Чому корінь парного степеня не існує з від’ємного числа?

Бо парний степінь будь-якого дійсного числа невід’ємний: $(-3)^2 = 9$ і $3^2 = 9$. Рівність $x^2 = -9$ не має розв’язків, тому $\sqrt{-9}$ не визначений. Корінь непарного степеня існує завжди: $\sqrt[3]{-27} = -3$, бо $(-3)^3 = -27$.

Як винести множник з-під кореня?

Розклади підкореневе число на множники, один з яких — повний квадрат (для кубічного кореня — повний куб), і добудь корінь з нього: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Шукай найбільший квадрат, на який ділиться число, щоб не робити кілька кроків.

Як порівняти $3\sqrt{2}$ і $2\sqrt{3}$?

Внеси множники під корінь: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ і $2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$. Оскільки $18 > 12$, то $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$. Той самий прийом працює завжди, коли треба порівняти ірраціональні числа.

Як обчислити степінь із дробовим показником?

Запиши його як корінь: чисельник показника — це степінь, до якого підносять число, а знаменник — показник кореня. Для $27^{\frac{2}{3}}$ добудь кубічний корінь: $\sqrt[3]{27} = 3$, і піднеси результат до квадрата: $3^2 = 9$. Корінь зручніше добувати першим, бо числа зменшуються.

Чи є властивості степенів і коренів у довідкових матеріалах НМТ?

Властивості степенів є: на сторінці 2 у блоці «Степені» записано всі п’ять правил, нульовий і від’ємний показник, степінь з дробовим показником і рівність $\sqrt{a^2} = |a|$. Властивостей коренів немає, і їх треба знати або виводити зі степеня з дробовим показником.

Як множити числа, записані через степінь десяти?

Перемнож числові множники й додай показники степенів десяти. Щоб помножити масу $1{,}67 \cdot 10^{-27}$ кг на $100 = 10^2$, додай показники: $1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^{2} = 1{,}67 \cdot 10^{-25}$. Таке завдання було на НМТ 2024 року, і показник просто зріс на $2$.

У яких завданнях НМТ потрібні степені й корені?

У тестах 2023–2026 років вони стоять щороку: у задачах на обчислення значення виразу, на спрощення виразу зі змінною, на вибір проміжку для числа та на відповідність у завданні 17. Часто вони ховаються всередині іншої теми, наприклад логарифмів чи тригонометрії.

НМТ 2027 · математика

Степені й корені: властивості та дії на НМТ

Степінь і корінь — це два боки одного й того самого: $\sqrt[n]{a^m} ={}$ $a^{\frac{m}{n}}$ . Знаючи п’ять правил дій зі степенями й кілька властивостей коренів, ти спростиш майже будь-який вираз зі степенями й коренями, який трапляється на НМТ. Такі вирази стоять окремими завданнями, а ще входять до задач про значення виразу, про проміжок, якому належить число, і на відповідність. Нижче — правила, метод, приклади і справжні завдання з тестів НМТ.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 4, 7, 8, 9, 12, 13, 14 і 17, де треба спростити степінь чи корінь.

Програма ЗНО з математики

Числа і вирази · Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними · с. 2
Числа і вирази · Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення · с. 3

наказ МОН № 1513 від 04.12.2019 · у тестах НМТ 2023–2026: щороку 2023–2026

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Головне

це треба вміти

Арифметичний корінь $\sqrt[n]{a}$ з числа $a \geqslant 0$ — це невід’ємне число, $n$ -й степінь якого дорівнює $a$ . Корінь парного степеня існує лише з невід’ємного числа, корінь непарного — з будь-якого: $\sqrt[3]{-27} = -3$ .
Для кореня другого степеня: $\sqrt{a^2} = |a|$ , а не просто $a$ . Наприклад, $\sqrt{(-5)^2} ={}$ $|{-}5| ={}$ $5$ .
Властивості коренів (для невід’ємних $a$ , $b$ ): $\sqrt[n]{ab} ={}$ $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ , $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} ={}$ $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ при $b > 0$ . З них випливає винесення множника з-під кореня: $\sqrt{72} ={}$ $\sqrt{36 \cdot 2} ={}$ $6\sqrt{2}$ .
Степінь з цілим показником: $a^0 = 1$ при $a \neq 0$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ . Наприклад, $4^{-2} = \dfrac{1}{16}$ , а $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1} = \dfrac{3}{2}$ .
Степінь з раціональним показником: $a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$ . Наприклад, $27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$ . Корінь — це степінь з дробовим показником: $\sqrt{a} ={}$ $a^{\frac{1}{2}}$ .
Дії зі степенями однієї основи: $a^x \cdot a^y ={}$ $a^{x+y}$ , $a^x : a^y = a^{x-y}$ , $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ . Степінь добутку й частки: $(ab)^x = a^x b^x$ , $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$ .
Корінь і степінь не розподіляються на суму: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} +{}$ $\sqrt{b}$ і $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Складати можна тільки подібні доданки: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} ={}$ $5\sqrt{5}$ .

