Kleksa

Maturita 2027 · Česko · Matematika

Medián, modus, aritmetický průměr a směrodatná odchylka: statistika k maturitě

Statistika popisuje soubor dat několika čísly: kolikrát se hodnota vyskytuje (četnost), kolik je v průměru (aritmetický průměr), která hodnota stojí uprostřed (medián), která se vyskytuje nejvíckrát (modus) a jak jsou data rozptýlená (směrodatná odchylka). K maturitě z matematiky tu najdeš definice, postup krok za krokem, řešené příklady, úlohu ve formátu didaktického testu a úlohy s okamžitou kontrolou. Co z tématu uvádí specifikace přijímaček, shrnuje samostatná část.

Maturita: katalog, okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“ (orientačně 4–14 % testu); v našich cvičných testech podle losu úlohy 14 a 15. Přijímačky: specifikace, oblast 2 „Závislosti, vztahy a práce s daty“; v našich cvičných testech podle losu úloha 11.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT
Co o tématu říká katalog maturity a specifikace přijímaček a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

  • Maturita

    Katalog, okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“, 9.2 Základní poznatky ze statistiky

    • Žák dovede užít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvětlit.
    • Žák dovede vypočítat četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky znázornit rozdělení četností.
    • Žák dovede určit charakteristiky polohy (aritmetický průměr, medián, modus, percentil) a variability (rozptyl a směrodatná odchylka).
    • Žák dovede vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách.

    Formy úloh v našich testech

    postup řešení, ano/ne

    Váha v testu

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 9 „Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika“ orientačně 4–14 % testu.

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 14 a 15.

    Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

  • Přijímačky

    Specifikace, část C1, oblast 2 „Závislosti, vztahy a práce s daty“

    • Používá s porozuměním základní statistické pojmy (statistický soubor, statistický znak, statistické šetření), určí četnost, aritmetický průměr, používá výsledky jednoduchého statistického šetření, zvolí vhodnou tabulku a vhodný diagram k jejich znázornění, k reprezentaci dat volí vhodný typ grafu.

    Formy úloh v našich testech

    ano/ne

    V našich cvičných testech: podle losu úloha 11.

    Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát
  • Statistický soubor je zkoumaná skupina, jeho rozsah nn je počet jednotek. Znak je zkoumaná vlastnost: kvalitativní (barva očí) nebo kvantitativní (známka, výška). Četnost nin_i hodnoty říká, kolikrát se vyskytuje; relativní četnost nin\frac{n_i}{n} je její podíl na souboru, často v procentech.
  • Aritmetický průměr: xˉ=\bar{x} ={}x1+x2+⋯+xnn \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. Z tabulky četností: xˉ=\bar{x} ={}n1x1+n2x2+⋯+nkxkn \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n} — hodnoty se vážou svými četnostmi.
  • Medián je prostřední hodnota souboru seřazeného podle velikosti; při sudém rozsahu je to průměr dvou prostředních hodnot. Modus je hodnota s největší četností.
  • Percentil: pp-tý percentil je hodnota, pro kterou je přibližně p %p\,\% hodnot seřazeného souboru menších nebo rovných a zbytek větších nebo rovných. Medián je padesátý percentil.
  • Rozptyl s2=s^2 ={}(x1−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2n \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} je průměr čtverců odchylek od průměru, směrodatná odchylka s=s2s = \sqrt{s^2} má stejnou jednotku jako data. Čím je větší, tím jsou data rozptýlenější.
  • Data v grafech a tabulkách: před počítáním si přečti osy, jednotky a měřítko a zapiš si hodnoty do tabulky. Sloupcový diagram ukazuje četnosti, kruhový podíly.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

  1. 1.Urči rozsah souboru

    Spočítej, kolik je hodnot celkem. U tabulky četností je rozsah součet všech četností.

  2. 2.Seřaď hodnoty

    Pro medián hodnoty seřaď podle velikosti, jinak prostřední hodnotu nenajdeš. Modus je hodnota s největší četností — v tabulce ji vidíš hned.

  3. 3.Spočítej průměr

    Sečti všechny hodnoty a vyděl rozsahem. U tabulky nejdřív vynásob každou hodnotu její četností a pak teprve sčítej. Průměr skupin různé velikosti vždy vážíme počtem jednotek.

  4. 4.U rozptylu vyjdi z průměru

    Odečti průměr od každé hodnoty, odchylky umocni na druhou a vyděl rozsahem. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu.

  5. 5.Zkontroluj rozumnost

    Průměr leží mezi nejmenší a největší hodnotou, modus je hodnota ze souboru a četnosti dávají dohromady rozsah. Rozptyl je nezáporný.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

  1. 1.Průměr, medián a modus z tabulky četností

    Hráč dal v 20 zápasech tolik gólů: žádný gól v 6 zápasech, jeden gól v 7 zápasech, dva góly ve 4 zápasech, tři góly ve 2 zápasech a čtyři góly v jednom zápase. Urči průměrný počet gólů na zápas, medián, modus a relativní četnost zápasů s jedním gólem.

  2. 2.Rozptyl a směrodatná odchylka

    Soubor má hodnoty 4,6,6,8,114, 6, 6, 8, 11. Urči aritmetický průměr, medián, modus, rozptyl a směrodatnou odchylku (zaokrouhli na setiny).

  3. 3.Chybějící hodnota ze změny průměru

    Průměrný věk osmi hráčů družstva je 24 let. Po příchodu dalšího hráče se průměrný věk zvýšil na 25 let. Kolik let má nový hráč?

Úloha ve formátu maturity

naše úloha
Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.
Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 1.

Test, ve kterém bylo možné získat nejvýše 50 bodů, psali žáci dvou tříd. Ve třídě A psalo test 27 žáků a jejich průměrný počet bodů byl 31, ve třídě B psalo test 23 žáků s průměrem 28 bodů. 14.1 Vypočtěte průměrný počet bodů všech žáků obou tříd. Výsledek zaokrouhlete na desetiny. 14.2 Ve třídě A test úspěšně složilo 15 žáků. Ze všech žáků obou tříd test úspěšně složilo 48 %. Kolik procent žáků třídy B test úspěšně složilo? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta. Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u přijímaček

co se mění
Specifikace přijímaček uvádí ve statistice základy, v oblasti 2 „Závislosti, vztahy a práce s daty“: žák „používá s porozuměním základní statistické pojmy (statistický soubor, statistický znak, statistické šetření), určí četnost, aritmetický průměr, používá výsledky jednoduchého statistického šetření, zvolí vhodnou tabulku a vhodný diagram k jejich znázornění“.
Medián, modus, rozptyl a směrodatnou odchylku specifikace nejmenuje; to jsou pojmy maturity. U přijímaček se proto soustřeď na četnost, aritmetický průměr, čtení hodnot z diagramu a převod mezi tabulkou a diagramem. Příklad takové úlohy je níže.
Úloha ve formátu přijímačekPřijímačky

Ano/ne

Úloha 2.

Tabulka uvádí, kolik bodů získalo pět žáků v testu.
ŽákKláraBáraEvaJakubFilip
Počet bodů11185511
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Aritmetický průměr počtu bodů všech pěti žáků je 10.
Nejvyšší a nejnižší počet bodů se liší o 11.
Více než polovina z těchto žáků získala nadprůměrný počet bodů.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned
Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.
Maturita

Úloha 3.

Diagram ukazuje, kolik žáků jedné třídy dostalo z písemné práce jednotlivé známky. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
123456780známka 1známka 2známka 3známka 4známka 5počet žáků
Modus známek je 4.
Medián známek je 2.
Aritmetický průměr známek je menší než 3,5.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Maturita

Úloha 4.

Diagram ukazuje, kolik žáků jedné třídy dostalo z písemné práce jednotlivé známky. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
123456780známka 1známka 2známka 3známka 4známka 5počet žáků
Modus známek je 1.
Medián známek je 3,5.
Aritmetický průměr známek je větší než 3,3.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 5.

Diagram znázorňuje počet návštěvníků výstavy v jednotlivých dnech jednoho týdne (od pondělí do pátku). Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
10203040506070800PoÚtStČtPápočet návštěvníků
Od pondělí do pátku navštívilo výstavu celkem 310 návštěvníků.
Ve čtvrtek přišlo o 20 % více návštěvníků než v úterý.
Průměrný denní počet návštěvníků byl vyšší než počet návštěvníků ve středu.

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body
  • Průměr z tabulky četností spočítáš jako průměr hodnot v tabulce a ignoruješ četnosti. Hodnota, která se vyskytuje častěji, váží víc: nejdřív ni⋅xin_i \cdot x_i, pak součet a dělení rozsahem.
  • Medián určíš bez seřazení souboru. Prostřední hodnota v zadaném pořadí nemusí být prostřední podle velikosti.
  • Při sudém rozsahu vezmeš za medián jednu z prostředních hodnot. Medián je jejich aritmetický průměr, třeba z 5 a 7 je 6.
  • Za modus uvedeš největší četnost, ne hodnotu. Modus odpovídá na otázku „která hodnota“, ne „kolikrát“.
  • Průměr dvou skupin spočítáš jako průměr jejich průměrů. To platí jen při stejné velikosti skupin; jinak váží počet jednotek.

Zapamatuj si

  • Průměr je součet hodnot dělený rozsahem nn, z tabulky četností xˉ=\bar{x} ={}∑nixin \frac{\sum n_i x_i}{n}.
  • Medián je prostřední hodnota seřazeného souboru, při sudém rozsahu průměr dvou prostředních.
  • Modus je hodnota s největší četností.
  • s2s^2 je průměr čtverců odchylek od průměru, s=s2s = \sqrt{s^2}.
  • Průměry skupin různé velikosti se vážou počtem jednotek.

Otázky a odpovědi

  1. 1.Jaký je rozdíl mezi průměrem, mediánem a modem?+
    Odpověď:Průměr je součet hodnot dělený jejich počtem, medián je prostřední hodnota seřazeného souboru a modus je nejčetnější hodnota. Pro hodnoty 2,3,3,4,182, 3, 3, 4, 18 je průměr 6, medián 3 a modus 3. Každé číslo popisuje soubor jinak, proto u úlohy vždy čti, které chce.
  2. 2.Kdy je medián lepší měřítko než průměr?+
    Odpověď:Medián je odolný proti odlehlým hodnotám. V souboru 2,3,3,4,182, 3, 3, 4, 18 táhne jediná velká hodnota průměr na 6, i když téměř všechny hodnoty jsou kolem 3. Medián 3 typickou hodnotu popisuje lépe. Proto se u příjmů nebo cen domů uvádí často medián.
  3. 3.Jak se určí medián při sudém počtu hodnot?+
    Odpověď:Hodnoty seřaď podle velikosti a vezmi dvě prostřední. Medián je jejich aritmetický průměr. Pro 3,5,8,93, 5, 8, 9 jsou prostřední hodnoty 5 a 8 a medián je 5+82=6,5\frac{5 + 8}{2} = 6{,}5. Při lichém rozsahu je medián přímo prostřední hodnota.
  4. 4.Co říká směrodatná odchylka?+
    Odpověď:Udává, jak daleko jsou hodnoty v průměru od aritmetického průměru, ve stejné jednotce jako data. Malá odchylka znamená, že se hodnoty drží u průměru, velká, že jsou rozptýlené. Soubory 5,5,55, 5, 5 a 1,5,91, 5, 9 mají oba průměr 5, první ale odchylku 0 a druhý velkou.
  5. 5.Jak postupovat, když je zadání v diagramu?+
    Odpověď:Nejdřív si přečti, co je na vodorovné a svislé ose, v jakých jednotkách a jaké je dělení svislé osy. Pak si hodnoty zapiš do tabulky četností a počítej jako z tabulky. Chyby vznikají hlavně při dělení osy po deseti nebo po pěti.
  6. 6.Co z tohoto tématu je u přijímaček?+
    Odpověď:Specifikace přijímaček jmenuje statistický soubor, znak, šetření, četnost, aritmetický průměr a volbu tabulky a diagramu. Medián, modus, rozptyl a směrodatnou odchylku nejmenuje; ty patří k maturitě. U přijímaček procvičuj hlavně průměr a čtení dat z tabulek a diagramů.

Souvisí s tématem

Všechna témata maturity z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky a ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 25 úloh ve formátu didaktického testu, 135 minut