Woran erkenne ich in einer Tabelle eine lineare Funktion?

Bilde die Differenzen aufeinanderfolgender Funktionswerte, wenn die Argumente gleich weit auseinanderliegen. Sind die Differenzen gleich, passt ein lineares Modell, und die Differenz geteilt durch den Abstand der Argumente ist die Steigung. Sind stattdessen die Quotienten gleich, ist das Modell exponentiell. Bei Messwerten sind die Differenzen oft nur ungefähr gleich, dann beschreibt die lineare Funktion den Zusammenhang näherungsweise.

Was ist $d$, wenn die Zeit nicht bei 0 beginnt?

Die Aufgabe legt fest, wofür $x = 0$ steht, etwa „$t = 0$ für das Jahr 2000“. Das $d$ gehört immer zu diesem Nullpunkt. Rechnest du mit Jahreszahlen wie 2024 statt mit Jahren seit 2000, stimmen $d$ und der Anfangswert nicht mehr überein. Lies deshalb die Angabe zum Nullpunkt, bevor du Punkte einsetzt.

Wie berechne ich die Nullstelle einer linearen Funktion?

Setze $k \cdot x + d = 0$ und löse nach $x$: $x_0 = -\frac{d}{k}$. Das geht nur für $k \neq 0$. Bei $k = 0$ ist die Funktion konstant: Für $d \neq 0$ hat sie keine Nullstelle, für $d = 0$ ist jede Stelle eine Nullstelle. Im Kontext bedeutet die Nullstelle oft, wann ein Vorrat aufgebraucht ist oder ein Gewinn beginnt.

Was ist der Unterschied zwischen linearer Funktion und direkter Proportionalität?

Jede direkte Proportionalität $f(x) = k \cdot x$ ist eine lineare Funktion, aber nicht umgekehrt. Bei der Proportionalität läuft der Graph durch den Koordinatenursprung, und Quotienten $\frac{f(x)}{x}$ sind konstant. Hat die lineare Funktion ein $d \neq 0$, etwa eine Grundgebühr, verdoppelt sich der Funktionswert bei doppeltem Argument nicht.

Wann ist ein lineares Modell nicht angemessen?

Wenn der Vorgang nicht unbegrenzt gleichmäßig weiterlaufen kann, weil etwa ein Behälter leer wird, ein Wachstum an eine Grenze stößt oder sich der Wert um denselben Faktor statt um denselben Betrag ändert. Der Grundkompetenzenkatalog der AHS nennt es ausdrücklich (FA 2.5): Du sollst die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können, und dazu gehört der Gültigkeitsbereich.

Wie hängt die Steigung mit dem Steigungswinkel zusammen?

Für eine Gerade $y = k \cdot x + d$ gilt $k = \tan(\alpha)$, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der Geraden und der waagrechten Achse ist. Die Formelsammlung des BMB führt das in Kapitel 11 auf Seite 9 an. Aus $k = 0{,}5$ folgt also $\alpha = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}6^\circ$; eine negative Steigung gehört zu einem negativen Winkel.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Lineare Funktionen: Steigung k, Ordinatenabschnitt d und Funktionsgleichung

Eine lineare Funktion beschreibt einen Vorgang, bei dem sich der Wert in gleichen Abständen immer um denselben Betrag ändert: ein Taxitarif mit Grundgebühr, ein Becken, das gleichmäßig leerläuft, eine Temperatur, die mit der Höhe sinkt. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du die Steigung k und den Ordinatenabschnitt d abliest und im Kontext deutest, aus zwei Werten die Funktionsgleichung aufstellst und erkennst, wann ein lineares Modell angemessen ist.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Angewandte Mathematik, Teil A: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B HTL 1: in 7 der 8.

