Was ist eine Differenzialgleichung und was ist ihre Lösung?

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion zusammen mit ihrer Ableitung vorkommt, etwa $y' = k \cdot y$. Die Lösung ist keine Zahl, sondern eine Funktion: Setzt du sie samt Ableitung ein, wird die Gleichung wahr. Meist gibt es unendlich viele Lösungen, die sich durch die Konstante $C$ unterscheiden; ein Anfangswert wählt eine davon aus.

Wie erkenne ich exponentielles und beschränktes Wachstum in einer Aufgabe?

Lies den Text auf die Änderungsrate. „Proportional zum Bestand“ ist $y' = k \cdot y$ und führt auf exponentielles Wachstum. „Proportional zur Differenz zwischen einer Schranke und dem Bestand“ ist $y' = k \cdot (r - y)$ und führt auf beschränktes Wachstum. Der Katalog der HTL 2 verlangt, diesen Unterschied anhand der Differenzialgleichung zu interpretieren und zu erklären.

Wie funktioniert das Trennen der Variablen?

Bei $y' = f(x) \cdot g(y)$ schreibst du $y'$ als $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ und bringst alles mit $y$ auf eine, alles mit $x$ auf die andere Seite: $\frac{\mathrm{d}y}{g(y)} = f(x) \,\mathrm{d}x$. Dann bildest du auf beiden Seiten die Stammfunktion und löst nach $y$ auf. Die Methode steht im Katalog der HTL 2 (B_T2_4.7) ausdrücklich.

Was ist der Unterschied zwischen allgemeiner und spezieller Lösung?

Die allgemeine Lösung beschreibt alle Funktionen, die die Gleichung erfüllen, und enthält die Konstante $C$, zum Beispiel $y = C \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}$. Die spezielle Lösung gilt für einen bestimmten Vorgang: Du setzt einen Anfangswert, oft $y(0) = y_0$, ein und bestimmst $C$; mit einem zweiten Wert auch $k$.

Wie löse ich eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten?

Bei $y' + a \cdot y = s(x)$ ist die allgemeine Lösung $y = y_h + y_p$. Die homogene Lösung $y_h = C \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ gehört zu $s = 0$. Für die partikuläre Lösung $y_p$ der inhomogenen Gleichung probierst du einen Ansatz, der zur Störfunktion passt, etwa eine Konstante bei konstantem $s$. Der Katalog nennt dazu das Darstellen und Interpretieren der Lösungsteile.

Muss ich Differenzialgleichungen selbst aufstellen?

Du sollst Zusammenhänge modellieren, aber der Kommentar zu B_T2_4.7 sagt: „Das Modellieren von Differenzialgleichungen beschränkt sich auf das Übertragen von angegebenen Zusammenhängen in mathematische Formelsprache.“ Die Angabe nennt also den Zusammenhang in Worten („proportional zu …“), und du schreibst ihn als Gleichung.

Was steht zu Differenzialgleichungen in der Formelsammlung?

Kapitel 17 (Seite 14) gibt nur die Formen an: $y' = f(x) \cdot g(y)$ für trennbare Variablen und $y' + a \cdot y = s(x)$ mit $y = y_h + y_p$ für lineare Gleichungen. Die Lösungen von $y' = k \cdot y$ und $y' = k \cdot (r - y)$ stehen dort nicht, du leitest sie durch Trennen der Variablen her.

Darf ich die Konstanten mit Technologie bestimmen?

Ja. Das Lösen der Gleichung für $k$ darfst du mit Technologie erledigen. Schreibe aber den Rechenansatz auf, etwa $C \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t_1} = y_1$, und nenne Gleichung und Funktion der Technologie, denn bei der BHS zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HTL 2)

Differentialgleichungen: Trennen der Variablen, allgemeine und spezielle Lösung

Eine Differentialgleichung (in den Unterlagen des BMB: Differenzialgleichung) verbindet eine gesuchte Funktion mit ihrer Ableitung, zum Beispiel „die Änderungsrate ist proportional zum Bestand“. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik an der HTL 2, wie du solche Zusammenhänge als Gleichung aufstellst, durch Trennen der Variablen löst, die Konstanten aus Anfangswerten bestimmst und das Ergebnis deutest.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B: in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.

Aus dem Katalog

Angewandte Mathematik (HTL 2)

B_T2_4.6in Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differenzialquotienten beschreiben und erklären; Probleme in Anwendungsbereichen mit Differenzialgleichungen des Typs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}$ $k \cdot y$ bzw. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}$ $k \cdot (r - y)$ modellieren und diese lösen; Unterschied zwischen exponentiellem und beschränktem Wachstum anhand der Differenzialgleichung interpretieren und erklären
B_T2_4.7Probleme in Anwendungsbereichen mit linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten modellieren und diese lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T2_4.6in Natur und Technik auftretende Änderungsraten mit dem Differenzialquotienten beschreiben und erklären; Probleme in Anwendungsbereichen mit Differenzialgleichungen des Typs $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}$ $k \cdot y$ bzw. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} ={}$ $k \cdot (r - y)$ modellieren und diese lösen; Unterschied zwischen exponentiellem und beschränktem Wachstum anhand der Differenzialgleichung interpretieren und erklären
- B_T2_4.7Probleme in Anwendungsbereichen mit linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten modellieren und diese lösen; Methode Trennen der Variablen anwenden; homogene und inhomogene Differenzialgleichung unterscheiden, allgemeine und spezielle Lösung bestimmen, die Lösungsteile und die Lösung darstellen und interpretieren
Gefragt in allen 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2026: Aufgaben 9b1, 9b2, 9b3; Haupttermin 2026: Aufgaben 9a1, 9a2; Wintertermin 2026: Aufgabe 9c1; Herbsttermin 2025: Aufgaben 7b1, 7b2; Haupttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2; Wintertermin 2025: Aufgaben 9a1, 9a2; Herbsttermin 2024: Aufgabe 9c1; Haupttermin 2024: Aufgaben 8b1, 8b2, 8b3, 8b4
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Eine Differenzialgleichung (DGL) 1. Ordnung enthält eine Funktion $y = y(x)$ und ihre erste Ableitung $y' ={}$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . Die Lösung ist eine Funktion, die die Gleichung erfüllt.
Exponentielles Wachstum: Ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, gilt $y' = k \cdot y$ . Die Lösungen sind $y ={}$ $C \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}$ .
Beschränktes Wachstum: Ist die Änderungsrate proportional zum Abstand von einer Schranke $r$ , gilt $y' = k \cdot (r - y)$ . Die Lösungen sind $y ={}$ $r -{}$ $C \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ und nähern sich $r$ .
Trennen der Variablen bei $y' ={}$ $f(x) \cdot g(y)$ : Schreibe $\frac{\mathrm{d}y}{g(y)} ={}$ $f(x) \,\mathrm{d}x$ und integriere beide Seiten.
Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: $y' + a \cdot y = s(x)$ mit der Störfunktion $s$ . Die allgemeine Lösung ist $y = y_h + y_p$ : die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ( $s = 0$ ) plus eine partikuläre Lösung der inhomogenen, in der Formelsammlung „partikuläre (spezielle) Lösung“ genannt.
Die allgemeine Lösung enthält eine Konstante $C$ . Die spezielle Lösung für einen Vorgang erhältst du aus einem Anfangswert $y(x_0) = y_0$ und weiteren gegebenen Werten.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Den Zusammenhang übersetzen
Schreibe den Text als Gleichung: „Änderungsrate“ ist $y'$ , „proportional zu“ heißt mal $k$ . Prüfe, ob der Faktor $y$ oder ein Abstand $r - y$ ist.
2.Die Variablen trennen
Bringe alle $y$ mit $\mathrm{d}y$ auf eine Seite und alle $x$ mit $\mathrm{d}x$ auf die andere.
3.Integrieren
Bilde auf beiden Seiten eine Stammfunktion. Eine Konstante genügt. Aus $\int \frac{1}{y} \,\mathrm{d}y$ wird $\ln(|y|)$ .
4.Nach y auflösen
Wende $\mathrm{e}^{\ldots}$ an. Die Konstante $\mathrm{e}^{C_1}$ fasst du zu einer neuen Konstante $C$ zusammen. Das ist die allgemeine Lösung.
5.Die Konstanten bestimmen
Setze Anfangswert und weitere Werte ein. Eine Gleichung für $k$ löst du durch Logarithmieren oder mit Technologie; dokumentiere Gleichung und Funktion.
6.Prüfen und deuten
Leite die Lösung ab und setze sie in die Gleichung ein. Beschreibe dann, was das Ergebnis im Sachzusammenhang heißt, mit Einheit.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Exponentielles Wachstum aus zwei Werten
Die Anzahl $N$ der Kaninchen auf einer Insel wächst mit einer Rate, die proportional zu $N$ ist ( $t$ in Jahren). Zu Beginn sind es 800 Kaninchen, nach 3 Jahren 1 200. Stelle die Gleichung auf, bestimme die spezielle Lösung und berechne die Anzahl nach 8 Jahren und die Verdoppelungszeit.
2.Trennen der Variablen beim beschränkten Wachstum
Beim Aufladen eines Kondensators gilt für die Spannung $U$ (in Volt, $t$ in Sekunden) die Gleichung $U' ={}$ $0{,}5 \cdot (12 - U)$ mit $U(0) = 0$ . Löse sie durch Trennen der Variablen und berechne, nach welcher Zeit $U = 10$ ist.
3.Eine lineare Differenzialgleichung mit Störfunktion
Der Wirkstoffgehalt $M$ im Körper (in mg, $t$ in Stunden) bei einer Dauerinfusion erfüllt $M' + 0{,}4 \cdot M = 6$ mit $M(0) = 5$ . Bestimme die spezielle Lösung und den Gehalt nach 10 Stunden.
4.Exponentiell oder beschränkt?
Vergleiche die Lösungen von $y' = 0{,}2 \cdot y$ und $y' ={}$ $0{,}2 \cdot (60 - y)$ jeweils mit $y(0) = 12$ an den Stellen $x = 5$ und $x = 20$ und erkläre den Unterschied anhand der Gleichungen.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHTL 2

Küchengeräte (Aufgabe 9, Teil b)

In einem Sous-vide-Garer wird ein Steak langsam erwärmt. Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Steaks kann näherungsweise durch die Funktion

T

beschrieben werden. Die momentane Änderungsrate von

T

ist jeweils proportional zur Differenz zwischen der eingestellten Temperatur des Sous-vide-Garers von 60 °C und

T

. Der Proportionalitätsfaktor wird mit

k

bezeichnet.

t

... Zeit in min mit

t = 0

für den Beginn des Erwärmungsvorgangs

T(t)

... Temperatur des Steaks zum Zeitpunkt

t

in °C

k > 0

... Proportionalitätsfaktor in

\mathrm{min}^{-1}

Aufgabe 9, Teilaufgabe b2

Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 9, Teilaufgabe b2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

ZentralmaturaHTL 2

Küchengeräte (Aufgabe 9, Teil b)

In einem Sous-vide-Garer wird ein Steak langsam erwärmt. Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Steaks kann näherungsweise durch die Funktion

T

beschrieben werden. Die momentane Änderungsrate von

T

ist jeweils proportional zur Differenz zwischen der eingestellten Temperatur des Sous-vide-Garers von 60 °C und

T

. Der Proportionalitätsfaktor wird mit

k

bezeichnet.

t

... Zeit in min mit

t = 0

für den Beginn des Erwärmungsvorgangs

T(t)

... Temperatur des Steaks zum Zeitpunkt

t

in °C

k > 0

... Proportionalitätsfaktor in

\mathrm{min}^{-1}

Aufgabe 9, Teilaufgabe b3

Bei einem bestimmten Erwärmungsvorgang hat das Steak zu Beginn eine Temperatur von 15 °C. Nach 25 min hat es eine Temperatur von 55 °C. Ermitteln Sie die Lösung der Differenzialgleichung für diesen Erwärmungsvorgang.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Herbsttermin 2025/26 (22. September 2026), Aufgabe 9, Teilaufgabe b3 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at · Die ganze Klausur kostenlos schreiben

Teste dich selbst

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Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HTL 2

Aufgabe 1.

Gegeben ist die Gleichung

y' = 0{,}3 \cdot y

mit

y(0) = 4

. Berechne

y(5)

. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 2.

Eine Größe

y

wächst mit einer Änderungsrate, die proportional zum Abstand von der Schranke 80 ist, mit

k > 0

. Kreuze die passende Differenzialgleichung an.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 3.

Gegeben ist die Gleichung

y' = -0{,}5 \cdot y

mit

y(0) = 6

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 4.

Die Funktion

y

erfüllt

y' + 0{,}25 \cdot y = 4

mit

y(0) = 2

. Gegen welchen Wert strebt

y(x)

für große

x

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Die Konstante $C$ nach dem Integrieren vergessen oder auf beiden Seiten eine setzen. Eine Konstante genügt.
Das Vorzeichen beim Integrieren verlieren: $\int \frac{\mathrm{d}y}{r - y} ={}$ $-\ln(|r - y|)$ , mit Minus, wegen der inneren Ableitung $-1$ .
Anfangswerte in die Gleichung statt in die Lösung einsetzen. Mit $y(0)$ bestimmst du $C$ erst in der allgemeinen Lösung.
Exponentielles und beschränktes Wachstum verwechseln. Steht ein Abstand $r - y$ in der Gleichung, hat die Lösung die Form $r -{}$ $C \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ und nicht $C \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}$ .
Die Lösung nicht prüfen. Ableiten und in die Gleichung einsetzen dauert eine Minute und findet Vorzeichenfehler.

Merk dir

$y' = k \cdot y$ hat die Lösungen $C \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}$ .
$y' = k \cdot (r - y)$ hat die Lösungen $r -{}$ $C \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ .
Trennen: $y$ mit $\mathrm{d}y$ nach links, $x$ mit $\mathrm{d}x$ nach rechts, dann integrieren.
$y' + a \cdot y = s(x)$ : $y = y_h + y_p$ .
Allgemeine Lösung: mit $C$ ; spezielle Lösung: $C$ aus dem Anfangswert.

Häufige Fragen

1.Was ist eine Differenzialgleichung und was ist ihre Lösung?+
Antwort:Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion zusammen mit ihrer Ableitung vorkommt, etwa $y' = k \cdot y$ . Die Lösung ist keine Zahl, sondern eine Funktion: Setzt du sie samt Ableitung ein, wird die Gleichung wahr. Meist gibt es unendlich viele Lösungen, die sich durch die Konstante $C$ unterscheiden; ein Anfangswert wählt eine davon aus.
2.Wie erkenne ich exponentielles und beschränktes Wachstum in einer Aufgabe?+
Antwort:Lies den Text auf die Änderungsrate. „Proportional zum Bestand“ ist $y' = k \cdot y$ und führt auf exponentielles Wachstum. „Proportional zur Differenz zwischen einer Schranke und dem Bestand“ ist $y' = k \cdot (r - y)$ und führt auf beschränktes Wachstum. Der Katalog der HTL 2 verlangt, diesen Unterschied anhand der Differenzialgleichung zu interpretieren und zu erklären.
3.Wie funktioniert das Trennen der Variablen?+
Antwort:Bei $y' ={}$ $f(x) \cdot g(y)$ schreibst du $y'$ als $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ und bringst alles mit $y$ auf eine, alles mit $x$ auf die andere Seite: $\frac{\mathrm{d}y}{g(y)} ={}$ $f(x) \,\mathrm{d}x$ . Dann bildest du auf beiden Seiten die Stammfunktion und löst nach $y$ auf. Die Methode steht im Katalog der HTL 2 (B_T2_4.7) ausdrücklich.
4.Was ist der Unterschied zwischen allgemeiner und spezieller Lösung?+
Antwort:Die allgemeine Lösung beschreibt alle Funktionen, die die Gleichung erfüllen, und enthält die Konstante $C$ , zum Beispiel $y ={}$ $C \cdot \mathrm{e}^{k \cdot x}$ . Die spezielle Lösung gilt für einen bestimmten Vorgang: Du setzt einen Anfangswert, oft $y(0) = y_0$ , ein und bestimmst $C$ ; mit einem zweiten Wert auch $k$ .
5.Wie löse ich eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten?+
Antwort:Bei $y' + a \cdot y = s(x)$ ist die allgemeine Lösung $y = y_h + y_p$ . Die homogene Lösung $y_h ={}$ $C \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ gehört zu $s = 0$ . Für die partikuläre Lösung $y_p$ der inhomogenen Gleichung probierst du einen Ansatz, der zur Störfunktion passt, etwa eine Konstante bei konstantem $s$ . Der Katalog nennt dazu das Darstellen und Interpretieren der Lösungsteile.
6.Muss ich Differenzialgleichungen selbst aufstellen?+
Antwort:Du sollst Zusammenhänge modellieren, aber der Kommentar zu B_T2_4.7 sagt: „Das Modellieren von Differenzialgleichungen beschränkt sich auf das Übertragen von angegebenen Zusammenhängen in mathematische Formelsprache.“ Die Angabe nennt also den Zusammenhang in Worten („proportional zu …“), und du schreibst ihn als Gleichung.
7.Was steht zu Differenzialgleichungen in der Formelsammlung?+
Antwort:Kapitel 17 (Seite 14) gibt nur die Formen an: $y' ={}$ $f(x) \cdot g(y)$ für trennbare Variablen und $y' + a \cdot y = s(x)$ mit $y = y_h + y_p$ für lineare Gleichungen. Die Lösungen von $y' = k \cdot y$ und $y' = k \cdot (r - y)$ stehen dort nicht, du leitest sie durch Trennen der Variablen her.
8.Darf ich die Konstanten mit Technologie bestimmen?+
Antwort:Ja. Das Lösen der Gleichung für $k$ darfst du mit Technologie erledigen. Schreibe aber den Rechenansatz auf, etwa $C \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t_1} ={}$ $y_1$ , und nenne Gleichung und Funktion der Technologie, denn bei der BHS zählt eine Rechnung nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz.

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HTL 2)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Differentialgleichungen: Trennen der Variablen, allgemeine und spezielle Lösung

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Den Zusammenhang übersetzen

2.Die Variablen trennen

3.Integrieren

4.Nach y auflösen

5.Die Konstanten bestimmen

6.Prüfen und deuten

Beispiele

1.Exponentielles Wachstum aus zwei Werten

2.Trennen der Variablen beim beschränkten Wachstum

3.Eine lineare Differenzialgleichung mit Störfunktion

4.Exponentiell oder beschränkt?

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Typische Fehler

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Häufige Fragen

Siehe auch

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