Cum rezolv o ecuație exponențială?

Scrie ambii membri ca puteri ale aceleiași baze, apoi egalează exponenții. De exemplu, $8^x = 2^{x+4}$ devine $2^{3x} = 2^{x+4}$, deci $3x = x + 4$ și $x = 2$. Dacă bazele nu se potrivesc, încearcă să dai factor comun $a^x$ sau să notezi $t = a^x$.

Cum rezolv o ecuație logaritmică?

Scrie condițiile de existență, apoi adu ecuația la forma $\log_a f = \log_a g$ sau $\log_a f = c$. Din prima obții $f = g$, din a doua $f = a^c$. Rezolvă ecuația obținută și păstrează doar rădăcinile care respectă condițiile de existență.

De ce trebuie să verific soluțiile?

Ridicarea la pătrat și trecerea de la logaritmi la argumente pot aduce soluții care nu sunt ale ecuației inițiale. Dacă expresia de sub logaritm sau de sub radical iese negativă pentru o rădăcină, aceea nu convine. Verificarea este cerută în barem prin formula „care convin”.

Cum rezolv o ecuație cu radical?

Scrie condițiile, izolează radicalul într-un membru și ridică ambii membri la pătrat (sau la cub, pentru radical de ordin $3$). Rezolvă ecuația obținută și verifică rădăcinile. Pentru radical de ordin $3$ nu ai nevoie de condiții de semn, dar tot poți înlocui rădăcinile în ecuația inițială.

Ce tipuri de ecuații a pus CNCE în itemul 3?

În iunie 2023–2026: la M_mate-info, radical de ordin $3$ (2023), exponențială (2024) și iraționale (2025, 2026); la M_șt-nat, exponențială (2023) și logaritmice (2024–2026); la M_tehnologic, logaritmică (2023), irațională (2024) și exponențiale (2025, 2026); la M_pedagogic, logaritmice (2023–2025) și exponențială (2026).

Cum arăt că o ecuație nu are soluții?

Rezolvi ecuația ca de obicei și verifici rădăcinile. Dacă nicio rădăcină nu respectă condițiile, mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă. O ecuație exponențială $a^x = b$ cu $b \leq 0$ nu are soluții de la început, pentru că $a^x > 0$ pentru orice $x$.

Bacalaureat 2027 · matematică

Ecuații exponențiale, logaritmice și iraționale la bacalaureat

Itemul 3 din subiectul I cere, în fiecare an, o ecuație în care necunoscuta stă în exponent, sub logaritm sau sub radical. Toate se rezolvă la fel: aduci ecuația la forma $f(x) = g(x)$ , o rezolvi, apoi verifici ce soluții convin. Cele mai multe puncte se pierd la verificare, nu la calcul. Aici ai regulile fiecărui tip, metoda pas cu pas, exemple, două subiecte CNCE cu barem și itemuri de verificare.

