matematizuje reálné situace užitím rovnic, při řešení úloh označí neznámou, sestaví a vyřeší rovnici, posoudí reálnost výsledku a ověří ho zkouškou do zadání.
Formy úloh v našich testech
výsledek, postup řešení
Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není
- „Požadavek na řešení soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými zůstává, nově však není předepsána konkrétní metoda řešení – vypouští se požadavek na řešení dosazovací nebo sčítací metodou.“
V našich cvičných testech: úlohy 4.1 a 4.2.
Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma
Maturita
Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.1 Algebraické rovnice a nerovnice
- Žák dovede užít ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice.
Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy
- Žák dovede řešit lineární rovnice o jedné neznámé.
- Žák dovede řešit početně soustavy lineárních rovnic.
Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli
- Žák dovede řešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli.
Formy úloh v našich testech
výsledek, postup řešení
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ orientačně 12–20 % testu.
V našich cvičných testech: podle losu úlohy 1–5 a 7.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Ekvivalentní úprava nemění množinu řešení: k oběma stranám přičti nebo odečti totéž číslo, obě strany vynásob nebo vyděl stejným číslem různým od nuly. Kořen rovnice je číslo, které po dosazení splní rovnost.
Lineární rovnice má tři možné konce. Z $2x = 8$ vyjde jeden kořen $x = 4$ . Rovnice $0 \cdot x = 5$ nemá řešení a rovnice $0 \cdot x = 0$ jich má nekonečně mnoho, protože platí pro každé $x$ .
Rovnici se zlomky vynásob nejmenším společným násobkem jmenovatelů. Vynásobit musíš každý člen, i ten bez zlomku: $\frac{x}{2} + 1 = 3$ po vynásobení dvěma je $x + 2 = 6$ .
Před závorkou s minusem změň znaménka všech členů v ní. Po úpravě převeď členy s neznámou na jednu stranu, čísla na druhou a vyděl koeficientem u neznámé.
Řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých je dvojice $[x; y]$ . Při sčítací metodě rovnice vynásobíš tak, aby se po sečtení jedna neznámá vyrušila; při dosazovací vyjádříš neznámou z jedné rovnice a dosadíš ji do druhé.
Ve specifikaci pro školní rok 2026/2027 už není požadavek na řešení soustavy dosazovací nebo sčítací metodou. Řešit soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými ve specifikaci zůstává, způsob si tedy zvolíš sám.
Zkouška je součást řešení: kořen dosaď do původní rovnice, dvojici do obou rovnic soustavy.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Zbav se zlomků a závorek
Vynásob rovnici nejmenším společným násobkem jmenovatelů, potom roznásob závorky. Hlídej minus před závorkou a před zlomkem.
2.Sluč a převeď
Na každé straně sluč podobné členy. Členy s neznámou převeď na jednu stranu, čísla na druhou.
3.Vyděl koeficientem
Dělíš číslem u neznámé. Když vyjde $0 \cdot x =$ nenulové číslo, rovnice nemá řešení; když $0 \cdot x = 0$ , má jich nekonečně mnoho.
4.U soustavy zvol metodu
Má-li jedna rovnice neznámou s koeficientem $1$ , hodí se dosazování. Jinak rovnice vynásob tak, aby se u jedné neznámé objevila čísla opačná, a sečti je.
5.Vypočti druhou neznámou a zkontroluj
Dosaď do jedné z rovnic a dopočti druhou neznámou. Pak oba výsledky dosaď do obou původních rovnic.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Rovnice se zlomky
Řeš rovnici $\frac{x + 5}{3} -{}$ $\frac{x - 1}{2} ={}$ $1$ .
2.Soustava dosazovací metodou
Řeš soustavu $y = 2x - 5$ a $3x + 2y = 11$ .
3.Soustava sčítací metodou
Řeš soustavu $2x + 3y = 12$ a $5x - 2y = 11$ .
4.Rovnice bez řešení
Řeš rovnici $3(x - 2) = 3x + 4$ .

Úloha ve formátu přijímaček

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu přijímačekPřijímačky

Postup řešení

Úloha 1.

Řešte rovnici

4(x - 6) - 5(4 - x) ={}

2(x + 3) - 15

. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Úloha ve formátu přijímačekPřijímačky

Postup řešení

Úloha 2.

Řešte soustavu rovnic:

\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{2} ={}

0

x - y = 18

Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u maturity

co se mění

Katalog maturity řadí lineární rovnice a jejich soustavy do podokruhu Lineární rovnice a jejich soustavy a samostatně jmenuje podokruh Rovnice s neznámou ve jmenovateli. U maturity proto před každým řešením napíšeš podmínky: jmenovatel se nesmí rovnat nule. Potom rovnici vynásobíš společným jmenovatelem, vyřešíš ji a nakonec ověříš, že kořen podmínky splňuje.

Kořen, který některý jmenovatel vynuluje, se zahazuje, i když vznikl správným výpočtem, protože výraz s nulovým jmenovatelem nemá smysl. Úloha níže je ve formátu maturity, její řešení je naše a ukazuje všechny tři kroky.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 3.

