Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (Cluster P)

Lineare Regression und Korrelation: Regressionsgerade und Korrelationskoeffizient

Eine Regression legt eine Funktion in eine Punktwolke aus Messwerten, damit du den Zusammenhang beschreiben und fortsetzen kannst. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du eine Regressionsgerade bestimmst, den Korrelationskoeffizienten nach Pearson deutest, mit Technologie eine passende Ausgleichsfunktion findest und eine Prognose beurteilst.

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HAK: in 6 der 8; Teil B HUM: in 5 der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.
  • Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B

    • B_P_5.1bei anwendungsbezogenen Aufgabenstellungen mithilfe von Ausgleichsfunktionen/Regressionsfunktionen (Polynomfunktionen bis Grad 4, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen) mittels Technologieeinsatz modellieren, im Sachzusammenhang interpretieren und damit argumentieren; den Korrelationskoeffizienten nach Pearson bestimmen und im Sachzusammenhang interpretieren

    Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgaben 8c1, 8d1; Haupttermin 2026: Aufgaben 9c1, 9c2; Wintertermin 2026: Aufgaben 8d1, 8d2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2, 8b3; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2; Haupttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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  • Angewandte Mathematik (HAK), Teil B

    • B_W2_5.2lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regression bei zweidimensionalen Datenmengen erklären, mittels Technologieeinsatz zugehörige Regressionsfunktionen bestimmen, grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren und im Regressionskontext argumentieren; Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren
    • B_W_5.3Korrelationskoeffizient nach Pearson mittels Technologieeinsatz ermitteln und interpretieren

    Gefragt in 6 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Haupttermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2; Wintertermin 2026: Aufgabe 7b1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7b3, 7b4, 8a1; Haupttermin 2025: Aufgabe 7a1; Wintertermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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  • Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B

    • B_W1_5.2lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regression bei zweidimensionalen Datenmengen erklären, mittels Technologieeinsatz zugehörige Regressionsfunktionen bestimmen, grafisch darstellen, Ergebnisse interpretieren und im Regressionskontext argumentieren
    • B_W_5.3Korrelationskoeffizient nach Pearson mittels Technologieeinsatz ermitteln und interpretieren

    Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Wintertermin 2026: Aufgabe 7b1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7b3, 7b4, 8a1; Haupttermin 2025: Aufgabe 7a1; Wintertermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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  • Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B

    • B_T_5.4lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mittels Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren

    Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgabe 7a1; Haupttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a3; Haupttermin 2025: Aufgabe 9b1; Herbsttermin 2024: Aufgabe 9b1; Haupttermin 2024: Aufgabe 8c1

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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  • Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B

    • B_T_5.4lineare Regression und Korrelation: Zusammenhangsanalysen für anwendungsbezogene Problemstellungen beschreiben und relevante Größen (Parameter der Funktionsgleichung, Korrelationskoeffizient nach Pearson) mittels Technologieeinsatz berechnen und interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren
    • B_T2_5.5mit Ausgleichsfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell) modellieren, diese mittels Technologieeinsatz bestimmen, die Ergebnisse interpretieren sowie die Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren

    Gefragt in 3 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgabe 7a1; Haupttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a3; Wintertermin 2025: Aufgabe 9b2

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

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Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst
  • Die Messwerte sind Wertepaare (x1∣y1),…,(xn∣yn)(x_1 \mid y_1), \ldots, (x_n \mid y_n), im Koordinatensystem eine Punktwolke. Eine Regressionsfunktion (Ausgleichsfunktion, Trendlinie) beschreibt den Zusammenhang näherungsweise. Sie geht nicht durch alle Punkte, sondern möglichst nahe an allen vorbei.
  • Die lineare Regressionsfunktion f(x)=k⋅x+df(x) = k \cdot x + d hat die Steigung k=k ={}∑(xi−x‾)⋅(yi−y‾)∑(xi−x‾)2 \frac{\sum (x_i - \overline{x}) \cdot (y_i - \overline{y})}{\sum (x_i - \overline{x})^2} und den Abschnitt d=d ={}y‾− \overline{y} -{}k⋅x‾ k \cdot \overline{x}. Die Formelsammlung druckt beide in Kapitel 20 (S. 18). Die Gerade geht immer durch den Schwerpunkt (x‾∣y‾)(\overline{x} \mid \overline{y}).
  • Die Methode der kleinsten Quadrate wählt kk und dd so, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände ∑(yi−f(xi))2\sum (y_i - f(x_i))^2 möglichst klein ist. Quadriert wird, damit sich Abstände nach oben und unten nicht aufheben und große Abweichungen stärker zählen.
  • Der Korrelationskoeffizient nach Pearson rr misst, wie gut die Punkte auf einer Geraden liegen. Es gilt −1≤r≤1-1 \leq r \leq 1. Das Vorzeichen von rr ist das der Steigung kk. Bei ∣r∣|r| nahe 1 ist der lineare Zusammenhang stark, bei rr nahe 0 gibt es keinen linearen Zusammenhang. Auch ein großes ∣r∣|r| beweist keine Ursache.
  • Deute die Parameter im Kontext: kk ist die Änderung von yy pro Einheit von xx und hat die Einheit „Einheit von yy pro Einheit von xx“. dd ist der Wert bei x=0x = 0, der außerhalb der Daten oft nichts bedeutet.
  • Andere Ausgleichsfunktionen bestimmst du mit der Technologie: im Cluster P Polynomfunktionen bis Grad 4, Exponential- und Logarithmusfunktionen (B_P_5.1), in der HAK, der HUM und der HTL 2 quadratische, kubische und exponentielle wie f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^x. Der Katalog der HTL 1 nennt nur die lineare Regression. Die Punktwolke und der Kontext zeigen, welcher Typ passt.
  • Ein Prognosewert innerhalb des Datenbereichs ist eine Interpolation, außerhalb eine Extrapolation. Je weiter du dich von den Daten entfernst, desto unsicherer ist der Wert. Sage in der Antwort dazu, dass das Modell nur näherungsweise gilt.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt
  1. 1.Punktwolke ansehen und den Typ wählen

    Zeichne oder betrachte die Punkte: Liegen sie auf einer Geraden, nimmst du eine lineare, wachsen sie immer schneller, eine exponentielle Regression.
  2. 2.Technologie einsetzen und dokumentieren

    Gib die Wertepaare, den Funktionstyp und die verwendete Funktion an, etwa „exponentielle Regression der Wertepaare …“. So verlangt es das Korrekturheft.
  3. 3.Parameter und Funktionsgleichung angeben

    Schreibe die Funktionsgleichung mit den Parametern auf und runde sinnvoll. Vergiss nicht, was xx und f(x)f(x) bedeuten.
  4. 4.Korrelationskoeffizienten deuten

    Lies Vorzeichen und Betrag von rr ab: Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs. Daraus folgt nichts über Ursache und Wirkung.
  5. 5.Prognose und Grenzen

    Setze den gewünschten Wert in die Funktion ein, prüfe, ob er innerhalb der Daten liegt, und nenne die Unsicherheit.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.
  1. 1.Regressionsgerade mit der Formelsammlung

    Eine Boutique hat in den Jahren 1 bis 5 nach der Eröffnung die Umsätze 3, 5, 4, 7 und 8 (in € 1 000). Bestimme die lineare Regressionsfunktion und den Korrelationskoeffizienten und prognostiziere den Umsatz im Jahr 7.
  2. 2.Parameter und Korrelation deuten

    Für den Preis gebrauchter Autos desselben Modells in Abhängigkeit vom Alter tt in Jahren liefert die Technologie die Regressionsfunktion f(t)=f(t) ={}−1 850⋅t+ -1\,850 \cdot t +{}24 300 24\,300 (f(t)f(t) in €) und den Korrelationskoeffizienten r=−0,96r = -0{,}96. Deute kk, dd und rr und berechne den Preis nach 5 Jahren.
  3. 3.Exponentielle Regressionsfunktion deuten

    Die Technologie liefert für die Anzahl der Nutzer einer App die exponentielle Regressionsfunktion f(t)=f(t) ={}120⋅1,15t 120 \cdot 1{,}15^t (tt in Monaten, f(t)f(t) in Tausend). Gib die monatliche Zunahme in Prozent an, berechne die Verdoppelungszeit und die Nutzer nach 6 Monaten.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaCluster P

Stadtbibliothek (Aufgabe 8, Teil c)

In einer Stadtbibliothek können verschiedene Medien (Bücher, Spiele und DVDs) entlehnt werden. In der nachstehenden Tabelle ist die Anzahl der entlehnten Medien für den Zeitraum von 2015 bis 2019 angegeben.
Jahr20152016201720182019
Anzahl der entlehnten Medien34 00035 50038 00041 30044 100
Die zeitliche Entwicklung der Anzahl der entlehnten Medien kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion ff beschrieben werden. f(t)=a⋅btf(t) = a \cdot b^t tt ... Zeit in Jahren mit t=0t = 0 für das Jahr 2015 f(t)f(t) ... Anzahl der entlehnten Medien zur Zeit tt

Aufgabe 8, Teilaufgabe c1

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der Exponentialfunktion ff auf.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BAfEP/BASOP/BRP), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe c1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (HAK)

Der Teil-B-Katalog der HAK verlangt in B_W2_5.2, lineare, quadratische, kubische und exponentielle Regression bei zweidimensionalen Datenmengen zu erklären, die Regressionsfunktionen mit Technologie zu bestimmen, grafisch darzustellen, die Ergebnisse zu interpretieren und im Regressionskontext zu argumentieren, dazu die Methode der kleinsten Quadrate zu erklären. B_W_5.3 nennt den Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit Technologieeinsatz. Du dokumentierst den Technologieeinsatz mit Funktion und Ausgangsparametern.

Angewandte Mathematik (HUM/HLFS)

Der Teil-B-Katalog der HUM hat B_W1_5.2 mit denselben vier Regressionstypen: linear, quadratisch, kubisch und exponentiell, bestimmt mit Technologie, grafisch dargestellt und im Regressionskontext gedeutet. Die Methode der kleinsten Quadrate nennt dieser Deskriptor nicht. B_W_5.3 verlangt den Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit Technologie, ermittelt und interpretiert.

Angewandte Mathematik (HTL 1)

Der Teil-B-Katalog der HTL 1 hat B_T_5.4: lineare Regression und Korrelation, mit den Parametern der Funktionsgleichung und dem Korrelationskoeffizienten nach Pearson mit Technologie berechnet und interpretiert, dazu die Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren. Quadratische, kubische und exponentielle Regression nennt der Katalog der HTL 1 nicht. Du brauchst also die lineare Regression und ihre Deutung.

Angewandte Mathematik (HTL 2)

In der HTL 2 gilt dasselbe wie in der HTL 1 (B_T_5.4), dazu kommt B_T2_5.5: mit Ausgleichsfunktionen linear, quadratisch, kubisch und exponentiell modellieren, mit Technologie bestimmen, die Ergebnisse interpretieren und die Methode der kleinsten Quadrate erklären und interpretieren. Du bestimmst den Typ aus der Punktwolke und begründest ihn im Kontext.

Teste dich selbst

gleich auswerten
Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
Cluster P

Aufgabe 1.

In einer Stadtbibliothek können verschiedene Medien (Bücher, Spiele und DVDs) entlehnt werden. Die zeitliche Entwicklung der Einnahmen der Stadtbibliothek kann näherungsweise durch die lineare Regressionsfunktion gg beschrieben werden. tt ... Zeit in Jahren mit t=0t = 0 für das Jahr 2015 g(t)g(t) ... Einnahmen zur Zeit tt in GE Für den zugehörigen Korrelationskoeffizienten rr gilt: r>0r > 0 Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Die Steigung der Funktion gg ist und hat die Einheit .

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BAfEP/BASOP/BRP), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8, Teilaufgabe d1 — matura.gv.at, CC BY 4.0

Cluster P

Aufgabe 2.

Gegeben sind die Wertepaare (1∣8)(1 \mid 8), (2∣6)(2 \mid 6), (3∣5)(3 \mid 5) und (4∣1)(4 \mid 1). Berechne den Abschnitt dd der linearen Regressionsfunktion f(x)=k⋅x+df(x) = k \cdot x + d. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Cluster P

Aufgabe 3.

Für die Höhe einer Sonnenblume liefert die Technologie aus Messungen vom 10. bis zum 40. Tag die Regressionsfunktion h(t)=h(t) ={}4,5⋅t−30 4{,}5 \cdot t - 30 (tt in Tagen, h(t)h(t) in cm). Welche Aussage ist richtig?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Cluster P

Aufgabe 4.

Eine Regressionsgerade mit dem Korrelationskoeffizienten rr wird für Wertepaare (xi∣yi)(x_i \mid y_i) bestimmt. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen
  • Den Korrelationskoeffizienten mit der Steigung verwechseln. Der Wert rr liegt immer zwischen −1-1 und 11, die Steigung kk hängt von den Einheiten ab und kann jeden Wert haben. Nur ihr Vorzeichen stimmt überein.
  • Aus einer starken Korrelation auf eine Ursache schließen. Wenn zwei Größen gemeinsam wachsen, kann eine dritte Größe beide treiben. In der Antwort heißt es „besteht ein starker linearer Zusammenhang“, nicht „verursacht“.
  • Den Abschnitt dd immer deuten. dd gehört zu x=0x = 0. Liegt x=0x = 0 weit außerhalb der Daten oder ergibt es im Kontext keinen Sinn, ist dd nur ein Rechenwert.
  • Den falschen Typ wählen. Wachsen die Werte in gleichen Schritten um fast denselben Faktor, passt eine exponentielle Regression besser als eine Gerade, und ein rr nahe 1 ändert daran nichts.
  • Das Technologieergebnis ohne Ansatz hinschreiben. Nenne die Wertepaare und die Funktion, etwa „exponentielle Regression der Wertepaare …“. Ohne das bringt ein offenes Format keinen Punkt.

Merk dir

  • Regressionsgerade: f(x)=k⋅x+df(x) = k \cdot x + d, d=d ={}y‾− \overline{y} -{}k⋅x‾ k \cdot \overline{x}.
  • −1≤r≤1-1 \leq r \leq 1, Vorzeichen von rr gleich Vorzeichen von kk.
  • Korrelation ist keine Kausalität.
  • Kleinste Quadrate: Summe der quadrierten Abstände minimal.
  • Prognose außerhalb der Daten ist eine Extrapolation.
  • Formelsammlung: Kapitel 20 „Lineare Regression“, S. 18.

Häufige Fragen

  1. 1.Was ist der Unterschied zwischen Regression und Korrelation?+
    Antwort:Die Regression liefert eine Funktion, mit der du Werte vorhersagen kannst, etwa f(x)=k⋅x+df(x) = k \cdot x + d. Die Korrelation ist eine Kennzahl, der Korrelationskoeffizient rr, die sagt, wie gut ein linearer Zusammenhang zu den Daten passt. Beide gehören zusammen: Die Technologie liefert oft Parameter und rr in einem Schritt, aber du musst jeden Teil für sich deuten können.
  2. 2.Wie deute ich den Korrelationskoeffizienten?+
    Antwort:Nenne Richtung und Stärke: ein positives rr heißt, dass yy im Mittel mit xx wächst, ein negatives, dass yy sinkt. Je näher ∣r∣|r| bei 1 liegt, desto stärker ist der lineare Zusammenhang, je näher bei 0, desto schwächer. Ein Wert nahe 0 schließt einen Zusammenhang anderer Art nicht aus. Eine Aussage über die Ursache darfst du aus rr nie ableiten.
  3. 3.Stehen die Formeln in der Formelsammlung?+
    Antwort:Für die lineare Regression ja: Kapitel 20 (S. 18) gibt kk, dd und rr an. Quadratische, kubische und exponentielle Regression stehen nicht im Heft, sie werden mit Technologie bestimmt. Dort musst du nichts rechnen, aber den Technologieeinsatz festhalten und das Ergebnis deuten. Das Heft nennt auch nicht, was die Parameter im Kontext bedeuten.
  4. 4.Wie dokumentiere ich die Regression mit Technologie?+
    Antwort:Schreibe auf, welche Wertepaare du verwendet hast und welche Regression du gewählt hast, zum Beispiel „exponentielle Regression der Wertepaare (0∣34 000)(0 \mid 34\,000) bis (4∣44 100)(4 \mid 44\,100)“. Das verlangt das Korrekturheft der BHS: verwendete Ausgangsparameter und Technologiefunktion müssen angegeben sein. Danach folgt die Funktionsgleichung mit den gerundeten Parametern.
  5. 5.Wann darf ich eine Regressionsfunktion für eine Prognose verwenden?+
    Antwort:Innerhalb des Datenbereichs bist du in der Regel auf der sicheren Seite, das ist eine Interpolation. Außerhalb ist es eine Extrapolation: Das Modell beschreibt, was in den Daten passiert ist, nicht was bleibt. Schreibe bei einer Prognose dazu, dass sie nur gilt, solange der Zusammenhang so weitergeht, und prüfe, ob der Wert im Kontext möglich ist.
  6. 6.Was bedeutet die Methode der kleinsten Quadrate?+
    Antwort:Aus allen Geraden wird die gewählt, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände der Punkte zur Geraden am kleinsten ist. Das Quadrieren verhindert, dass sich positive und negative Abstände aufheben, und bestraft große Abweichungen stärker. Die Formeln für kk und dd in der Formelsammlung sind das Ergebnis dieser Minimierung.

Zum Schluss.

Schreib kostenlos die Klausur vom Herbsttermin 2026 — 270 Minuten, mit Auswertung