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Звести до однієї основи
Розклади числа на прості множники й запиши всі степені з однією основою: $9 = 3^2$ , $8 = 2^3$ , $0{,}5 = 2^{-1}$ . Тоді правила множення, ділення й піднесення до степеня стають звичайним додаванням і множенням показників.
2.Перетвори корені на степені
Якщо у виразі і корені, і степені, запиши корінь як степінь з дробовим показником: $\sqrt[3]{a} ={}$ $a^{\frac{1}{3}}$ . Так усі правила діють в один спосіб, і ти не губиш знаки та показники.
3.Застосуй правила й обчисли показник
Виконуй дії з показниками окремо від основ. Показники при множенні додаються, при діленні віднімаються, при піднесенні до степеня множаться. Від’ємний показник перевертає дріб: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .
4.Спрости корені
Винеси з-під квадратного кореня повні квадрати (з кубічного виносять повні куби): $\sqrt{48} ={}$ $\sqrt{16 \cdot 3} ={}$ $4\sqrt{3}$ . Потім зведи подібні доданки. Не додавай корені з різними підкореневими числами.
5.Перевір на малих числах
Якщо виникли сумніви в правилі, підстав у нього малі числа: $2^3 \cdot 2^2$ — це $8 \cdot 4 = 32 = 2^5$ , а не $2^6$ . Перевір також знак і чи відповідь потрібно подати цілим числом, дробом чи коренем.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Правила степенів, зведення до однієї основи
Обчисли значення дробу, звівши всі степені до однієї основи: $\dfrac{3^{7} \cdot 9^{2}}{27^{3}}$ .
2.Додавання коренів
Спрости вираз $\sqrt{75} -{}$ $\sqrt{12} +{}$ $\sqrt{27}$ .
3.Раціональний і від’ємний показник
Обчисли значення виразу з дробовим і від’ємним показниками: $32^{\frac{3}{5}} \cdot 2^{-4}$ .
4.Корінь із квадрата виразу
Спрости вираз $\sqrt{\left(2 - \sqrt{7}\right)^2}$ .

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2024, математика, варіант 1, завдання 8

Завдання 8. (0–1)

Обчисліть

\dfrac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2024, математика, варіант 1 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2024 році, том II), завдання 8. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 13

Завдання 13. (0–1)

\dfrac{20^7 \cdot 0{,}1^6}{4^5} =

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 13. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

Спростіть вираз

7^{6} \cdot 7^{3} : 7^{7}

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 2. (0–1)

Спростіть вираз

\sqrt{98} - \sqrt{18}

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Спростіть вираз

5^{4} \cdot 5^{6} : 5^{2}

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Множити показники там, де їх треба додавати: $a^m \cdot a^n ={}$ $a^{m+n}$ , а не $a^{mn}$ . Множаться показники лише при піднесенні степеня до степеня: $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ .
Вважати, що $\sqrt{a^2} = a$ . Для від’ємного $a$ це неправда: $\sqrt{(-7)^2} = 7$ , тобто $|a|$ . Тому, спрощуючи корінь із квадрата виразу, подивися на знак виразу, який підносять до квадрата.
Розкривати степінь суми по частинах: $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ або $\sqrt{a^2 + b^2} ={}$ $a + b$ . Правильно: $(a + b)^2 ={}$ $a^2 + 2ab + b^2$ , а $\sqrt{a^2 + b^2}$ взагалі не спрощується.
Читати від’ємний показник як від’ємне число: $2^{-3} = -8$ . Насправді $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ — додатне. Знак «мінус» у показнику лише перевертає дріб.
Додавати показники при додаванні степенів: $2^3 + 2^3 = 2^6$ . Правильно: $2^3 + 2^3 ={}$ $2 \cdot 2^3 ={}$ $2^4 ={}$ $16$ . Правило про додавання показників діє тільки при множенні степенів.

