Kleksa

НМТ 2027 · математика

Комбінаторика і ймовірність: перестановки, розміщення, комбінації

У кожному НМТ з математики 2023–2026 років є завдання на підрахунок варіантів або на ймовірність. Це коротка відповідь у завданні 20 (2023–2025) та вибір відповіді в завданнях 1 і 7. Усе зводиться до двох речей: правильно вибрати схему підрахунку (добуток, сума, перестановки, розміщення чи комбінації) і поділити число сприятливих наслідків на число всіх. Нижче — формули, метод крок за кроком, приклади, справжні завдання УЦОЯО з ключами та чотири завдання для самоперевірки.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданні 20 з короткою відповіддю (2023–2025) і в завданнях 7 і 1 з вибором відповіді.

Головне

це треба вміти
  • Правило добутку. Якщо перший вибір можна зробити mm способами, а після нього другий — kk способами, то обидва разом — m⋅km \cdot k способами. Правило суми. Якщо один об’єкт можна вибрати mm способами, а інший — kk способами, і ці способи не збігаються, то вибрати один або другий можна m+km + k способами. Слова «і» та «й» підказують множення, «або» — додавання.
  • Факторіал: n!=n! ={}1⋅2⋅3⋅…⋅n 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, окремо 0!=10! = 1. Перестановки — порядки розташування nn різних елементів: Pn=n!P_n = n!.
  • Розміщення з nn по kk — впорядковані вибори kk елементів із nn різних: Ank=A_n^k ={}n!(n−k)!= \dfrac{n!}{(n - k)!} ={}n(n−1)⋅…⋅(n−k+1) n(n - 1) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1). Тут важливо, хто і в якому порядку.
  • Комбінації з nn по kk — вибори kk елементів із nn без урахування порядку: Cnk=C_n^k ={}n!k! (n−k)! \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}. Корисно: Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n - k} і Ank=A_n^k ={}Cnk⋅Pk C_n^k \cdot P_k.
  • Як вибрати схему. Запитай: чи змінюється результат, якщо поміняти обрані елементи місцями? Так (посади, цифри числа, місця в черзі) — розміщення або перестановки; ні (комісія, набір книжок, букет) — комбінації.
  • Класичне означення ймовірності: P(A)=knP(A) = \dfrac{k}{n}, де nn — число всіх рівноможливих наслідків, а kk — число наслідків, сприятливих для події AA. Завжди 0⩽P(A)⩽10 \leqslant P(A) \leqslant 1. Кількості nn і kk рахують однією й тією ж схемою.
  • Для протилежної події P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A). Це зручно, коли слова «хоча б один» важко порахувати прямо: простіше знайти ймовірність, що жодного немає, і відняти від одиниці.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

  1. 1.Уяви, що саме вибираєш

    З чого вибираєш, скільки елементів і чи вибираєш усі. Запиши коротко: «з nn вибрати kk».

  2. 2.Визнач, чи має значення порядок

    Якщо порядок змінює результат — розміщення (або перестановки, коли беруть усі елементи). Якщо ні — комбінації. Якщо вибір складається з кількох незалежних частин, застосуй правило добутку, а якщо варіанти взаємовиключні — правило суми.

  3. 3.Підстав у формулу й скороти

    Не рахуй факторіали повністю: 8!5!=\dfrac{8!}{5!} ={}8⋅7⋅6 8 \cdot 7 \cdot 6. Для комбінацій у чисельнику й знаменнику залишається по kk множників.

  4. 4.Для ймовірності — порахуй nn і kk

    Спершу число всіх наслідків, потім сприятливих тією самою схемою. Поділи kk на nn і скороти дріб.

  5. 5.Перевір відповідь

    Ймовірність — число від 00 до 11. Кількість варіантів — натуральне число: якщо вийшло дробове чи від’ємне, у підрахунку помилка. Зверни увагу, у якому вигляді просять відповідь: дробом чи десятковим дробом із комою.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

  1. 1.Перестановки, розміщення, комбінації

    а) Скількома способами можна розсадити 66 учнів на шести стільцях у ряд? б) Скількома способами можна вибрати з 77 учнів старосту, його заступника і казначея? в) Скількома способами можна вибрати з 88 учнів трьох чергових?

  2. 2.Правила добутку й суми

    У кафе пропонують 33 супи, 55 других страв і 44 десерти. Скільки існує обідів із трьох страв: одного супу, однієї другої страви й одного десерту? Скількома способами можна замовити лише одну страву з усього меню?

  3. 3.Ймовірність двох подій

    У коробці 66 червоних і 44 зелені кульки. Навмання виймають дві. Знайди ймовірність того, що обидві червоні, і ймовірність того, що серед вийнятих є хоча б одна зелена.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО
Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.
Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 2, завдання 20

Завдання 20. (0–2)

Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 20. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2026, математика, варіант 2, завдання 7

Завдання 7. (0–1)

У десятому класі за списком 24 учні. Імовірність того, що вік учня, прізвище якого навмання вибирають зі списку класу, буде меншим за 15 років, дорівнює 16\dfrac{1}{6}. Скільки всього в класі учнів, вік яких менший за 15 років?

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2026, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2026 році, том II), завдання 7. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу
Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.
НМТ

Завдання 1. (0–1)

На столі лежать 18 світлин: 8 – із зображенням природи, 4 – із зображенням людини, 6 – із зображенням будівель. Яка ймовірність того, що навмання взята зі столу світлина буде із зображенням природи або будівлі?

Завдання 7 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Скільки всього існує трицифрових чисел, у записі яких використано лише цифри 4, 6, 7, 9, якщо цифри в числі не повторюються?

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–2)

У квітковому магазині є 15 білих і 8 червоних троянд. Покупець замовив букет із двох білих троянд та однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 4. (0–2)

У ящику лежать 20 деталей, з яких 17 виготовлено на першому верстаті, а решту — на другому. Навмання беруть одну деталь. Яка ймовірність того, що її виготовлено на першому верстаті? Відповідь запишіть десятковим дробом.

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал
  • Сплутати комбінації та розміщення. Якщо після вибору можна поміняти елементи місцями й результат лишається тим самим, порядок не важливий і потрібні комбінації. Для старости й заступника порядок важливий: це розміщення.
  • Рахувати всі та сприятливі наслідки різними схемами: одні — з урахуванням порядку, інші — без нього. У ймовірності kn\dfrac{k}{n} обидва числа рахують однаково.
  • Додавати, коли треба множити, і навпаки. Якщо вибори відбуваються один за одним, кількості множать; якщо варіанти взаємовиключні («або це, або те»), їх додають.
  • Забути обмеження на першу цифру числа: число не починається з нуля. Тому в підрахунку трицифрових чисел перше місце заповнюють лише цифрами, відмінними від нуля.
  • Рахувати факторіали повністю. C123C_{12}^3 зручніше записати як 12⋅11⋅103⋅2⋅1\dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}, ніж ділити 12!12! на 3!⋅9!3! \cdot 9!, — менше шансів помилитися в арифметиці.

Запам’ятай

  • Pn=n!P_n = n!, Ank=A_n^k ={}n!(n−k)! \dfrac{n!}{(n - k)!}, Cnk=C_n^k ={}n!k! (n−k)! \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}.
  • Порядок важливий — розміщення; не важливий — комбінації.
  • «І» — множимо, «або» — додаємо.
  • P(A)=knP(A) = \dfrac{k}{n}, P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).
  • Число не починається з нуля.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.
  • Комбінаторикас. 2
  • Теорія ймовірностейс. 2
На сторінці 2 довідкових матеріалів є два блоки. «Комбінаторика»: Pn=P_n ={}1⋅2⋅3⋅…⋅n= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n ={}n! n!, Cnk=C_n^k ={}n!k! (n−k)! \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!} і Ank=A_n^k ={}n!(n−k)! \dfrac{n!}{(n - k)!}. «Теорія ймовірностей»: P(A)=knP(A) = \dfrac{k}{n}.
Чого там немає: правил суми й добутку, тотожності Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n - k}, формули для протилежної події і підказки, яку схему вибрати. Це вирішуєш ти. Корисно навчитися рахувати CnkC_n^k скороченням, а не за факторіалами з довідника.
Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

  1. 1.У чому різниця між перестановками, розміщеннями та комбінаціями?+
    Відп.:Перестановки — це порядки, в яких можна поставити всі nn елементів, їх n!n!. Розміщення — упорядковані вибори kk з nn елементів: порядок важливий, їх n!(n−k)!\dfrac{n!}{(n - k)!}. Комбінації — вибори kk з nn без порядку, їх n!k! (n−k)!\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}, і їх у k!k! разів менше, ніж розміщень. Розміщення й комбінації з повтореннями — поза програмою НМТ: у програмі стоїть «без повторень».
  2. 2.Як швидко обчислити CnkC_n^k?+
    Відп.:Запиши в чисельнику kk множників, що спадають від nn, у знаменнику — k!k! і скороти. Наприклад, C93=C_9^3 ={}9⋅8⋅73⋅2⋅1= \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} ={}84 84. Для великого kk скористайся властивістю Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n - k}: C108=C_{10}^8 ={}C102= C_{10}^2 ={}45 45.
  3. 3.Як знайти ймовірність події?+
    Відп.:Порахуй усі рівноможливі наслідки nn і сприятливі kk, потім поділи: P=knP = \dfrac{k}{n}. Наприклад, на гральному кубику число, більше за 44, випадає у двох випадках із шести: P=P ={}26= \dfrac{2}{6} ={}13 \dfrac{1}{3}. Скороти дріб; якщо просять десятковий дріб, поділи чисельник на знаменник.
  4. 4.Коли слід множити, а коли додавати?+
    Відп.:Множ, коли вибір складається з кількох кроків, які виконують один за одним («суп і друге і десерт»). Додавай, коли варіанти взаємовиключні й ти вибираєш один з кількох типів («або це, або те»). Часто в одному завданні потрібні обидва правила, як у завданні 20 тесту 2024 року.
  5. 5.Які завдання НМТ про комбінаторику і ймовірність?+
    Відп.:У 2023 році це завдання 20 з короткою відповіддю на підрахунок комбінацій. У 2024 році — завдання 1 про ймовірність (місце в літаку) і завдання 20 про розклад уроків. У 2025 році — завдання 20, де за ймовірністю треба знайти число рядів у салоні літака. У 2026 році — завдання 7 про ймовірність.
  6. 6.Які формули з комбінаторики є в довідкових матеріалах?+
    Відп.:На сторінці 2: Pn=n!P_n = n!, CnkC_n^k, AnkA_n^k і P(A)=knP(A) = \dfrac{k}{n}. Правил суми та добутку там немає, їх треба знати. Формули з довідника не підказують, яку схему вибрати, тому навчись розпізнавати, чи важливий порядок.
  7. 7.Імовірність чи ймовірність: як писати?+
    Відп.:Обидві форми правильні. У програмі ЗНО з математики трапляються обидві форми («Імовірність випадкової події», «класичне означення ймовірності»), і в завданнях УЦОЯО — теж обидві. На цій сторінці вживаємо «ймовірність», бо за нею частіше шукають. На оцінку це не впливає: у завданнях відповідь — число.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.