¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices?

Cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Una matriz $2 \times 3$ por una $3 \times 4$ da una $2 \times 4$; una $2 \times 3$ por una $2 \times 3$ no se puede multiplicar. Escribe siempre los órdenes antes de operar.

¿Cómo se calcula la matriz inversa?

Calcula el determinante; si es distinto de cero, halla la matriz de adjuntos, trasponla y divide cada elemento entre el determinante. En una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Comprueba siempre que $A \cdot A^{-1} = I$.

¿Cuándo una matriz no tiene inversa?

Cuando su determinante es cero. Por ejemplo, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ tiene determinante $2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$ y no es invertible. Si la matriz depende de un parámetro, resuelve $|A| = 0$ y excluye esos valores.

¿Cómo se resuelve una ecuación matricial?

Agrupa los términos con la incógnita, saca $X$ factor común con la identidad y multiplica por la inversa del coeficiente por el lado correcto. Después multiplica las matrices y comprueba. Si el coeficiente no tiene inversa, la ecuación se plantea como un sistema de ecuaciones lineales con los elementos de $X$.

¿Se cumple la propiedad conmutativa en el producto de matrices?

No. Con $U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ se tiene $U \cdot V = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $V \cdot U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$. Por eso en las ecuaciones matriciales importa el lado por el que se multiplica.

¿Qué se pide de las matrices en la PAU de Andalucía?

En 2025 y 2026 las matrices aparecen en uno de los cuatro exámenes de Matemáticas II y en tres de los cuatro de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Lo habitual es un producto con contexto, una inversa, el valor de un parámetro que la hace invertible o una ecuación matricial. Repasa también los determinantes y los sistemas de ecuaciones.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Matrices: operaciones, matriz inversa y ecuaciones matriciales

Una matriz es una tabla de números con la que se opera casi como con los números, salvo que el orden de los factores importa. En la PAU de Andalucía las matrices salen en un ejercicio de álgebra: multiplicar, hallar una inversa o despejar la matriz incógnita de una ecuación. Aquí tienes las operaciones, el método de la inversa por adjuntos y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 3 de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

A. Sentido numérico

Concepto de matriz fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular, nula, identidad, traspuesta, simétrica y antisimétrica
Adición y producto de matrices
Potencia de una matriz cuadrada
Matriz inversa

D. Sentido algebraico

Resolución de ecuaciones matriciales mediante el uso de la matriz inversa y mediante su transformación en un sistema de ecuaciones lineales

Salió en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en uno de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Concepto de matriz fila, columna, cuadrada, diagonal, triangular, nula, identidad, traspuesta, simétrica y antisimétrica.
- Adición y producto de matrices. Producto de un escalar por una matriz. Uso adecuado de las propiedades.
- Potencia de una matriz cuadrada: cálculo de la potencia de una matriz en situaciones cíclicas.
- Matriz inversa: definición, propiedades y cálculo para una matriz cuadrada, con determinante no nulo, de orden menor o igual que 3.
- Resolución de ecuaciones matriciales mediante el uso de la matriz inversa y mediante su transformación en un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicios
- Extraordinaria 2026: ejercicio 3.2, apartado b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Adición y producto de matrices: interpretación, comprensión y aplicación adecuada de las propiedades.
- Aplicación de las operaciones de las matrices y de sus propiedades en la resolución de problemas en contextos reales.
- Determinantes y matriz inversa: definición y propiedades.
- Resolución de ecuaciones matriciales mediante el uso de la matriz inversa y mediante su transformación en un sistema de ecuaciones lineales.
- Utilización de las matrices para representar datos estructurados y situaciones de contexto real.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 1, apartados a) y b) (obligatorio)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 1, apartado b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 1, apartados b) y c) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Una matriz de orden $m \times n$ tiene $m$ filas y $n$ columnas, y $a_{ij}$ es el elemento de la fila $i$ y la columna $j$ . Hay matrices fila, columna, cuadradas, diagonales, triangulares, la matriz nula y la matriz identidad $I$ . La traspuesta $A^t$ cambia filas por columnas; $A$ es simétrica si $A^t = A$ y antisimétrica si $A^t = -A$ .
La suma exige matrices del mismo orden y se hace elemento a elemento. El producto $A \cdot B$ existe si $A$ tiene tantas columnas como filas tiene $B$ ; el elemento $(i, j)$ es la fila $i$ de $A$ multiplicada por la columna $j$ de $B$ . Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$ , el producto es $m \times p$ .
El producto no es conmutativo: en general $A \cdot B \neq B \cdot A$ , y puede existir uno y no el otro. Sí es asociativo y distributivo, y se cumple $(A \cdot B)^t ={}$ $B^t \cdot A^t$ .
La matriz inversa $A^{-1}$ cumple $A \cdot A^{-1} ={}$ $A^{-1} \cdot A ={}$ $I$ . Existe si y solo si $|A| \neq 0$ , y se calcula con $A^{-1} ={}$ $\dfrac{1}{|A|}\,\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t$ . Para un producto, $(A \cdot B)^{-1} ={}$ $B^{-1} \cdot A^{-1}$ .
En una ecuación matricial se despeja la incógnita multiplicando por la inversa, del mismo lado en los dos miembros: de $A \cdot X = B$ sale $X = A^{-1} \cdot B$ , y de $X \cdot A = B$ sale $X = B \cdot A^{-1}$ . Si la incógnita aparece en dos términos, se agrupa primero: $A \cdot X - X = B$ equivale a $(A - I) \cdot X = B$ .
En Matemáticas II se piden también las potencias $A^n ={}$ $A \cdot A \cdots A$ : se calculan $A^2$ , $A^3$ y se busca el patrón. En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II no se pide $A^n$ , aunque puede aparecer un cuadrado como $B^2$ , que es un producto más; allí las matrices sirven sobre todo para representar datos: una tabla por una columna de precios da, de una vez, el importe de cada fila.

El método, paso a paso

en orden

1.Comprueba los órdenes
Antes de operar, escribe el orden de cada matriz. Para sumar deben ser iguales; para multiplicar, las columnas del primer factor deben coincidir con las filas del segundo. El orden del resultado sale de las filas del primero y las columnas del segundo.
2.Calcula el determinante
Si te piden la inversa o una ecuación que la necesita, calcula $|A|$ primero. Si es cero, la inversa no existe y no tiene sentido seguir. Si tiene un parámetro, la condición $|A| \neq 0$ te dice para qué valores hay inversa.
3.Halla la inversa por adjuntos
Calcula la matriz de adjuntos, trasponla y divide entre $|A|$ . En una matriz $2 \times 2$ basta con intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los otros dos. Comprueba que $A \cdot A^{-1} = I$ .
4.Despeja la incógnita con cuidado
Pasa a un miembro los términos con $X$ y al otro los demás. Saca $X$ factor común sin perder la identidad ( $A - I$ , no $A - 1$ ) y multiplica por la inversa por el lado que corresponde: si $X$ está a la derecha del coeficiente, multiplica por la izquierda.
5.Comprueba el resultado
Sustituye la matriz obtenida en la ecuación del enunciado y verifica que se cumple. Es rápido y detecta errores de signo o de orden en el producto.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Producto de dos matrices
Considera $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Calcula $A \cdot B$ e indica el orden de $B \cdot A$ .
2.Inversa de una matriz de orden 3
Halla, si existe, la matriz inversa de $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
3.Una ecuación matricial con la incógnita a la izquierda
Sean $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ . Resuelve la ecuación matricial $X \cdot A = B$ .
4.Potencias de una matriz
Sea $R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ . Calcula $R^2$ , $R^3$ y $R^4$ y, con ellas, $R^{101}$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Ejercicio 3.2, apartado b)

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, una matriz

Y

que verifica

A^3YB^{-1} = A^2

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 3.2, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden sumar y multiplicar matrices, calcular determinantes hasta orden 3 para obtener el rango y la inversa, resolver ecuaciones matriciales con la matriz inversa y usar las matrices para representar datos y situaciones reales. Es el papel de las matrices en tres de los cuatro exámenes de 2025 y 2026: casi siempre un apartado con contexto (vendedores, precios, producciones) y otro de álgebra pura.

Las potencias de una matriz no figuran en las orientaciones de CCSS, y ningún examen de 2025 y 2026 pide

A^n

; sí aparece algún cuadrado, como

B^2

en el apartado de abajo, que es un producto más. En un enunciado de CCSS el producto de una tabla por una columna de precios o tarifas es el uso más frecuente. Más abajo tienes un apartado de la extraordinaria de 2026 con una ecuación matricial de orden 3.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 \\ -1 & m & 2 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Ejercicio 1, apartado b)

b) (1.75 puntos) Para

m = 1

, resuelva la ecuación matricial

A^t \cdot X - B^2 ={}

2 \cdot X

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 1, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

. Calcula

A \cdot B + 2C

A \cdot B + 2C =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}

. Calcula la matriz inversa

A^{-1}

. Si algún elemento no es entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

A^{-1} =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} -4 & 5 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}

. Resuelve la ecuación matricial

A \cdot X + B = C

X =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Un vivero tiene dos puntos de venta. La matriz

T = \begin{pmatrix} 8 & 18 & 11 \\ 14 & 22 & 7 \end{pmatrix}

recoge las unidades de rosales, geranios y limoneros (por columnas) que vendió en una semana cada punto de venta (por filas), y el vector

P = \begin{pmatrix} 9.5 \\ 4.5 \\ 28.5 \end{pmatrix}

, el precio en euros de cada planta, en el mismo orden. Calcule, mediante un producto de matrices, el importe en euros que ingresó cada punto de venta.

punto de venta 1€punto de venta 2€

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 5.

Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} -6 & -8 \\ -6 & -11 \end{pmatrix}

. Resuelva la ecuación matricial

A \cdot X = B

X =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Multiplicas matrices elemento a elemento. El producto es fila por columna: el elemento $(1, 1)$ de $A \cdot B$ suma los productos de la primera fila de $A$ con la primera columna de $B$ , no $a_{11} \cdot b_{11}$ sin más.
Cambias el orden al despejar. De $X \cdot A = B$ sale $X = B \cdot A^{-1}$ , no $A^{-1} \cdot B$ ; de $A \cdot X = B$ sale $X = A^{-1} \cdot B$ . La inversa se coloca del mismo lado que el coeficiente.
Olvidas trasponer la matriz de adjuntos. La inversa es $\dfrac{1}{|A|}\,\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t$ ; si no traspones, obtienes la traspuesta de la inversa.
Al agrupar escribes $A \cdot X - X ={}$ $(A - 1) \cdot X$ . No se puede restar un número a una matriz: es $(A - I) \cdot X$ , con la identidad del mismo orden.
Escribes $(A \cdot B)^t ={}$ $A^t \cdot B^t$ o $(A \cdot B)^{-1} ={}$ $A^{-1} \cdot B^{-1}$ . En los dos casos el orden se invierte: $B^t \cdot A^t$ y $B^{-1} \cdot A^{-1}$ .

Para recordar

Producto: $(m \times n)\cdot(n \times p)$ da $m \times p$ ; en general $A \cdot B \neq B \cdot A$ .
$A^{-1}$ existe si y solo si $|A| \neq 0$ .
$A^{-1} ={}$ $\dfrac{1}{|A|}\,\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t$ .
$(A \cdot B)^t ={}$ $B^t \cdot A^t$ y $(A \cdot B)^{-1} ={}$ $B^{-1} \cdot A^{-1}$ .
$A \cdot X ={}$ $B \Rightarrow X ={}$ $A^{-1} \cdot B$ ; $X \cdot A ={}$ $B \Rightarrow X ={}$ $B \cdot A^{-1}$ .

Preguntas frecuentes

1.¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices?+
Respuesta:Cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Una matriz $2 \times 3$ por una $3 \times 4$ da una $2 \times 4$ ; una $2 \times 3$ por una $2 \times 3$ no se puede multiplicar. Escribe siempre los órdenes antes de operar.
2.¿Cómo se calcula la matriz inversa?+
Respuesta:Calcula el determinante; si es distinto de cero, halla la matriz de adjuntos, trasponla y divide cada elemento entre el determinante. En una matriz $2 \times 2$ , $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . Comprueba siempre que $A \cdot A^{-1} = I$ .
3.¿Cuándo una matriz no tiene inversa?+
Respuesta:Cuando su determinante es cero. Por ejemplo, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ tiene determinante $2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 ={}$ $0$ y no es invertible. Si la matriz depende de un parámetro, resuelve $|A| = 0$ y excluye esos valores.
4.¿Cómo se resuelve una ecuación matricial?+
Respuesta:Agrupa los términos con la incógnita, saca $X$ factor común con la identidad y multiplica por la inversa del coeficiente por el lado correcto. Después multiplica las matrices y comprueba. Si el coeficiente no tiene inversa, la ecuación se plantea como un sistema de ecuaciones lineales con los elementos de $X$ .
5.¿Se cumple la propiedad conmutativa en el producto de matrices?+
Respuesta:No. Con $U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $V = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ se tiene $U \cdot V = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $V \cdot U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ . Por eso en las ecuaciones matriciales importa el lado por el que se multiplica.
6.¿Qué se pide de las matrices en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En 2025 y 2026 las matrices aparecen en uno de los cuatro exámenes de Matemáticas II y en tres de los cuatro de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Lo habitual es un producto con contexto, una inversa, el valor de un parámetro que la hace invertible o una ecuación matricial. Repasa también los determinantes y los sistemas de ecuaciones.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Lo esencial

El método, paso a paso

1.Comprueba los órdenes

2.Calcula el determinante

3.Halla la inversa por adjuntos

4.Despeja la incógnita con cuidado

5.Comprueba el resultado

Ejemplos

1.Producto de dos matrices

2.Inversa de una matriz de orden 3

3.Una ecuación matricial con la incógnita a la izquierda

4.Potencias de una matriz

Un ejercicio de la PAU

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

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Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

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