Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Beschreibende Statistik: Mittelwert, Median, Modus und Streuung

Die beschreibende Statistik fasst eine Datenliste in wenigen Kennzahlen zusammen und stellt sie in Diagrammen dar. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du Mittelwert, Median, Modus, Spannweite und Standardabweichung ermittelst und begründest, welche Kennzahl zu welchen Daten passt. Außerdem liest du hier Tabellen und Histogramme. Quartile und Kastenschaubilder stehen auf der Seite zum Boxplot.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HAK: in 3 der 8.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB
Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.
  • Mathe-Matura (AHS)

    • WS 1.1Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln, d. h. aus den Grafiken ablesbare Daten zur Berechnung weiterer Kennzahlen verwenden können) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
    • WS 1.2Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können
    • WS 1.3statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können
    • WS 1.4Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

    Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.

    Haupttermin 2026: Aufgaben 19, 20, 21, 25c1, 26b1; Haupttermin 2025: Aufgaben 19, 20, 21, 28c1; Haupttermin 2024: Aufgaben 19, 20, 21; Haupttermin 2023: Aufgaben 19, 26c1, 26c2, 28b1, 28c1; Haupttermin 2022: Aufgaben 19, 20, 28a1

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

    • Deskriptor 5.1Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) bestimmen und interpretieren; Daten in Form von Kreis- und Balken-/Säulendiagrammen sinnstiftend veranschaulichen, diese Darstellungen interpretieren und damit anwendungsbezogen argumentieren
    • Deskriptor 5.2Lage- und Streuungsmaße empirischer Daten berechnen, interpretieren und damit argumentieren; Boxplots erstellen und interpretieren

    Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Herbsttermin 2026: Aufgaben 6b1, 6b2; Haupttermin 2026: Aufgaben 5a1, 5a2, 5c1; Wintertermin 2026: Aufgaben 1c1, 3a1; Herbsttermin 2025: Aufgabe 6a1; Haupttermin 2025: Aufgabe 4a1; Wintertermin 2025: Aufgaben 1a1, 1b1, 5d1; Herbsttermin 2024: Aufgabe 3a1; Haupttermin 2024: Aufgabe 4a1

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Die FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

  • Angewandte Mathematik (HAK), Teil B

    • B_W2_5.5die mittlere prozentuelle Änderung mithilfe des geometrischen Mittels berechnen, interpretieren und damit argumentieren

    Gefragt in 3 der 8 Klausuren seit Mai 2024.

    Haupttermin 2026: Aufgabe 9b1; Wintertermin 2025: Aufgabe 9b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8e1, 9a3

    Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt

    Alle Themen dieser KlausurDie FormelsammlungDie Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst
  • Die absolute Häufigkeit HiH_i sagt, wie oft ein Wert xix_i vorkommt, die relative Häufigkeit ist hi=Hinh_i = \frac{H_i}{n} (oft in Prozent angegeben). Alle relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 11, also 100 %100\,\%.
  • Das arithmetische Mittel ist xˉ=\bar{x} ={}1n⋅∑i=1nxi \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i. Aus einer Häufigkeitstabelle mit kk verschiedenen Werten wird xˉ=\bar{x} ={}1n⋅∑i=1kxi⋅Hi \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot H_i. Hat man Gruppen mit ihren Mittelwerten, gewichtet man mit den Gruppengrößen („gewogenes arithmetisches Mittel“).
  • Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Liste: bei ungeradem nn der Wert an der Stelle n+12\frac{n + 1}{2}, bei geradem nn das Mittel der Werte an den Stellen n2\frac{n}{2} und n2+1\frac{n}{2} + 1. Der Modus ist der Wert, der am meisten vorkommt; es kann mehrere geben.
  • Streuungsmaße: die Spannweite xmax⁡−xmin⁡x_{\max} - x_{\min}, die Varianz s2=s^2 ={}1n⋅∑i=1n(xi−xˉ)2 \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 und die Standardabweichung s=s2s = \sqrt{s^2}. Soll aus einer Stichprobe die Varianz einer Grundgesamtheit geschätzt werden, steht n−1n - 1 statt nn im Nenner: sn−12s_{n-1}^2.
  • Das Mittel reagiert auf Ausreißer, der Median kaum. Addierst du zu jedem Wert dieselbe Zahl cc, verschiebt sich das Mittel um cc, die Standardabweichung bleibt gleich. Multiplizierst du jeden Wert mit c>0c > 0, werden Mittel und Standardabweichung mit cc multipliziert.
  • Diagramme: Im Säulen-, Balken- und Kreisdiagramm sowie im Prozentstreifen steht die Größe für die Häufigkeit; im Histogramm ist es die Fläche der Säule (nach einer Klasseneinteilung). Beginnt die senkrechte Achse nicht bei null, wirken kleine Unterschiede groß.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt
  1. 1.Daten und Frage klären

    Lies ab, ob eine Liste, eine Häufigkeitstabelle oder ein Diagramm gegeben ist und welche Kennzahl verlangt wird. Bei einem Diagramm schaust du zuerst auf die Achsen, die Einheiten und die Klasseneinteilung.
  2. 2.Die Daten ordnen

    Für den Median und die Spannweite ordnest du die Liste der Größe nach. Das Mittel brauchst du dafür nicht geordnet, ein geordnetes Datenbild hilft dir aber beim Kontrollieren.
  3. 3.Die Kennzahl ermitteln

    Setze in die passende Formel ein: Summe durch Anzahl, mittlerer Wert der geordneten Liste, größter minus kleinster Wert. Bei einer Häufigkeitstabelle multiplizierst du jeden Wert mit seiner Häufigkeit.
  4. 4.Die Streuung berechnen

    Bestimme das Mittel, bilde die Abweichungen vom Mittel, quadriere sie, mittle sie (durch nn) und ziehe die Wurzel. Mit Technologie gibst du die Datenliste ein und liest die Standardabweichung ab.
  5. 5.Im Kontext deuten

    Gib das Ergebnis mit Einheit an und sag, was es über die Daten aussagt. Begründe die Wahl einer Kennzahl, etwa mit der Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.
  1. 1.Kennzahlen aus einer Häufigkeitstabelle

    Bei 20 Personen wurde erhoben, wie oft sie in einer Woche mit dem Bus fahren. Es fahren 0-mal: 4 Personen, 1-mal: 8, 2-mal: 5, 3-mal: 2 und 4-mal: 1 Person. Berechne arithmetisches Mittel, Median, Modus, die relative Häufigkeit von „1-mal“ und die Standardabweichung.
  2. 2.Das gewogene Mittel zweier Gruppen

    In einer Schule schreiben zwei Gruppen denselben Test. Die 15 Personen der ersten Gruppe erreichen im Mittel 72 Punkte, die 25 Personen der zweiten Gruppe im Mittel 64 Punkte. Wie groß ist das Mittel aller 40 Personen?
  3. 3.Mittel oder Median bei einem Ausreißer?

    Die Monatsgehälter von 7 Angestellten betragen in Euro: 2 100, 2 300, 2 300, 2 400, 2 500, 2 700 und 9 800. Bestimme Mittel, Median und Modus und entscheide, welche Kennzahl das typische Gehalt besser beschreibt.
  4. 4.Die Höhe der Säulen eines Histogramms

    Bei 50 Messwerten liegen 15 Werte in der Klasse [0;10[[0; 10[, 20 Werte in [10;20[[10; 20[ und 15 Werte in [20;40[[20; 40[. Im Histogramm sollen die Flächen der Säulen die relativen Häufigkeiten in Prozent darstellen. Wie hoch ist jede Säule?

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe
So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.
ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 20.

Statistische Kennzahlen Gegeben ist eine geordnete Datenliste bestehend aus 10 Werten mit a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
aa1017171919bb252933
Es gilt: • Die Spannweite ist genauso groß wie das Maximum. • Das arithmetische Mittel ist genauso groß wie der Median. Ermitteln Sie aa und bb.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 20 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, nennt der Kompetenzkatalog zwei Deskriptoren: Häufigkeitsverteilungen bestimmen und in Kreis-, Balken- und Säulendiagrammen darstellen (Deskriptor 5.1) sowie Lage- und Streuungsmaße berechnen und deuten (Deskriptor 5.2). Gemeint sind Median, arithmetisches Mittel, Standardabweichung, Quartil, Spannweite und Quartilsabstand. Für die Varianz gilt in Teil A: Beide Formeln, s2s^2 mit 1n\frac{1}{n} und sn−12s_{n-1}^2 mit 1n−1\frac{1}{n - 1}, gelten als richtig. Schreib den Rechenansatz auf, auch wenn du die Kennzahl mit Technologie ermittelst.

Angewandte Mathematik (HAK)

In Teil B der HAK kommt die mittlere prozentuelle Änderung dazu (Deskriptor B_W2_5.5). Du berechnest sie mit dem geometrischen Mittel xgeo=x_{\mathrm{geo}} ={}x1⋅x2⋅…⋅xnn \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}, das die Formelsammlung in Kapitel 18 auf Seite 15 angibt. Beispiel: Ein Umsatz wächst in drei Jahren um 8 %, um 12 % und fällt dann um 5 %. Die Faktoren sind 1,081{,}08, 1,121{,}12 und 0,950{,}95; ihr Produkt ist 1,149121{,}14912. Das geometrische Mittel 1,149123≈1,0474\sqrt[3]{1{,}14912} \approx 1{,}0474 steht für eine Zunahme von rund 4,7 % pro Jahr. Das einfache Mittel der Prozentsätze, 5 %, wäre zu groß.

Teste dich selbst

gleich auswerten
Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.
AHS

Aufgabe 1.

Wahl Vier Personen, A, B, C und D, sind zu einer Wahl angetreten. Insgesamt wurden bei dieser Wahl 250 gültige Stimmen abgegeben. Der nachstehende Prozentstreifen zeigt die Anteile der gültigen Stimmen.Die Ergebnisse dieser Wahl sollen als Säulendiagramm mit den absoluten Häufigkeiten der gültigen Stimmen dargestellt werden. Erstellen Sie dieses Säulendiagramm in der nachstehenden Abbildung.
Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)
102030405060708090ABCD0Anzahl der gültigen Stimmen

Klicke in die Abbildung, um den Punkt zu setzen, oder gib unten seine Koordinaten ein.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 19 — matura.gv.at, CC BY 4.0

AHS

Aufgabe 2.

Fünf Werte haben das arithmetische Mittel 8. Wird ein sechster Wert hinzugefügt, steigt das arithmetische Mittel der sechs Werte auf 9. Wie groß ist der hinzugefügte Wert?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 3.

Gegeben ist die Datenliste 3, 5, 6, 8, 12. Der größte Wert 12 wird durch 24 ersetzt. Welche Aussage über die neue Liste ist richtig?

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

BHS Teil A

Aufgabe 4.

Eine Datenliste besteht aus 8 Werten. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen
  • Den Median aus der ungeordneten Liste ablesen. Ordne die Werte zuerst der Größe nach und zähle dann zur Mitte.
  • Gruppenmittel ohne Gewichtung mitteln. Sind die Gruppen verschieden groß, zählt jede Gruppe mit ihrer Anzahl; das Mittel der beiden Mittelwerte ist dann falsch.
  • Bei einer Häufigkeitstabelle den Wert nicht mit seiner Häufigkeit multiplizieren. Die Summe lautet ∑xi⋅Hi\sum x_i \cdot H_i, nicht ∑xi\sum x_i.
  • Beim Histogramm die Höhe statt der Fläche als Häufigkeit lesen. Bei verschieden breiten Klassen ist die Fläche maßgebend.
  • Ein Diagramm mit abgeschnittener senkrechter Achse wörtlich nehmen. Lies die Zahlen an der Achse ab, nicht nur die Höhe der Säulen.

Merk dir

  • xˉ=\bar{x} ={}1n⋅∑xi \frac{1}{n} \cdot \sum x_i; mit Häufigkeiten: Summe von xi⋅Hix_i \cdot H_i durch nn.
  • Median: mittlerer Wert der geordneten Liste, bei geradem nn das Mittel der beiden mittleren.
  • Modus: der Wert, der am meisten vorkommt.
  • s2=s^2 ={}1n⋅∑(xi−xˉ)2 \frac{1}{n} \cdot \sum (x_i - \bar{x})^2 und s=s2s = \sqrt{s^2}.
  • Mittel: ausreißerempfindlich; Median: robust.
  • + c+\, c verschiebt das Mittel, nicht die Streuung; ⋅ c\cdot\, c ändert beides um den Faktor cc.

Häufige Fragen

  1. 1.Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median?+
    Antwort:Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl, jeder Wert geht mit seiner Größe ein. Der Median ist der mittlere Wert der geordneten Liste, es zählt nur die Reihenfolge. Deshalb verschiebt ein einzelner extremer Wert das Mittel deutlich, den Median kaum. Liegen die Daten ungefähr symmetrisch, liegen beide nahe beieinander.
  2. 2.Welche Kennzahl soll ich nehmen, wenn ich es begründen muss?+
    Antwort:Sieh dir die Daten an: Gibt es Ausreißer oder eine schiefe Verteilung wie bei Einkommen, ist der Median aussagekräftiger. Sind die Daten gleichmäßig verteilt und du brauchst eine Summe, etwa den Gesamtertrag aus dem Durchschnitt, passt das Mittel. Der Modus ist die einzige Kennzahl, die auch bei Kategorien wie Farben oder Verkehrsmitteln einen Sinn ergibt.
  3. 3.Teile ich die Quadratsumme durch n oder durch n − 1?+
    Antwort:Die Formelsammlung gibt beides an: s2s^2 mit 1n\frac{1}{n} für eine Datenliste und sn−12s_{n-1}^2 mit 1n−1\frac{1}{n - 1}, wenn aus einer Stichprobe die Varianz einer Grundgesamtheit geschätzt wird. Lies in der Angabe, welcher Fall vorliegt. In Teil A der BHS gelten laut Kompetenzkatalog beide Formeln als richtig.
  4. 4.Wie lese ich ein Histogramm richtig?+
    Antwort:Im Histogramm stellt die Fläche der Säule die Häufigkeit dar. Bei gleich breiten Klassen ist die Höhe proportional zur Häufigkeit, bei verschieden breiten nicht. Rechne dann Fläche durch Breite: Eine doppelt so breite Klasse braucht für dieselbe Häufigkeit nur die halbe Höhe. Alle Flächen zusammen ergeben 100 % der Daten.
  5. 5.Kann es mehrere Modi geben, und wann ist der Modus sinnvoll?+
    Antwort:Ja. Kommen zwei Werte gleich oft am meisten vor, hat die Liste zwei Modi. Der Modus beschreibt, welcher Wert typisch vorkommt, und eignet sich auch für Daten ohne Zahlen. Bei vielen verschiedenen Messwerten, die kaum doppelt vorkommen, sagt er wenig, dann arbeitest du besser mit Klassen oder mit dem Median.
  6. 6.Woran erkenne ich ein irreführendes Diagramm?+
    Antwort:Prüfe, wo die senkrechte Achse beginnt, ob die Einheiten gleich lang sind und ob Flächen oder Bilder statt der Höhe verglichen werden. Eine abgeschnittene Achse lässt kleine Unterschiede groß wirken. Frag dich außerdem, ob das Diagramm den ganzen Zeitraum oder alle Gruppen zeigt, über die du etwas sagen willst.
  7. 7.Stehen die Formeln für Mittel und Streuung in der Formelsammlung?+
    Antwort:Ja, Kapitel 18 „Statistik“ auf Seite 15 der Formelsammlung des BMB enthält das arithmetische Mittel, auch in der Form mit xi⋅Hix_i \cdot H_i, das geometrische Mittel, den Median, die Quartile und die Streuungsmaße. Die Formelsammlung darfst du in der Klausur verwenden. Wann du welche Kennzahl brauchst und was sie bedeutet, musst du aber selbst deuten können.

Zum Schluss.

Schreib kostenlos die Klausur vom Herbsttermin 2026 — 270 Minuten, mit Auswertung