Kleksa

Přijímačky 2027 · Česko · Matematika

Slovní úlohy o pohybu, společné práci a směsích: jak sestavit rovnici a ověřit výsledek

Slovní úloha je rovnice ukrytá v textu: najdeš v něm dvě vyjádření téže veličiny a dáš je do rovnosti. K přijímačkám z matematiky tu najdeš postup, jak zadání zapsat, označit neznámou a výsledek ověřit zkouškou do textu. K tomu úlohy o pohybu, společné práci, směsích a části celku, řešené příklady a úlohy ve formátu přijímaček s kontrolou.

Přijímačky: specifikace, oblasti 1 „Číslo a proměnná“ a 4 „Nestandardní aplikační úlohy a problémy“; v našich cvičných testech podle losu úlohy 5–7. Maturita: katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ (orientačně 12–20 % testu); v našich cvičných testech podle losu úloha 14.

Kde se téma zkouší

podle dokumentů CERMAT
Co o tématu říká specifikace přijímaček a katalog maturity a ve kterých úlohách našich cvičných testů se objevuje.

  • Přijímačky

    Specifikace, část C1, oblast 1 „Číslo a proměnná“

    • Matematizuje reálné situace užitím rovnic, při řešení úloh označí neznámou, sestaví a vyřeší rovnici, posoudí reálnost výsledku a ověří ho zkouškou do zadání.

    Specifikace, část C1, oblast 4 „Nestandardní aplikační úlohy a problémy“

    • Řeší úlohy úsudkem a zapisuje a zdůvodní způsob řešení.

    Formy úloh v našich testech

    výsledek, více výsledků

    V našich cvičných testech: podle losu úlohy 5–7.

    Úlohy našich cvičných testů přijímaček jsme sestavili sami podle specifikace; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

  • Maturita

    Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy

    • Žák dovede užít lineární rovnice a jejich soustavy při řešení slovní úlohy.

    Katalog, okruh 3 „Rovnice a nerovnice“, 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli

    • Žák dovede užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy.

    Formy úloh v našich testech

    postup řešení

    Váha v testu

    Podle katalogu (část C) tvoří okruh 3 „Rovnice a nerovnice“ orientačně 12–20 % testu.

    V našich cvičných testech: podle losu úloha 14.

    Úlohy našich cvičných testů maturity jsme sestavili sami podle katalogu; testy CERMAT tu nejsou.

    Všechna témata této zkouškyCvičný test zdarma

To hlavní

co musíš znát
  • Specifikace chce po tobě: označit neznámou, sestavit a vyřešit rovnici, posoudit reálnost výsledku a ověřit ho zkouškou do zadání. Úlohy smíš řešit i úsudkem, způsob řešení ale zapiš a zdůvodni.
  • Pohyb: dráha je s=v⋅ts = v \cdot t. Pohybují-li se dvě tělesa proti sobě, jejich rychlosti se sčítají; jedou-li stejným směrem, jejich rychlosti se odčítají a rychlejší z nich druhé dohání.
  • Společná práce: místo doby počítej s výkonem, tedy částí práce za jednotku času. Kdo vše zvládne za 20 hodin, udělá za hodinu 120\frac{1}{20} práce. Výkony se sčítají, doby ne.
  • Směsi: množství látky se sčítá. U ceny je to součet hmotnost krát cena u jednotlivých složek, který se rovná hmotnosti celé směsi krát její cena.
  • Část celku: neznámým celkem je xx a každá část je jeho zlomek. Pozor, zda se další část počítá z celku, nebo ze zbytku.
  • Jednotky vždy sjednoť: minuty převeď na hodiny (3030 minut je 0,50{,}5 h), jinak se vzorec s=v⋅ts = v \cdot t rozbije. Výsledek porovnej se zadáním: čas není záporný, počet lidí je celé číslo.

Jak na to: krok za krokem

popořadě

  1. 1.Zapiš si data

    Z textu vypiš každé číslo i s jednotkou a napiš, co znamená. U pohybu pomůže tabulka s rychlostí, časem a dráhou pro každého účastníka.

  2. 2.Označ neznámou

    Zvol ji tak, aby na ni šlo snadno vyjádřit ostatní veličiny. Ne vždy je to přesně to, na co se úloha ptá, ale odpověď z ní nakonec dopočteš.

  3. 3.Najdi rovnost

    Hledej dvě vyjádření téže veličiny: stejná dráha obou těles, celá práce rovná 1, stejné množství látky před a po smíchání.

  4. 4.Vyřeš rovnici

    Postupuj ekvivalentními úpravami: zlomky se zbavíš vynásobením, závorky roznásobíš a neznámou nakonec osamostatníš.

