Jak poznám, jestli jde o variace, nebo kombinace?

Rozhoduje jedna otázka: záleží u výběru na pořadí? Určuješ-li kapitána a jeho zástupce, prohození osob dá jiný výsledek — variace. Vybíráš-li dva brankáře, na pořadí nezáleží — kombinace. Variací $k$-té třídy je přesně $k!$-krát víc než kombinací téže třídy.

Co je faktoriál a proč platí $0! = 1$?

Faktoriál $n!$ je součin všech přirozených čísel od 1 do $n$ a udává počet způsobů, jak seřadit $n$ prvků. Pro $n = 0$ se dohodlo $0! = 1$: prázdnou množinu lze seřadit jediným způsobem a díky tomu platí vzorce pro variace a kombinace i pro krajní případy.

Jak vypočtu kombinační číslo zkrácením zlomku?

Vzorec $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ si zkrať: čitatel napiš jako součin $k$ čísel $n \cdot (n - 1) \cdots$ a vyděl ho číslem $k!$. Například $\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$. Pomůže také symetrie: $\binom{9}{4} = \binom{9}{5}$.

Kdy je výhodné počítat pravděpodobnost přes opačný jev?

Hodí se u slov „aspoň jeden“, „alespoň jednou“ a „nejvýše“, kdy je příznivých případů mnoho a nepříznivých málo. Spočítáš pravděpodobnost opačného jevu („žádný“) a odečteš ji od jedničky.

Zapisuje se pravděpodobnost zlomkem, nebo desetinným číslem?

Řiď se zadáním. Chce-li úloha výsledek zlomkem, zkrať ho na základní tvar; chce-li ho desetinně nebo v procentech, převeď. Zlomek $\frac{1}{4}$ je totéž co $0{,}25$ i 25 %. Zlomek v základním tvaru je přesný, nic se v něm nezaokrouhluje.

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Kombinatorika a pravděpodobnost: permutace, variace, kombinace, faktoriál a pravděpodobnost jevu

Kombinatorika počítá, kolika způsoby lze něco vybrat nebo seřadit, a pravděpodobnost z toho dělá podíl příznivých a všech možností. Obojí vychází z jedné otázky: záleží na pořadí, nebo ne? K maturitě z matematiky tu najdeš vzorce pro permutace, variace a kombinace, postup krok za krokem, řešené příklady, úlohu ve formátu didaktického testu a úlohy s okamžitou kontrolou. Co z tématu uvádí specifikace přijímaček, shrnuje samostatná část.

Maturita: katalog, okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“ (orientačně 4–14 % testu); v našich cvičných testech úloha 10 a podle losu úlohy 16–21. Přijímačky: specifikace, oblast 4 „Nestandardní aplikační úlohy a problémy“; v našich cvičných testech na toto téma samostatná úloha není.

Katalog požadavků

Maturita

Katalog, okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“, 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti

Žák dovede užít základní kombinatorická pravidla.
Žák dovede rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích.
Žák dovede počítat s faktoriály a kombinačními čísly.
Žák dovede užít s porozuměním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opačný jev, nemožný jev a jistý jev.
Žák dovede určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příznivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodobnost náhodného jevu.

Didaktický test z matematiky má 25 úloh (14 otevřených a 11 uzavřených), trvá 135 minut, maximum je 50 bodů a k úspěchu je potřeba alespoň 17. Povolené jsou Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, kalkulačka bez grafického režimu, řešení rovnic a úprav výrazů a rýsovací potřeby.

Test z matematiky u jednotné přijímací zkoušky má 16 úloh (11 otevřených a 5 uzavřených), trvá 70 minut a dá se v něm získat 50 bodů. Kalkulačka ani tabulky povolené nejsou, jen psací a rýsovací potřeby.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT

Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

Maturita
Katalog, okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“, 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti
- Žák dovede užít základní kombinatorická pravidla.
- Žák dovede rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích.
- Žák dovede počítat s faktoriály a kombinačními čísly.
- Žák dovede užít s porozuměním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opačný jev, nemožný jev a jistý jev.
- Žák dovede určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příznivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodobnost náhodného jevu.
Formy úloh v našich testech
více výsledků, výběr z pěti možností
Váha v testu
Podle katalogu (část C) tvoří okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“ orientačně 4–14 % testu.
V našich cvičných testech: úloha 10 a podle losu úlohy 16–21.
Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma
Přijímačky
Specifikace, část C1, oblast 4 „Nestandardní aplikační úlohy a problémy“
- Řeší jednoduché strategické a kombinatorické úlohy bez použití kombinatorických vzorců.
V našich cvičných testech: na toto téma samostatná úloha není.
Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.
Všechna témata této zkoušky Cvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát

Pravidlo součinu: lze-li první věc vybrat $m$ způsoby a pro každý z nich druhou věc $n$ způsoby, jsou celkem $m \cdot n$ možnosti. Pravidlo součtu: vylučují-li se dvě skupiny možností, jejich počty se sčítají.
Faktoriál: $n! ={}$ $n \cdot (n - 1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ a $0! = 1$ . Počet permutací — seřazení všech $n$ prvků — je $P(n) = n!$ .
Variace bez opakování ( $k$ prvků z $n$ , záleží na pořadí): $V(k, n) ={}$ $\frac{n!}{(n - k)!}$ . Variace s opakováním ( $k$ míst, na každém $n$ možností): $n^k$ .
Kombinace bez opakování ( $k$ prvků z $n$ , na pořadí nezáleží): $K(k, n) ={}$ $\binom{n}{k} ={}$ $\frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ . Platí $\binom{n}{k} ={}$ $\binom{n}{n - k}$ .
Pravděpodobnost jevu $A$ při stejně možných výsledcích: $P(A) = \frac{m}{n}$ , kde $m$ je počet výsledků příznivých jevu a $n$ počet všech výsledků. Vždy $0 \leq P(A) \leq 1$ .
Opačný jev $A^{\prime}$ nastane, když nenastane $A$ : $P(A^{\prime}) ={}$ $1 - P(A)$ . Jistý jev má pravděpodobnost 1, nemožný 0.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

1.Zjisti, co se vybírá
Přečti, z čeho a kolik prvků se vybírá, a zda se prvky smějí opakovat. Napiš si $n$ (z kolika) a $k$ (kolik).
2.Rozhodni, zda záleží na pořadí
Záleží-li na pořadí (pořadí v cíli, cifry čísla), jde o variace nebo permutace. Nezáleží-li (skupina, členové družstva), jde o kombinace.
3.Vyber vzorec nebo pravidlo součinu
Jednoduchou úlohu zvládneš násobením možností místo po místě. Má-li úloha podmínku (číslo je sudé, na prvním místě není nula), začni od místa s omezením.
4.U pravděpodobnosti spočítej obojí
Stejnou metodou urči počet všech výsledků $n$ a počet příznivých $m$ . Pak $P = \frac{m}{n}$ ; zlomek zkrať a podle zadání případně zapiš desetinně.
5.Použij opačný jev, kdy se hodí
U otázek „aspoň jeden“ je často snazší spočítat „žádný“ a odečíst: $P = 1 - P(A^{\prime})$ .
6.Zkontroluj rozumnost
Počet možností je přirozené číslo, pravděpodobnost leží mezi 0 a 1. Zkus podobnou úlohu s malými čísly, kde možnosti vypíšeš všechny.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

1.Stupně vítězů, nebo štafeta?
Na závodě běží 8 závodníků. Kolika způsoby mohou obsadit stupně vítězů, tedy první tři místa? Kolika způsoby lze z nich vybrat tříčlennou štafetu?
2.Aspoň jedna modrá kulička
V krabici je 6 červených a 4 modré kuličky. Vytáhneš najednou dvě kuličky. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna z nich je modrá?
3.Čtyřmístný kód
Kód zámku tvoří čtyři číslice 0 až 9. Kolik je všech kódů, kolik z nich má všechny číslice různé a kolik z nich má aspoň jednu číslici opakovanou?

Úloha ve formátu maturity

naše úloha

Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.

Úloha ve formátu maturityMaturita

Více výsledků

Úloha 1.

Z cifer 0, 1, 2, 4, 8 a 9 sestavujeme trojmístná přirozená čísla, v jejichž zápisu se žádná cifra neopakuje. 10.1 Kolik takových čísel lze sestavit? 10.2 Kolik z nich je sudých?

10.110.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u přijímaček

co se mění

Specifikace přijímaček k tomuto tématu říká v oblasti 4 jedinou větu: žák „řeší jednoduché strategické a kombinatorické úlohy bez použití kombinatorických vzorců“. Faktoriál, kombinační číslo ani pravděpodobnost jevu specifikace nejmenuje, to jsou pojmy maturity.

Úlohy z kombinatoriky u přijímaček proto řeš úvahou, ne dosazením. Vypisuj možnosti systematicky (tabulkou nebo stromem), násobením možností místo po místě, jako v úloze o kódu zámku výše, a hlídej, zda záleží na pořadí. Tím si základ připravíš i pro vzorce u maturity.

Vyzkoušej si to

kontrola hned

Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.

Maturita

Úloha 2.

Hodíme současně dvěma běžnými hracími kostkami (na každé padne s toutéž pravděpodobností jedno z čísel 1 až 6). Výsledky zapište zlomkem. 10.1 Určete pravděpodobnost, že součet čísel, která padnou, bude 3. 10.2 Určete pravděpodobnost, že na obou kostkách padne číslo větší než 4.

10.110.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 3.

Ve třídě je 28 žáků. 10.1 Kolika způsoby lze z nich vybrat trojici žáků, kteří budou třídu reprezentovat v soutěži? 10.2 Kolika způsoby lze z nich zvolit předsedu a místopředsedu třídy?

10.110.2

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Turnaje se účastní 6 družstev. Každé družstvo se s každým jiným družstvem utká právě dvakrát (jednou na vlastním hřišti a jednou na hřišti soupeře). Kolik zápasů se na turnaji odehraje?

