Wie rechne ich mit Vektoren, die als Punkte angegeben sind?

Einen Punkt $P = (3 \mid 5)$ kannst du als Ortsvektor schreiben, als Pfeil vom Ursprung zum Punkt. Für den Vektor zwischen zwei Punkten rechnest du immer Ziel minus Start, Komponente für Komponente. Der Grundkompetenzenkatalog der AHS verlangt ausdrücklich, Vektoren als Zahlentupel zu verstehen und Punkte und Pfeile als geometrische Veranschaulichung davon zu deuten.

Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt null ist?

Dann stehen die beiden Vektoren normal aufeinander, vorausgesetzt, keiner von beiden ist der Nullvektor. Das ist der Spezialfall der geometrischen Deutung, den der Grundkompetenzenkatalog der AHS nennt. Mit dieser Bedingung bestimmst du fehlende Komponenten, Normalvektoren und rechte Winkel in einem Dreieck oder Viereck.

Wie finde ich einen Normalvektor zu einer Geraden?

Bei einem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ vertauschst du die beiden Komponenten und änderst bei einer das Vorzeichen: $\begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix}$. Mit einem Normalvektor $\vec{n}$ und einem Punkt $P$ der Geraden lautet die Gleichung $\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P$. Das gilt in der Ebene, für Geraden im Raum gibt es diese Form nicht.

Wie prüfe ich, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

Setze die Koordinaten des Punktes für $X$ in die Parameterdarstellung ein. Das ergibt für jede Komponente eine Gleichung für $t$. Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es eine Zahl $t$ gibt, die alle Gleichungen erfüllt. Bei der Gleichungsform der Ebene setzt du die Koordinaten direkt ein und prüfst, ob die Gleichung stimmt.

Welche Formeln zu Vektoren stehen in der Formelsammlung?

Das Kapitel Vektoren (Kapitel 10, Seiten 8 und 9) enthält den Pfeil von $P$ nach $Q$, die Rechenregeln, das Skalarprodukt, den Betrag und den Normalvektor in der Ebene, dann das Orthogonalitäts- und das Parallelitätskriterium, den Winkel zwischen zwei Vektoren, den Einheitsvektor und das Vektorprodukt. Die Geraden stehen im folgenden Kapitel 11, ebenfalls auf Seite 9. Du solltest sie nicht nur nachschlagen, sondern in einer Aufgabe verwenden können.

Was ist der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Punkt?

Ein Punkt gibt eine Lage an, ein Vektor eine Verschiebung. Beide werden durch Zahlen beschrieben, aber nur mit Vektoren rechnest du: Du addierst sie, bildest Vielfache und ihr Skalarprodukt. Ein Punkt wird zum Ortsvektor, wenn du ihn als Verschiebung vom Ursprung aus liest.

Zentralmatura 2027 · Mathematik (AHS)

Vektoren: Rechnen, Betrag, Skalarprodukt, Normalvektor und Geraden

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: wie weit und in welche Richtung du von einem Punkt zum nächsten kommst. Diese Seite zeigt dir für die Mathe-Matura und für die Klausur in Angewandter Mathematik, wie du mit Vektoren in der Ebene und im Raum rechnest, Länge und Skalarprodukt bestimmst, normale und parallele Vektoren erkennst und Geraden in Parameterdarstellung und mit Gleichung beschreibst.

Mathe-Matura (AHS): in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026; Teil B HTL 2: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024; Teil B Cluster P: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

Aus dem Katalog

Mathematik (AHS)