Aus dem Katalog

Mathematik (AHS)

FA 2.1verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
FA 2.2aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
FA 2.3die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
FA 2.4wichtige Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x + 1) = f(x) + k$ ; $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ={}$ $k ={}$ $[f'(x)]$
FA 2.5die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
FA 2.6direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x) = k \cdot x$ beschreiben können

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- FA 2.1verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
- FA 2.2aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
- FA 2.3die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
- FA 2.4wichtige Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x + 1) = f(x) + k$ ; $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} ={}$ $k ={}$ $[f'(x)]$
- FA 2.5die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
- FA 2.6direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x) = k \cdot x$ beschreiben können
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgaben 8, 9, 25b1, 28b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 7, 8, 26b1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8, 28a3; Haupttermin 2023: Aufgabe 8; Haupttermin 2022: Aufgaben 8, 27b1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BHS), Teil A
- Deskriptor 3.2Zusammenhänge aus Anwendungsgebieten durch lineare Funktionen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren; Graphen von linearen Funktionen skizzieren und die Parameter kontextbezogen interpretieren; den Zusammenhang zwischen einer linearen Gleichung in zwei Variablen und einer linearen Funktion verstehen und anwenden
- Deskriptor 3.6lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen im Kontext beurteilen
- Deskriptor 3.9anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, Polynomfunktion bis zum Grad 3 und Exponentialfunktion) modellieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 2a2, 4c3; Haupttermin 2026: Aufgaben 4b1, 6a1, 6b1; Wintertermin 2026: Aufgaben 1a1, 6b1, 6b2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 3a1, 5a1, 5a2; Haupttermin 2025: Aufgaben 3a1, 3a2, 5b1; Wintertermin 2025: Aufgaben 5b1, 5b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 4c1, 4c2; Haupttermin 2024: Aufgaben 3a1, 3e1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HAK), Teil B
- B_W_3.5geeignete Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (linear, exponentiell, beschränkt, logistisch) aufstellen, mit den zugehörigen Funktionen Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgabe 8a1; Herbsttermin 2025: Aufgabe 7b1; Haupttermin 2025: Aufgabe 7a1; Wintertermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Haupttermin 2024: Aufgabe 7a1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HUM/HLFS), Teil B
- B_W_3.5geeignete Modelle für die Beschreibung von Änderungsprozessen (linear, exponentiell, beschränkt, logistisch) aufstellen, mit den zugehörigen Funktionen Berechnungen durchführen und sie grafisch darstellen, Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse interpretieren; im Kontext argumentieren
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgabe 8a1; Herbsttermin 2025: Aufgabe 7b1; Haupttermin 2025: Aufgabe 7a1; Wintertermin 2025: Aufgaben 8b1, 8b2; Haupttermin 2024: Aufgabe 7a1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
Gefragt in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a2, 9b1, 9c2; Haupttermin 2026: Aufgabe 7a2; Wintertermin 2026: Aufgaben 8b2, 8b3, 9b1, 9b2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 9a1, 9a2; Haupttermin 2025: Aufgabe 9b2; Herbsttermin 2024: Aufgaben 7c1, 9a1, 9a2, 9b2; Haupttermin 2024: Aufgaben 8c2, 9c1, 9c2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T_3.2folgende Funktionen und deren Verknüpfungen grafisch darstellen, interpretieren, zu Berechnungen verwenden und erklären: lineare Funktion, quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Wachstums-, Sättigungs- und Abklingfunktion), Logarithmusfunktion; den Einfluss der Parameter $a$ , $b$ und $c$ bei $a \cdot f(x + b) + c$ verstehen und anwenden, wenn $f$ eine der eben genannten Funktionen ist (Verschiebung im Koordinatensystem und Skalierung)
