Was ist der Unterschied zwischen $\mathrm{i}$ und $\mathrm{j}$?

Keiner, es sind zwei Namen für dieselbe imaginäre Einheit. Der Teil-B-Katalog der HTL 2 und die Formelsammlung schreiben beide „j bzw. i“. In der Technik schreibt man $\mathrm{j}$, weil $\mathrm{i}$ für die Stromstärke steht. Die Aufgabe sagt dir, welcher Buchstabe gilt; bei HTL 2 begegnen dir beide.

Wie rechne ich von der Komponentenform in die Polarform um?

Berechne den Betrag $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und das Argument aus $\tan(\varphi) = \frac{b}{a}$. Bestimme zuerst, in welchem Quadranten der Punkt $(a \mid b)$ liegt: Bei negativem Realteil addierst du $180°$ zum Ergebnis der Technologie. Mit einer Probe über $a = r \cdot \cos(\varphi)$ und $b = r \cdot \sin(\varphi)$ erkennst du Fehler sofort.

Stehen die Rechenregeln in der Formelsammlung?

Nur zum Teil. Das Kapitel 9 auf Seite 8 enthält die Komponentenform, die Polarformen und die Umrechnungen zwischen ihnen. Wie du komplexe Zahlen addierst, multiplizierst und dividierst, steht dort nicht. Das gehört zu dem, was der Teil-B-Katalog der HTL 2 unter B_T2_1.2 verlangt, und du musst es selbst können.

Wann rechne ich in der Polarform, wann in der Komponentenform?

Addieren und Subtrahieren sind in der Komponentenform einfacher, weil du Real- und Imaginärteil getrennt behandelst. Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren sind in der Polarform einfacher: Beträge und Argumente rechnest du getrennt. Willst du danach die Komponenten ablesen, rechnest du zurück.

Darf ich komplexe Zahlen mit der Technologie berechnen?

Ja, deine Technologie darfst du in der ganzen Klausur verwenden. Bei HTL 2 zählt eine Rechnung trotzdem nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz: Schreib an, was du berechnest, und nenne die verwendete Funktion mit ihren Eingaben, zum Beispiel „Gleichung über $\mathbb{C}$ lösen“ mit der Gleichung als Eingabe.

Was bedeutet konjugiert komplex?

Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ von $z = a + b \cdot \mathrm{i}$ ist $a - b \cdot \mathrm{i}$: Der Imaginärteil wechselt das Vorzeichen. In der Zahlenebene ist $\bar{z}$ die Spiegelung von $z$ an der reellen Achse. Das Produkt $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ ist reell, deshalb brauchst du die Konjugierte beim Dividieren.

Wie deutest du komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung?

Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung, aber zwei zueinander konjugiert komplexe. Sie haben denselben Realteil und entgegengesetzte Imaginärteile, die Punkte liegen spiegelbildlich zur reellen Achse. Bei HTL 2 treten solche Lösungen etwa bei einem gedämpften Feder-Masse-System auf; was Real- und Imaginärteil dort bedeuten, sagt dir die Aufgabe.

Zentralmatura 2027 · Angewandte Mathematik (HTL 2)

Komplexe Zahlen: Gauß’sche Zahlenebene, Polarform und Rechnen

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit, sodass auch die Gleichung $x^2 = -1$ eine Lösung hat. Diese Seite zeigt dir für die Klausur in Angewandter Mathematik an der HTL 2, wie du komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene darstellst, zwischen Komponentenform und Polarform umrechnest, mit ihnen rechnest und die komplexen Lösungen quadratischer Gleichungen deutest.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B: in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.

In der Klausur

aus den Katalogen des BMB

Was der Katalog jeder Schulform zu diesem Thema sagt, und in welchen Aufgaben der Klausuren es gefragt wurde.

Angewandte Mathematik (HTL 2), Teil B
- B_T2_1.2komplexe Zahlen in der Gauß’schen Zahlenebene darstellen, erklären und in verschiedene Formen ineinander umrechnen (Komponentenform, Polarformen) sowie komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
- B_T2_2.3quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren
Gefragt in einer der 8 Klausuren seit Mai 2024.
Herbsttermin 2025: Aufgaben 8a1, 8a2
Formelsammlung: ja · Technologie: erlaubt
Alle Themen dieser Klausur Die Formelsammlung Die Klausur vom Herbsttermin 2026 kostenlos schreiben

Gezählt: AHS die Haupttermine 2022–2026, BHS alle Klausuren seit Mai 2024. Eine Klausur zählt, wenn eine Aufgabe das Thema fragt.

Das Wichtigste

was du wissen musst

Die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ (in der Technik auch $\mathrm{j}$ ) hat die Eigenschaft $\mathrm{i}^2 = -1$ . Damit ist zum Beispiel $\sqrt{-9} ={}$ $3 \cdot \mathrm{i}$ .
In der Komponentenform $z ={}$ $a + b \cdot \mathrm{i}$ ist $a$ der Realteil und $b$ der Imaginärteil; beide sind reelle Zahlen, der Imaginärteil ist also $b$ und nicht $b \cdot \mathrm{i}$ . In der Gauß’schen Zahlenebene gehört $z$ zum Punkt $(a \mid b)$ , die reelle Achse liegt waagrecht, die imaginäre senkrecht.
Der Betrag $r$ ist der Abstand vom Ursprung: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Das Argument $\varphi$ ist der Winkel zur positiven reellen Achse. Umrechnungen: $a ={}$ $r \cdot \cos(\varphi)$ , $b ={}$ $r \cdot \sin(\varphi)$ und $\tan(\varphi) ={}$ $\frac{b}{a}$ . Beim Argument musst du den Quadranten beachten.
Die Polarformen sind $z ={}$ $r \cdot [\cos(\varphi) + \mathrm{j} \cdot \sin(\varphi)]$ , $z ={}$ $r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \varphi}$ und $z = (r; \varphi)$ . Zwischen der Komponentenform und den Polarformen umzurechnen verlangt der Teil-B-Katalog der HTL 2 unter B_T2_1.2. Kapitel 9 der Formelsammlung (Seite 8) gibt diese Formen und die Umrechnungen an.
Addieren und Subtrahieren rechnest du in der Komponentenform, Real- und Imaginärteil getrennt. Beim Multiplizieren multiplizierst du aus und ersetzt $\mathrm{i}^2$ durch $-1$ .
Beim Dividieren erweiterst du mit der konjugiert komplexen Zahl $\bar{z} ={}$ $a - b \cdot \mathrm{i}$ des Nenners. Es gilt $z \cdot \bar{z} ={}$ $a^2 + b^2$ , der Nenner wird reell.
In der Polarform multiplizierst du, indem du die Beträge multiplizierst und die Argumente addierst. Beim Dividieren dividierst du die Beträge und subtrahierst die Argumente.

Die Klausur in Angewandter Mathematik dauert 270 Minuten und hat 42 Punkte, in Teil A und Teil B. Eine Rechnung zählt nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz. Erlaubt sind die Formelsammlung und deine Technologie.

So gehst du vor

Schritt für Schritt

1.Die Form wählen
Zum Addieren und Subtrahieren nimmst du die Komponentenform, zum Multiplizieren und Dividieren oft die Polarform. Willst du ausmultiplizieren, nimmst du $\mathrm{i}^2 = -1$ .
2.Umrechnen
Berechne $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und das Argument aus $\tan(\varphi) ={}$ $\frac{b}{a}$ . Prüfe, in welchem Quadranten der Punkt $(a \mid b)$ liegt, und korrigiere das Argument, wenn die Technologie einen Winkel aus dem falschen Quadranten liefert.
3.Rechnen
Wende die Regel der gewählten Form an und schreib jeden Schritt an. Dividierst du, erweitere zuerst mit der konjugiert komplexen Zahl.
4.Das Ergebnis zurückrechnen
Gib das Ergebnis in der Form an, die die Aufgabe verlangt. Mit $a ={}$ $r \cdot \cos(\varphi)$ und $b ={}$ $r \cdot \sin(\varphi)$ kommst du von der Polarform zurück zur Komponentenform.
5.Im Kontext deuten
Zeichne das Ergebnis als Punkt oder Zeiger in die Gauß’sche Zahlenebene und sag, was Betrag und Argument im Sachzusammenhang bedeuten.

Beispiele

Versuch es zuerst selbst und vergleiche dann mit dem Lösungsweg.

1.Rechnen in der Komponentenform
Gegeben sind $z_1 ={}$ $1 + 3 \cdot \mathrm{i}$ und $z_2 = 2 - \mathrm{i}$ . Berechne $z_1 + z_2$ , $z_1 - z_2$ , $z_1 \cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ .
2.Von der Komponentenform zur Polarform
Schreibe $z ={}$ $-4 + 3 \cdot \mathrm{i}$ in der Form $(r; \varphi)$ mit $\varphi$ in Grad und $0° \leq \varphi < 360°$ .
3.Multiplizieren und Dividieren in der Polarform
Gegeben sind $z_1 = (2; 30°)$ und $z_2 = (3; 60°)$ . Berechne $z_1 \cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ in der Polarform und gib das Produkt in der Komponentenform an.
4.Eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen
Löse $z^2 - 8 \cdot z + 25 ={}$ $0$ in $\mathbb{C}$ und stelle die beiden Lösungen in der Gauß’schen Zahlenebene dar.

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

eine echte Maturaaufgabe

So steht die Aufgabe in der Klausur, mit dem Text der Aufgabe darüber. Versuch sie zuerst selbst, bevor du den Lösungsweg öffnest.

ZentralmaturaHTL 2

Federelemente (Aufgabe 8, Teil a)

Als mathematisches Modell für ein Federelement wird häufig das sogenannte Feder-Masse-System verwendet. In diesem Modell tritt die nachstehende quadratische Gleichung mit der Variablen

\lambda

auf.

\lambda^2 +{}

b \cdot \lambda + d ={}

0

b

d

... positive Parameter

Aufgabe 8, Teilaufgabe a1.

Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die richtige Voraussetzung aus A bis D zu.

1Die quadratische Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen.

2Die quadratische Gleichung hat zwei verschiedene zueinander konjugiert komplexe Lösungen.

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Herbsttermin 2024/25 (17. September 2025), Aufgabe 8, Teilaufgabe a1 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

ZentralmaturaHTL 2

Federelemente (Aufgabe 8, Teil a)

Als mathematisches Modell für ein Federelement wird häufig das sogenannte Feder-Masse-System verwendet. In diesem Modell tritt die nachstehende quadratische Gleichung mit der Variablen

\lambda

auf.

\lambda^2 +{}

b \cdot \lambda + d ={}

0

b

d

... positive Parameter

Aufgabe 8, Teilaufgabe a2.

Für ein bestimmtes Federelement gilt:

b = 2

d = 10

Veranschaulichen Sie im nachstehenden Koordinatensystem die beiden Lösungen

\lambda_1

und

\lambda_2

der obigen Gleichung.

Klicke in die Abbildung, um den Punkt zu setzen, oder gib unten seine Koordinaten ein.

Realteil =Imaginärteil =

Datenquelle: Bundesministerium für Bildung — Zentralmatura, Angewandte Mathematik (HTL 2), Herbsttermin 2024/25 (17. September 2025), Aufgabe 8, Teilaufgabe a2 — matura.gv.at, CC BY 4.0 · Die Klausur auf matura.gv.at

Teste dich selbst

gleich auswerten

Wähle oder tippe deine Antwort und werte sie gleich aus: der Lösungsweg erscheint unter der Aufgabe.

HTL 2

Aufgabe 1.

Wie groß ist der Betrag der komplexen Zahl

z ={}

5 - 12 \cdot \mathrm{i}

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 2.

Gegeben ist die komplexe Zahl

z ={}

2 + 3 \cdot \mathrm{i}

. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an.

Wähle höchstens 2

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 3.

Berechne das Produkt

(2 + 5 \cdot \mathrm{i}) \cdot (3 - 4 \cdot \mathrm{i})

und gib den Realteil des Ergebnisses an.

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 4.

Gegeben ist

z ={}

4 +{}

4 \cdot \sqrt{3} \cdot \mathrm{i}

. Berechne das Argument

\varphi

in Grad mit

0° \leq \varphi < 360°

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

HTL 2

Aufgabe 5.

Die Gleichung

z^2 - 6 \cdot z + q = 0

hat die Lösungen

3 + 5 \cdot \mathrm{i}

und

3 - 5 \cdot \mathrm{i}

. Bestimme

q

Aufgabe für diese Seite — Lösungsweg von Kleksa.

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Typische Fehler

wo Punkte verloren gehen

Den Imaginärteil mit $\mathrm{i}$ angeben. Bei $z ={}$ $5 - 7 \cdot \mathrm{i}$ ist der Imaginärteil die reelle Zahl $-7$ , nicht $-7 \cdot \mathrm{i}$ .
$\mathrm{i}^2$ nicht durch $-1$ ersetzen. Beim Ausmultiplizieren entsteht ein Glied mit $\mathrm{i}^2$ ; es gehört zum Realteil und hat das umgekehrte Vorzeichen.
Das Argument aus dem falschen Quadranten nehmen. Die Technologie liefert für $\arctan(\frac{b}{a})$ Werte zwischen $-90°$ und $90°$ . Liegt der Punkt links von der imaginären Achse, musst du $180°$ addieren.
Den Betrag ohne Wurzel angeben. $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; die Summe $a^2 + b^2$ ist das Quadrat des Betrags.
Ohne Konjugierte dividieren. Der Nenner muss reell sein: Erweitere Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners.

Merk dir

$\mathrm{i}^2 = -1$ ; $z ={}$ $a + b \cdot \mathrm{i}$ mit Realteil $a$ und Imaginärteil $b$ .
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $a ={}$ $r \cdot \cos(\varphi)$ , $b ={}$ $r \cdot \sin(\varphi)$ .
Polarform: $z ={}$ $r \cdot [\cos(\varphi) + \mathrm{j} \cdot \sin(\varphi)] ={}$ $r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} \cdot \varphi}$ .
Beim Multiplizieren multiplizierst du die Beträge und addierst die Argumente; beim Dividieren dividierst du die Beträge und subtrahierst die Argumente.
Negativer Ausdruck unter der Wurzel: zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Häufige Fragen

1.Was ist der Unterschied zwischen $\mathrm{i}$ und $\mathrm{j}$ ?+
Antwort:Keiner, es sind zwei Namen für dieselbe imaginäre Einheit. Der Teil-B-Katalog der HTL 2 und die Formelsammlung schreiben beide „j bzw. i“. In der Technik schreibt man $\mathrm{j}$ , weil $\mathrm{i}$ für die Stromstärke steht. Die Aufgabe sagt dir, welcher Buchstabe gilt; bei HTL 2 begegnen dir beide.
2.Wie rechne ich von der Komponentenform in die Polarform um?+
Antwort:Berechne den Betrag $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ und das Argument aus $\tan(\varphi) ={}$ $\frac{b}{a}$ . Bestimme zuerst, in welchem Quadranten der Punkt $(a \mid b)$ liegt: Bei negativem Realteil addierst du $180°$ zum Ergebnis der Technologie. Mit einer Probe über $a ={}$ $r \cdot \cos(\varphi)$ und $b ={}$ $r \cdot \sin(\varphi)$ erkennst du Fehler sofort.
3.Stehen die Rechenregeln in der Formelsammlung?+
Antwort:Nur zum Teil. Das Kapitel 9 auf Seite 8 enthält die Komponentenform, die Polarformen und die Umrechnungen zwischen ihnen. Wie du komplexe Zahlen addierst, multiplizierst und dividierst, steht dort nicht. Das gehört zu dem, was der Teil-B-Katalog der HTL 2 unter B_T2_1.2 verlangt, und du musst es selbst können.
4.Wann rechne ich in der Polarform, wann in der Komponentenform?+
Antwort:Addieren und Subtrahieren sind in der Komponentenform einfacher, weil du Real- und Imaginärteil getrennt behandelst. Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren sind in der Polarform einfacher: Beträge und Argumente rechnest du getrennt. Willst du danach die Komponenten ablesen, rechnest du zurück.
5.Darf ich komplexe Zahlen mit der Technologie berechnen?+
Antwort:Ja, deine Technologie darfst du in der ganzen Klausur verwenden. Bei HTL 2 zählt eine Rechnung trotzdem nur mit nachvollziehbarem Rechenansatz oder dokumentiertem Technologieeinsatz: Schreib an, was du berechnest, und nenne die verwendete Funktion mit ihren Eingaben, zum Beispiel „Gleichung über $\mathbb{C}$ lösen“ mit der Gleichung als Eingabe.
6.Was bedeutet konjugiert komplex?+
Antwort:Die konjugiert komplexe Zahl $\bar{z}$ von $z ={}$ $a + b \cdot \mathrm{i}$ ist $a - b \cdot \mathrm{i}$ : Der Imaginärteil wechselt das Vorzeichen. In der Zahlenebene ist $\bar{z}$ die Spiegelung von $z$ an der reellen Achse. Das Produkt $z \cdot \bar{z} ={}$ $a^2 + b^2$ ist reell, deshalb brauchst du die Konjugierte beim Dividieren.
7.Wie deutest du komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung?+
Antwort:Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hat die Gleichung keine reelle Lösung, aber zwei zueinander konjugiert komplexe. Sie haben denselben Realteil und entgegengesetzte Imaginärteile, die Punkte liegen spiegelbildlich zur reellen Achse. Bei HTL 2 treten solche Lösungen etwa bei einem gedämpften Feder-Masse-System auf; was Real- und Imaginärteil dort bedeuten, sagt dir die Aufgabe.

Siehe auch

Alle Themen: Angewandte Mathematik (HTL 2)

Quellen

Die Zeilen der Kataloge sind aus den Dokumenten des Bundesministeriums für Bildung zitiert; die Zählung ist von uns.

Seite geprüft am 28. Oktober 2026

Zum Schluss.

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Komplexe Zahlen: Gauß’sche Zahlenebene, Polarform und Rechnen

In der Klausur

Das Wichtigste

So gehst du vor

1.Die Form wählen

2.Umrechnen

3.Rechnen

4.Das Ergebnis zurückrechnen

5.Im Kontext deuten

Beispiele

1.Rechnen in der Komponentenform

2.Von der Komponentenform zur Polarform

3.Multiplizieren und Dividieren in der Polarform

4.Eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen

Eine Aufgabe aus der Zentralmatura

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Typische Fehler

Merk dir

Häufige Fragen

Siehe auch

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