AG 3.1Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
AG 3.2Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
AG 3.3Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
AG 3.4Geraden in $\mathbb{R}^2$ durch Parameterdarstellungen und Gleichungen, in $\mathbb{R}^3$ durch Parameterdarstellungen angeben und diese Darstellungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
AG 3.5Normalvektoren in $\mathbb{R}^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Mathe-Matura (AHS)
- AG 3.1Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
- AG 3.2Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
- AG 3.3Definitionen der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
- AG 3.4Geraden in $\mathbb{R}^2$ durch Parameterdarstellungen und Gleichungen, in $\mathbb{R}^3$ durch Parameterdarstellungen angeben und diese Darstellungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
- AG 3.5Normalvektoren in $\mathbb{R}^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
Gefragt in allen 5 Haupttermin-Klausuren 2022–2026.
Haupttermin 2026: Aufgaben 2, 4, 5; Haupttermin 2025: Aufgaben 4, 5; Haupttermin 2024: Aufgaben 4, 5, 25a1; Haupttermin 2023: Aufgaben 4, 5; Haupttermin 2022: Aufgaben 3, 4
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 1), Teil B
- B_T1_2.3Vektoren in $\mathbb{R}^2$ verstehen und anwenden
Gefragt in 7 der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2; Haupttermin 2026: Aufgaben 8a1, 8a2, 8a3, 8a4; Wintertermin 2026: Aufgaben 7a2, 7a3; Herbsttermin 2025: Aufgabe 9a4; Haupttermin 2025: Aufgabe 7c1; Wintertermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7a4; Haupttermin 2024: Aufgaben 9b1, 9b2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T2_2.4Vektoren in $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$ verstehen und anwenden
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7c1, 7c2, 8b1; Haupttermin 2026: Aufgaben 8c1, 8c2, 8c3; Wintertermin 2026: Aufgaben 7a2, 7a3, 8b1; Herbsttermin 2025: Aufgabe 9a4; Haupttermin 2025: Aufgaben 7c1, 9b1, 9b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7a4, 8b1, 8c1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8a1, 8a2, 8a3, 8a4; Haupttermin 2024: Aufgaben 9a2, 9a3
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben
Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP), Teil B
- B_P_2.1Vektoren in $\mathbb{R}^2$ verstehen und anwenden
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 7a1, 7a2, 7a3, 7b1; Haupttermin 2026: Aufgaben 9a2, 9a3; Wintertermin 2026: Aufgaben 9b1, 9b2, 9b3; Herbsttermin 2025: Aufgaben 9b1, 9b2, 9b3; Haupttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2, 8b1, 8b2; Wintertermin 2025: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3, 9b1; Herbsttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2, 8c2; Haupttermin 2024: Aufgaben 9a1, 9a2, 9a3, 9a4, 9b1
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
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Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Ein Vektor ist ein Zahlentupel, zum Beispiel $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ in der Ebene oder mit drei Komponenten im Raum. Geometrisch ist er ein Pfeil oder, als Ortsvektor, ein Punkt. Der Pfeil von $P$ nach $Q$ ist $\overrightarrow{PQ} ={}$ $Q - P$ : Ziel minus Start.
Vektoren addierst und subtrahierst du komponentenweise, und mit einer Zahl $k$ multiplizierst du jede Komponente: $k \cdot \vec{a}$ . Der Gegenvektor zu $\vec{a}$ ist $-\vec{a}$ .
Der Betrag (die Länge) ist $|\vec{a}| ={}$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ , im Raum mit $a_3^2$ unter der Wurzel. Der Einheitsvektor $\vec{a}_0 ={}$ $\frac{1}{|\vec{a}|} \cdot \vec{a}$ zeigt in dieselbe Richtung und hat die Länge 1.
Das Skalarprodukt ist $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 \cdot b_1 +{}$ $a_2 \cdot b_2$ , im Raum mit $a_3 \cdot b_3$ dazu, und das Ergebnis ist eine Zahl. Es gilt $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $0$ genau dann, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ normal aufeinander stehen (für Vektoren ungleich dem Nullvektor).
Zwei Vektoren sind parallel, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{a} ={}$ $k \cdot \vec{b}$ . In der Ebene bekommst du einen Normalvektor zu $\vec{a}$ , indem du die Komponenten vertauschst und bei einer das Vorzeichen änderst: $\vec{n} = k \cdot \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix}$ .
Eine Gerade hat die Parameterdarstellung $g\colon X ={}$ $P + t \cdot \vec{g}$ mit einem Punkt $P$ und einem Richtungsvektor $\vec{g}$ . In der Ebene gibt es auch die Gleichung $y = k \cdot x + d$ oder mit Normalvektor $\vec{n} \cdot X ={}$ $\vec{n} \cdot P$ .
Der Winkel $\varphi$ zwischen zwei Vektoren folgt aus $\cos(\varphi) ={}$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ . Der Grundkompetenzenkatalog der AHS meint mit der geometrischen Deutung des Skalarprodukts allerdings nur den Spezialfall $\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $0$ ; die Teil-B-Kataloge nennen den Winkel zwischen Vektoren im Kommentar.