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body

Zaměníš variace a kombinace. Předtím, než sáhneš po vzorci, se zeptej: „Změní se výsledek, když prvky prohodím?“ Ano znamená variace, ne znamená kombinace.
Při výpočtu kombinací zapomeneš dělit číslem $k!$ . Počet seřazených výběrů $n \cdot (n - 1) \cdots (n - k + 1)$ je $k!$ -krát větší než počet skupin.
Napíšeš $0! = 0$ . Správně je $0! = 1$ , protože prázdnou skupinu lze „seřadit“ jediným způsobem; bez toho by nesedělo $\binom{n}{n} = 1$ .
Pravděpodobnost počítáš jako podíl příznivých a nepříznivých výsledků. Dělí se vždy počtem všech výsledků: $P = \frac{m}{n}$ , kde $n$ zahrnuje i příznivé.
U podmínky „aspoň jeden“ počítáš dlouho všechny příznivé případy. Rychlejší je opačný jev „žádný“ a pak $1 - P(A^{\prime})$ .

Zapamatuj si

Záleží na pořadí? Ano: variace, permutace. Ne: kombinace.
$P(n) = n!$ , $V(k, n) ={}$ $\frac{n!}{(n - k)!}$ , $K(k, n) ={}$ $\binom{n}{k} ={}$ $\frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ .
Variace s opakováním: $n^k$ .
$P(A) = \frac{m}{n}$ , vždy $0 \leq P(A) \leq 1$ .
$P(A^{\prime}) ={}$ $1 - P(A)$ .

Otázky a odpovědi

1.Jak poznám, jestli jde o variace, nebo kombinace?+
Odpověď:Rozhoduje jedna otázka: záleží u výběru na pořadí? Určuješ-li kapitána a jeho zástupce, prohození osob dá jiný výsledek — variace. Vybíráš-li dva brankáře, na pořadí nezáleží — kombinace. Variací $k$ -té třídy je přesně $k!$ -krát víc než kombinací téže třídy.
2.Co je faktoriál a proč platí $0! = 1$ ?+
Odpověď:Faktoriál $n!$ je součin všech přirozených čísel od 1 do $n$ a udává počet způsobů, jak seřadit $n$ prvků. Pro $n = 0$ se dohodlo $0! = 1$ : prázdnou množinu lze seřadit jediným způsobem a díky tomu platí vzorce pro variace a kombinace i pro krajní případy.
3.Jak vypočtu kombinační číslo zkrácením zlomku?+
Odpověď:Vzorec $\binom{n}{k} ={}$ $\frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ si zkrať: čitatel napiš jako součin $k$ čísel $n \cdot (n - 1) \cdots$ a vyděl ho číslem $k!$ . Například $\binom{9}{4} ={}$ $\frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} ={}$ $126$ . Pomůže také symetrie: $\binom{9}{4} ={}$ $\binom{9}{5}$ .
4.Kdy je výhodné počítat pravděpodobnost přes opačný jev?+
Odpověď:Hodí se u slov „aspoň jeden“, „alespoň jednou“ a „nejvýše“, kdy je příznivých případů mnoho a nepříznivých málo. Spočítáš pravděpodobnost opačného jevu („žádný“) a odečteš ji od jedničky.
5.Co z toho je u přijímaček?+
Odpověď:Specifikace přijímaček počítá jen s „jednoduchými strategickými a kombinatorickými úlohami bez použití kombinatorických vzorců“. Faktoriál, kombinační číslo a pravděpodobnost nejmenuje. U přijímaček se tedy úlohy řeší úvahou, výčtem možností nebo pravidlem součinu.
6.Zapisuje se pravděpodobnost zlomkem, nebo desetinným číslem?+
Odpověď:Řiď se zadáním. Chce-li úloha výsledek zlomkem, zkrať ho na základní tvar; chce-li ho desetinně nebo v procentech, převeď. Zlomek $\frac{1}{4}$ je totéž co $0{,}25$ i 25 %. Zlomek v základním tvaru je přesný, nic se v něm nezaokrouhluje.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut

Vyřešit zdarma

Kombinatorika a pravděpodobnost: permutace, variace, kombinace, faktoriál a pravděpodobnost jevu

Kde se téma zkouší

To hlavní

Jak na to: krok za krokem

1.Zjisti, co se vybírá

2.Rozhodni, zda záleží na pořadí

3.Vyber vzorec nebo pravidlo součinu

4.U pravděpodobnosti spočítej obojí

5.Použij opačný jev, kdy se hodí

6.Zkontroluj rozumnost

Řešené příklady

1.Stupně vítězů, nebo štafeta?

2.Aspoň jedna modrá kulička

3.Čtyřmístný kód

Úloha ve formátu maturity

Toto téma u přijímaček

Vyzkoušej si to

Časté chyby

Zapamatuj si

Otázky a odpovědi

Souvisí s tématem

Zdroje