¿Cómo se pasa de las ecuaciones implícitas a las paramétricas?

Calcula el vector director con el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos. Después busca un punto de la recta dando un valor a una incógnita en el sistema, por ejemplo $z = 0$, y resuélvelo. Con el punto y el vector escribes las ecuaciones paramétricas.

¿Cómo se sabe si dos rectas se cruzan?

Si sus vectores directores no son proporcionales, calcula el producto mixto de esos dos vectores y del vector que une un punto de cada recta. Si es distinto de $0$, las rectas no están en un mismo plano y se cruzan; si vale $0$, se cortan.

¿Cómo se halla el plano que contiene a una recta y a un punto exterior?

Toma como vectores directores el de la recta y el que une el punto con un punto cualquiera de la recta. Escribe el determinante con esos dos vectores y $(x - p_1, y - p_2, z - p_3)$, igualado a $0$, y desarróllalo.

¿Qué significa que una recta sea paralela a un plano?

Que su vector director es perpendicular al vector normal del plano ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$) y que la recta no tiene ningún punto en el plano. Si además un punto de la recta está en el plano, la recta está contenida en él.

¿Cómo se relacionan las posiciones relativas con los sistemas de ecuaciones?

Los puntos comunes de una recta, en implícitas, y un plano son las soluciones de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Una solución es un punto de corte, ninguna es el paralelismo y infinitas es la recta contenida. Se discute con los rangos de la matriz y de la ampliada.

¿Qué se pide de rectas y planos en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II salen en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026, casi siempre en el ejercicio de geometría: el plano que contiene a una recta y a un punto, la posición relativa de dos rectas, el paralelismo de una recta y un plano con un parámetro. Suelen ir seguidos de una distancia o un ángulo.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Rectas y planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas

Una recta del espacio queda fijada por un punto y un vector director; un plano, por un punto y dos vectores, o por un punto y un vector normal. Con esos datos se escriben las ecuaciones y se decide si dos rectas se cruzan, si una recta corta a un plano o si dos planos son paralelos. Aquí tienes las ecuaciones, el método para las posiciones relativas y dos ejercicios de la PAU de Andalucía resueltos.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

C. Sentido espacial

Ecuaciones de una recta y de un plano en el espacio tridimensional
Construcción del plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior
Construcción del plano que contiene a dos rectas paralelas o secantes
Estudio de la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio
Planteamiento y resolución de problemas de geometría afín relacionados con la incidencia y el paralelismo de rectas y planos en el espacio tridimensional
Interpretar un problema de posiciones relativas de planos y/o rectas como análisis de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Salió en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Ecuaciones de una recta y de un plano en el espacio tridimensional.
- Construcción del plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior.
- Construcción del plano que contiene a dos rectas paralelas o secantes.
- Estudio de la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio.
- Planteamiento y resolución de problemas de geometría afín relacionados con la incidencia y el paralelismo de rectas y planos en el espacio tridimensional.
- Interpretar un problema de posiciones relativas de planos y/o rectas como análisis de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 5, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2025: ejercicio 4, apartado a) (optativo); ejercicio 5, apartados a) y b) (optativo)
- Extraordinaria 2026: ejercicio 4.1, apartado a) (optativo)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

Una recta $r$ queda determinada por un punto $A(a_1, a_2, a_3)$ y un vector director $\vec{u} ={}$ $(u_1, u_2, u_3)$ . Sus ecuaciones paramétricas son $x ={}$ $a_1 + \lambda u_1$ , $y ={}$ $a_2 + \lambda u_2$ , $z ={}$ $a_3 + \lambda u_3$ , y la ecuación continua, $\dfrac{x - a_1}{u_1} ={}$ $\dfrac{y - a_2}{u_2} ={}$ $\dfrac{z - a_3}{u_3}$ .
Una recta también se da como intersección de dos planos, en ecuaciones implícitas. Su vector director es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos: $\vec{u} ={}$ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ .
Un plano $\pi$ queda determinado por un punto $A$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no proporcionales. Su ecuación general es $Ax + By + Cz + D = 0$ , con vector normal $\vec{n} ={}$ $(A, B, C) ={}$ $\vec{u} \times \vec{v}$ , y se obtiene con el determinante $\begin{vmatrix} x - a_1 & y - a_2 & z - a_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = 0$ .
Construcciones de un plano: por tres puntos, con $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ ; por una recta y un punto exterior, con el vector director de la recta y el vector que une el punto con uno de la recta; por dos rectas paralelas o secantes, con sus vectores directores, o con uno de ellos y el vector que une un punto de cada una.
Toma dos rectas con vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que pasan por $A$ y $B$ . Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son proporcionales, las rectas son coincidentes cuando $A$ está en la otra recta y paralelas cuando no lo está. Si no lo son, se cortan cuando $[\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}] ={}$ $0$ y se cruzan cuando es distinto de $0$ .
Recta y plano: con $\vec{u}$ director de $r$ y $\vec{n}$ normal de $\pi$ , si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ se cortan en un punto. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} ={}$ $0$ , son paralelos, o la recta está contenida en el plano cuando un punto de $r$ cumple la ecuación de $\pi$ .
Dos planos son paralelos o coincidentes si sus coeficientes $(A, B, C)$ son proporcionales, y se cortan en una recta si no lo son. Cada posición relativa corresponde al número de soluciones de un sistema lineal: sin solución, paralelos o que se cruzan; con una, se cortan en un punto; con infinitas, se cortan en una recta o coinciden.

El método, paso a paso

en orden

1.Reúne un punto y un vector de cada objeto
De una recta necesitas un punto y su vector director; de un plano, un punto y su vector normal, o dos vectores directores. Si la recta viene en implícitas, halla el director con el producto vectorial de los normales y un punto dándole un valor a una incógnita.
2.Compara las direcciones
Dos rectas: ¿son proporcionales los directores? Recta y plano: ¿es $\vec{u} \cdot \vec{n}$ igual a $0$ ? Dos planos: ¿son proporcionales los coeficientes? Esa pregunta separa el caso en que se cortan del caso en que son paralelos.
3.Si las direcciones no deciden, usa el punto
Con direcciones paralelas, sustituye un punto de un objeto en el otro: si lo cumple, coinciden o la recta está contenida; si no, son paralelos. Con rectas no paralelas, el producto mixto $[\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}]$ distingue entre cortarse y cruzarse.
4.Construye el plano con un determinante
Con un punto y dos vectores directores, iguala a $0$ el determinante de $(x - a_1, y - a_2, z - a_3)$ y de los dos vectores. Desarróllalo y simplifica a $Ax + By + Cz + D = 0$ .
5.Comprueba
Sustituye en la ecuación del plano los puntos que dabas por incluidos, y en la recta el punto de corte que has hallado. Una sola sustitución descubre casi todos los errores de signo.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.De ecuaciones implícitas a la ecuación continua
Escribe la recta $r \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y - z = 2 \\ 2x - y + 2z = 4 \end{array}\right.$ en forma continua.
2.Posición relativa de dos rectas
Estudia la posición relativa de las rectas $r \equiv (x, y, z) ={}$ $(1, 2, 0) +{}$ $\lambda(1, -1, 2)$ y $s \equiv (x, y, z) ={}$ $(0, -1, 4) +{}$ $\mu(1, 1, -1)$ . Si se cortan, halla el punto de corte.
3.Plano que contiene a dos rectas secantes
Halla la ecuación general del plano que contiene a las rectas secantes $r \equiv (x, y, z) ={}$ $(1, 2, 0) +{}$ $\lambda(1, -1, 2)$ y $s \equiv (x, y, z) ={}$ $(0, -1, 4) +{}$ $\mu(1, 1, -1)$ .
4.Recta contenida o paralela
Estudia la posición relativa de la recta $r \equiv (x, y, z) ={}$ $(1, 0, 3) + t(2, -1, 1)$ con cada uno de los planos $\pi_1 \equiv x + 3y + z ={}$ $4$ y $\pi_2 \equiv x + 3y + z ={}$ $7$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria

Considera la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{array}\right.

y el plano

\pi \equiv mx - y - 2z ={}

5

Ejercicio 4, apartado a)

a) [1,5 puntos] Halla

m

para que

r

\pi

sean paralelos.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria extraordinaria, ejercicio 4, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Considera el punto

P(1, 1, 1)

y la recta

r \equiv \dfrac{x - 1}{1} ={}

\dfrac{y - 2}{2} ={}

\dfrac{z - 3}{2}

Ejercicio 5, apartado a)

a) [1 punto] Halla el plano que pasa por el punto

P

y contiene a la recta

r

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 5, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera los puntos

A(-2, 1, 1)

B(-2, 0, 1)

C(-2, 3, -2)

del espacio. Halla la ecuación general

ax + by + cz + d = 0

del plano que pasa por

A

B

C

. Escribe

a

b

c

d

como números enteros sin divisor común, con el primer coeficiente no nulo positivo.

a =

b =

c =

d =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera las rectas

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = -2 + \lambda \end{array}\right.

s \equiv \left\{\begin{array}{l} x = \mu \\ y = -2 - 2\mu \\ z = -4 - \mu \end{array}\right.

. Indica la posición relativa de las rectas

r

s

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -5 + \lambda \\ y = 7 - 2\lambda \\ z = -2\lambda \end{array}\right.

y el plano

\pi \equiv 3x - y - 2z ={}

-13

. Halla el punto de corte de la recta

r

con el plano

\pi

x =

y =

z =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 4.

Considera la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = -2\lambda \\ y = 4 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{array}\right.

y el plano

\pi \equiv y + mz = 2

, donde

m

es un número real. Halla el valor de

m

para el que la recta

r

es paralela al plano

\pi

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Decides que dos rectas se cortan solo porque no son paralelas. En el espacio también pueden cruzarse: hace falta el producto mixto $[\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}] ={}$ $0$ para que se corten.
Concluyes que la recta es paralela al plano cuando $\vec{u} \cdot \vec{n} ={}$ $0$ sin sustituir un punto. Con $\vec{u} \cdot \vec{n} ={}$ $0$ la recta puede estar contenida en el plano; comprueba un punto de la recta en la ecuación del plano.
Tomas un vector que no es el normal. En $Ax + By + Cz + D = 0$ , el normal es $(A, B, C)$ y el término independiente $D$ no forma parte de él.
Hallas el vector director de una recta en implícitas restando coeficientes o tomando un vector normal. El director es el producto vectorial de los dos normales, no uno de ellos.
Al construir el plano con un determinante, usas dos vectores proporcionales y el determinante sale nulo para todo punto. Los dos vectores directores del plano no pueden ser proporcionales.

Para recordar

Recta: un punto y un vector director. Plano: un punto y un vector normal, o dos vectores directores.
Director de una recta en implícitas: $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ . Normal de un plano: $\vec{u} \times \vec{v}$ .
Rectas no paralelas: se cortan si $[\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}] ={}$ $0$ ; se cruzan si no.
Recta y plano: $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ , se cortan en un punto; $\vec{u} \cdot \vec{n} ={}$ $0$ , paralelos o contenida.

Preguntas frecuentes

1.¿Cómo se pasa de las ecuaciones implícitas a las paramétricas?+
Respuesta:Calcula el vector director con el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos. Después busca un punto de la recta dando un valor a una incógnita en el sistema, por ejemplo $z = 0$ , y resuélvelo. Con el punto y el vector escribes las ecuaciones paramétricas.
2.¿Cómo se sabe si dos rectas se cruzan?+
Respuesta:Si sus vectores directores no son proporcionales, calcula el producto mixto de esos dos vectores y del vector que une un punto de cada recta. Si es distinto de $0$ , las rectas no están en un mismo plano y se cruzan; si vale $0$ , se cortan.
3.¿Cómo se halla el plano que contiene a una recta y a un punto exterior?+
Respuesta:Toma como vectores directores el de la recta y el que une el punto con un punto cualquiera de la recta. Escribe el determinante con esos dos vectores y $(x - p_1, y - p_2, z - p_3)$ , igualado a $0$ , y desarróllalo.
4.¿Qué significa que una recta sea paralela a un plano?+
Respuesta:Que su vector director es perpendicular al vector normal del plano ( $\vec{u} \cdot \vec{n} ={}$ $0$ ) y que la recta no tiene ningún punto en el plano. Si además un punto de la recta está en el plano, la recta está contenida en él.
5.¿Cómo se relacionan las posiciones relativas con los sistemas de ecuaciones?+
Respuesta:Los puntos comunes de una recta, en implícitas, y un plano son las soluciones de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Una solución es un punto de corte, ninguna es el paralelismo y infinitas es la recta contenida. Se discute con los rangos de la matriz y de la ampliada.
6.¿Qué se pide de rectas y planos en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II salen en 3 de los 4 exámenes de 2025 y 2026, casi siempre en el ejercicio de geometría: el plano que contiene a una recta y a un punto, la posición relativa de dos rectas, el paralelismo de una recta y un plano con un parámetro. Suelen ir seguidos de una distancia o un ángulo.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Rectas y planos en el espacio: ecuaciones y posiciones relativas

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Reúne un punto y un vector de cada objeto

2.Compara las direcciones

3.Si las direcciones no deciden, usa el punto

4.Construye el plano con un determinante

5.Comprueba

Ejemplos

1.De ecuaciones implícitas a la ecuación continua

2.Posición relativa de dos rectas

3.Plano que contiene a dos rectas secantes

4.Recta contenida o paralela

Un ejercicio de la PAU

Ponte a prueba

Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

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