Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea?

Aduci ecuația la forma $ax^2 + bx + c = 0$, calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ și, dacă $\Delta \geq 0$, afli rădăcinile cu $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. Dacă ecuația se descompune ușor în factori, poți rezolva și așa, egalând fiecare factor cu zero.

Ce arată discriminantul $\Delta$?

Arată câte rădăcini reale are ecuația. Pentru $\Delta > 0$ sunt două rădăcini reale distincte, pentru $\Delta = 0$ este o singură rădăcină (dublă), iar pentru $\Delta < 0$ nu există rădăcini reale. Același semn spune și câte puncte comune are parabola cu axa $Ox$: două, unul sau niciunul.

Ce sunt relațiile lui Viète și când le folosesc?

Sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Le folosești când ți se cere o expresie cu rădăcinile, de exemplu $x_1^2 + x_2^2$ sau $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, pentru că o poți calcula fără să afli rădăcinile.

Cum aflu vârful parabolei?

Pentru $f(x) = ax^2 + bx + c$, abscisa vârfului este $x_V = -\dfrac{b}{2a}$, iar ordonata este $y_V = f(x_V) = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Dacă $a > 0$, vârful este punctul cel mai de jos al graficului, iar dacă $a < 0$, cel mai de sus.

Cum aflu intersecția graficului cu axele?

Cu axa $Oy$, graficul se întâlnește în punctul $(0, c)$. Cu axa $Ox$, se întâlnește în punctele $(x, 0)$ pentru care $f(x) = 0$, adică în rădăcinile reale ale ecuației $ax^2 + bx + c = 0$. Dacă $\Delta < 0$, graficul nu are puncte comune cu axa $Ox$.

Când are o ecuație de gradul al doilea o singură soluție?

Când $\Delta = 0$: atunci cele două rădăcini sunt egale, $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$, iar trinomul este un pătrat perfect, $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$. Condiția $\Delta = 0$ apare des în probleme cu parametru: „graficele au exact un punct comun”.

Cum apare ecuația de gradul al doilea la bacalaureat?

În iunie 2023–2026 a apărut ca ultim pas al unei ecuații iraționale sau logaritmice din itemul 3 al subiectului I, la M_mate-info în 2025 și 2026 și la M_șt-nat în 2025 și 2026. La M_pedagogic a apărut în 2023, într-un item cu două funcții, $f(n) \geq g(n)$, unde una este de gradul al doilea.

Bacalaureat 2027 · matematică

Ecuația de gradul al doilea și funcția de gradul al doilea: delta, relațiile lui Viète, vârful parabolei

Q: Ce sunt relațiile lui Viète și când le folosesc?

Sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$. Le folosești când ți se cere o expresie cu rădăcinile, de exemplu $x_1^2 + x_2^2$ sau $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, pentru că o poți calcula fără să afli rădăcinile.

Q: Cum aflu vârful parabolei?

Pentru $f(x) = ax^2 + bx + c$, abscisa vârfului este $x_V = -\dfrac{b}{2a}$, iar ordonata este $y_V = f(x_V) = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Dacă $a > 0$, vârful este punctul cel mai de jos al graficului, iar dacă $a < 0$, cel mai de sus.

Q: Cum aflu intersecția graficului cu axele?

Cu axa $Oy$, graficul se întâlnește în punctul $(0, c)$. Cu axa $Ox$, se întâlnește în punctele $(x, 0)$ pentru care $f(x) = 0$, adică în rădăcinile reale ale ecuației $ax^2 + bx + c = 0$. Dacă $\Delta < 0$, graficul nu are puncte comune cu axa $Ox$.

Q: Când are o ecuație de gradul al doilea o singură soluție?

Când $\Delta = 0$: atunci cele două rădăcini sunt egale, $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$, iar trinomul este un pătrat perfect, $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$. Condiția $\Delta = 0$ apare des în probleme cu parametru: „graficele au exact un punct comun”.

Q: Cum apare ecuația de gradul al doilea la bacalaureat?

În iunie 2023–2026 a apărut ca ultim pas al unei ecuații iraționale sau logaritmice din itemul 3 al subiectului I, la M_mate-info în 2025 și 2026 și la M_șt-nat în 2025 și 2026. La M_pedagogic a apărut în 2023, într-un item cu două funcții, $f(n) \geq g(n)$, unde una este de gradul al doilea.

Q: Intră ecuația de gradul al doilea și la Evaluarea Națională?

Da, dar numai ecuațiile de forma $ax^2 + bx + c = 0$: relațiile lui Viète, funcția de gradul al doilea și vârful parabolei nu intră în programa de Evaluare Națională. Ele se învață pentru bacalaureat, în clasa a IX-a.

Ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ se rezolvă cu discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac$ , iar relațiile lui Viète leagă suma și produsul rădăcinilor de coeficienți. Graficul funcției $f(x) = ax^2 + bx + c$ este o parabolă, cu vârful în $V\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ . La bacalaureat, o ecuație de gradul al doilea poate fi ultimul pas al unei ecuații iraționale sau logaritmice din subiectul I. Aici ai metoda, exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor.

La M_mate-info: în 2 din 4 ani (2023–2026); la M_șt-nat: în 2 din 4 ani; la M_pedagogic: în 1 din 4 ani; la M_tehnologic: în niciun an; la Evaluarea Națională: în 1 din 4 ani.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ , cu $a \neq 0$ , are discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac$ . Dacă $\Delta > 0$ , are două rădăcini reale distincte, $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Dacă $\Delta = 0$ , are o rădăcină reală dublă, $x_1 ={}$ $x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{2a}$ . Dacă $\Delta < 0$ , nu are rădăcini reale.
Relațiile lui Viète pentru rădăcinile $x_1$ și $x_2$ : $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ . Cu ele calculezi expresii simetrice fără să afli rădăcinile, de exemplu $x_1^2 + x_2^2 ={}$ $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ . Invers, numerele cu suma $s$ și produsul $p$ sunt rădăcinile ecuației $t^2 - st + p = 0$ .
Dacă ecuația are rădăcinile $x_1$ și $x_2$ , trinomul se descompune: $ax^2 + bx + c ={}$ $a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Funcția $f(x) = ax^2 + bx + c$ are ca grafic o parabolă. Dacă $a > 0$ , ramurile sunt în sus și funcția are un minim; dacă $a < 0$ , ramurile sunt în jos și funcția are un maxim. Graficul taie axa $Oy$ în $(0, c)$ , iar axa $Ox$ în punctele ale căror abscise sunt rădăcinile reale ale ecuației $f(x) = 0$ .
Vârful parabolei este $V\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ , iar dreapta $x = -\dfrac{b}{2a}$ este axa de simetrie. Valoarea minimă (pentru $a > 0$ ) sau maximă (pentru $a < 0$ ) a funcției este $-\dfrac{\Delta}{4a}$ .
Semnul funcției: pentru $\Delta > 0$ , $f(x)$ are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semnul opus lui $a$ între rădăcini. Pe această regulă rezolvi inecuațiile $ax^2 + bx + c \geq 0$ (la fel $>$ , $<$ , $\leq$ ). Graficul taie axa $Ox$ în două puncte distincte exact când $\Delta > 0$ .

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Adu ecuația la forma $ax^2 + bx + c = 0$
Mută toți termenii într-un membru și redu termenii asemenea. Identifică $a$ , $b$ și $c$ cu semnele lor. Dacă ecuația vine dintr-o ecuație cu radicali sau logaritmi, ajungi aici după ce ai ridicat la pătrat sau ai egalat argumentele.
2.Calculează discriminantul
Calculează $\Delta = b^2 - 4ac$ , cu numerele negative între paranteze. Semnul lui $\Delta$ îți spune câte rădăcini reale are ecuația: două, una dublă sau niciuna.
3.Află rădăcinile
Folosește formula $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Când rădăcinile sunt întregi, le poți găsi și din relațiile lui Viète: două numere cu suma $-\dfrac{b}{a}$ și produsul $\dfrac{c}{a}$ .
4.Verifică rădăcinile în ecuația de la care ai plecat
Dacă ai ridicat la pătrat o ecuație cu radicali sau ai lucrat cu logaritmi, o rădăcină a ecuației de gradul al doilea poate să nu convină. Înlocuiește fiecare rădăcină în ecuația inițială și păstrează-le doar pe cele care o verifică.
5.La funcție, află vârful și intersecțiile cu axele
Calculează $x_V = -\dfrac{b}{2a}$ și $y_V = f(x_V)$ . Intersecția cu $Oy$ este $(0, c)$ , iar intersecțiile cu $Ox$ sunt date de $f(x) = 0$ . Semnul lui $a$ spune dacă vârful este un minim sau un maxim.
6.La expresii cu rădăcinile, folosește Viète
Scrie expresia cerută cu ajutorul sumei $S = x_1 + x_2$ și al produsului $P = x_1 x_2$ , apoi înlocuiește $S$ și $P$ din coeficienți. Nu este nevoie să calculezi rădăcinile.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Discriminantul și cele trei cazuri
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuațiile: a) $2x^2 - 5x + 3 = 0$ ; b) $x^2 - 10x + 25 = 0$ ; c) $x^2 + 2x + 5 = 0$ .
2.Relațiile lui Viète
Rădăcinile ecuației $x^2 - 7x + 3 = 0$ sunt $x_1$ și $x_2$ . Calculează $x_1 + x_2$ , $x_1 x_2$ și $(x_1 - 1)(x_2 - 1)$ , fără să calculezi rădăcinile.
3.Vârful parabolei și intersecțiile cu axele
Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Determină coordonatele vârfului parabolei, punctele în care graficul taie axele și valoarea minimă a funcției.
4.O ecuație irațională care duce la gradul al doilea
Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x + 6} = x$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2023, matematică M_mate-info — subiectul I, 2