Die Mathematik-Klausur der AHS dauert 270 Minuten und hat 36 Punkte. Du darfst die freigegebene Formelsammlung und deine Technologie verwenden, etwa einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Software mit den vorgeschriebenen Funktionen.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Aufgabe in Koordinaten übersetzen
Schreibe die gegebenen Punkte und Vektoren mit Komponenten an. Hilf dir mit einer Skizze, wenn eine Ebene oder ein Körper gemeint ist. Der Vektor vom Start zum Ziel entsteht immer als Ziel minus Start.
2.Die passende Operation wählen
Geht es um Länge, rechnest du den Betrag. Geht es um Normalstehen oder einen Winkel, nimmst du das Skalarprodukt. Geht es um Parallelität, prüfst du, ob eine Zahl $k$ alle Komponenten verbindet.
3.Komponentenweise rechnen
Rechne jede Komponente für sich und setze die Ergebnisse wieder zum Vektor zusammen. Beim Skalarprodukt addierst du die Produkte der Komponenten zu einer einzigen Zahl.
4.Geraden und Schnittpunkte ansetzen
Setze eine Gerade in Parameterdarstellung ein und löse für den Parameter $t$ . Ein Punkt liegt auf der Geraden, wenn dieselbe Zahl $t$ alle Komponentengleichungen erfüllt.
5.Ergebnis im Kontext deuten
Gib Vektoren in Klammern an und Längen mit Einheit. Kontrolliere mit einer Probe, zum Beispiel mit dem Skalarprodukt, ob zwei Vektoren wirklich normal aufeinander stehen.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Vektoren, Länge und Winkel im Dreieck
Gegeben sind die Punkte $A = (1 \mid 2)$ , $B = (7 \mid 3)$ und $C = (2 \mid 8)$ . Berechne $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , ihre Beträge und den Winkel bei $A$ .
2.Gerade, Normalvektor und Punktprobe
Die Gerade $g$ geht durch $P = (2 \mid 1)$ und hat den Richtungsvektor $\vec{g} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ . Gib einen Normalvektor und eine Gleichung von $g$ an und prüfe, ob $Q = (8 \mid -9)$ auf $g$ liegt.
3.Parallel, normal und Einheitsvektor im Raum
Gegeben sind $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$ , $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}$ und $\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}$ . Prüfe, ob $\vec{b}$ parallel zu $\vec{a}$ ist und ob $\vec{c}$ normal auf $\vec{a}$ steht, und bestimme den Einheitsvektor von $\vec{a}$ .
4.Resultierende zweier Kräfte
Auf einen Körper wirken die Kräfte $\vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 30 \\ 40 \end{pmatrix}$ und $\vec{F}_2 = \begin{pmatrix} -10 \\ 25 \end{pmatrix}$ , jeweils in Newton (N). Bestimme die Resultierende, ihren Betrag und ihren Winkel zur $x$ -Achse. Resultierende von Kräften verlangen die Teil-B-Kataloge der HTL 1, der HTL 2 und des Clusters P.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 3.

Vektoren im Raum Gegeben ist der Vektor

\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}

. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]

Wähle höchstens 2

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 3 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaAHS

Zentralmatura Mathematik (AHS) — Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026)

Aufgabe 4

Normalvektor Gegeben sind die zwei Vektoren

\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}

und

\vec{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ b_2 \end{pmatrix}

mit

b_2 \in \mathbb{R}

. Die beiden Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

stehen normal aufeinander. Geben Sie

b_2

an.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Mathematik (AHS), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 4 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Je nach Schulform und Cluster

AHS, Teil A, Teil B

Angewandte Mathematik (HTL 1)