La toate profilurile: în fiecare an 2023–2026, în itemul 3 din subiectul I.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Ecuația exponențială: pentru $a > 0$ și $a \neq 1$ , $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ este echivalentă cu $f(x) = g(x)$ . Ecuația $a^x = b$ nu are soluții dacă $b \leq 0$ , pentru că o putere a lui $a$ este pozitivă. Amintește-ți $a^{x+k} ={}$ $a^x \cdot a^k$ și $a^{kx} = \left(a^k\right)^x$ .
Ecuația logaritmică: $\log_a f(x) ={}$ $\log_a g(x)$ conduce la $f(x) = g(x)$ , cu condițiile de existență $f(x) > 0$ și $g(x) > 0$ . Dacă un membru este un număr, îl scrii ca logaritm: $\log_a f(x) = c$ înseamnă $f(x) = a^c$ . Sumele de logaritmi cu aceeași bază se unesc într-un singur logaritm.
Ecuația irațională: $\sqrt{f(x)} = g(x)$ cere $f(x) \geq 0$ și $g(x) \geq 0$ , apoi ridici la pătrat: $f(x) = g(x)^2$ . Pentru radicalul de ordin $3$ nu apare nicio condiție de semn: $\sqrt[3]{f(x)} ={}$ $g(x)$ înseamnă $f(x) = g(x)^3$ .
Substituția: dacă ecuația conține $a^x$ și $a^{2x}$ , notezi $t = a^x$ , cu $t > 0$ , și rezolvi ecuația de gradul al doilea în $t$ . Apoi te întorci la $x$ din $a^x = t$ și păstrezi doar valorile pozitive ale lui $t$ .
Verificarea face parte din rezolvare. Ridicarea la pătrat și trecerea de la $\log_a f = \log_a g$ la $f = g$ pot aduce soluții străine. Baremele CNCE scriu după soluții „care convin”: asta înseamnă că ai verificat condițiile.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Scrie condițiile de existență
Înainte să rezolvi, scrie ce trebuie să fie adevărat ca ecuația să aibă sens. Sub logaritm argumentul este pozitiv, sub radical de ordin par expresia este cel puțin $0$ , iar membrul care egalează un radical de ordin par este cel puțin $0$ . La exponențiale nu apar condiții pentru $x$ .
2.Adu ecuația la forma $f(x) = g(x)$
La exponențiale, scrie ambii membri ca puteri ale aceleiași baze. La logaritmice, scrie ambii membri ca logaritmi în aceeași bază. La iraționale, ridică la pătrat sau la cub, după ordinul radicalului. Dacă ai o sumă de puteri, dă factor comun $a^x$ .
3.Rezolvă ecuația obținută
Obții o ecuație de gradul I sau de gradul al II-lea. La gradul al II-lea calculezi discriminantul și ambele rădăcini, chiar dacă una dintre ele nu va conveni.
4.Verifică soluțiile
Compară fiecare rădăcină cu condițiile din primul pas sau înlocuiește-o în ecuația inițială. Păstrează numai soluțiile care convin și scrie explicit pe cele respinse.
5.Scrie răspunsul
Scrie mulțimea soluțiilor sau valorile lui $x$ . Dacă nu convine nicio rădăcină, mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Ecuație exponențială cu aceeași bază
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x-1} \cdot 4 = 32$ .
2.Ecuație exponențială cu substituție
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 ={}$ $0$ .
3.Ecuație logaritmică cu condiții de existență
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x + 1) +{}$ $\log_2(x - 1) ={}$ $3$ .
4.Ecuație irațională cu soluție străină
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x + 6} = x$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul I, 3

Itemul 3. (0–5 p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{x^2 + 7} ={}

2\sqrt{x + 1}

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 3 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul I, 3

Itemul 3. (0–5 p)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_7\left(1 + 2x - x^2\right) = \log_7(3 - x)

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 3 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Funcții și ecuații (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.3 · 2024: I.3 · 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Funcții și ecuații (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.3 · 2024: I.3 · 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Funcții și ecuații (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.3 · 2024: I.3 · 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în fiecare an 2023–2026
- Funcții și ecuații (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.3 · 2024: I.3 · 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_pedagogic

Întrebarea 1. (0–1)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

25^x \cdot 5^{-1} ={}

5^{x + 2}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 2. (0–1)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\log_5 x +{}

\log_5(x + 6) ={}

\log_5 72

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\sqrt{x^2 + 21} = x + 1

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 4. (0–1)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

3^x + 3^{x + 1} = 12

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Uiți condițiile de existență ale logaritmului. În ecuația $\log_2(x - 5) = 1$ obții $x = 7$ , care convine, dar în $\log_2(x - 5) ={}$ $\log_2(3x)$ rădăcina $x = -\dfrac{5}{2}$ face argumentul negativ și nu convine.
Ridici la pătrat și nu verifici. Din $\sqrt{2x + 3} = x$ obții $x^2 - 2x - 3 = 0$ , cu rădăcinile $3$ și $-1$ . Rădăcina $-1$ nu convine, pentru că $\sqrt{1} = 1$ , iar membrul drept ar fi $-1$ .
Unești greșit logaritmii: $\log_3 x + \log_3 5 ={}$ $\log_3(5x)$ , nu $\log_3(x + 5)$ . Suma logaritmilor devine logaritmul produsului.
Încurci regulile puterilor: $2^x \cdot 2^3 ={}$ $2^{x+3}$ , nu $2^{3x}$ . La produs exponenții se adună; la ridicarea unei puteri la altă putere se înmulțesc.
Rezolvi ecuația în $t$ și te oprești acolo. După substituția $t = 3^x$ trebuie să rezolvi și $3^x = t$ ; valoarea $t \leq 0$ nu dă soluții, pentru că $3^x > 0$ .

Reține

$a^{f} = a^{g} \iff f = g$ , pentru $a > 0$ , $a \neq 1$ .
$\log_a f ={}$ $\log_a g \iff f ={}$ $g$ , cu $f > 0$ și $g > 0$ .
$\log_a f ={}$ $c \iff f ={}$ $a^c$ .
$\sqrt{f} = g$ : condițiile $f \geq 0$ , $g \geq 0$ , apoi $f = g^2$ .
$\sqrt[3]{f} ={}$ $g \iff f ={}$ $g^3$ , fără condiții de semn.
Verifică mereu rădăcinile cu condițiile de existență.

Întrebări și răspunsuri

1.Cum rezolv o ecuație exponențială?+
Răspuns:Scrie ambii membri ca puteri ale aceleiași baze, apoi egalează exponenții. De exemplu, $8^x = 2^{x+4}$ devine $2^{3x} = 2^{x+4}$ , deci $3x = x + 4$ și $x = 2$ . Dacă bazele nu se potrivesc, încearcă să dai factor comun $a^x$ sau să notezi $t = a^x$ .
2.Cum rezolv o ecuație logaritmică?+
Răspuns:Scrie condițiile de existență, apoi adu ecuația la forma $\log_a f = \log_a g$ sau $\log_a f = c$ . Din prima obții $f = g$ , din a doua $f = a^c$ . Rezolvă ecuația obținută și păstrează doar rădăcinile care respectă condițiile de existență.
3.De ce trebuie să verific soluțiile?+
Răspuns:Ridicarea la pătrat și trecerea de la logaritmi la argumente pot aduce soluții care nu sunt ale ecuației inițiale. Dacă expresia de sub logaritm sau de sub radical iese negativă pentru o rădăcină, aceea nu convine. Verificarea este cerută în barem prin formula „care convin”.
4.Cum rezolv o ecuație cu radical?+
Răspuns:Scrie condițiile, izolează radicalul într-un membru și ridică ambii membri la pătrat (sau la cub, pentru radical de ordin $3$ ). Rezolvă ecuația obținută și verifică rădăcinile. Pentru radical de ordin $3$ nu ai nevoie de condiții de semn, dar tot poți înlocui rădăcinile în ecuația inițială.
5.Ce tipuri de ecuații a pus CNCE în itemul 3?+
Răspuns:În iunie 2023–2026: la M_mate-info, radical de ordin $3$ (2023), exponențială (2024) și iraționale (2025, 2026); la M_șt-nat, exponențială (2023) și logaritmice (2024–2026); la M_tehnologic, logaritmică (2023), irațională (2024) și exponențiale (2025, 2026); la M_pedagogic, logaritmice (2023–2025) și exponențială (2026).
6.Cum arăt că o ecuație nu are soluții?+
Răspuns:Rezolvi ecuația ca de obicei și verifici rădăcinile. Dacă nicio rădăcină nu respectă condițiile, mulțimea soluțiilor este mulțimea vidă. O ecuație exponențială $a^x = b$ cu $b \leq 0$ nu are soluții de la început, pentru că $a^x > 0$ pentru orice $x$ .

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Ecuații exponențiale, logaritmice și iraționale la bacalaureat

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Scrie condițiile de existență

2.Adu ecuația la forma f(x)=g(x)f(x) = g(x)f(x)=g(x)

3.Rezolvă ecuația obținută

4.Verifică soluțiile

5.Scrie răspunsul

Exemple rezolvate

1.Ecuație exponențială cu aceeași bază

2.Ecuație exponențială cu substituție

3.Ecuație logaritmică cu condiții de existență

4.Ecuație irațională cu soluție străină

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

2.Adu ecuația la forma $f(x) = g(x)$