Kleksa

Bacalaureat 2027 · matematică

Progresii aritmetice și geometrice pentru bacalaureat: termenul general și suma

O progresie aritmetică adaugă mereu aceeași rație, o progresie geometrică înmulțește mereu cu aceeași rație. Cu termenul general an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r, respectiv bn=b_n ={}b1⋅qn−1 b_1 \cdot q^{n-1}, afli orice termen, iar cu suma primilor nn termeni și cu condiția ca trei numere să fie termeni consecutivi rezolvi itemurile de acest tip. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, exemple, două subiecte CNCE cu barem și itemuri de verificare.

La M_mate-info: în niciun an din 2023–2026; la M_șt-nat: în 2 din 4 ani; la M_tehnologic și M_pedagogic: în 1 din 4 ani. Când apare, este itemul 1 din subiectul I.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Progresia aritmetică este un șir în care fiecare termen se obține din cel dinainte adunând același număr, rația rr: an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r. Rația este diferența a doi termeni vecini: r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n.
  • Termenul general al progresiei aritmetice: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r. Dacă nu ai a1a_1, pornești din orice alt termen cunoscut: an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r.
  • Suma primilor nn termeni ai progresiei aritmetice: Sn=S_n ={}(a1+an)⋅n2 \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}. Numărul de termeni ai sumei ak+…+ana_k + \ldots + a_n este n−k+1n - k + 1.
  • Progresia geometrică se obține înmulțind cu același număr nenul, rația qq: bn+1=bn⋅qb_{n+1} = b_n \cdot q, deci q=q ={}bn+1bn \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. Termenul general este bn=b_n ={}b1⋅qn−1 b_1 \cdot q^{n-1}, respectiv bn=b_n ={}bk⋅qn−k b_k \cdot q^{n-k}.
  • Suma primilor nn termeni ai progresiei geometrice: Sn=S_n ={}b1⋅qn−1q−1 b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1} pentru q≠1q \neq 1. Pentru q=1q = 1 toți termenii sunt egali și Sn=n⋅b1S_n = n \cdot b_1.
  • Trei termeni consecutivi: numerele aa, bb, cc sunt, în această ordine, în progresie aritmetică dacă 2b=a+c2b = a + c, iar numerele nenule aa, bb, cc sunt în progresie geometrică dacă b2=a⋅cb^2 = a \cdot c. Programa de la M_mate-info, M_șt-nat și M_tehnologic numește această condiție pentru n≥3n \geq 3 numere.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Recunoaște tipul progresiei

    Citește enunțul: „progresie aritmetică” înseamnă că adaugi aceeași rație, „progresie geometrică” înseamnă că înmulțești cu aceeași rație. Dacă numerele sunt date ca termeni consecutivi, scrie condiția potrivită: 2b=a+c2b = a + c sau b2=a⋅cb^2 = a \cdot c.

  2. 2.Scrie datele cu termenul general

    Pune fiecare termen dat în formula termenului general. Obții ecuații în a1a_1 și rr (sau în b1b_1 și qq). Cel mai scurt drum este adesea să pornești din termenul cunoscut cel mai apropiat de cel cerut: an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r.

  3. 3.Află rația

    La progresia aritmetică, din doi termeni aka_k și ana_n obții r=r ={}an−akn−k \dfrac{a_n - a_k}{n - k}. La cea geometrică, qn−k=q^{n-k} ={}bnbk \dfrac{b_n}{b_k}. Dacă ai o putere pară, apar două rații, qq și −q-q: enunțul spune adesea „cu termeni pozitivi” ca să rămână una.

  4. 4.Calculează termenul sau suma cerută

    Înlocuiește în formula potrivită. La sumă, numără corect termenii: de la aka_k la ana_n sunt n−k+1n - k + 1 termeni. La progresia geometrică scrie puterea lui qq cu grijă, mai ales dacă qq este negativ.

  5. 5.Verifică

    Scrie primii termeni și vezi dacă rația este aceeași între toți termenii vecini. Dacă enunțul cere termeni pozitivi sau un număr natural, verifică și condiția aceasta.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Termenul general al unei progresii aritmetice

    Într-o progresie aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} avem a3=11a_3 = 11 și a7=27a_7 = 27. Calculează a1a_1 și a20a_{20}.

  2. 2.Suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice

    Calculează suma 3+8+13+…+433 + 8 + 13 + \ldots + 43, ai cărei termeni sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

  3. 3.Rația și suma unei progresii geometrice

    Într-o progresie geometrică (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} avem b2=6b_2 = 6 și b5=48b_5 = 48. Determină rația qq, termenul b1b_1 și suma primilor 66 termeni.

  4. 4.Trei numere în progresie geometrică

    Determină numerele reale xx pentru care xx, 66 și x+5x + 5 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEM_tehnologic

Bacalaureat 2026, matematică M_tehnologic — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Determinați termenul a3a_3 al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} în care a1=10a_1 = 10 și a2=18a_2 = 18.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_pedagogic

Bacalaureat 2024, matematică M_pedagogic — subiectul I, 1

Itemul 1. (0–5 p)

Se consideră progresia geometrică (bn)n≥1\left(b_n\right)_{n \geq 1} cu b1=4b_1 = 4 și b2=8b_2 = 8. Calculați b3b_3.

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2024, Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie, subiectul I, 1 (varianta 10). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Determinați termenul a10a_{10} al progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=−11a_1 = -11 și a4=7a_4 = 7.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Determinați termenul b1b_1 al progresiei geometrice (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} cu termeni pozitivi, în care b2=15b_2 = 15 și b4=135b_4 = 135.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Calculați suma primilor 1313 termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1}, în care a1=14a_1 = 14 și a2=15a_2 = 15.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 4. (0–1)

Determinați numărul real pozitiv xx pentru care numerele xx, 1818 și x+27x + 27 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Scrii an=a1+nra_n = a_1 + nr în loc de an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r. De la a1a_1 la ana_n se adaugă rația de n−1n - 1 ori. Pentru a1=3a_1 = 3 și r=2r = 2 avem a5=a_5 ={}3+4⋅2= 3 + 4 \cdot 2 ={}11 11, nu 1313.
  • Încurci rațiile: pentru termenii 2,6,182, 6, 18 rația este q=3q = 3, pentru că se înmulțește, nu se adună. Scrierea 2,6,102, 6, 10 ar fi o progresie aritmetică.
  • Iei rația geometrică din doi termeni care nu sunt vecini ca și cum ar fi vecini. Dacă b5=80b_5 = 80 și b3=20b_3 = 20, atunci q2=4q^2 = 4, nu q=4q = 4; apoi alegi semnul lui qq după enunț.
  • Numeri greșit termenii sumei. În suma ak+…+ana_k + \ldots + a_n sunt n−k+1n - k + 1 termeni: de la a4a_4 la a12a_{12} sunt 99 termeni, nu 88. Află nn din termenul general când nu îl cunoști.
  • La condiția de trei termeni consecutivi geometrici scrii 2b=a+c2b = a + c în loc de b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, sau pierzi una dintre soluțiile ecuației de gradul al doilea fără să verifici enunțul.

Reține

  • Aritmetică: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r și an=ak+(n−k)ra_n = a_k + (n-k)r.
  • Suma aritmetică: Sn=S_n ={}(a1+an)⋅n2 \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}.
  • Geometrică: bn=b_n ={}b1⋅qn−1 b_1 \cdot q^{n-1} și bn=b_n ={}bk⋅qn−k b_k \cdot q^{n-k}.
  • Suma geometrică: Sn=S_n ={}b1⋅qn−1q−1 b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}, pentru q≠1q \neq 1.
  • Trei termeni consecutivi: 2b=a+c2b = a + c (aritmetică), b2=a⋅cb^2 = a \cdot c (geometrică).
  • Rațiile: r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n și q=q ={}bn+1bn \dfrac{b_{n+1}}{b_n}.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce este rația unei progresii aritmetice?+
    Răspuns:Rația rr este numărul care se adaugă la un termen ca să obții următorul. O afli ca diferență a doi termeni vecini, r=an+1−anr = a_{n+1} - a_n, și este aceeași pentru orice pereche de termeni vecini. Dacă r>0r > 0 termenii cresc, iar dacă r<0r < 0 termenii scad.
  2. 2.Cum aflu rația când cunosc doi termeni care nu sunt vecini?+
    Răspuns:Folosești termenul general între cei doi termeni. La progresia aritmetică, an−ak=(n−k)ra_n - a_k = (n-k)r, deci rația se obține împărțind diferența la n−kn - k. La cea geometrică, bn=b_n ={}bk⋅qn−k b_k \cdot q^{n-k}, așa că qn−k=q^{n-k} ={}bnbk \dfrac{b_n}{b_k} și extragi radicalul potrivit.
  3. 3.Când sunt trei numere termeni consecutivi ai unei progresii?+
    Răspuns:Numerele aa, bb, cc sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă 2b=a+c2b = a + c. Dacă sunt nenule, ele sunt în progresie geometrică dacă b2=a⋅cb^2 = a \cdot c. Ordinea contează: condiția se scrie cu termenul din mijloc.
  4. 4.Cum calculez suma primilor n termeni ai unei progresii?+
    Răspuns:Pentru progresia aritmetică folosești Sn=S_n ={}(a1+an)⋅n2 \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}, adică media dintre primul și ultimul termen înmulțită cu numărul termenilor. Pentru cea geometrică folosești Sn=S_n ={}b1⋅qn−1q−1 b_1 \cdot \dfrac{q^n - 1}{q - 1}, când q≠1q \neq 1. Mai întâi află câți termeni are suma.
  5. 5.Cum recunosc dacă un șir de numere este progresie geometrică?+
    Răspuns:Împarte fiecare termen la cel dinainte. Dacă toate câturile sunt egale, șirul este progresie geometrică, iar câtul este rația qq. De exemplu, 5,10,20,405, 10, 20, 40 are câturile 2,2,22, 2, 2. Dacă diferențele dintre termenii vecini sunt egale, șirul este progresie aritmetică.
  6. 6.La ce profiluri de bacalaureat apar progresiile?+
    Răspuns:Rândul „Șiruri”, cu progresii aritmetice și geometrice, este în programa tuturor celor patru profiluri. În sesiunile din iunie 2023–2026, CNCE a pus o progresie în itemul 1 din subiectul I la M_șt-nat în 2 din 4 ani, la M_tehnologic și la M_pedagogic în câte 1 din 4 ani, iar la M_mate-info în niciunul.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.