In Teil B der HTL 1 lautet der Deskriptor B_T1_2.3: „Vektoren in

\mathbb{R}^2

verstehen und anwenden“. Der Kommentar nennt Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Ortsvektor, Betrag, Einheitsvektor, Normalvektor, Gegenvektor, Winkel zwischen Vektoren sowie die Resultierende von vektoriellen Größen und die Zerlegung in deren Komponenten. Unter den Begriffen nennt der Katalog der HTL 1 dazu Kräfteparallelogramm und Kräftedreieck. Der Deskriptor nennt Vektoren in

\mathbb{R}^2

, also in der Ebene. Wie in Teil B üblich, schreibst du die Rechnung mit Rechenansatz auf.

Angewandte Mathematik (HTL 2)

In Teil B der HTL 2 gilt der Deskriptor B_T2_2.4: „Vektoren in

\mathbb{R}^2

und

\mathbb{R}^3

verstehen und anwenden“. Der Kommentar ergänzt gegenüber der HTL 1 das Vektorprodukt, den Richtungsvektor und die Parameterdarstellung von Geraden samt ihren Lagebeziehungen. Das Vektorprodukt zweier Vektoren im Raum steht in der Formelsammlung (Kapitel 10, Seite 9); du solltest es anwenden und im Kontext deuten können. Geraden im Raum in Parameterdarstellung nennt auch der Grundkompetenzenkatalog der AHS (AG 3.4).

Angewandte Mathematik (BAfEP, BASOP, BRP)

Im Teil-B-Katalog des Clusters P (BAfEP, BASOP, BRP) steht B_P_2.1: „Vektoren in

\mathbb{R}^2

verstehen und anwenden“, mit demselben Kommentar wie in der HTL 1: Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Ortsvektor, Betrag, Einheitsvektor, Normalvektor, Gegenvektor, Winkel zwischen Vektoren sowie Resultierende und Zerlegung in Komponenten. Der Deskriptor nennt Vektoren in

\mathbb{R}^2

, also Vektoren mit zwei Komponenten. Schreibe den Ansatz an, bevor du deine Technologie verwendest.

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

AHS

Aufgabe 1.

Gegeben sind die Punkte

A ={}

(1 \mid 2 \mid -3)

und

B ={}

(4 \mid -2 \mid 9)

. Welcher Vektor ist

\overrightarrow{AB}

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

AHS

Aufgabe 2.

Gegeben sind die Vektoren

\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}

und

\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 3.

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren

\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}

und

\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}

in Grad. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

Cluster P

Aufgabe 4.

Auf einen Körper wirken die Kräfte

\vec{F}_1 = \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \end{pmatrix}

und

\vec{F}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}

(in N). Berechne den Betrag der Resultierenden in N. Runde auf eine Nachkommastelle.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Start minus Ziel statt Ziel minus Start rechnen. Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ zeigt von $P$ nach $Q$ und ist $Q - P$ ; ein Vorzeichenfehler dreht den Pfeil um. Kontrolliere mit einer Skizze, in welche Richtung er zeigt.
Das Skalarprodukt als Vektor angeben. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ist eine Zahl, kein Vektor. Auch bei $k \cdot \vec{a}$ steht links eine Zahl, und das Ergebnis ist ein Vektor; achte darauf, was jeweils herauskommt.
Beim Betrag die Wurzel vergessen. Der Betrag ist $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ , nicht die Summe der Quadrate. Die Summe der Quadrate ohne Wurzel ist die Länge zum Quadrat.
Normal und parallel verwechseln. Parallele Vektoren sind Vielfache voneinander, normale haben das Skalarprodukt 0. Prüfe bei Unsicherheit mit einer Probe beide Bedingungen.
Beim Normalvektor nur die Vorzeichen ändern. Aus $\begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$ wird nicht $\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ , denn das ist der Gegenvektor und bleibt parallel zum Ausgangsvektor. Du musst die Komponenten vertauschen: $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ . Die Probe mit dem Skalarprodukt zeigt es sofort.

Merk dir

$\overrightarrow{PQ} ={}$ $Q - P$ : Ziel minus Start.
$|\vec{a}| ={}$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ , im Raum mit $a_3^2$ .
$\vec{a} \cdot \vec{b} ={}$ $a_1 \cdot b_1 +{}$ $a_2 \cdot b_2$ , eine Zahl; null heißt normal.
Parallel: $\vec{a} ={}$ $k \cdot \vec{b}$ . Normalvektor in der Ebene: $\begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix}$ .
Gerade: $X = P + t \cdot \vec{g}$ .

Häufige Fragen

1.Wie rechne ich mit Vektoren, die als Punkte angegeben sind?+
Antwort:Einen Punkt $P = (3 \mid 5)$ kannst du als Ortsvektor schreiben, als Pfeil vom Ursprung zum Punkt. Für den Vektor zwischen zwei Punkten rechnest du immer Ziel minus Start, Komponente für Komponente. Der Grundkompetenzenkatalog der AHS verlangt ausdrücklich, Vektoren als Zahlentupel zu verstehen und Punkte und Pfeile als geometrische Veranschaulichung davon zu deuten.
2.Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt null ist?+
Antwort:Dann stehen die beiden Vektoren normal aufeinander, vorausgesetzt, keiner von beiden ist der Nullvektor. Das ist der Spezialfall der geometrischen Deutung, den der Grundkompetenzenkatalog der AHS nennt. Mit dieser Bedingung bestimmst du fehlende Komponenten, Normalvektoren und rechte Winkel in einem Dreieck oder Viereck.
3.Wie finde ich einen Normalvektor zu einer Geraden?+
Antwort:Bei einem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ vertauschst du die beiden Komponenten und änderst bei einer das Vorzeichen: $\begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \end{pmatrix}$ . Mit einem Normalvektor $\vec{n}$ und einem Punkt $P$ der Geraden lautet die Gleichung $\vec{n} \cdot X ={}$ $\vec{n} \cdot P$ . Das gilt in der Ebene, für Geraden im Raum gibt es diese Form nicht.
4.Wie prüfe ich, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?+
Antwort:Setze die Koordinaten des Punktes für $X$ in die Parameterdarstellung ein. Das ergibt für jede Komponente eine Gleichung für $t$ . Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es eine Zahl $t$ gibt, die alle Gleichungen erfüllt. Bei der Gleichungsform der Ebene setzt du die Koordinaten direkt ein und prüfst, ob die Gleichung stimmt.
5.Welche Formeln zu Vektoren stehen in der Formelsammlung?+
Antwort:Das Kapitel Vektoren (Kapitel 10, Seiten 8 und 9) enthält den Pfeil von $P$ nach $Q$ , die Rechenregeln, das Skalarprodukt, den Betrag und den Normalvektor in der Ebene, dann das Orthogonalitäts- und das Parallelitätskriterium, den Winkel zwischen zwei Vektoren, den Einheitsvektor und das Vektorprodukt. Die Geraden stehen im folgenden Kapitel 11, ebenfalls auf Seite 9. Du solltest sie nicht nur nachschlagen, sondern in einer Aufgabe verwenden können.
6.Was ist der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Punkt?+
Antwort:Ein Punkt gibt eine Lage an, ein Vektor eine Verschiebung. Beide werden durch Zahlen beschrieben, aber nur mit Vektoren rechnest du: Du addierst sie, bildest Vielfache und ihr Skalarprodukt. Ein Punkt wird zum Ortsvektor, wenn du ihn als Verschiebung vom Ursprung aus liest.

Siehe auch

Alle Themen: Mathematik (AHS)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Vektoren: Rechnen, Betrag, Skalarprodukt, Normalvektor und Geraden

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Aufgabe in Koordinaten übersetzen

2.Die passende Operation wählen

3.Komponentenweise rechnen

4.Geraden und Schnittpunkte ansetzen

5.Ergebnis im Kontext deuten

Beispiele

1.Vektoren, Länge und Winkel im Dreieck

2.Gerade, Normalvektor und Punktprobe

3.Parallel, normal und Einheitsvektor im Raum

4.Resultierende zweier Kräfte

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

Je nach Schulform und Cluster

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