Gefragt in 5 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgabe 7a2; Haupttermin 2026: Aufgabe 7a2; Herbsttermin 2025: Aufgaben 8b1, 9a1, 9a2; Wintertermin 2025: Aufgabe 8d1; Herbsttermin 2024: Aufgabe 7c1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Eine lineare Funktion hat die Form $f(x) = k \cdot x + d$ mit $k, d \in \mathbb{R}$ . Der Graph ist eine Gerade. In einer Sachaufgabe können die Variablen anders heißen, etwa $K(t) = k \cdot t + d$ ; dann gibst du an, was $k$ und $d$ im Zusammenhang bedeuten.
Die Steigung $k$ ist die Änderung des Funktionswerts pro Einheit des Arguments: $f(x + 1) = f(x) + k$ . Du berechnest sie aus zwei Punkten mit dem Differenzenquotienten $k ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ . Für $k > 0$ steigt die Funktion, für $k < 0$ fällt sie, für $k = 0$ ist sie konstant.
Der Ordinatenabschnitt $d = f(0)$ ist der Funktionswert an der Stelle 0: Der Graph schneidet die senkrechte Achse im Punkt $(0 \mid d)$ . In Anwendungen ist er oft der Anfangswert. Die Nullstelle ist davon verschieden: Für $k \neq 0$ liegt sie bei $x_0 = -\frac{d}{k}$ .
Gilt $d = 0$ , also $f(x) = k \cdot x$ , beschreibt die Funktion eine direkte Proportionalität: Verdoppelst du das Argument, verdoppelt sich der Funktionswert.
Zwei Punkte mit verschiedenen $x$ -Werten legen genau eine lineare Funktion fest. Hast du $k$ , setzt du einen Punkt ein und erhältst $d ={}$ $f(x_1) - k \cdot x_1$ .
Die Formelsammlung des BMB nennt das lineare Wachstum $N(t) ={}$ $N_0 + k \cdot t$ und die lineare Abnahme $N(t) ={}$ $N_0 - k \cdot t$ (Kapitel 15, Seite 12) und für die Gerade die explizite Form $y = k \cdot x + d$ mit $k = \tan(\alpha)$ (Kapitel 11, Seite 9), wobei $\alpha$ der Steigungswinkel ist.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Größen und Einheiten festlegen
Lies ab, was das Argument $x$ und was der Funktionswert $f(x)$ ist und in welchen Einheiten sie gemessen werden. Lege fest, wofür $x = 0$ steht.
2.Die Steigung bestimmen
Steht im Text „pro Stunde“, „je Kilometer“ oder „jedes Jahr um“, ist das schon $k$ . Sonst rechnest du aus zwei Werten $k ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ und achtest auf das Vorzeichen.
3.Den Ordinatenabschnitt bestimmen
Ist der Wert bei $x = 0$ gegeben, ist das $d$ . Sonst setzt du einen bekannten Punkt in $f(x) = k \cdot x + d$ ein und löst nach $d$ .
4.Probe mit dem zweiten Punkt
Setze den Punkt ein, den du für $k$ und $d$ nicht gebraucht hast. Stimmt der Funktionswert nicht, hast du dich verrechnet.
5.Rechnen
Für einen Funktionswert setzt du das Argument ein. Für ein Argument löst du die lineare Gleichung $k \cdot x + d = b$ nach $x$ . Die Nullstelle ist der Fall $b = 0$ .
6.Im Kontext deuten
Formuliere $k$ mit Einheit als Änderung pro Einheit („nimmt pro Stunde um … ab“) und $d$ als Wert zu Beginn. Prüfe, ob das lineare Modell im betrachteten Bereich sinnvoll ist.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Ein Tarif mit Grundgebühr
Eine Taxifahrt kostet € 3,80 Grundgebühr und € 2,20 für jeden gefahrenen Kilometer. Stelle eine Funktion für die Kosten in Abhängigkeit von der Strecke auf, berechne die Kosten für 12,5 km und gib an, wie weit man für € 50 fahren kann.
2.Die Gleichung aus zwei Werten
Ein Schwimmbecken wird gleichmäßig geleert. Zwei Stunden nach Beginn befinden sich noch 138 m³ Wasser im Becken, nach fünf Stunden noch 99 m³. Stelle eine Funktionsgleichung für das Volumen auf, deute die Steigung und berechne, wann das Becken leer ist.
3.Parameter im Kontext deuten
Die Lufttemperatur $T$ (in °C) in Abhängigkeit von der Höhe $h$ über dem Talboden (in km) wird modellhaft durch $T(h) ={}$ $-6{,}5 \cdot h + 15$ beschrieben. Deute die Zahlen $-6{,}5$ und $15$ , berechne die Temperatur in 1,2 km Höhe und die Höhe, in der es 0 °C hat.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 8

Lineare Funktion Gegeben ist eine lineare Funktion

f

mit

f(x) = k \cdot x + d

mit

k \neq 0

und

d \in \mathbb{R}

. Der Graph von

f

verläuft durch den Punkt

B = (b \mid f(b))

mit

b \in \mathbb{R}

. Es gilt:

f(b) - f(-6) ={}

4 \cdot k

Ermitteln Sie

b

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 8 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

In Teil A, den alle Cluster der BHS schreiben, steht die lineare Funktion in drei Deskriptoren: Du sollst Zusammenhänge durch lineare Funktionen modellieren, damit rechnen und die Parameter kontextbezogen interpretieren (Deskriptor 3.2), lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen (Deskriptor 3.6) und Problemstellungen mit dem passenden Funktionstyp modellieren (Deskriptor 3.9). Der Kommentar zu Deskriptor 3.1 verlangt, Variablen und Parameter kontextbezogen zu benennen, am Beispiel der linearen Funktion „nicht nur k für Anstieg, d für Ordinatenabschnitt“. Schreib deshalb den Rechenansatz mit den Bezeichnungen der Angabe auf.

ZentralmaturaBHS Teil A

Neugeborene (Aufgabe 4, Teil c)

In der nachstehenden Abbildung ist die zeitliche Entwicklung der Körpermasse eines bestimmten Buben für die ersten zwei Lebensjahre modellhaft dargestellt.

Koordinatensystem mit Gitter: waagrechte Achse Alter in Monaten von 0 bis 34 in Schritten von 2, senkrechte Achse Körpermasse in kg von 0 bis 14 in Schritten von 1. Darin ein Graph, auf dem die Punkte P0 (am Beginn), P1 und P2 (am Ende) markiert und mit ihren Koordinaten beschriftet sind; zwischen P1 und P2 ist er eine Strecke. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Aufgabe 4, Teilaufgabe c3

Die zeitliche Entwicklung der Körpermasse im 2. Lebensjahr kann näherungsweise durch die lineare Funktion

m

beschrieben werden.

t

... Alter in Monaten

m(t)

... Körpermasse im Alter

t

in kg Stellen Sie mithilfe der Punkte

P_1

und

P_2

eine Gleichung der linearen Funktion

m

auf.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (BHS), Teil A (alle Cluster), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 4, Teilaufgabe c3 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Angewandte Mathematik (HAK)

In Teil B der HAK und der HUM kommt die lineare Funktion über die Änderungsprozesse (B_W_3.5): Du sollst geeignete Modelle aufstellen – linear, exponentiell, beschränkt oder logistisch –, mit den zugehörigen Funktionen rechnen und sie grafisch darstellen. Die Aufgabe nennt das Modell nicht immer; dann entscheidest du, ob die Werte in gleichen Abständen um denselben Betrag zunehmen.

Angewandte Mathematik (HTL 1)

In Teil B der HTL 1 und der HTL 2 (B_T_3.2) steht die lineare Funktion in einer Reihe mit der quadratischen Funktion, der Wurzelfunktion, der Potenzfunktion, der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion. Dazu kommt der Einfluss der Parameter

a

b

und

c

a \cdot f(x + b) + c

: Bei einer linearen Funktion

f

verschiebt und streckt das die Gerade, und das Ergebnis ist wieder eine lineare Funktion.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Ein bestimmtes 75 km² großes Gebiet des Neusiedler Sees ist mit Schilf bewachsen. Das Alter des Schilfs wird in Klassen eingeteilt. Die nachstehende Abbildung zeigt den relativen Anteil der jeweiligen Altersklasse in % an der Gesamtfläche von 75 km².

Kreisdiagramm der Altersklassen des Schilfs mit den Sektoren „diesjährig“, „1 – 4 Jahre“, „5 – 9 Jahre“, „10 – 14 Jahre“ und „mindestens 15 Jahre“; alle Sektoren außer dem letzten tragen eine Prozentangabe. — Datenquelle: Bundesministerium für Bildung (CC BY 4.0)

Aufgabe 1.

Ein Teil des Schilfs wird jährlich im Winter geschnitten. In der nachstehenden Tabelle ist für zwei Winter der Flächeninhalt desjenigen Gebiets, in dem das Schilf geschnitten worden ist, angegeben.

Winter	Flächeninhalt in km²
2006/07	14,9
2013/14	11,1

Für den Zeitraum vom Winter 2006/07 bis zum Winter 2013/14 wird der Flächeninhalt desjenigen Gebiets, in dem das Schilf geschnitten worden ist, in Abhängigkeit von der Zeit

j

durch die lineare Funktion

A

modelliert.

A(j) = k \cdot j + d

j

… Zeit in Jahren mit

j = 0

für den Winter 2006/07

A(j)

… Flächeninhalt desjenigen Gebiets, in dem das Schilf geschnitten worden ist, zum Zeitpunkt

j

in km² Ermitteln Sie

k

und

d

mithilfe der Daten aus der obigen Tabelle.

k =

d =

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 28, Teilaufgabe b2 — matura.gv.at, CC BY 4.0

AHS

Aufgabe 2.

Der Graph einer linearen Funktion

f

verläuft durch die Punkte

A = (1 \mid 7)

und

B = (4 \mid 1)

. Welche Funktionsgleichung gehört zu

f

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HAK

Aufgabe 3.

Die Kosten für einen Leihroller betragen

K(x) ={}

0{,}8 \cdot x + 12

(

x

in Stunden,

K(x)

in €). Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 1

Aufgabe 4.

Eine lineare Funktion

g

hat die Nullstelle

x = 4

und die Steigung

-1{,}5

. Berechne

g(10)

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Mehr Aufgaben: schreib kostenlos eine ganze Klausur

Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Die Differenzen vertauschen. Wer oben $f(x_2) - f(x_1)$ rechnet, muss unten $x_2 - x_1$ rechnen, sonst stimmt das Vorzeichen von $k$ nicht. Den Kehrwert $\frac{x_2 - x_1}{f(x_2) - f(x_1)}$ zu bilden ist ein zweiter Fehler dieser Art.
Den Ordinatenabschnitt $d$ für die Nullstelle halten. $d$ ist der Funktionswert an der Stelle 0, die Nullstelle ist die Stelle, an der der Funktionswert 0 ist.
Eine gleichbleibende Prozentzahl für linear halten. „Pro Jahr um 5 Einheiten mehr“ ist linear, „pro Jahr um 5 % mehr“ ist exponentiell, weil sich der Betrag der Zunahme jedes Jahr ändert.
Direkte Proportionalität annehmen, obwohl es eine Grundgebühr gibt. Doppelte Menge heißt nur dann doppelter Preis, wenn $d = 0$ ist.
Die Steigung ohne Einheit deuten. „ $k = -13$ “ sagt wenig; „das Volumen nimmt pro Stunde um 13 m³ ab“ ist die Deutung, die in der Aufgabe verlangt wird.

Merk dir

$f(x) = k \cdot x + d$ : $k$ ist die Änderung pro Einheit, $d = f(0)$ .
$k ={}$ $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , Nullstelle $x_0 = -\frac{d}{k}$ .
Lineare Funktion heißt: gleiche Differenzen in gleichen Abständen.
Direkte Proportionalität ist der Sonderfall $d = 0$ .
Nach dem Aufstellen die Probe mit dem zweiten Punkt.

Häufige Fragen

1.Woran erkenne ich in einer Tabelle eine lineare Funktion?+
Antwort:Bilde die Differenzen aufeinanderfolgender Funktionswerte, wenn die Argumente gleich weit auseinanderliegen. Sind die Differenzen gleich, passt ein lineares Modell, und die Differenz geteilt durch den Abstand der Argumente ist die Steigung. Sind stattdessen die Quotienten gleich, ist das Modell exponentiell. Bei Messwerten sind die Differenzen oft nur ungefähr gleich, dann beschreibt die lineare Funktion den Zusammenhang näherungsweise.
2.Was ist $d$ , wenn die Zeit nicht bei 0 beginnt?+
Antwort:Die Aufgabe legt fest, wofür $x = 0$ steht, etwa „ $t = 0$ für das Jahr 2000“. Das $d$ gehört immer zu diesem Nullpunkt. Rechnest du mit Jahreszahlen wie 2024 statt mit Jahren seit 2000, stimmen $d$ und der Anfangswert nicht mehr überein. Lies deshalb die Angabe zum Nullpunkt, bevor du Punkte einsetzt.
3.Wie berechne ich die Nullstelle einer linearen Funktion?+
Antwort:Setze $k \cdot x + d = 0$ und löse nach $x$ : $x_0 = -\frac{d}{k}$ . Das geht nur für $k \neq 0$ . Bei $k = 0$ ist die Funktion konstant: Für $d \neq 0$ hat sie keine Nullstelle, für $d = 0$ ist jede Stelle eine Nullstelle. Im Kontext bedeutet die Nullstelle oft, wann ein Vorrat aufgebraucht ist oder ein Gewinn beginnt.
4.Was ist der Unterschied zwischen linearer Funktion und direkter Proportionalität?+
Antwort:Jede direkte Proportionalität $f(x) = k \cdot x$ ist eine lineare Funktion, aber nicht umgekehrt. Bei der Proportionalität läuft der Graph durch den Koordinatenursprung, und Quotienten $\frac{f(x)}{x}$ sind konstant. Hat die lineare Funktion ein $d \neq 0$ , etwa eine Grundgebühr, verdoppelt sich der Funktionswert bei doppeltem Argument nicht.
5.Wann ist ein lineares Modell nicht angemessen?+
Antwort:Wenn der Vorgang nicht unbegrenzt gleichmäßig weiterlaufen kann, weil etwa ein Behälter leer wird, ein Wachstum an eine Grenze stößt oder sich der Wert um denselben Faktor statt um denselben Betrag ändert. Der Grundkompetenzenkatalog der AHS nennt es ausdrücklich (FA 2.5): Du sollst die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können, und dazu gehört der Gültigkeitsbereich.
6.Wie hängt die Steigung mit dem Steigungswinkel zusammen?+
Antwort:Für eine Gerade $y = k \cdot x + d$ gilt $k = \tan(\alpha)$ , wobei $\alpha$ der Winkel zwischen der Geraden und der waagrechten Achse ist. Die Formelsammlung des BMB führt das in Kapitel 11 auf Seite 9 an. Aus $k = 0{,}5$ folgt also $\alpha = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}6^\circ$ ; eine negative Steigung gehört zu einem negativen Winkel.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

Schreib kostenlos die Klausur vom Herbsttermin 2026 — 270 Minuten, mit Auswertung

Klausur kostenlos schreiben

Lineare Funktionen: Steigung k, Ordinatenabschnitt d und Funktionsgleichung

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Größen und Einheiten festlegen

2.Die Steigung bestimmen

3.Den Ordinatenabschnitt bestimmen

4.Probe mit dem zweiten Punkt

5.Rechnen

6.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Ein Tarif mit Grundgebühr

2.Die Gleichung aus zwei Werten

3.Parameter im Kontext deuten

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

Angewandte Mathematik (BHS), Teil A

Angewandte Mathematik (HAK)

Angewandte Mathematik (HTL 1)

Teste dich selbst

Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

Quellen