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PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

Programación lineal: región factible, vértices y solución óptima

Un problema de programación lineal pide el máximo o el mínimo de una función de dos variables sobre una región del plano que limitan unas inecuaciones. En la PAU de Andalucía es un ejercicio de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: se plantea con un texto, se dibuja la región factible, se calculan los vértices y se elige el mejor. Aquí tienes el método paso a paso y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

Según tu examen

contado en los exámenes
Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

  • Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

    en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

    • Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.
    • Determinación gráfica de la región factible y cálculo analítico de los vértices de la misma, así como de la solución óptima.

    Ejercicios

    • Extraordinaria 2025: ejercicio 2 (optativo)
    • Ordinaria 2026: ejercicio 1, opción B (optativo)

    Todos los temas de este examenEl modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber
  • Un problema de programación lineal de dos variables consiste en hallar el máximo o el mínimo de la función objetivo f(x,y)=ax+byf(x, y) = ax + by entre los puntos que cumplen unas restricciones, inecuaciones lineales. Casi siempre se añaden x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0, porque las incógnitas son cantidades.
  • La región factible es el conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones a la vez. Cada inecuación es un semiplano: dibuja la recta frontera y decide el lado con un punto de prueba, casi siempre el origen. La región es la intersección de los semiplanos y es un polígono, acotado o no.
  • Los vértices de la región son los puntos donde se cortan dos rectas frontera. Se calculan resolviendo el sistema de esas dos ecuaciones, y se comprueba que cumplen las demás restricciones: un punto de corte que se sale de la región no es un vértice.
  • Si la región es acotada, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en vértices: se calcula ff en cada uno y se comparan. Si dos vértices consecutivos dan el mismo valor óptimo, el óptimo se alcanza en todo el lado que los une.
  • Si la región no está acotada, puede existir el mínimo y no el máximo, o al revés. Si la región está en el primer cuadrante y los coeficientes de ff son positivos, el mínimo existe y está en un vértice, y el máximo no existe: la función crece sin límite al alejarse.
  • Con dos incógnitas, el método gráfico equivale a trazar las rectas de nivel ax+by=kax + by = k, que son paralelas, y desplazarlas en el sentido que mejora ff hasta el último punto de la región. En la PAU de Andalucía solo se pide con dos variables; el método del símplex no entra en las orientaciones.
−11234567−112345670xyR

El método, paso a paso

en orden

  1. 1.Define las variables y la función objetivo

    Llama xx e yy a las cantidades que decides (unidades de cada producto) y escribe qué se optimiza: beneficio, coste o consumo. La función objetivo suma, para cada variable, su coeficiente por la variable.

  2. 2.Escribe las restricciones

    Organiza los datos en una tabla de recursos por producto. Cada recurso limitado da una inecuación: lo que consume el plan no puede superar lo que hay, o no puede quedarse por debajo del mínimo exigido. Añade x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0.

  3. 3.Dibuja la región factible

    Traza cada recta frontera con dos puntos (por ejemplo, los cortes con los ejes), elige el semiplano con el origen o con otro punto de prueba y sombrea la intersección de todos.

  4. 4.Calcula los vértices

    Resuelve el sistema de cada pareja de rectas fronteras que se cortan en una esquina de la región. Descarta los puntos que no cumplan alguna restricción.

  5. 5.Evalúa y responde

    Calcula la función objetivo en cada vértice, elige el mayor valor (si maximizas) o el menor (si minimizas) y contesta con el enunciado: cuántas unidades de cada producto y cuánto vale el óptimo, con sus unidades.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

  1. 1.Región factible y vértices

    Dibuja la región que cumple 3x+y≤183x + y \leq 18, x+y≤10x + y \leq 10, x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0 y calcula sus vértices.

  2. 2.Maximizar un beneficio

    Un taller fabrica mesas y sillas. Cada mesa necesita 44 horas de corte y 22 de montaje; cada silla, 11 hora de corte y 22 de montaje. Dispone de 2020 horas de corte y 1616 de montaje. Una mesa deja 3030 € de beneficio y una silla, 2020 €. ¿Cuántas de cada una debe fabricar para que el beneficio sea máximo?

  3. 3.Minimizar un coste en una región no acotada

    Halla el mínimo de f(x,y)=3x+2yf(x, y) = 3x + 2y con las restricciones 2x+y≥82x + y \geq 8, x+2y≥7x + 2y \geq 7, x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0.

  4. 4.Cuando el óptimo no es un solo punto

    Con la región del primer ejemplo, halla el máximo de f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y y los puntos donde se alcanza.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía
Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.
Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

Ejercicio 2

(2.5 puntos) Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 15001500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900900 y 24002400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 1515 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 1818 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 2. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 1, opción B

B) (3 puntos) Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 m21\ m^2 de tablero DM se consumen 10 m310\ m^3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 1010€. Para producir 1 m21\ m^2 de tablero aglomerado se consumen 30 m330\ m^3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 2020€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 m212\ m^2 de tableros DM y 18 m218\ m^2 de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 m226\ m^2 diarios y dispone de 600 m3600\ m^3 de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 1, opción B. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento
Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.
Matemáticas CCSS

Pregunta 1.

Se considera la región del plano definida por las inecuaciones 2x−y≤102x - y \le 10, x+2y≤10x + 2y \le 10, y≥0y \ge 0 y x≥0x \ge 0. Determine el vértice de esa región en el que se cortan las rectas x+2y=10x + 2y = 10 y 2x−y=102x - y = 10.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 2.

Se considera la región del plano definida por las inecuaciones 4x+y≤244x + y \le 24, 2x+5y≤302x + 5y \le 30, y≥0y \ge 0 y x≥0x \ge 0. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a esa región?

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 3.

Una pastelería elabora tartas y bandejas de pastas. Cada tarta necesita 4040 min de horno y 1010 min de decoración, y cada bandeja, 2020 min de horno y 4040 min de decoración. Cada día dispone de 12201220 min de horno y de 10401040 min de decoración. Cada tarta deja un beneficio de 1919 € y cada bandeja, de 1313 €. Determine cuántas tartas y cuántas bandejas debe elaborar al día para que el beneficio sea máximo.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Un acuario alimenta a sus peces con dos preparados, uno en escamas y otro en gránulos. Cada bote de escamas aporta 22 unidades de proteína y 66 de vitaminas, y cada bote de gránulos, 11 de proteína y 77 de vitaminas. Cada semana necesita al menos 2828 unidades de proteína y 156156 de vitaminas. Un bote de escamas cuesta 66 € y uno de gránulos, 44 €. Determine cuántos botes de cada preparado debe comprar a la semana para que el coste sea mínimo, y calcule ese coste.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 5.

La región factible de un problema de programación lineal es el polígono de vértices A(3,0)A(3, 0), B(10,0)B(10, 0), C(7,4)C(7, 4) y D(3,4)D(3, 4). Calcule el valor mínimo de la función F(x,y)=−4x+yF(x, y) = -4x + y en esa región.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos
  • Sombreas el semiplano equivocado. Antes de dibujar la región, sustituye el origen en cada inecuación: si la cumple, la región queda del lado del origen; si no, del otro. Con 2x+y≥82x + y \geq 8 el origen no la cumple y la región queda por encima.
  • Das como vértice un punto de corte que no cumple todas las restricciones. Cada candidato debe cumplir las demás inecuaciones; si no, la recta se corta fuera de la región y ese punto no cuenta.
  • Evalúas la función objetivo en un punto del interior, o en una solución no entera cuando el enunciado pide unidades enteras. Evalúa solo en los vértices y, si te piden enteros, comprueba que el óptimo lo es.
  • Buscas el máximo cuando el enunciado pide el mínimo, o al revés. Subraya en el texto qué se optimiza: un coste se minimiza y un beneficio se maximiza, salvo que diga otra cosa.
  • Olvidas x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0. Aunque no aparezcan escritas en el enunciado, unas cantidades de producto no pueden ser negativas: la región se corta con los ejes.

Para recordar

  • Región factible: la intersección de los semiplanos de todas las restricciones.
  • Vértices: la solución de cada pareja de rectas frontera que se corta en una esquina de la región.
  • Región acotada: máximo y mínimo en vértices. Si el óptimo se repite en dos vértices consecutivos, está en todo el lado.
  • Se calcula ff en cada vértice y se compara; la respuesta lleva las unidades.

Preguntas frecuentes

  1. 1.¿Qué es la región factible?+
    Respuesta:Es el conjunto de puntos del plano que cumplen a la vez todas las restricciones del problema. Es la intersección de los semiplanos que definen las inecuaciones, y suele ser un polígono. El óptimo de la función objetivo se busca solo entre sus puntos.
  2. 2.¿Cómo se sabe qué lado de la recta hay que sombrear?+
    Respuesta:Elige un punto que no esté sobre la recta, casi siempre el origen, y sustitúyelo en la inecuación. Si la cumple, el semiplano es el del punto; si no, el otro. Repítelo con cada restricción y sombrea la parte común.
  3. 3.¿Por qué basta con mirar los vértices?+
    Respuesta:Porque la función objetivo es lineal: sobre un lado de la región cambia de forma uniforme, de modo que su valor mayor y su valor menor están en los extremos. Por eso, en una región acotada, el máximo y el mínimo se alcanzan en vértices.
  4. 4.¿Qué pasa si la región no está acotada?+
    Respuesta:Que puede no haber máximo o no haber mínimo. Si la región está en el primer cuadrante y los coeficientes de la función son positivos, el mínimo existe y está en un vértice, y el máximo no existe: la función crece sin tope. Compruébalo siempre antes de responder.
  5. 5.¿Qué hago si dos vértices dan el mismo valor óptimo?+
    Respuesta:El problema tiene infinitas soluciones: todos los puntos del lado que une esos vértices dan el mismo valor. Indica los dos vértices y di que la solución es todo el segmento que los une.
  6. 6.¿Qué se pide de la programación lineal en la PAU de Andalucía?+
    Respuesta:En 2025 y 2026 aparece en dos de los cuatro exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, como un problema con contexto: una producción, un cultivo, una dieta. Hay que plantear, dibujar la región, hallar los vértices y dar la solución con sus unidades. No se pide en Matemáticas II.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas CCSS

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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