Care este diferența dintre aranjamente și combinări?

La aranjamente contează ordinea elementelor alese, la combinări nu. Alegerea elementelor $a, b$ și $b, a$ este aceeași combinare, dar două aranjamente diferite. Legătura dintre ele este $A_n^k = k! \cdot C_n^k$, deoarece fiecare combinare de $k$ elemente se poate ordona în $k!$ moduri.

Cum calculez C_n^k fără calculator?

Scrie $C_n^k = \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots}{k!}$, cu $k$ factori la numărător, și simplifică înainte de a înmulți. Dacă $k$ este mare, folosește combinările complementare, $C_n^k = C_n^{n-k}$: de exemplu, $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$.

Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente?

Are $2^n$ submulțimi în total, cu tot cu mulțimea vidă și cu mulțimea întreagă. Numărul submulțimilor cu exact $k$ elemente este $C_n^k$, iar suma acestor numere pentru $k$ de la $0$ la $n$ este $2^n$. De exemplu, o mulțime cu $5$ elemente are $32$ de submulțimi.

Cum calculez o probabilitate la bacalaureat?

Numeri cazurile posibile, numeri cazurile favorabile și împarți: $P = \dfrac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$. La itemul 4 din subiectul I alegerea se face dintr-o mulțime scrisă în enunț, iar cazurile favorabile se găsesc enumerând sau cu o formulă de numărare. Scrie rezultatul ca fracție ireductibilă.

Cum număr numerele formate cu anumite cifre?

Alege cifrele pe rând, începând cu poziția cea mai restrânsă, și înmulțește numărul de alegeri. Dacă numărul trebuie să fie par, începi cu ultima cifră; dacă are cifre distincte, de fiecare dată ai cu una mai puține alegeri. Prima cifră nu poate fi $0$.

Ce a cerut CNCE la itemul 4 în ultimii ani?

În iunie 2023–2026, itemul 4 din subiectul I a fost de numărare sau de probabilitate la M_mate-info (probabilitate, submulțimi, probabilitate, submulțimi), la M_șt-nat (numere formate cu cifre, probabilitate, numere formate cu cifre, probabilitate) și la M_tehnologic (probabilitate în toți cei patru ani). La M_pedagogic, itemul 4 a cerut procente.

Bacalaureat 2027 · matematică

Permutări, aranjamente, combinări și probabilități la bacalaureat

Itemul 4 din subiectul I cere să numeri: câte numere se pot forma cu anumite cifre, câte submulțimi are o mulțime sau cât este probabilitatea unui eveniment. Totul se reduce la două întrebări: contează ordinea? și câte cazuri sunt favorabile din câte posibile? Aici ai formulele pentru permutări, aranjamente și combinări, probabilitatea ca raport, metoda pas cu pas, exemple, două subiecte CNCE cu barem și itemuri de verificare.

La M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic: în fiecare an 2023–2026, în itemul 4 din subiectul I; la M_pedagogic: în niciun an.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Factorialul: $n! ={}$ $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ și, prin definiție, $0! = 1$ . Permutările a $n$ elemente sunt toate modurile de a le ordona: $P_n = n!$ .
Aranjamentele de $n$ elemente luate câte $k$ sunt șirurile ordonate de $k$ elemente alese dintre $n$ : $A_n^k ={}$ $\dfrac{n!}{(n - k)!}$ , pentru $0 \leq k \leq n$ . Ordinea contează.
Combinările de $n$ elemente luate câte $k$ sunt submulțimile cu $k$ elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente: $C_n^k ={}$ $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ . Ordinea nu contează, iar $A_n^k ={}$ $k! \cdot C_n^k$ . Mai avem $C_n^k = C_n^{n-k}$ (combinări complementare).
Numărul submulțimilor: o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, dintre care $C_n^k$ au exact $k$ elemente.
Principiul multiplicării: dacă alegi pe rând, în $m$ moduri și apoi în $p$ moduri, în total ai $m \cdot p$ posibilități. Așa numeri numerele formate cu cifre date; începe cu poziția cu cele mai multe restricții (de exemplu ultima cifră a unui număr par) și amintește-ți că prima cifră a unui număr nu poate fi $0$ .
Probabilitatea unui eveniment cu cazuri egal probabile este $P ={}$ $\dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$ , un număr între $0$ și $1$ . Binomul lui Newton, $(a + b)^n ={}$ $\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ , este în programa de la M_mate-info și M_șt-nat.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Decide dacă ordinea contează
Citește ce trebuie numărat. Dacă schimbarea ordinii dă un rezultat nou (numere, cuvinte, locuri la o masă), folosești aranjamente, permutări sau principiul multiplicării. Dacă doar mulțimea alesă contează (submulțimi, echipe), folosești combinări.
2.Numără cazurile posibile
Scrie mulțimea din care alegi și numără-i elementele. Pentru numerele naturale de două cifre sunt $90$ de cazuri, de la $10$ la $99$ . Pentru submulțimile unei mulțimi cu $n$ elemente, folosește $2^n$ sau $C_n^k$ .
3.Numără cazurile favorabile
Alege pe rând, în ordinea restricțiilor: întâi poziția cea mai restrânsă, apoi celelalte, și înmulțește numărul de alegeri. La probabilități, scrie explicit cazurile favorabile când sunt puține.
4.Calculează
Scrie formula cu numerele din enunț și simplifică factorialele înainte de a înmulți: $C_8^3 ={}$ $\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}$ . La final scrie probabilitatea ca fracție ireductibilă.
5.Verifică
O probabilitate este între $0$ și $1$ . Un număr de cazuri este un număr natural. Încearcă și o numărare directă pe o variantă mai mică a problemei, ca să vezi dacă formula alesă are sens.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Numere formate cu cifre distincte
Determină câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
2.Combinări
Calculează $C_8^3$ și arată că $C_8^3 = C_8^5$ .
3.Ecuație cu aranjamente
Determină numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $A_n^2 = 56$ .
4.Probabilitate
Determină probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A ={}$ $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ , acesta să fie prim.

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul I, 4

Itemul 4. (0–5 p)

Se consideră mulțimea

A = \{1, 2, 3, 5, 7\}

. Determinați câte dintre submulțimile mulțimii

A

au exact trei elemente și conțin numărul

5

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 4 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul I, 4

Itemul 4. (0–5 p)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de

11

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 4 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Metode de numărare (clasa a X-a)
- Matematici financiare (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.4 · 2024: I.4 · 2025: I.4 · 2026: I.4
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Metode de numărare (clasa a X-a)
- Matematici financiare (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.4 · 2024: I.4 · 2025: I.4 · 2026: I.4
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Metode de numărare (clasa a X-a)
- Matematici financiare (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.4 · 2024: I.4 · 2025: I.4 · 2026: I.4
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în niciun an din 2023–2026
- Matematici financiare (clasa a X-a)
Itemi: niciun item în iunie 2023–2026
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

n

din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie divizibil cu

8

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră mulțimea

A ={}

\{2, 4, 7, 12, 14, 15\}

. Determinați câte submulțimi are mulțimea

A

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră mulțimea

A = \{2, 5, 6, 7, 8, 9\}

. Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea

A

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 4. (0–1)

Determinați numărul natural

n

n \geq 2

, pentru care

C_n^2 = 36

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Confunzi aranjamentele cu combinările. Dacă ordinea contează, folosești $A_n^k$ ; dacă nu, $C_n^k$ . De exemplu $A_5^2 = 20$ (perechi ordonate), dar $C_5^2 = 10$ (submulțimi cu două elemente).
Uiți că prima cifră a unui număr nu poate fi $0$ . Cu cifrele $\{0, 1, 2, 3\}$ se formează $3 \cdot 3 \cdot 2 ={}$ $18$ numere de trei cifre distincte, nu $4 \cdot 3 \cdot 2 ={}$ $24$ : pentru prima cifră ai doar $3$ alegeri.
Numeri greșit cazurile posibile. De la $1$ la $13$ sunt $13$ numere, nu $12$ , iar numerele naturale de două cifre sunt $90$ (de la $10$ la $99$ ), nu $99$ .
Scrii $0! = 0$ . Prin definiție, $0! = 1$ ; fără această convenție formulele $C_n^0 = 1$ și $C_n^n = 1$ nu ar funcționa.
Lași probabilitatea nesimplificată sau obții o valoare mai mare decât $1$ . Cazurile favorabile sunt o parte din cele posibile, deci fracția este între $0$ și $1$ ; simplifică-o până devine ireductibilă.

Reține

$P_n = n!$ și $0! = 1$ .
$A_n^k ={}$ $\dfrac{n!}{(n - k)!}$ .
$C_n^k ={}$ $\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ și $C_n^k = C_n^{n-k}$ .
O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi.
$P ={}$ $\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ .
Numere de două cifre: $90$ . Prima cifră nu este $0$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Care este diferența dintre aranjamente și combinări?+
Răspuns:La aranjamente contează ordinea elementelor alese, la combinări nu. Alegerea elementelor $a, b$ și $b, a$ este aceeași combinare, dar două aranjamente diferite. Legătura dintre ele este $A_n^k ={}$ $k! \cdot C_n^k$ , deoarece fiecare combinare de $k$ elemente se poate ordona în $k!$ moduri.
2.Cum calculez C_n^k fără calculator?+
Răspuns:Scrie $C_n^k ={}$ $\dfrac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots}{k!}$ , cu $k$ factori la numărător, și simplifică înainte de a înmulți. Dacă $k$ este mare, folosește combinările complementare, $C_n^k = C_n^{n-k}$ : de exemplu, $C_{10}^8 ={}$ $C_{10}^2 ={}$ $45$ .
3.Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente?+
Răspuns:Are $2^n$ submulțimi în total, cu tot cu mulțimea vidă și cu mulțimea întreagă. Numărul submulțimilor cu exact $k$ elemente este $C_n^k$ , iar suma acestor numere pentru $k$ de la $0$ la $n$ este $2^n$ . De exemplu, o mulțime cu $5$ elemente are $32$ de submulțimi.
4.Cum calculez o probabilitate la bacalaureat?+
Răspuns:Numeri cazurile posibile, numeri cazurile favorabile și împarți: $P ={}$ $\dfrac{\text{favorabile}}{\text{posibile}}$ . La itemul 4 din subiectul I alegerea se face dintr-o mulțime scrisă în enunț, iar cazurile favorabile se găsesc enumerând sau cu o formulă de numărare. Scrie rezultatul ca fracție ireductibilă.
5.Cum număr numerele formate cu anumite cifre?+
Răspuns:Alege cifrele pe rând, începând cu poziția cea mai restrânsă, și înmulțește numărul de alegeri. Dacă numărul trebuie să fie par, începi cu ultima cifră; dacă are cifre distincte, de fiecare dată ai cu una mai puține alegeri. Prima cifră nu poate fi $0$ .
6.Ce a cerut CNCE la itemul 4 în ultimii ani?+
Răspuns:În iunie 2023–2026, itemul 4 din subiectul I a fost de numărare sau de probabilitate la M_mate-info (probabilitate, submulțimi, probabilitate, submulțimi), la M_șt-nat (numere formate cu cifre, probabilitate, numere formate cu cifre, probabilitate) și la M_tehnologic (probabilitate în toți cei patru ani). La M_pedagogic, itemul 4 a cerut procente.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Permutări, aranjamente, combinări și probabilități la bacalaureat

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Decide dacă ordinea contează

2.Numără cazurile posibile

3.Numără cazurile favorabile

4.Calculează

5.Verifică

Exemple rezolvate

1.Numere formate cu cifre distincte

2.Combinări

3.Ecuație cu aranjamente

4.Probabilitate

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse