¿Qué diferencia hay entre el producto escalar, el vectorial y el mixto?

El escalar de dos vectores es un número y mide la perpendicularidad y el ángulo. El vectorial es otro vector, perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo. El mixto de tres vectores es un número, el determinante de sus coordenadas, y da el volumen del paralelepípedo.

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

Calcula el producto escalar y los módulos de los dos vectores, y despeja $\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$. El ángulo se obtiene con el arco coseno y está entre $0^\circ$ y $180^\circ$. Si el producto escalar es $0$, el ángulo es de $90^\circ$.

¿Cómo se halla el área de un triángulo en el espacio?

Con tres vértices $A$, $B$ y $C$, calcula $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, su producto vectorial y el módulo de este. El área es la mitad de ese módulo. Si te piden la altura sobre un lado, divide el área del paralelogramo entre la longitud de ese lado.

¿Cuándo son coplanarios cuatro puntos?

Cuando los vectores $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$ son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto vale $0$. Si el enunciado trae un parámetro $m$, desarrolla el determinante, iguala a $0$ y resuelve la ecuación en $m$.

¿Cómo se halla un vector perpendicular a otros dos?

Haz el producto vectorial de los dos vectores: el resultado es perpendicular a ambos. Si te piden que tenga un módulo concreto, divídelo por su módulo y multiplícalo por el valor pedido. El sentido, el vector o su opuesto, se elige con la condición del enunciado.

¿Qué se pide de los vectores en la PAU de Andalucía?

En Matemáticas II salen dentro de los ejercicios de geometría, en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026: el volumen de un tetraedro con un parámetro y, en 2026, la coplanariedad de cuatro puntos con un área y un volumen. El mixto y el vectorial aparecen casi siempre juntos.

PAU 2027 · Andalucía · Matemáticas II

Vectores en el espacio: producto escalar, producto vectorial y producto mixto

En Matemáticas II los vectores del espacio son la herramienta de toda la geometría: el producto escalar da ángulos y perpendicularidad, el vectorial da áreas y vectores normales, y el mixto da volúmenes y dice si tres vectores son coplanarios. Aquí tienes las tres fórmulas, el método, cuatro ejemplos y dos ejercicios de la PAU de Andalucía resueltos paso a paso.

PAU de Andalucía, Matemáticas II: en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026

Orientaciones

Orientaciones PAU 2026-2027, Matemáticas II

A. Sentido numérico

Producto escalar de dos vectores en el espacio

C. Sentido espacial

Vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas que se cruzan, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos

D. Sentido algebraico

Dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores en el espacio
Expresión de un vector como combinación lineal de otros vectores

Salió en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026.

En la PAU de Andalucía tienes 1 h 30 min. Puedes usar una calculadora que no sea programable ni gráfica ni capaz de almacenar o transmitir datos, pero tienes que justificar cada resultado.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

Según tu examen

contado en los exámenes

Lo que dicen las orientaciones de cada examen y en qué ejercicios de los exámenes titulares de 2025 y 2026 salió el tema.

Matemáticas II
en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026
- Producto escalar de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones. Producto vectorial de dos vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones. Producto mixto de tres vectores en el espacio: definición, propiedades y aplicaciones.
- Vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas que se cruzan, vector perpendicular a otros dos, áreas de triángulos y paralelogramos y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos.
- Dependencia e independencia lineal de conjuntos de vectores en el espacio.
- Expresión de un vector como combinación lineal de otros vectores.
Ejercicios
- Ordinaria 2025: ejercicio 4, apartado a) (optativo)
- Ordinaria 2026: ejercicio 2, apartados a) y b) (obligatorio)
Todos los temas de este examen El modelo gratuito de este examen

Lo esencial

lo que hay que saber

El vector que va de $A$ a $B$ es $\overrightarrow{AB} ={}$ $B - A$ . Su módulo es $|\vec{u}| ={}$ $\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}$ , y un vector unitario de su dirección es $\dfrac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$ .
Producto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $u_1v_1 +{}$ $u_2v_2 +{}$ $u_3v_3 ={}$ $|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\alpha$ . Es un número. Dos vectores son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $0$ , y el ángulo que forman cumple $\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$ .
Producto vectorial: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$ . Es un vector perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ , y su módulo $|\vec{u}|\,|\vec{v}|\operatorname{sen}\alpha$ es el área del paralelogramo que forman. El área del triángulo es la mitad: $S ={}$ $\dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|$ .
Producto mixto: $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] ={}$ $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ , que es el determinante de las coordenadas de los tres vectores. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que forman, y la sexta parte, el volumen del tetraedro: $V = \dfrac{1}{6}\left|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]\right|$ .
Dependencia lineal: tres vectores del espacio son linealmente dependientes (coplanarios) si y solo si su producto mixto es $0$ , es decir, si el determinante vale $0$ y el rango es menor que $3$ . Entonces uno es combinación lineal de los otros; si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son proporcionales, $\vec{w} ={}$ $a\vec{u} + b\vec{v}$ . Si el determinante no es $0$ , forman una base.
Un vector normal a un plano de vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es $\vec{u} \times \vec{v}$ . Es también el vector perpendicular a otros dos que piden los enunciados; para que tenga un módulo dado, se divide por su módulo y se multiplica por el valor pedido.

El método, paso a paso

en orden

1.Escribe los vectores con coordenadas
Si el enunciado da puntos, calcula primero los vectores restando coordenadas: $\overrightarrow{AB} ={}$ $B - A$ . Elige un mismo origen, por ejemplo $A$ , para $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$ .
2.Decide qué producto necesitas
Un ángulo o una perpendicularidad piden el producto escalar. Un área o un vector perpendicular a otros dos piden el vectorial. Un volumen, la coplanariedad o la dependencia lineal piden el mixto.
3.Calcula con un determinante
El producto vectorial y el mixto se calculan con un determinante de orden $3$ . Desarróllalo por una fila o columna con ceros y escribe cada paso.
4.Interpreta el resultado
Un producto escalar nulo es una perpendicularidad. Un producto mixto nulo es coplanariedad. El área y el volumen llevan valor absoluto y la fracción $\dfrac{1}{2}$ o $\dfrac{1}{6}$ .
5.Con un parámetro, plantea la condición
Escribe la condición como una ecuación en $m$ : producto mixto igual a $0$ para puntos coplanarios, o $\dfrac{1}{6}|\ldots|$ igual al volumen dado, que lleva a dos ecuaciones por el valor absoluto. Comprueba cada solución.

Ejemplos

Inténtalo primero por tu cuenta y luego compara con la resolución. Cada cálculo se ha rehecho.

1.Ángulo entre dos vectores
Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (2, 1, -2)$ y $\vec{v} = (1, -2, 2)$ y di si son perpendiculares.
2.Área de un triángulo y vector perpendicular
Considera los puntos $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 1)$ y $C(2, 3, 4)$ . Halla el área del triángulo $ABC$ y un vector unitario perpendicular al plano que contiene a los tres puntos.
3.Volumen con el producto mixto
Dados $\vec{u} = (1, 2, 0)$ , $\vec{v} = (0, 1, 1)$ y $\vec{w} = (2, 0, 3)$ , comprueba que son linealmente independientes y calcula el volumen del paralelepípedo y el del tetraedro que determinan.
4.Tres vectores dependientes
Sean $\vec{u} = (1, 0, 1)$ , $\vec{v} = (0, 1, 2)$ y $\vec{w} = (4, -1, 2)$ . Comprueba que son coplanarios y escribe $\vec{w}$ como combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .

Un ejercicio de la PAU

fuente: Junta de Andalucía

Un ejercicio real de la PAU de Andalucía, palabra por palabra. Intenta resolverlo antes de leer la resolución.

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Sean los puntos

O(0, 0, 0)

A(0, 2, -2)

B(1, 2, m)

C(2, 3, 2)

Ejercicio 4, apartado a)

a) [1,25 puntos] Halla los valores de

m

para que el tetraedro determinado por los puntos

O

A

B

C

tenga un volumen de

3

unidades cúbicas.

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2025, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 4, apartado a). Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ejercicio de la PAUMatemáticas II

PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria

Ejercicio 2

Considera los puntos

A(1, 2, 0)

B(2, m, 1)

C(3, 4, 2)

D(1, -1, m)

. a) [1 punto] Halla los valores de

m

para los cuales los puntos anteriores son coplanarios. b) [1,5 puntos] Para

m = 1

, calcula el área del triángulo de vértices

A, B, C

y el volumen del tetraedro de vértices

A, B, C, D

Fuente: Junta de Andalucía — Distrito Único Andaluz, PAU 2026, Matemáticas II, convocatoria ordinaria, ejercicio 2. Información obtenida del Portal de la Junta de Andalucía. Resolución: Kleksa (no oficial). · El examen en la Junta de Andalucía

Ponte a prueba

se corrige al momento

Elige o escribe tu respuesta y compruébala al momento: la resolución aparece debajo del ejercicio.

Matemáticas II

Pregunta 1.

Considera los vectores

\vec{u} = (-1, 0, 3)

\vec{v} = (4, -1, -3)

. Calcula el ángulo que forman los vectores

\vec{u}

\vec{v}

, en grados. Da el resultado redondeado a las centésimas.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 2.

Considera los vectores

\vec{u} = (2, 0, -2)

\vec{v} = (-3, -3, 2)

. Calcula el producto vectorial

\vec{u} \times \vec{v} ={}

(a, b, c)

a =

b =

c =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 3.

Considera los puntos

A(3, -3, -3)

B(-3, -1, -1)

C(-1, -3, 2)

D(m, 0, 4)

, donde

m

es un número real. Halla el valor de

m

para el que los cuatro puntos son coplanarios. Si el resultado no es un número entero, escríbelo como fracción; por ejemplo, 7/3.

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

Matemáticas II

Pregunta 4.

Considera los vectores

\vec{u} = (1, 2, 2)

\vec{v} = (1, 3, 0)

\vec{w} = (0, 2, -4)

. Halla los números reales

a

b

tales que

\vec{w} ={}

a\vec{u} + b\vec{v}

a =

b =

Escribe solo el número; el decimal puede ir con coma o con punto.

Ejercicio Kleksa con el formato de la PAU — resolución Kleksa.

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Errores frecuentes

donde se pierden puntos

Confundes el producto escalar con el vectorial. El escalar es un número y sirve para ángulos y perpendicularidad; el vectorial es un vector y sirve para áreas y normales.
Olvidas el valor absoluto o la fracción en el volumen y en el área. El área del triángulo es $\dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|$ , no $|\vec{u} \times \vec{v}|$ , y el volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{6}|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$ , no la sexta parte sin valor absoluto.
Al igualar el volumen a un número pierdes una solución. De $|4m - 2| = 18$ salen dos ecuaciones, $4m - 2 = 18$ y $4m - 2 = -18$ ; con una sola respondes la mitad.
Escribes mal el determinante del producto vectorial. La primera fila lleva $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ y el orden de las filas importa: $\vec{v} \times \vec{u} ={}$ $-\,\vec{u} \times \vec{v}$ .
Das el ángulo sin mirar el signo del coseno. Un producto escalar negativo da un ángulo obtuso, mayor que $90^\circ$ .

Para recordar

$\vec{u} \cdot \vec{v} ={}$ $0$ si y solo si son perpendiculares.
Área del triángulo: $\dfrac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}|$ . Volumen del tetraedro: $\dfrac{1}{6}|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$ .
Tres vectores son coplanarios si y solo si su producto mixto vale $0$ .
$\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ .
$\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$ .

Preguntas frecuentes

1.¿Qué diferencia hay entre el producto escalar, el vectorial y el mixto?+
Respuesta:El escalar de dos vectores es un número y mide la perpendicularidad y el ángulo. El vectorial es otro vector, perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo. El mixto de tres vectores es un número, el determinante de sus coordenadas, y da el volumen del paralelepípedo.
2.¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?+
Respuesta:Calcula el producto escalar y los módulos de los dos vectores, y despeja $\cos\alpha = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$ . El ángulo se obtiene con el arco coseno y está entre $0^\circ$ y $180^\circ$ . Si el producto escalar es $0$ , el ángulo es de $90^\circ$ .
3.¿Cómo se halla el área de un triángulo en el espacio?+
Respuesta:Con tres vértices $A$ , $B$ y $C$ , calcula $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ , su producto vectorial y el módulo de este. El área es la mitad de ese módulo. Si te piden la altura sobre un lado, divide el área del paralelogramo entre la longitud de ese lado.
4.¿Cuándo son coplanarios cuatro puntos?+
Respuesta:Cuando los vectores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$ son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto vale $0$ . Si el enunciado trae un parámetro $m$ , desarrolla el determinante, iguala a $0$ y resuelve la ecuación en $m$ .
5.¿Cómo se halla un vector perpendicular a otros dos?+
Respuesta:Haz el producto vectorial de los dos vectores: el resultado es perpendicular a ambos. Si te piden que tenga un módulo concreto, divídelo por su módulo y multiplícalo por el valor pedido. El sentido, el vector o su opuesto, se elige con la condición del enunciado.
6.¿Qué se pide de los vectores en la PAU de Andalucía?+
Respuesta:En Matemáticas II salen dentro de los ejercicios de geometría, en 2 de los 4 exámenes de 2025 y 2026: el volumen de un tetraedro con un parámetro y, en 2026, la coplanariedad de cuatro puntos con un área y un volumen. El mixto y el vectorial aparecen casi siempre juntos.

Ver también

Todos los temas de Matemáticas II

Fuentes

El contenido sigue las orientaciones de la Comisión Coordinadora Interuniversitaria de Andalucía; los exámenes son los publicados en el Portal de la Junta de Andalucía. Las explicaciones, los ejemplos, las resoluciones y los ejercicios son nuestros.

Página revisada el 27 de octubre de 2026

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Vectores en el espacio: producto escalar, producto vectorial y producto mixto

Según tu examen

Lo esencial

El método, paso a paso

1.Escribe los vectores con coordenadas

2.Decide qué producto necesitas

3.Calcula con un determinante

4.Interpreta el resultado

5.Con un parámetro, plantea la condición

Ejemplos

1.Ángulo entre dos vectores

2.Área de un triángulo y vector perpendicular

3.Volumen con el producto mixto

4.Tres vectores dependientes

Un ejercicio de la PAU

Ponte a prueba

Errores frecuentes

Para recordar

Preguntas frecuentes

Ver también

Fuentes