Як знайти область визначення функції?

Випиши всі обмеження, які накладає формула: вираз під коренем парного степеня невід’ємний, знаменник не дорівнює нулю, вираз під знаком логарифма додатний. Розв’яжи отримані умови разом і запиши відповідь проміжками. Наприклад, для $y = \sqrt{x - 1} + \dfrac{1}{x - 6}$ потрібно $x \geqslant 1$ і $x \ne 6$, тож $D(y) = [1; 6) \cup (6; +\infty)$.

Як визначити, чи функція парна або непарна?

Спершу переконайся, що область визначення симетрична відносно нуля. Потім підстав $-x$ замість $x$. Якщо вийшло те саме, що було, функція парна, якщо вийшов той самий вираз із протилежним знаком — непарна. Якщо ні те, ні те, вона загального виду, наприклад $y = x^2 + x$.

Як зсунути або відобразити графік функції?

Додавання числа до самої функції зсуває графік по вертикалі: $f(x) + 3$ — на $3$ угору. Додавання числа до аргументу зсуває по горизонталі в протилежний бік: $f(x + 3)$ — на $3$ ліворуч. Мінус перед функцією відбиває графік відносно осі $x$, мінус перед аргументом — відносно осі $y$.

Як знайти вершину параболи?

Абсцису знаходять за формулою $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, ординату — підстановкою цього $x_0$ у формулу функції. Для $y = x^2 - 2x - 8$ маємо $x_0 = 1$, $y_0 = 1 - 2 - 8 = -9$, отже вершина $(1; -9)$. Другий шлях — виділити повний квадрат: $y = (x - 1)^2 - 9$.

Чи дають довідкові матеріали формули функцій?

Ні. У довідкових матеріалах немає таблиці властивостей функцій, правил парності й перетворень графіків. Є лише блок «Квадратне рівняння» на сторінці 2, корисний для нулів параболи. Властивості основних функцій і правила перетворень доведеться вивчити.

Як обчислити значення кускової функції?

Подивися, яку умову задовольняє число, і візьми формулу саме цього рядка. Для $f(x) = \begin{cases} 2x + 7, & x < 0, \\ x^2 - 1, & x \geqslant 0 \end{cases}$ маємо $f(-3) = 2 \cdot (-3) + 7 = 1$, бо $-3 < 0$, і $f(2) = 2^2 - 1 = 3$, бо $2 \geqslant 0$. Значення на межі, тут у точці $x = 0$, беруть із того рядка, умова якого цю точку містить: тут це $x \geqslant 0$.

Що таке область значень і як її знайти за графіком?

Область значень — множина всіх чисел, яких набуває $y$. За графіком її знаходять проєкцією на вісь $y$: від найнижчої точки до найвищої. Для $y = x^2 - 4$ найнижче значення $-4$ досягається у вершині, а вгору парабола необмежена, тому $E(y) = [-4; +\infty)$.

НМТ 2027 · математика

Функції та їх графіки: властивості й перетворення для НМТ

Q: Які завдання про функції трапляються на НМТ?

У тестах 2023–2026 років щороку є завдання 6 з вибором однієї відповіді з п’яти (графік, нулі, знак, зсув) і завдання 16 на відповідність між функціями та їхніми властивостями. Іноді функції стоять і в завданнях 1, 7 та 19 — наприклад, парність у короткій відповіді 2025 року.

Q: Що таке область значень і як її знайти за графіком?

Область значень — множина всіх чисел, яких набуває $y$. За графіком її знаходять проєкцією на вісь $y$: від найнижчої точки до найвищої. Для $y = x^2 - 4$ найнижче значення $-4$ досягається у вершині, а вгору парабола необмежена, тому $E(y) = [-4; +\infty)$.

Завдання про функції є в НМТ з математики щороку: це завдання 6, де треба прочитати графік або виконати його перетворення, і завдання 16 на відповідність між функціями та їхніми властивостями. Тут зібрано все, що за цим стоїть: область визначення, нулі, парність, зростання й спадання, зсуви та відбиття графіків і властивості основних функцій. Далі йдуть метод крок за кроком, приклади, справжні завдання УЦОЯО з ключами і п’ять завдань, щоб перевірити себе.

На НМТ: щороку 2023–2026 — у завданнях 6 і 16, а також у завданнях 1, 7 і 19 деяких варіантів.

Головне

це треба вміти

Функція ставить у відповідність кожному значенню $x$ з області визначення $D(f)$ єдине значення $y$ . Усі значення, яких набуває $y$ , — область значень $E(f)$ . Графік складається з точок $(x; f(x))$ .
Нуль функції — таке $x$ , що $f(x) = 0$ ; у цій точці графік перетинає вісь $x$ . З віссю $y$ графік перетинається в точці $(0; f(0))$ , якщо $0$ належить області визначення.
Парна функція: $f(-x) = f(x)$ , її графік симетричний відносно осі $y$ (наприклад, $y = x^2$ , $y = \cos x$ ). Непарна: $f(-x) = -f(x)$ , графік симетричний відносно початку координат ( $y = x^3$ , $y = \sin x$ , $y = \dfrac{1}{x}$ ). Область визначення парної чи непарної функції симетрична відносно нуля.
Функція зростає на проміжку, якщо більшому $x$ відповідає більше $y$ , і спадає, якщо більшому $x$ відповідає менше $y$ . Над віссю $x$ значення додатні, під нею — від’ємні.
Перетворення графіка $y = f(x)$ : $y = f(x) + a$ — зсув угору на $a$ ; $y = f(x + a)$ — зсув на $a$ ліворуч; $y = -f(x)$ — відбиття відносно осі $x$ ; $y = f(-x)$ — відбиття відносно осі $y$ . Для від’ємного $a$ напрям зсуву змінюється на протилежний.
Лінійна функція $y = kx + b$ : $k$ — кутовий коефіцієнт, при $k > 0$ вона зростає, при $k < 0$ спадає. Квадратична $y = ax^2 + bx + c$ : графік — парабола з вершиною в точці $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ; гілки напрямлені вгору при $a > 0$ і вниз при $a < 0$ .
Показникова $y = a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ): $E(f) ={}$ $(0; +\infty)$ , зростає при $a > 1$ , спадає при $0 < a < 1$ . Логарифмічна $y = \log_a x$ : $D(f) ={}$ $(0; +\infty)$ , $E(f) ={}$ $(-\infty; +\infty)$ . Функції $y = \sin x$ і $y = \cos x$ набувають значень від $-1$ до $1$ включно.

Як розв’язувати крок за кроком

по черзі

1.Зрозумій, що питають
Визнач, що задано: формулу чи графік, і що треба знайти: область визначення, нуль, знак, найбільше значення чи зсув. На графіку позначку «зафарбована точка» читай як «кінець належить графіку».
2.Для формули — випиши обмеження
Під коренем парного степеня вираз має бути невід’ємним, знаменник не дорівнює нулю, під логарифмом стоїть додатне число. З цих умов складається область визначення.
3.Для графіка — читай по клітинках
Знайди на осях ціну поділки, потім знімай значення за точками, що лежать у вузлах сітки, а не «на око». Нулі шукай у перетині з віссю $x$ , проміжки знакосталості — за розташуванням графіка відносно цієї осі.
4.Для парності — підстав $-x$
Запиши $f(-x)$ і порівняй з $f(x)$ . Збіглося — парна, збіглося з $-f(x)$ — непарна, не збіглося ні з тим, ні з тим — загального виду. Спершу переконайся, що область визначення симетрична.
5.Для перетворення — розкладай на кроки
Зведи формулу до вигляду $f(x + a) + b$ і зроби зсув по горизонталі на $-a$ , а по вертикалі на $b$ . Якщо перед функцією або перед аргументом є мінус, спочатку виконай відбиття.
6.Перевір відповідь на точках
Підстав одну-дві точки з графіка у знайдену формулу або властивість. Якщо точка не лягає на графік, у перетворенні помилка.

Приклади

Спробуй спершу сам, потім порівняй з розв’язанням. Кожне число ми перерахували ще раз.

1.Область визначення й нуль
Знайди область визначення і нуль функції $y ={}$ $\dfrac{\sqrt{x + 5}}{x - 2}$ .
2.Парна, непарна чи жодна з двох
З’ясуй парність функцій $f(x) = 2x^4 - 5x^2$ , $g(x) = x^3 - 4x$ і $h(x) = x^2 + x$ .
3.Перетворення параболи
Графік функції $y = x^2$ зсунули на $2$ одиниці праворуч і на $3$ одиниці вниз. Запиши формулу нової функції, знайди її вершину і нулі.

Завдання з НМТ

джерело: УЦОЯО

Справжнє завдання з тесту НМТ, слово в слово. Розв’яжи його, перш ніж дивитися розв’язання.

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 6

Завдання 6. (0–1)

Графік функції

y = x^3

перенесли на 4 одиниці вниз уздовж осі

y

. Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 6. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Завдання з тесту УЦОЯОНМТ

НМТ 2025, математика, варіант 2, завдання 19

Завдання 19. (0–2)

Функція

f(x)

є парною, а функція

g(x)

– непарною. Обчисліть значення виразу

\dfrac{4g(-x_0) + 2f(x_0)}{5f(-x_0)}

, якщо

f(x_0) = 1

g(x_0) = -3

Джерело: УЦОЯО, НМТ 2025, математика, варіант 2 (Офіційний звіт про проведення НМТ у 2025 році, том II), завдання 19. Відповідь — за ключем УЦОЯО. · Тест на сайті УЦОЯО

Перевір себе

перевіриш одразу

Обери відповідь і одразу перевір її: під завданням з’явиться пояснення.

НМТ

Завдання 1. (0–1)

На рисунку зображено графік функції

y = f(x)

, визначеної на проміжку

[-4; 4]

. На якому з наведених проміжків функція набуває лише від’ємних значень?

Завдання 6 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 2. (0–3)

Доберіть до функції (1–3) її властивість (А – Д).

Властивість функції

Аспадає на всій області визначення
Бграфік функції проходить через точку $(0; 0)$
Взростає на всій області визначення
Гє парною
Дграфік функції симетричний відносно осі $x$

Функція

y = x^2 + 2

y = \sin x

y = 3x + 2

Завдання 16 з тесту НМТ 2026 року (математика, варіант 1, УЦОЯО) — пояснення Kleksa

НМТ

Завдання 3. (0–1)

Визначте нуль функції

y = 5x - 20

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 4. (0–1)

Укажіть координати вершини параболи

y = x^2 - 6x + 13

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

НМТ

Завдання 5. (0–2)

Задано функцію

f(x) = \begin{cases} 24, & x < 1, \\ 3x^2 + x, & x \ge 1. \end{cases}

Обчисліть значення виразу

f(-2) - f(4)

Завдання Kleksa у форматі НМТ — пояснення Kleksa.

Більше завдань: розв’яжи безкоштовно весь тест НМТ 2026 року

Типові помилки

тут найлегше втратити бал

Зсунути графік $y = f(x + 2)$ праворуч. «Плюс» усередині дужок зсуває графік ліворуч, а $y = f(x - 2)$ — праворуч. Перевір на одній точці: якщо $f(0) = 0$ , то нуль нової функції буде в точці $x = -2$ .
Назвати функцію парною чи непарною, не глянувши на область визначення. Функція $y = \sqrt{x}$ означена лише для $x \geqslant 0$ , тож її область визначення несиметрична, і вона не є ні парною, ні непарною.
Сплутати нуль функції із значенням у нулі. Нуль — це число $x$ , при якому $f(x) = 0$ (перетин з віссю $x$ ), а $f(0)$ — це $y$ -координата перетину з віссю $y$ .
Читати графік «на око». Спершу визнач ціну поділки на кожній осі, а тоді знімай значення в точках, що лежать у вузлах сітки; кінець відрізка зафарбований, якщо належить графіку.
Сплутати $y = -f(x)$ з $y = f(-x)$ . Перше перевертає графік по вертикалі (відбиття відносно осі $x$ ), друге — по горизонталі (відносно осі $y$ ).

Запам’ятай

Нуль функції: $f(x) = 0$ . Перетин з віссю $y$ : $(0; f(0))$ .
Парна: $f(-x) = f(x)$ , симетрія відносно осі $y$ . Непарна: $f(-x) = -f(x)$ , симетрія відносно початку координат.
$f(x + a)$ — на $a$ ліворуч; $f(x) + a$ — на $a$ угору.
Вершина параболи $y = ax^2 + bx + c$ : $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , $y_0 = y(x_0)$ .
Область визначення: під коренем — невід’ємне число, знаменник — не нуль, під логарифмом — додатне число.

У довідкових матеріалах

На НМТ з математики ти отримуєш довідкові матеріали УЦОЯО. Тут сказано, що з них знадобиться в цій темі.

Квадратне рівнянняс. 2

Властивостей функцій, парності та перетворень графіків у довідкових матеріалах немає: усе це треба знати напам’ять. На сторінці 2, у блоці «Квадратне рівняння», є формули дискримінанта і коренів, які знадобляться, щоб знайти нулі параболи.

Окремої формули вершини параболи теж немає. Дріб

-\dfrac{b}{2a}

там записано лише як єдиний корінь при

D = 0

, але саме він дає абсцису вершини будь-якої параболи

y = ax^2 + bx + c

Довідкові матеріали з математики (PDF, УЦОЯО)

Питання і відповіді

1.Як знайти область визначення функції?+
Відп.:Випиши всі обмеження, які накладає формула: вираз під коренем парного степеня невід’ємний, знаменник не дорівнює нулю, вираз під знаком логарифма додатний. Розв’яжи отримані умови разом і запиши відповідь проміжками. Наприклад, для $y ={}$ $\sqrt{x - 1} + \dfrac{1}{x - 6}$ потрібно $x \geqslant 1$ і $x \ne 6$ , тож $D(y) ={}$ $[1; 6) \cup (6; +\infty)$ .
2.Як визначити, чи функція парна або непарна?+
Відп.:Спершу переконайся, що область визначення симетрична відносно нуля. Потім підстав $-x$ замість $x$ . Якщо вийшло те саме, що було, функція парна, якщо вийшов той самий вираз із протилежним знаком — непарна. Якщо ні те, ні те, вона загального виду, наприклад $y = x^2 + x$ .
3.Як зсунути або відобразити графік функції?+
Відп.:Додавання числа до самої функції зсуває графік по вертикалі: $f(x) + 3$ — на $3$ угору. Додавання числа до аргументу зсуває по горизонталі в протилежний бік: $f(x + 3)$ — на $3$ ліворуч. Мінус перед функцією відбиває графік відносно осі $x$ , мінус перед аргументом — відносно осі $y$ .
4.Як знайти вершину параболи?+
Відп.:Абсцису знаходять за формулою $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , ординату — підстановкою цього $x_0$ у формулу функції. Для $y = x^2 - 2x - 8$ маємо $x_0 = 1$ , $y_0 = 1 - 2 - 8 = -9$ , отже вершина $(1; -9)$ . Другий шлях — виділити повний квадрат: $y = (x - 1)^2 - 9$ .
5.Які завдання про функції трапляються на НМТ?+
Відп.:У тестах 2023–2026 років щороку є завдання 6 з вибором однієї відповіді з п’яти (графік, нулі, знак, зсув) і завдання 16 на відповідність між функціями та їхніми властивостями. Іноді функції стоять і в завданнях 1, 7 та 19 — наприклад, парність у короткій відповіді 2025 року.
6.Чи дають довідкові матеріали формули функцій?+
Відп.:Ні. У довідкових матеріалах немає таблиці властивостей функцій, правил парності й перетворень графіків. Є лише блок «Квадратне рівняння» на сторінці 2, корисний для нулів параболи. Властивості основних функцій і правила перетворень доведеться вивчити.
7.Як обчислити значення кускової функції?+
Відп.:Подивися, яку умову задовольняє число, і візьми формулу саме цього рядка. Для $f(x) = \begin{cases} 2x + 7, & x < 0, \\ x^2 - 1, & x \geqslant 0 \end{cases}$ маємо $f(-3) ={}$ $2 \cdot (-3) + 7 ={}$ $1$ , бо $-3 < 0$ , і $f(2) = 2^2 - 1 = 3$ , бо $2 \geqslant 0$ . Значення на межі, тут у точці $x = 0$ , беруть із того рядка, умова якого цю точку містить: тут це $x \geqslant 0$ .
8.Що таке область значень і як її знайти за графіком?+
Відп.:Область значень — множина всіх чисел, яких набуває $y$ . За графіком її знаходять проєкцією на вісь $y$ : від найнижчої точки до найвищої. Для $y = x^2 - 4$ найнижче значення $-4$ досягається у вершині, а вгору парабола необмежена, тому $E(y) ={}$ $[-4; +\infty)$ .

Див. також

Усі теми НМТ з математики

Джерела

Зміст теми взято з програми МОН, завдання і ключі — з тестів УЦОЯО. Пояснення, приклади, розв’язання і наші завдання написали ми.

Сторінку перевірено 25 жовтня 2026 р.

Завдання останнє.

Розв’яжи безкоштовно справжній тест НМТ 2026 року з математики: 22 завдання УЦОЯО, результат у тестових балах і за шкалою 100–200.

Розв’язати тест безкоштовно

Функції та їх графіки: властивості й перетворення для НМТ

Головне

Як розв’язувати крок за кроком

1.Зрозумій, що питають

2.Для формули — випиши обмеження

3.Для графіка — читай по клітинках

4.Для парності — підстав −x-x−x

5.Для перетворення — розкладай на кроки

6.Перевір відповідь на точках

Приклади

1.Область визначення й нуль

2.Парна, непарна чи жодна з двох

3.Перетворення параболи

Завдання з НМТ

Перевір себе

Типові помилки

Запам’ятай

У довідкових матеріалах

Питання і відповіді

Див. також

Джерела

4.Для парності — підстав $-x$