Itemul 2. (0–5 p)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^2 - 6x + 8

. Determinați numărul real

m

, știind că punctul

A(m, -1)

aparține graficului funcției

f

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2023, Matematică M_mate-info, sesiunea august, subiectul I, 2 (varianta 7). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul I, 2

Itemul 2. (0–5 p)

Se consideră funcțiile

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = 2x - 1

și

g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

g(x) = x^2 - 4x + m

, unde

m

este număr real. Determinați numărul real

m

pentru care graficele funcțiilor

f

și

g

au exact un punct comun.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, simularea națională, subiectul I, 2 (varianta simulare). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

La Evaluarea Națională

ce cere celălalt examen

Programa pentru Evaluarea Națională conține ecuațiile de forma

ax^2 + bx + c = 0

, cu

a, b, c \in \mathbb{R}

. Relațiile lui Viète, funcția de gradul al doilea și vârful parabolei nu intră în programa de Evaluare Națională. O ecuație de gradul al doilea se poate rezolva la această examinare prin descompunere în factori sau cu discriminantul.

În iunie 2023, la subiectul al III-lea, problema 2, partea b), egalitatea

E(x) = \dfrac{x - 3}{8}

ducea la

x^2 = 49

, iar cerința era suma soluțiilor. Ecuația are două soluții opuse,

-7

și

7

, deci suma lor este

0

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în 2 din 4 ani (2023–2026)
- Funcția de gradul al II-lea (clasa a IX-a)
Itemi: 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în 2 din 4 ani (2023–2026)
- Funcția de gradul al II-lea (clasa a IX-a)
Itemi: 2025: I.3 · 2026: I.3
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în niciun an din 2023–2026
- Funcția de gradul al II-lea (clasa a IX-a)
Itemi: niciun item în iunie 2023–2026
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în 1 din 4 ani (2023–2026)
- Funcția de gradul al II-lea (clasa a IX-a)
Itemi: 2023: I.2
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

Se consideră ecuația

x^2 + 9x + 5 = 0

, cu soluțiile reale

x_1

și

x_2

. Calculați

x_1^2 + x_2^2

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 2. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = -x^2 - x - 7

. Determinați coordonatele vârfului

V(x_V, y_V)

al parabolei asociate funcției

f

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

x_V =

y_V =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră ecuația

x^2 + x - 4 = 0

, cu soluțiile reale

x_1

și

x_2

. Calculați

\dfrac{1}{x_1} +{}

\dfrac{1}{x_2}

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = -x^2 + 8x - 9

. Determinați coordonatele vârfului

V(x_V, y_V)

al parabolei asociate funcției

f

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

x_V =

y_V =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Greșești semnele în discriminant. Pune numerele negative între paranteze: pentru $x^2 - 3x - 4 = 0$ , $\Delta = (-3)^2 -{}$ $4 \cdot 1 \cdot (-4) ={}$ $9 + 16 ={}$ $25$ , nu $9 - 16$ .
Scrii suma rădăcinilor cu semnul greșit. Relația este $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ , cu minus. Pentru $x^2 - 7x + 3 = 0$ suma este $7$ , nu $-7$ .
Păstrezi o rădăcină care nu convine. După ce ai ridicat la pătrat o ecuație cu radicali, înlocuiește fiecare rădăcină în ecuația inițială, ca $x = -2$ în exemplul de mai sus.
Scrii vârful cu $x_V = \dfrac{b}{2a}$ , fără minus, sau uiți semnul în $y_V ={}$ $-\dfrac{\Delta}{4a}$ . Verifică întotdeauna: ordonata vârfului este $f(x_V)$ .
Împarți la $x$ când simplifici o ecuație ca $x^2 = 3x$ și pierzi soluția $x = 0$ . Mută toți termenii într-un membru și descompune: $x(x - 3) = 0$ are soluțiile $0$ și $3$ .

Reține

$\Delta = b^2 - 4ac$ ; $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
$x_1^2 + x_2^2 ={}$ $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ .
Vârful: $V\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ ; $a > 0$ minim, $a < 0$ maxim.
Graficul taie axa $Ox$ în două puncte distincte exact când $\Delta > 0$ .
După ridicarea la pătrat, verifică rădăcinile în ecuația inițială.

Întrebări și răspunsuri

1.Cum rezolv o ecuație de gradul al doilea?+
Răspuns:Aduci ecuația la forma $ax^2 + bx + c = 0$ , calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ și, dacă $\Delta \geq 0$ , afli rădăcinile cu $x_{1,2} ={}$ $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Dacă ecuația se descompune ușor în factori, poți rezolva și așa, egalând fiecare factor cu zero.
2.Ce arată discriminantul $\Delta$ ?+
Răspuns:Arată câte rădăcini reale are ecuația. Pentru $\Delta > 0$ sunt două rădăcini reale distincte, pentru $\Delta = 0$ este o singură rădăcină (dublă), iar pentru $\Delta < 0$ nu există rădăcini reale. Același semn spune și câte puncte comune are parabola cu axa $Ox$ : două, unul sau niciunul.
3.Ce sunt relațiile lui Viète și când le folosesc?+
Răspuns:Sunt relațiile dintre rădăcini și coeficienți: $x_1 + x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{a}$ și $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ . Le folosești când ți se cere o expresie cu rădăcinile, de exemplu $x_1^2 + x_2^2$ sau $\dfrac{1}{x_1} +{}$ $\dfrac{1}{x_2}$ , pentru că o poți calcula fără să afli rădăcinile.
4.Cum aflu vârful parabolei?+
Răspuns:Pentru $f(x) = ax^2 + bx + c$ , abscisa vârfului este $x_V = -\dfrac{b}{2a}$ , iar ordonata este $y_V ={}$ $f(x_V) ={}$ $-\dfrac{\Delta}{4a}$ . Dacă $a > 0$ , vârful este punctul cel mai de jos al graficului, iar dacă $a < 0$ , cel mai de sus.
5.Cum aflu intersecția graficului cu axele?+
Răspuns:Cu axa $Oy$ , graficul se întâlnește în punctul $(0, c)$ . Cu axa $Ox$ , se întâlnește în punctele $(x, 0)$ pentru care $f(x) = 0$ , adică în rădăcinile reale ale ecuației $ax^2 + bx + c = 0$ . Dacă $\Delta < 0$ , graficul nu are puncte comune cu axa $Ox$ .
6.Când are o ecuație de gradul al doilea o singură soluție?+
Răspuns:Când $\Delta = 0$ : atunci cele două rădăcini sunt egale, $x_1 ={}$ $x_2 ={}$ $-\dfrac{b}{2a}$ , iar trinomul este un pătrat perfect, $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$ . Condiția $\Delta = 0$ apare des în probleme cu parametru: „graficele au exact un punct comun”.
7.Cum apare ecuația de gradul al doilea la bacalaureat?+
Răspuns:În iunie 2023–2026 a apărut ca ultim pas al unei ecuații iraționale sau logaritmice din itemul 3 al subiectului I, la M_mate-info în 2025 și 2026 și la M_șt-nat în 2025 și 2026. La M_pedagogic a apărut în 2023, într-un item cu două funcții, $f(n) \geq g(n)$ , unde una este de gradul al doilea.
8.Intră ecuația de gradul al doilea și la Evaluarea Națională?+
Răspuns:Da, dar numai ecuațiile de forma $ax^2 + bx + c = 0$ : relațiile lui Viète, funcția de gradul al doilea și vârful parabolei nu intră în programa de Evaluare Națională. Ele se învață pentru bacalaureat, în clasa a IX-a.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Ecuația de gradul al doilea și funcția de gradul al doilea: delta, relațiile lui Viète, vârful parabolei

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Adu ecuația la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0

2.Calculează discriminantul

3.Află rădăcinile

4.Verifică rădăcinile în ecuația de la care ai plecat

5.La funcție, află vârful și intersecțiile cu axele

6.La expresii cu rădăcinile, folosește Viète

Exemple rezolvate

1.Discriminantul și cele trei cazuri

2.Relațiile lui Viète

3.Vârful parabolei și intersecțiile cu axele

4.O ecuație irațională care duce la gradul al doilea

Subiect de examen

La Evaluarea Națională

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse

1.Adu ecuația la forma $ax^2 + bx + c = 0$