¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano?

Escribe el plano como $Ax + By + Cz + D = 0$, sustituye las coordenadas del punto en el primer miembro, toma el valor absoluto y divide entre $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$. Si el resultado no es entero, deja la raíz exacta y, si lo piden, añade el decimal.

¿Cómo se halla el punto simétrico de un punto respecto de un plano?

Traza la recta que pasa por el punto con la dirección del vector normal del plano, halla dónde corta al plano, que es la proyección ortogonal $H$, y toma $P' = 2H - P$. Comprueba que el punto medio de $P$ y $P'$ está en el plano.

¿Qué es la proyección ortogonal de un punto sobre una recta?

Es el punto de la recta más próximo al punto dado. Se halla con un punto genérico $H$ de la recta y la condición $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{u} = 0$, que da el valor del parámetro. La distancia del punto a la recta es la longitud de $\overrightarrow{PH}$.

¿Cómo se halla el ángulo entre una recta y un plano?

Calcula el seno del ángulo con $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$, donde $\vec{u}$ es el vector director de la recta y $\vec{n}$ el normal del plano, y después usa el arco seno. El resultado está entre $0^\circ$ y $90^\circ$.

¿Cómo se construye la perpendicular común a dos rectas que se cruzan?

Calcula $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$. Escribe el plano que contiene a la primera recta y a $\vec{w}$, y el que contiene a la segunda y a $\vec{w}$. La perpendicular común es la intersección de los dos planos.

¿Qué se pide de distancias y ángulos en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II salen en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026, casi siempre como segundo apartado de un ejercicio de geometría: la distancia de un punto o de una recta a un plano y el punto simétrico respecto de un plano. Repasa también la construcción de planos y rectas.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Distancias, ángulos y simetrías en el espacio: punto, recta y plano

La geometría métrica del espacio pide medir: la distancia de un punto a un plano o a una recta, el ángulo entre dos rectas o entre una recta y un plano, y el simétrico de un punto. Casi todo sale de dos ideas, la fórmula de la distancia y la proyección ortogonal. Aquí tienes las fórmulas, el método, cuatro ejemplos y dos ejercicios de la PAU de Andalucía resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

C. Sentido espacial

Planteamiento y resolución de problemas de geometría métrica relacionados con la medida de ángulos entre rectas y planos, la medida de distancias entre puntos, rectas y planos y la ortogonalidad entre rectas y planos
Construcción de la recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan en el espacio
Estudio de la simetría en el espacio
Recta simétrica respecto de un plano
Vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas que se cruzan, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos

Salió en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Planteamiento y resolución de problemas de geometría métrica relacionados con la medida de ángulos entre rectas y planos, la medida de distancias entre puntos, rectas y planos y la ortogonalidad entre rectas y planos.
- Construcción de la recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan en el espacio.
- Estudio de la simetría en el espacio: punto simétrico respecto de otro punto, respecto de un plano y respecto de una recta.
- Recta simétrica respecto de un plano; recta proyección ortogonal sobre un plano.
- Vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas que se cruzan, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 4, apartado b) (optativo); ejercicio 5, apartado b) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 4, apartado b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 4.1, apartado b) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los une: $d(A, B) ={}$ $|\overrightarrow{AB}|$ . La distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax +{}$ $By +{}$ $Cz +{}$ $D ={}$ $0$ es $d(P, \pi) ={}$ $\dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ .
La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ , con $A$ un punto de $r$ y $\vec{u}$ su vector director, es $d(P, r) ={}$ $\dfrac{|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ . También es la distancia de $P$ a su proyección ortogonal sobre $r$ .
La distancia entre planos paralelos, o entre una recta y un plano paralelos, es la distancia de un punto del primero al segundo. Dos rectas que se cruzan están a una distancia $d(r, s) = \dfrac{\left|[\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}]\right|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$ .
Ángulos: entre dos rectas, $\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$ ; entre dos planos, el mismo cociente con los vectores normales; entre una recta y un plano, $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$ , con $\vec{u}$ director y $\vec{n}$ normal.
Proyección ortogonal de un punto $P$ sobre un plano $\pi$ : se traza la recta que pasa por $P$ con la dirección de $\vec{n}$ y se halla su punto de corte $H$ con $\pi$ . Sobre una recta $r$ , es el punto $H$ de $r$ con $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{u} ={}$ $0$ .
Simétrico $P'$ de $P$ respecto de una recta o de un plano: se halla la proyección $H$ de $P$ y se toma $H$ como punto medio, $P' = 2H - P$ . Respecto de un punto $M$ , el punto medio es el propio $M$ : $P' = 2M - P$ . La recta simétrica respecto de un plano se construye con los simétricos de dos de sus puntos, o con su punto de corte y un solo simétrico.
La perpendicular común a dos rectas que se cruzan tiene la dirección $\vec{w} ={}$ $\vec{u} \times \vec{v}$ . Es la intersección del plano que contiene a una de las rectas y a $\vec{w}$ con el plano que contiene a la otra y a $\vec{w}$ .

El método, paso a paso

en orden

1.Dibuja la situación
Haz un esquema con el punto, la recta o el plano y marca lo que se pide. Reconocer si buscas una distancia, un ángulo o un simétrico decide la fórmula antes de escribir ninguna coordenada.
2.Reúne los datos
Necesitas el vector normal del plano, el vector director de la recta y un punto de cada objeto. Si el plano viene por tres puntos o la recta en implícitas, obtén antes esos datos con un producto vectorial.
3.Aplica la fórmula o la proyección
Para una distancia a un plano, sustituye en la fórmula. Para una distancia a una recta, usa el producto vectorial o halla la proyección. Para un simétrico, halla primero la proyección $H$ y después $P' = 2H - P$ .
4.Simplifica el resultado
Deja la distancia en forma exacta, $\dfrac{2}{\sqrt{5}} ={}$ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ , y añade el valor decimal si el enunciado lo pide. En los ángulos, usa el arco coseno o el arco seno.
5.Comprueba
En un simétrico, comprueba que $H$ es el punto medio y que $\overrightarrow{PP'}$ es proporcional al normal del plano. En una distancia, comprueba que el resultado es positivo y de un orden razonable.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Distancia de un punto a una recta
Calcula la distancia del punto $P(1, 2, 3)$ a la recta $r \equiv (x, y, z) ={}$ $(0, 1, 1) +{}$ $\lambda(1, 2, 2)$ .
2.Distancia entre dos planos paralelos
Comprueba que los planos $\pi_1 \equiv 2x -{}$ $y +{}$ $2z -{}$ $3 ={}$ $0$ y $\pi_2 \equiv 2x -{}$ $y +{}$ $2z +{}$ $6 ={}$ $0$ son paralelos y calcula la distancia entre ellos.
3.Ángulo entre dos planos
Halla el ángulo que forman los planos $\pi_1 \equiv x + 2y + 2z ={}$ $5$ y $\pi_2 \equiv 2x - y + 2z ={}$ $1$ .
4.Punto simétrico respecto de una recta
Halla el punto simétrico de $P(3, 2, 0)$ respecto de la recta $r \equiv (x, y, z) ={}$ $(1, 0, 0) +{}$ $\lambda(0, 1, 1)$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Sean los puntos

O(0, 0, 0)

A(0, 2, -2)

B(1, 2, m)

C(2, 3, 2)

Ejercicio 4, apartado b)

b) [1,25 puntos] Para

m = 0

, calcula la distancia del punto

O

al plano que pasa por los puntos

A

B

C

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 4, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Considera la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{rcr} x & = & -2\lambda \\ y & = & -1 + 2\lambda \\ z & = & 3 + 2\lambda \end{array}\right.

y el plano

\pi \equiv x - 2y + z - 3 ={}

0

Ejercicio 4.1, apartado b)

b) [1,5 puntos] Halla el punto simétrico de

P(1, 1, 1)

respecto de

\pi

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 4.1, apartado b). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera el plano

\pi \equiv 7x + 4y - 4z ={}

-7

y el punto

P(-4, -2, 2)

. Calcula la distancia del punto

P

al plano

\pi

. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera el plano

\pi \equiv 2x - y + 2z - 9 ={}

0

y el punto

P(8, 1, 6)

. Halla el punto

P'

simétrico de

P

respecto del plano

\pi

x =

y =

z =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -3\lambda \\ y = 4 \\ z = 3 + 2\lambda \end{array}\right.

y el plano

\pi \equiv 3x - 3y + 2z ={}

-4

. Calcula el ángulo que forman la recta

r

y el plano

\pi

, en grados. Da el resultado redondeado a las centésimas.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 4.

Considera el punto

P(-6, 8, 1)

y la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -1 - \lambda \\ y = 3 - \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{array}\right.

. Halla el punto

H

de la recta

r

más próximo a

P

, es decir, la proyección ortogonal de

P

sobre

r

x =

y =

z =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Olvidas el valor absoluto en la distancia de un punto a un plano. La distancia nunca es negativa: el numerador es $|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|$ .
Usas la fórmula con la ecuación del plano sin pasarla a la forma $Ax + By + Cz + D = 0$ . Si el plano es $2x - z = 2$ , el término independiente es $D = -2$ .
Confundes el ángulo entre recta y plano con el ángulo entre la recta y el normal. Con $\vec{u}$ y $\vec{n}$ se obtiene el seno del ángulo entre la recta y el plano; el coseno daría su complementario.
En el simétrico, te quedas en la proyección. El punto $H$ es el punto medio de $P$ y $P'$ , y todavía falta calcular $P' = 2H - P$ .
Mezclas el punto y el vector. En la distancia de un punto a una recta, $\overrightarrow{AP}$ une un punto de la recta con $P$ , y $\vec{u}$ es el vector director: no valen dos puntos ni dos vectores.

Para recordar

$d(P, \pi) ={}$ $\dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ .
$d(P, r) ={}$ $\dfrac{|\overrightarrow{AP} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ .
Entre recta y plano se usa el seno; entre rectas o entre planos, el coseno con valor absoluto.
Simétrico: primero la proyección $H$ y después $P' = 2H - P$ .
Entre planos paralelos, la distancia es la de un punto de uno al otro.

Preguntas frecuentes

1.¿Cómo se calcula la distancia de un punto a un plano?+
Respuesta:Escribe el plano como $Ax + By + Cz + D = 0$ , sustituye las coordenadas del punto en el primer miembro, toma el valor absoluto y divide entre $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ . Si el resultado no es entero, deja la raíz exacta y, si lo piden, añade el decimal.
2.¿Cómo se halla el punto simétrico de un punto respecto de un plano?+
Respuesta:Traza la recta que pasa por el punto con la dirección del vector normal del plano, halla dónde corta al plano, que es la proyección ortogonal $H$ , y toma $P' = 2H - P$ . Comprueba que el punto medio de $P$ y $P'$ está en el plano.
3.¿Qué es la proyección ortogonal de un punto sobre una recta?+
Respuesta:Es el punto de la recta más próximo al punto dado. Se halla con un punto genérico $H$ de la recta y la condición $\overrightarrow{PH} \cdot \vec{u} ={}$ $0$ , que da el valor del parámetro. La distancia del punto a la recta es la longitud de $\overrightarrow{PH}$ .
4.¿Cómo se halla el ángulo entre una recta y un plano?+
Respuesta:Calcula el seno del ángulo con $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}$ , donde $\vec{u}$ es el vector director de la recta y $\vec{n}$ el normal del plano, y después usa el arco seno. El resultado está entre $0^\circ$ y $90^\circ$ .
5.¿Cómo se construye la perpendicular común a dos rectas que se cruzan?+
Respuesta:Calcula $\vec{w} ={}$ $\vec{u} \times \vec{v}$ . Escribe el plano que contiene a la primera recta y a $\vec{w}$ , y el que contiene a la segunda y a $\vec{w}$ . La perpendicular común es la intersección de los dos planos.
6.¿Qué se pide de distancias y ángulos en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II salen en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026, casi siempre como segundo apartado de un ejercicio de geometría: la distancia de un punto o de una recta a un plano y el punto simétrico respecto de un plano. Repasa también la construcción de planos y rectas.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Distancias, ángulos y simetrías en el espacio: punto, recta y plano

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Lo esencial

El método, paso a paso

1.Dibuja la situación

2.Reúne los datos

3.Aplica la fórmula o la proyección

4.Simplifica el resultado

5.Comprueba

Ejemplos

1.Distancia de un punto a una recta

2.Distancia entre dos planos paralelos

3.Ángulo entre dos planos

4.Punto simétrico respecto de una recta

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Ponte a prueba

Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

Fuentes