Řešte v oboru

\mathbb{R}

rovnici

-\frac{8}{x + 2} ={}

-\frac{6}{x}

. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Přijímačky

Úloha 4.

Řešte rovnici

\dfrac{x + 15}{2} ={}

\dfrac{x + 21}{4}

. Zapište její kořen.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 5.

Řešte rovnici

\dfrac{x - 13}{5} ={}

\dfrac{x - 16}{6}

. Zapište její kořen.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 6.

Řešte v oboru

\mathbb{R}

rovnici

\frac{x + 10}{4} + \frac{x}{3} ={}

-1

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 7.

Řešte v oboru

\mathbb{R}

rovnici

\frac{x + 4}{6} + \frac{x}{2} ={}

-2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Vynásobíš společným jmenovatelem jen zlomky a člen bez zlomku necháš: z $\frac{x}{2} + 1 = 3$ pak vyjde $x + 1 = 6$ místo $x + 2 = 6$ .
Zapomeneš, že minus před zlomkem nebo závorkou platí pro celý čitatel: $-\frac{x - 1}{2}$ po vynásobení dvěma je $-(x - 1) = -x + 1$ , ne $-x - 1$ .
Z rovnice $-x = 7$ napíšeš $x = 7$ . Musíš vydělit číslem $-1$ , tedy $x = -7$ .
U soustavy vypočítáš jen $x$ a skončíš. Řešením je dvojice, dopočti i $y$ .
U maturity vyřešíš rovnici s neznámou ve jmenovateli a nezkontroluješ podmínky. Kořen, který jmenovatel vynuluje, není řešením.

Zapamatuj si

Ekvivalentní úprava: totéž na obě strany, násobit nebo dělit jen nenulovým číslem.
Vynásob každý člen společným jmenovatelem.
Minus před závorkou mění znaménka všech členů.
Rovnice: jedno řešení, žádné, nebo nekonečně mnoho.
Soustava má řešení ve tvaru dvojice; zkouška v obou rovnicích.

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, že rovnice nemá řešení, nebo jich má nekonečně mnoho?+
Odpověď:Po sloučení a převedení členů s neznámou na jednu stranu zmizí $x$ . Pokud zbyde nepravdivá rovnost jako $-6 = 4$ , rovnice nemá řešení. Pokud zbyde pravdivá, třeba $4 = 4$ , platí pro každé $x$ a řešení je nekonečně mnoho.
2.Čím mám rovnici se zlomky vynásobit?+
Odpověď:Nejmenším společným násobkem všech jmenovatelů. U jmenovatelů $4$ a $6$ je to $12$ , nikoli $24$ , i když i $24$ by vedlo k výsledku. Menší číslo znamená menší čísla v dalším počítání a menší šanci na chybu.
3.Mám použít dosazovací, nebo sčítací metodu?+
Odpověď:Je to na tobě. Dosazovací se hodí, když má některá neznámá koeficient $1$ nebo $-1$ a dá se snadno vyjádřit. Sčítací je rychlejší, když koeficienty stačí vynásobit tak, aby se jedna neznámá po sečtení vyrušila. Obě dají totéž řešení.
4.Co se u soustav změnilo ve specifikaci pro školní rok 2026/2027?+
Odpověď:Ve specifikaci už není požadavek řešit soustavu dosazovací nebo sčítací metodou. Řešit soustavu dvou rovnic se dvěma neznámými tam zůstává a metodu si volíš sám. Znění změny je ve shrnutí, které je mezi zdroji.
5.Jak se dělá zkouška u soustavy?+
Odpověď:Obě čísla dosaď do každé z původních rovnic. Teprve když platí obě rovnosti, je dvojice $[x; y]$ řešením. Dosazení jen do jedné rovnice chybu v té druhé neodhalí.
6.Co k lineárním rovnicím přidává maturita?+
Odpověď:Katalog maturity jmenuje rovnice s neznámou ve jmenovateli. U maturity tak ke každému řešení patří podmínky a zkouška, že kořen jmenovatele nevynuluje. Postup ekvivalentních úprav je jinak stejný.
7.Jak z textové úlohy sestavím rovnici?+
Odpověď:Označ neznámou, přepiš každou větu úlohy jako vztah mezi čísly a dej do rovnosti dvě vyjádření téže veličiny. Postupy pro pohyb a společnou práci najdeš na stránce o slovních úlohách.

Souvisí s tématem

Všechna témata přijímaček z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027 a z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 16 úloh ve formátu přijímaček, 70 minut

Vyřešit zdarma

Lineární rovnice a soustavy rovnic: ekvivalentní úpravy, dosazovací a sčítací metoda

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Zbav se zlomků a závorek

2.Sluč a převeď

3.Vyděl koeficientem

4.U soustavy zvol metodu

5.Vypočti druhou neznámou a zkontroluj

Řešené příklady

1.Rovnice se zlomky

2.Soustava dosazovací metodou

3.Soustava sčítací metodou

4.Rovnice bez řešení

Úloha ve formátu přijímaček

Toto téma u maturity

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje