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PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Sistemas de ecuaciones lineales: discusión con parámetros, Rouché-Frobenius, Gauss y Cramer

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede tener una solución, infinitas o ninguna. En la PAU de Andalucía el sistema aparece como un problema que hay que plantear y resolver, o como un sistema con un parámetro que hay que clasificar. Aquí tienes el método de Gauss, la regla de Cramer, el teorema de Rouché-Frobenius de Matemáticas II y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 2 de los 4 exámenes

Según tu examen

contado en los exámenes
Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

  • Matemáticas II

    en los 4 exámenes de 2025 y 2026

    • Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.
    • Sistemas compatibles (determinados e indeterminados) e incompatibles.
    • Teorema de Rouché-Frobenius.
    • Discusión de sistemas lineales, posiblemente dependiente de un parámetro, mediante el método de Gauss o por estudio directo de rangos.
    • Resolución de sistemas lineales, posiblemente dependiente de un parámetro, mediante el método de Gauss o empleando la regla de Cramer.

    Ejercicios

    • Ordinaria 2025: ejercicio 1, apartados a) y b) (obligatorio)
    • Extraordinaria 2025: ejercicio 1 (obligatorio)
    • Ordinaria 2026: ejercicio 3.1, apartados a) y b) (optativo)
    • Extraordinaria 2026: ejercicio 3.1 (optativo)

    Todos los temas de este examenEl modelo gratuito de este examen

  • Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

    en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

    • Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.
    • Regla de Cramer para la resolución de sistemas compatibles (determinados o indeterminados) de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

    Ejercicios

    • Extraordinaria 2025: ejercicio 1, apartado a) (optativo)
    • Ordinaria 2026: ejercicio 1, opción A, apartado a) (optativo)

    Todos los temas de este examenEl modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber
  • Un sistema de 33 ecuaciones con 33 incógnitas se escribe A⋅X=BA \cdot X = B, donde AA es la matriz de coeficientes y Aˉ\bar{A} la matriz ampliada, que añade la columna de los términos independientes. Según sus soluciones, el sistema es compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas) o incompatible (ninguna).
  • El método de Gauss transforma el sistema en otro con las mismas soluciones: se puede intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero y sumar a una ecuación un múltiplo de otra. El objetivo es dejar la matriz ampliada escalonada y resolver de abajo arriba.
  • La regla de Cramer resuelve un sistema con ∣A∣≠0|A| \neq 0: cada incógnita es un cociente de determinantes, x=x ={}Δx∣A∣ \dfrac{\Delta_x}{|A|}, donde Δx\Delta_x es el determinante de AA con la columna de xx sustituida por la de los términos independientes. Con la misma idea se obtienen yy y zz.
  • En Matemáticas II, el teorema de Rouché-Frobenius clasifica el sistema con los rangos: si rg⁡(A)=\operatorname{rg}(A) ={}rg⁡(Aˉ)= \operatorname{rg}(\bar{A}) ={}n n (el número de incógnitas), es compatible determinado; si rg⁡(A)=\operatorname{rg}(A) ={}rg⁡(Aˉ)<n \operatorname{rg}(\bar{A}) < n, compatible indeterminado; y si rg⁡(A)<rg⁡(Aˉ)\operatorname{rg}(A) < \operatorname{rg}(\bar{A}), incompatible.
  • En Matemáticas II, un sistema con un parámetro se discute así: calcula ∣A∣|A|, halla los valores que lo anulan y, para cada uno, compara rg⁡(A)\operatorname{rg}(A) con rg⁡(Aˉ)\operatorname{rg}(\bar{A}). Para cualquier otro valor del parámetro, ∣A∣≠0|A| \neq 0 y el sistema es compatible determinado.
  • Muchos problemas se resuelven antes de resolver el sistema: hay que plantearlo. Nombra las incógnitas con sus unidades, traduce cada frase del enunciado en una ecuación y comprueba al final la solución en el texto del problema.

El método, paso a paso

en orden

  1. 1.Nombra las incógnitas y plantea las ecuaciones

    Escribe qué representa cada letra, con sus unidades. Traduce cada dato en una ecuación y revisa que tienes tantas como incógnitas. Una frase como «el doble» o «un 12 % más» se convierte en 2x2x o en 1,12 x1{,}12\,x.

  2. 2.Escribe la matriz ampliada

    Ordena las incógnitas igual en todas las ecuaciones y copia los coeficientes en filas, con la columna de los términos independientes al final. Un coeficiente que falta vale 00.

  3. 3.Escalona con Gauss o aplica Cramer

    Si los números son pequeños, Gauss suele ser más rápido: usa la primera fila para hacer ceros debajo y repite con la siguiente. Si piden una sola incógnita, o el sistema es compatible determinado, Cramer es directo: dos determinantes y un cociente.

  4. 4.Clasifica el sistema

    Si al escalonar sale una fila 0=00 = 0, hay infinitas soluciones; si sale 0=c0 = c con c≠0c \neq 0, no hay ninguna. Con un parámetro, los valores críticos son los que anulan ∣A∣|A|.

  5. 5.Comprueba y responde

    Sustituye la solución en las ecuaciones originales. En un problema con contexto, contesta lo que pide el enunciado, con unidades, y descarta las soluciones que no tengan sentido (negativas, no enteras).

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

  1. 1.Un sistema compatible determinado, por Gauss

    Resuelve el sistema x+y+z=6x + y + z = 6, 2x−y+z=32x - y + z = 3, x+2y−z=2x + 2y - z = 2.

  2. 2.Plantear un problema con tres incógnitas

    En una frutería, un kilo de manzanas, uno de peras y uno de uvas cuestan 99 € en total. Dos kilos de manzanas, tres de peras y uno de uvas cuestan 1717 €. El kilo de uvas vale el doble que el de manzanas. Calcula el precio de cada fruta.

  3. 3.Un sistema resuelto con la regla de Cramer

    Resuelve con la regla de Cramer el sistema x+2y=0x + 2y = 0, 3x−y+z=103x - y + z = 10, y+2z=5y + 2z = 5.

  4. 4.Clasificar un sistema según un parámetro

    Discute el sistema −x+ay+z=1-x + ay + z = 1, x+y−z=0x + y - z = 0, −x+2y+(a−1)z=1-x + 2y + (a - 1)z = 1 según los valores de aa, como en un ejercicio de Matemáticas II.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía
Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.
Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 3.1

Considera el sistema {3x−y=a2(1−a)y+2z=04y+(3−a)z=a−5\left\{\begin{array}{rrrcc} 3x & -y & & = & a^2 \\ & (1 - a)y & +2z & = & 0 \\ & 4y & +(3 - a)z & = & a - 5 \end{array}\right. a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de aa. b) [0,75 puntos] Para a=0a = 0 resuelve el sistema, si es posible.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 3.1. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia
En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden plantear sistemas de ecuaciones con tres incógnitas y resolverlos, y la regla de Cramer para tres ecuaciones con tres incógnitas. Es el tipo de sistema de dos de los cuatro exámenes de 2025 y 2026: casi siempre un problema con contexto (precios, entradas, producciones) que hay que plantear y resolver.
El teorema de Rouché-Frobenius y la discusión de un sistema según un parámetro no figuran en las orientaciones de CCSS, y ningún examen de CCSS de 2025 y 2026 los pide. Sí puede pedirse decidir si un sistema concreto tiene solución única: en la extraordinaria de 2025 bastaba ver que el determinante de la matriz del sistema no era cero. Lo que se evalúa es el planteamiento, que cada ecuación diga lo que pide el texto, y la resolución correcta, con Gauss, sustitución o Cramer. Más abajo tienes un apartado de la ordinaria de 2026.
Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria ordinaria

A) En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 55 entradas Premium, 2020 Estándar y 2020 VIP, obteniéndose una recaudación de 18001800€. En la sesión nocturna se vendieron 1010 VIP, 1010 Estándar y 55 Premium, recaudándose 10001000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 44 al resto de entradas, que fueron 1212 VIP y 44 Estándar, arrojando una recaudación de 15601560€.

Ejercicio 1, opción A, apartado a)

a) (2.25 puntos) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria ordinaria, ejercicio 1, opción A, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento
Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.
Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera el sistema {x+(2a−1)y−2z=−5−x+3y+2z=13x+4y+(a−2)z=9\left\{\begin{array}{l} x + (2a - 1)y - 2z = -5 \\ -x + 3y + 2z = 1 \\ 3x + 4y + (a - 2)z = 9 \end{array}\right., donde aa es un número real. Halla los valores de aa para los que el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera el sistema {−2x+(2k−1)y−3z=1−2x+3y−3z=−1−2x+(k−2)z=8\left\{\begin{array}{l} -2x + (2k - 1)y - 3z = 1 \\ -2x + 3y - 3z = -1 \\ -2x + (k - 2)z = 8 \end{array}\right., donde kk es un número real. Para k=2k = 2, ¿cómo es el sistema?

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera el sistema {5x+3y+5z=−4−x−2y=134x+3y+3z=−3\left\{\begin{array}{l} 5x + 3y + 5z = -4 \\ -x - 2y = 13 \\ 4x + 3y + 3z = -3 \end{array}\right.. Halla el valor de yy en la solución del sistema. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Una heladería vende tarrinas pequeñas a 22 €, tarrinas medianas a 44 € y tarrinas grandes a 77 €. Un domingo vendió 6161 tarrinas por un total de 276276 €. Se vendieron 33 tarrinas pequeñas más que tarrinas medianas. ¿Cuántas tarrinas de cada tamaño vendió?

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 5.

Se considera el sistema {−2x+4y=05x+4y−3z=6−2x−2y+z=−9\left\{\begin{array}{l} -2x + 4y = 0 \\ 5x + 4y - 3z = 6 \\ -2x - 2y + z = -9 \end{array}\right.. Halle el valor de yy en la solución del sistema. Si el resultado no es un número entero, escríbalo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos
  • Plantas una ecuación que no dice lo que dice el texto. «La entrada VIP cuesta 55 € más que la estándar» es v=e+5v = e + 5, no e=v+5e = v + 5; y «un 20 %20\,\% más» es multiplicar por 1,21{,}2, no sumar 2020. Relee cada frase tras escribirla.
  • En Gauss haces una operación entre filas y la aplicas a medias: si multiplicas una fila por un número, hazlo también con su término independiente. Un error en una sola casilla cambia la solución entera.
  • En Cramer sustituyes la columna equivocada, o calculas Δx\Delta_x sin cambiar la columna de xx. Haz una tabla: para xx cambia la primera columna, para yy la segunda, para zz la tercera.
  • Concluyes que el sistema es incompatible porque ∣A∣=0|A| = 0. Un determinante nulo solo dice que no es compatible determinado; para decidir entre indeterminado e incompatible hay que comparar los rangos de AA y de Aˉ\bar{A}.
  • Das la solución sin comprobarla en el texto del problema. Un precio negativo o un número de entradas fraccionario indican un error en el planteamiento, aunque el sistema esté bien resuelto.

Para recordar

  • A⋅X=BA \cdot X = B; compatible determinado, indeterminado o incompatible.
  • Cramer: x=x ={}Δx∣A∣ \dfrac{\Delta_x}{|A|}, si ∣A∣≠0|A| \neq 0.
  • Rouché-Frobenius (Matemáticas II): se comparan rg⁡(A)\operatorname{rg}(A), rg⁡(Aˉ)\operatorname{rg}(\bar{A}) y el número de incógnitas.
  • Una fila 0=c0 = c con c≠0c \neq 0 en Gauss: incompatible.
  • Valores críticos del parámetro: los que anulan ∣A∣|A|; se estudia cada uno aparte.

Preguntas frecuentes

  1. 1.¿Qué diferencia hay entre un sistema compatible determinado y uno indeterminado?+
    Respuesta:Un sistema compatible tiene al menos una solución. Si es única, es compatible determinado; si hay infinitas, es compatible indeterminado, y las soluciones dependen de uno o más parámetros. Con tres incógnitas y rangos iguales a 22, hay un parámetro libre: 3−2=13 - 2 = 1.
  2. 2.¿Cuándo es incompatible un sistema?+
    Respuesta:Cuando las ecuaciones se contradicen. Por ejemplo, x+2y+3z=1x + 2y + 3z = 1 y 2x+4y+6z=32x + 4y + 6z = 3 no pueden cumplirse a la vez: el rango de AA es 11 y el de Aˉ\bar{A} es 22. En Gauss se reconoce porque aparece una fila 0=c0 = c con c≠0c \neq 0.
  3. 3.¿Cómo se aplica la regla de Cramer?+
    Respuesta:Calcula ∣A∣|A|; si es distinto de cero, cada incógnita es el cociente de otro determinante entre ∣A∣|A|. Ese otro determinante es el de AA con la columna de la incógnita sustituida por los términos independientes. Es útil sobre todo cuando piden una sola incógnita.
  4. 4.¿Qué dice el teorema de Rouché-Frobenius en Matemáticas II?+
    Respuesta:En Matemáticas II se usa para clasificar un sistema sin resolverlo. Si rg⁡(A)=\operatorname{rg}(A) ={}rg⁡(Aˉ) \operatorname{rg}(\bar{A}), el sistema es compatible, y es determinado cuando ese rango es el número de incógnitas; si rg⁡(A)<rg⁡(Aˉ)\operatorname{rg}(A) < \operatorname{rg}(\bar{A}), es incompatible.
  5. 5.¿Cómo se discute un sistema con un parámetro en Matemáticas II?+
    Respuesta:Calcula el determinante de la matriz de coeficientes y hállalo como polinomio del parámetro. Los valores que lo anulan son los críticos. Para los demás, el sistema es compatible determinado; para cada valor crítico, estudia los rangos de AA y de Aˉ\bar{A} y clasifica.
  6. 6.¿Cuándo prefiero Gauss y cuándo Cramer?+
    Respuesta:Gauss sirve para cualquier sistema, también si no es compatible determinado, y suele ser más rápido con números pequeños. Cramer exige ∣A∣≠0|A| \neq 0 y es cómodo si te piden una sola incógnita o si el sistema tiene un parámetro y quieres la solución en función de él.
  7. 7.¿Qué se pide de los sistemas en la PAU de Andalucía?+
    Respuesta:En 2025 y 2026 aparecen en los cuatro exámenes de Matemáticas II y en dos de los cuatro de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. En Matemáticas II salen tanto problemas con contexto que hay que plantear como la discusión de un sistema con un parámetro (ordinaria de 2026); en CCSS, un problema con contexto que hay que plantear y resolver.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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