Запам’ятай

$a^x \cdot a^y ={}$ $a^{x+y}$ ; $a^x : a^y = a^{x-y}$ ; $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ .
$a^0 = 1$ ; $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ; $a^{\frac{m}{n}} ={}$ $\sqrt[n]{a^m}$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ ; $\sqrt{ab} ={}$ $\sqrt{a}\sqrt{b}$ при $a, b \geqslant 0$ .
Зводь усе до однієї основи, а корені записуй степенями.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Степеніс. 2
Таблиця квадратів від 10 до 49с. 2

На сторінці 2 довідкових матеріалів є блок «Степені»:

a^0 = 1

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

a^{\frac{m}{n}} ={}

\sqrt[n]{a^m}

при

a > 0

, рівність

\sqrt{a^2} = |a|

, п’ять правил дій (

a^x \cdot a^y

a^x : a^y

\left(a^x\right)^y

(ab)^x

\left(\dfrac{a}{b}\right)^x

). Там само є таблиця квадратів чисел від 10 до 49: з неї добувають квадратні корені на кшталт

\sqrt{729} = 27

Чого немає: властивостей коренів (

\sqrt{ab} ={}

\sqrt{a}\sqrt{b}

\sqrt{\dfrac{a}{b}}

), таблиці кубів, правила винесення множника з-під кореня. Їх виводять із формули

a^{\frac{m}{n}} ={}

\sqrt[n]{a^m}

і правил степенів, тож їх легко відновити, якщо розумієш, звідки вони беруться.

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Чому корінь парного степеня не існує з від’ємного числа?+
Відп.:Бо парний степінь будь-якого дійсного числа невід’ємний: $(-3)^2 = 9$ і $3^2 = 9$ . Рівність $x^2 = -9$ не має розв’язків, тому $\sqrt{-9}$ не визначений. Корінь непарного степеня існує завжди: $\sqrt[3]{-27} = -3$ , бо $(-3)^3 = -27$ .
2.Як винести множник з-під кореня?+
Відп.:Розклади підкореневе число на множники, один з яких — повний квадрат (для кубічного кореня — повний куб), і добудь корінь з нього: $\sqrt{72} ={}$ $\sqrt{36 \cdot 2} ={}$ $6\sqrt{2}$ . Шукай найбільший квадрат, на який ділиться число, щоб не робити кілька кроків.
3.Як порівняти $3\sqrt{2}$ і $2\sqrt{3}$ ?+
Відп.:Внеси множники під корінь: $3\sqrt{2} ={}$ $\sqrt{9 \cdot 2} ={}$ $\sqrt{18}$ і $2\sqrt{3} ={}$ $\sqrt{4 \cdot 3} ={}$ $\sqrt{12}$ . Оскільки $18 > 12$ , то $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$ . Той самий прийом працює завжди, коли треба порівняти ірраціональні числа.
4.Як обчислити степінь із дробовим показником?+
Відп.:Запиши його як корінь: чисельник показника — це степінь, до якого підносять число, а знаменник — показник кореня. Для $27^{\frac{2}{3}}$ добудь кубічний корінь: $\sqrt[3]{27} = 3$ , і піднеси результат до квадрата: $3^2 = 9$ . Корінь зручніше добувати першим, бо числа зменшуються.
5.Чи є властивості степенів і коренів у довідкових матеріалах НМТ?+
Відп.:Властивості степенів є: на сторінці 2 у блоці «Степені» записано всі п’ять правил, нульовий і від’ємний показник, степінь з дробовим показником і рівність $\sqrt{a^2} = |a|$ . Властивостей коренів немає, і їх треба знати або виводити зі степеня з дробовим показником.
6.Як множити числа, записані через степінь десяти?+
Відп.:Перемнож числові множники й додай показники степенів десяти. Щоб помножити масу $1{,}67 \cdot 10^{-27}$ кг на $100 = 10^2$ , додай показники: $1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 10^{2} ={}$ $1{,}67 \cdot 10^{-25}$ . Таке завдання було на НМТ 2024 року, і показник просто зріс на $2$ .
7.У яких завданнях НМТ потрібні степені й корені?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років вони стоять щороку: у задачах на обчислення значення виразу, на спрощення виразу зі змінною, на вибір проміжку для числа та на відповідність у завданні 17. Часто вони ховаються всередині іншої теми, наприклад логарифмів чи тригонометрії.

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Степені й корені: властивості та дії на НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Звести до однієї основи

2.Перетвори корені на степені

3.Застосуй правила й обчисли показник

4.Спрости корені

5.Перевір на малих числах

Приклади

1.Правила степенів, зведення до однієї основи

2.Додавання коренів

3.Раціональний і від’ємний показник

4.Корінь із квадрата виразу

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела