¿Cómo se calcula un determinante de orden 3?

Con la regla de Sarrus: suma los productos de los tres elementos de las diagonales que bajan y resta los de las que suben. También puedes desarrollar por una fila o columna con los adjuntos; elige la que tenga más ceros. Los dos métodos dan el mismo valor, y puedes usar uno para comprobar el otro.

¿Qué es el rango de una matriz?

Es el orden del mayor menor distinto de cero, o el número de filas no nulas cuando la escalonas con el método de Gauss. Una matriz de $3 \times 4$ tiene rango $3$ como máximo. Si el rango es $1$, todas las filas son proporcionales.

¿Cuándo vale cero un determinante?

Cuando una fila o columna es nula, cuando dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, o cuando una fila es combinación lineal de las demás. Por ejemplo, el determinante de $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ es $0$, porque la segunda fila es el doble de la primera, y su rango es $2$.

¿Cómo se relaciona el determinante con la inversa?

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero, y entonces $|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}$. El determinante aparece además dividiendo en la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t$. Repasa la página de matrices para el cálculo completo.

¿Cómo se estudia el rango de una matriz con un parámetro?

Calcula el determinante, factorízalo e iguala a cero para hallar los valores críticos. Para los demás valores el rango es el máximo. Para cada valor crítico, sustituye en la matriz y busca un menor de orden $2$ distinto de cero: si existe, el rango es $2$; si no, es $1$. Con dos parámetros, se estudia cada caso de la misma forma.

¿Qué se pide de los determinantes en la PAU de Andalucía?

En 2025 y 2026 aparecen en dos de los cuatro exámenes de Matemáticas II y en tres de los cuatro de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Lo habitual es calcular el determinante de una matriz con un parámetro para saber cuándo es invertible o qué rango tiene, o usar las propiedades para obtener un valor sin desarrollar.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Determinantes y rango de una matriz: regla de Sarrus y propiedades

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada que decide si tiene inversa y, junto con los menores, cuál es su rango. En la PAU de Andalucía se pide calcularlo, usar sus propiedades sin desarrollarlo o estudiar para qué valores de un parámetro la matriz es invertible o cambia de rango. Aquí tienes los métodos y dos ejercicios de la PAU resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026; Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II: en 3 de los 4 exámenes

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

A. Sentido numérico

Determinante
Cálculo del rango de una matriz, posiblemente dependiente de uno o dos parámetros, aplicando el método de Gauss o determinantes
Matriz inversa

Salió en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

En el examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II los decimales se escriben con punto.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Determinante: definición, propiedades y cálculo para una matriz cuadrada de orden menor o igual que 3.
- Cálculo del rango de una matriz, posiblemente dependiente de uno o dos parámetros, aplicando el método de Gauss o determinantes.
- Matriz inversa: definición, propiedades y cálculo para una matriz cuadrada, con determinante no nulo, de orden menor o igual que 3.
Ejercicios
- Ordinaria 2026: ejercicio 3.1, apartado a) (optativo); ejercicio 3.2, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 3.2, apartado a) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Cálculo de determinantes hasta de orden 3 para el cálculo del rango y la inversa de una matriz.
- Determinantes y matriz inversa: definición y propiedades.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 1, apartado b) (obligatorio)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 1, apartado a) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 1, apartado a) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

El determinante de una matriz de orden $2$ es $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ . Para orden $3$ se usa la regla de Sarrus: se suman los productos $a_{11}a_{22}a_{33}$ , $a_{12}a_{23}a_{31}$ y $a_{13}a_{21}a_{32}$ y se restan $a_{13}a_{22}a_{31}$ , $a_{11}a_{23}a_{32}$ y $a_{12}a_{21}a_{33}$ .
También puedes desarrollar por una fila o una columna: $|A| ={}$ $a_{11}A_{11} +{}$ $a_{12}A_{12} +{}$ $a_{13}A_{13}$ , donde el adjunto es $A_{ij} ={}$ $(-1)^{i + j} M_{ij}$ y $M_{ij}$ es el menor, el determinante que queda al quitar la fila $i$ y la columna $j$ . Conviene elegir la fila o la columna con más ceros.
Propiedades (para $A$ de orden $n$ ): $|A^t| = |A|$ , $|A \cdot B| ={}$ $|A| \cdot |B|$ , $|kA| = k^n |A|$ y, si $A$ es invertible, $|A^{-1}| ={}$ $\dfrac{1}{|A|}$ . Intercambiar dos filas cambia el signo; multiplicar una fila por $k$ multiplica el determinante por $k$ ; sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia; con una fila nula o dos filas proporcionales vale $0$ .
El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de cero, y no supera el menor de sus dos dimensiones. También es el número de filas no nulas tras escalonarla por el método de Gauss. Para una matriz cuadrada de orden $n$ son equivalentes $|A| \neq 0$ , $\operatorname{rg}(A) ={}$ $n$ y que $A$ tenga inversa.
Cuando hay un parámetro, calcula $|A|$ como un polinomio en el parámetro, factorízalo y estudia aparte cada valor que lo anula: para esos valores el rango baja, y hay que decidir cuánto.

El método, paso a paso

en orden

1.Elige cómo calcular el determinante
En orden $2$ , $ad - bc$ . En orden $3$ , Sarrus si los números son pequeños; si hay ceros, desarrolla por la fila o columna que más tenga. Si el enunciado da el valor de otro determinante, probablemente se espera que uses las propiedades.
2.Usa las propiedades en lugar de desarrollar
Si te piden el determinante de una matriz construida con las filas de otra, anota qué se hizo con cada fila: un factor $k$ , una suma de filas, un intercambio. Cada operación cambia el valor de una forma conocida, y al final queda un múltiplo de $|A|$ .
3.Halla los valores críticos del parámetro
Escribe $|A|$ en función del parámetro, factorízalo e iguala a cero. Esos son los valores críticos; para cualquier otro valor, el rango es el máximo posible.
4.Estudia cada valor crítico por separado
Sustituye el valor en la matriz y busca un menor distinto de cero del mayor orden posible. Si todos los menores de orden $3$ se anulan, prueba con los de orden $2$ ; si también, el rango es $1$ (o $0$ si la matriz es nula).
5.Comprueba con un valor concreto
Prueba con un valor no crítico y con cada valor crítico: el determinante debe ser distinto de cero en el primero y cero en los demás. Así detectas un error de cuentas antes de entregar.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Un determinante de orden 3 con la regla de Sarrus
Calcula el determinante de $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ .
2.Propiedades de los determinantes
Sea $A$ una matriz de orden $3$ , con filas $F_1$ , $F_2$ y $F_3$ , y $|A| = -3$ . Calcula $|2A|$ , $|A^{-1}|$ , $|A^3|$ y el determinante de la matriz de filas $F_1 + 3F_2$ , $F_2$ y $-F_3$ .
3.El rango de una matriz con un parámetro
Estudia el rango de $R = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$ según los valores de $m$ .
4.¿Para qué valores existe la inversa?
Halla los valores de $a$ para los que $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a^2 \end{pmatrix}$ tiene inversa.

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 3.2

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 1 \\ 2 & \alpha & \beta \\ 3 & 4 & \alpha \end{pmatrix}

que cumple

|A| = -2

. a) [1,5 puntos] Calcula

\begin{vmatrix} -3 & -4 & -\alpha \\ \alpha - 2 & \beta - \alpha & 1 - \beta \\ 8 & 4\alpha & 4\beta \end{vmatrix}

b) [1 punto] Calcula

|A^{-1}(A^t)^2A|

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 3.2. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Si haces Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II

lo que cambia

En Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II las orientaciones piden el cálculo de determinantes hasta el orden

3

para obtener el rango y la inversa de una matriz. Aparecen en tres de los cuatro exámenes de 2025 y 2026, casi siempre con un parámetro: «¿para qué valores de

m

tiene rango

3

?» o «¿para qué valores de

a

es invertible?».

Eso significa desarrollar un determinante de orden

3

y resolver

|A| = 0

. Las orientaciones de CCSS citan también las propiedades («Determinantes y matriz inversa: definición y propiedades»), pero ningún examen de CCSS de 2025 y 2026 pide calcular un determinante solo con ellas, como hacen los de Matemáticas II, y el parámetro es siempre uno. Aquí tienes un apartado de la extraordinaria de 2026.

Ejercicio de la PAUMatemáticas CCSS

PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II, convocatoria extraordinaria

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 \\ -1 & m & 2 \\ 0 & m & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}

Ejercicio 1, apartado a)

a) (0.75 puntos) Calcule los valores de

m

para que el rango de la matriz

A

sea

3

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 1, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}

. Calcula el determinante de

A

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Sea

A

una matriz cuadrada de orden

3

, de filas

F_1

F_2

F_3

, tal que

|A| = 4

. Calcula el determinante de la matriz cuyas filas son, en este orden,

-2F_1

F_3

F_2 + 2F_1

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera la matriz

M = \begin{pmatrix} m - 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & m + 1 & 3 \end{pmatrix}

. Para

m = 3

, ¿cuál es el rango de

M

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 4.

Se considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ 0 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}

. Calcule el determinante de

A

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas CCSS

Pregunta 5.

Se considera la matriz

A = \begin{pmatrix} m - 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & m + 1 \end{pmatrix}

. Halle los valores de

m

para los que

A

no tiene inversa.

el menorel mayor

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Aplicas $|kA| = k\,|A|$ . En una matriz de orden $n$ , el factor $k$ sale de cada una de las $n$ filas: $|kA| = k^n |A|$ . Con orden $2$ y $k = 3$ , el determinante se multiplica por $9$ , no por $3$ .
Con Sarrus mezclas los signos: los tres productos de las diagonales que bajan de izquierda a derecha suman y los tres de las que suben restan. Escribe los seis productos y comprueba que ninguno repite un elemento de la misma fila o columna.
Desarrollas por una fila y olvidas el signo $(-1)^{i + j}$ del adjunto. Los signos siguen el patrón de un tablero: $+ - +$ , $- + -$ , $+ - +$ .
Afirmas que $|A + B| = |A| + |B|$ . No es cierto: el determinante de una suma no es la suma de los determinantes. Solo es multiplicativo, $|A \cdot B| ={}$ $|A| \cdot |B|$ .
Con un parámetro, das el rango máximo y te olvidas de los valores críticos. Si $|A| = 0$ para $m = 1$ , hay que estudiar ese caso: el rango puede ser $2$ o $1$ , y para saberlo se miran los menores de orden $2$ .

Para recordar

Orden $2$ : $ad - bc$ . Orden $3$ : Sarrus, o desarrollo por una fila o columna.
$|A^t| = |A|$ , $|A \cdot B| ={}$ $|A| \cdot |B|$ , $|A^{-1}| ={}$ $\dfrac{1}{|A|}$ , $|kA| = k^n |A|$ .
Dos filas proporcionales o una fila nula: el determinante vale $0$ .
$A$ invertible $\iff |A| \neq 0 \iff \operatorname{rg}(A) ={}$ $n$ .
Rango: orden del mayor menor distinto de cero, o filas no nulas tras Gauss.

Preguntas frecuentes

1.¿Cómo se calcula un determinante de orden 3?+
Respuesta:Con la regla de Sarrus: suma los productos de los tres elementos de las diagonales que bajan y resta los de las que suben. También puedes desarrollar por una fila o columna con los adjuntos; elige la que tenga más ceros. Los dos métodos dan el mismo valor, y puedes usar uno para comprobar el otro.
2.¿Qué es el rango de una matriz?+
Respuesta:Es el orden del mayor menor distinto de cero, o el número de filas no nulas cuando la escalonas con el método de Gauss. Una matriz de $3 \times 4$ tiene rango $3$ como máximo. Si el rango es $1$ , todas las filas son proporcionales.
3.¿Cuándo vale cero un determinante?+
Respuesta:Cuando una fila o columna es nula, cuando dos filas o dos columnas son iguales o proporcionales, o cuando una fila es combinación lineal de las demás. Por ejemplo, el determinante de $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ es $0$ , porque la segunda fila es el doble de la primera, y su rango es $2$ .
4.¿Cómo se relaciona el determinante con la inversa?+
Respuesta:Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero, y entonces $|A^{-1}| ={}$ $\dfrac{1}{|A|}$ . El determinante aparece además dividiendo en la fórmula $A^{-1} ={}$ $\dfrac{1}{|A|}\big(\operatorname{Adj}(A)\big)^t$ . Repasa la página de matrices para el cálculo completo.
5.¿Cómo se estudia el rango de una matriz con un parámetro?+
Respuesta:Calcula el determinante, factorízalo e iguala a cero para hallar los valores críticos. Para los demás valores el rango es el máximo. Para cada valor crítico, sustituye en la matriz y busca un menor de orden $2$ distinto de cero: si existe, el rango es $2$ ; si no, es $1$ . Con dos parámetros, se estudia cada caso de la misma forma.
6.¿Qué se pide de los determinantes en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En 2025 y 2026 aparecen en dos de los cuatro exámenes de Matemáticas II y en tres de los cuatro de Matemáticas Aplicadas a las CC. SS. II. Lo habitual es calcular el determinante de una matriz con un parámetro para saber cuándo es invertible o qué rango tiene, o usar las propiedades para obtener un valor sin desarrollar.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Determinantes y rango de una matriz: regla de Sarrus y propiedades

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Elige cómo calcular el determinante

2.Usa las propiedades en lugar de desarrollar

3.Halla los valores críticos del parámetro

4.Estudia cada valor crítico por separado

5.Comprueba con un valor concreto

Ejemplos

1.Un determinante de orden 3 con la regla de Sarrus

2.Propiedades de los determinantes

3.El rango de una matriz con un parámetro

4.¿Para qué valores existe la inversa?

Un ejercicio de la PAU

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Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

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