  5. 5.Odpověz na otázku a ověř

    Zkontroluj, že odpovídáš na to, na co se úloha ptá. Dosaď výsledek zpět do textu úlohy, ne jen do rovnice, a posuď, zda dává smysl.

Řešené příklady

Nejdřív zkus příklad vyřešit sám, pak porovnej s řešením.

  1. 1.Pohyb: dohánění

    Marek vyjel z obce na kole rychlostí 12 km/h. O hodinu později vyjela za ním po téže silnici Eva rychlostí 20 km/h. Za jak dlouho po svém výjezdu Marka dožene a kolik kilometrů od obce to bude?

  2. 2.Společná práce

    Truhlář natře plot sám za 20 hodin a jeho pomocník by ho natřel za 30 hodin. Za jak dlouho jej natřou, budou-li pracovat společně?

  3. 3.Směs

    Obchodník smíchal 3 kg oříšků po 100 Kč za kilogram s dražšími oříšky po 180 Kč za kilogram. Kolik kilogramů dražších oříšků přidal, jestliže kilogram směsi stojí 150 Kč?

  4. 4.Obvod obdélníku

    Obdélník má obvod 46 cm. Delší strana je o 5 cm delší než kratší. Urči délky stran.

Úloha ve formátu přijímaček

naše úloha
Úloha v podobě, v jaké ji uvidíš v testu. Zkus ji vyřešit dřív, než otevřeš řešení.
Úloha ve formátu přijímačekPřijímačky

Více výsledků

Úloha 1.

Obce A a B jsou od sebe vzdáleny 36 km. Z obce A vyjel směrem k obci B cyklista průměrnou rychlostí 14 km/h a ve stejném okamžiku vyšel z obce B po téže silnici naproti němu chodec průměrnou rychlostí 4 km/h. 6.1 O kolik kilometrů se cyklista a chodec k sobě přiblíží za 1 hodinu? 6.2 Za kolik minut od vyjetí se setkají? 6.3 Kolik kilometrů od obce A se setkají?

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Toto téma u maturity

co se mění
Katalog maturity zná slovní úlohy dvakrát. V podokruhu Lineární rovnice a jejich soustavy chce slovní úlohu řešit lineární rovnicí nebo soustavou, v podokruhu Rovnice s neznámou ve jmenovateli slovní úlohu s takovou rovnicí. Příkladem je společná práce: dva stroje splní práci za aa a bb hodin, společně za xx hodin, a rovnice zní 1a+1b=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ={}1x \frac{1}{x}.
Hotová rovnice je tedy u maturity lomená. Po jejím vyřešení ještě zkontroluj, že výsledek je kladný a menší než kratší z dob. Úloha níže je ve formátu maturity; řešení je naše.
Úloha ve formátu maturityMaturita

Postup řešení

Úloha 2.

Bazén lze napouštět dvěma čerpadly. První čerpadlo by samo napustilo prázdný bazén za 6 hodin, druhé samo za 30 hodin. 14.1 Za kolik hodin napustí prázdný bazén obě čerpadla, pracují-li současně? 14.2 Do prázdného bazénu nejprve 1 hodinu čerpalo jen první čerpadlo, potom se zapnulo i druhé a obě pracovala až do napuštění bazénu. Za jak dlouho od zapnutí prvního čerpadla byl bazén plný? Uveďte celý postup řešení.

Úlohu jsme sestavili sami podle katalogu požadavků. Není to úloha CERMAT. · Vyřešit celý cvičný test zdarma

Vyzkoušej si to

kontrola hned
Vyber nebo napiš odpověď a hned ji zkontroluj: řešení se ukáže pod úlohou.
Přijímačky

Úloha 3.

Na koncert prodali celkem 109 vstupenek. Vstupenka pro dospělého stála 320 Kč, pro dítě 200 Kč. Tržba za vstupenky byla 32 120 Kč. 7.1 Kolik korun by činila tržba, kdyby všechny prodané vstupenky byly dětské? 7.2 Kolik vstupenek pro děti prodali?

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 4.

Turisté ušli první den 14\frac{1}{4} trasy, druhý den 12\frac{1}{2} zbytku. Do cíle jim zbývá ještě 36 km. Jak dlouhá je celá trasa?
km

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 5.

Jana přečetla první den 14\frac{1}{4} knihy, druhý den 13\frac{1}{3} zbytku. Zbývá jí přečíst ještě 54 stran. Kolik stran má kniha?
stran

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Přijímačky

Úloha 6.

Na koncert prodali celkem 206 vstupenek. Vstupenka pro dospělého stála 180 Kč, pro dítě 80 Kč. Tržba za vstupenky byla 21 680 Kč. 7.1 Kolik korun by činila tržba, kdyby všechny prodané vstupenky byly dětské? 7.2 Kolik vstupenek pro děti prodali?

Úlohu jsme sestavili sami podle specifikace požadavků. Není to úloha CERMAT.

Víc úloh: vyřeš zdarma celý cvičný test

Časté chyby

kde se ztrácejí body
  • Při dohánění rychlosti sčítáš. Jedou-li dvě tělesa stejným směrem, přibližují se rychlostí rovnou rozdílu rychlostí.
  • Smícháš minuty s hodinami: s=v⋅ts = v \cdot t s rychlostí v km/h a časem v minutách dá nesmysl. Převeď 45 minut na 0,750{,}75 h.
  • Při společné práci sečteš doby. Kdo by sečetl 20 a 30 hodin, dostal by 50 hodin, ačkoli společná práce trvá méně než samostatná práce kratšího z nich.
  • Odpovíš na jinou otázku, než se ptá úloha: spočítáš čas, ale úloha chce vzdálenost.
  • Neposoudíš reálnost výsledku. Záporná doba nebo 7,5 žáka znamenají, že je chyba v rovnici nebo v zápisu.

Zapamatuj si

  • s=v⋅ts = v \cdot t; proti sobě rychlosti sčítej, stejným směrem odečítej.
  • Společná práce: sčítej výkony, ne doby.
  • Sjednoť jednotky, než dosadíš.
  • Dosaď výsledek zpět do textu úlohy.
  • Posuď, zda výsledek dává smysl.

Otázky a odpovědi

  1. 1.Co mám označit písmenem?+
    Odpověď:Veličinu, ze které se dají ostatní jednoduše vyjádřit. Někdy je to přímo to, na co se úloha ptá, jindy je výhodnější neznámá pomocná, třeba doba jedné z osob. Odpověď z ní pak dopočteš. Když si nejsi jistý, zkus obě volby a vyber tu s kratší rovnicí.
  2. 2.Jak řešit úlohu o pohybu, když jedna osoba vyjede později?+
    Odpověď:Označ dobu jedné osoby jako tt a druhou vyjádři vzhledem k ní, například t+1t + 1. Pak porovnej dráhy: po setkání nebo dohonění je dráha obou stejná, při pohybu proti sobě je součet drah roven celé vzdálenosti. Minuty převeď na hodiny.
  3. 3.Jak se počítá společná práce?+
    Odpověď:Každému účastníkovi přiřaď výkon, tedy část práce za hodinu: kdo dokončí práci za 20 hodin, udělá za hodinu 120\frac{1}{20}. Výkony sečti; převrácená hodnota jejich součtu je doba společné práce. Výsledek je vždy menší než doba kratšího z nich.
  4. 4.Jak se řeší úlohy o směsích?+
    Odpověď:Počítej množství látky ve složkách a ve směsi. U cen platí: hmotnost první složky krát její cena plus hmotnost druhé krát její cena se rovná hmotnosti celé směsi krát cena směsi. Specifikace ani katalog typy slovních úloh (pohyb, společnou práci, směsi) nejmenují; u směsí jde o stejný postup sestavení rovnice jako u ostatních.
  5. 5.Jak ověřím, že je slovní úloha správně?+
    Odpověď:Nestačí dosadit do vlastní rovnice, protože ta může být špatně. Dosaď výsledek do textu úlohy a zkontroluj každou podmínku, kterou zadání uvádí. Pak posuď reálnost: čas, délka a cena jsou kladné a počet osob je celé číslo.
  6. 6.Musím slovní úlohu řešit vždy rovnicí?+
    Odpověď:Ne. Specifikace počítá i s řešením úsudkem; způsob řešení pak zapiš a zdůvodni. U složitějších úloh je rovnice jistější, protože zápis ti pomůže nezapomenout žádnou podmínku.
  7. 7.Co ke slovním úlohám přidává maturita?+
    Odpověď:Katalog maturity jmenuje slovní úlohy s lineárními rovnicemi i s rovnicemi s neznámou ve jmenovateli. Například společná práce nebo pohyb, kde se neznámá objeví ve jmenovateli zlomku. Navíc patří k řešení podmínky a zkouška, že výsledek jmenovatele nevynuluje.

Souvisí s tématem

Všechna témata přijímaček z matematiky

Zdroje

Oblasti a okruhy jsou převzaté ze specifikace požadavků pro jednotnou přijímací zkoušku 2026/2027 a z katalogu požadavků maturitní zkoušky z matematiky. Výklad, příklady, úlohy a řešení na této stránce jsou naše.

Stránka zkontrolována 28. října 2026

Poslední úloha.

Vyřeš zdarma cvičný test č. 1 — 16 úloh ve formátu přijímaček, 70 minut