Cum aflu mijlocul unui segment?

Aduni abscisele capetelor și împarți suma la $2$, apoi faci la fel cu ordonatele. Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$, mijlocul este $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$. Dacă se dă mijlocul și un capăt, folosești aceeași formulă ca ecuație pentru coordonatele celuilalt capăt.

Cum scriu ecuația dreptei care trece prin două puncte?

Calculezi panta $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, apoi scrii $y - y_A = m(x - x_A)$ și aduci ecuația la forma cerută, de obicei $y = mx + n$. Dacă abscisele punctelor sunt egale, dreapta este verticală și are ecuația $x = x_A$.

Cum recunosc dreptele paralele și perpendiculare?

Compari pantele. Paralele au pante egale, iar perpendicularele au produsul pantelor egal cu $-1$. Pentru dreptele verticale și orizontale nu folosești produsul: o verticală este perpendiculară pe orice orizontală.

Cum aflu coordonatele unui vector?

Scazi coordonatele începutului din cele ale sfârșitului: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$. Vectorul de poziție $\overrightarrow{OA}$ are chiar coordonatele punctului $A$, pentru că începutul $O$ este originea.

Cum aflu un punct $C$ dacă știu o relație între vectori?

Scrii coordonatele fiecărui vector cu $C(a, b)$ necunoscut, faci operațiile cerute pe coordonate și egalezi coordonatele celor doi membri. Obții câte o ecuație pentru $a$ și pentru $b$, pe care le rezolvi separat.

Cât de des apare geometria analitică la bacalaureat?

În iunie 2023–2026 a fost cerută în fiecare an, la toate cele patru profiluri, în itemul 5 din subiectul I: mijlocul unui segment, distanța, un punct dat prin vectori, ecuația unei drepte sau condiția de paralelism ori de perpendicularitate. Fiecare pas al rezolvării se notează după barem.

Bacalaureat 2027 · matematică

Ecuația dreptei și vectori în plan: geometria analitică la bacalaureat

Itemul 5 din subiectul I este, la bacalaureat, un exercițiu de geometrie analitică: mijlocul unui segment, distanța dintre două puncte, un punct dat printr-o relație între vectori sau ecuația unei drepte. Toate se rezolvă cu câteva formule pe coordonate. Aici ai formulele, metoda pas cu pas, patru exemple rezolvate și două subiecte CNCE cu baremul lor, pentru toate profilurile.

La bac, toate profilurile: în fiecare an 2023–2026, în itemul 5 din subiectul I.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi

Distanța și mijlocul: pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ , $AB ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ . Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ .
Vectorul $\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ : sfârșitul minus începutul. Doi vectori sunt egali când au coordonatele egale. Suma se face pe coordonate, iar $k\overrightarrow{AB}$ are coordonatele $(k(x_B - x_A), k(y_B - y_A))$ . Vectorul de poziție al punctului $A$ este $\overrightarrow{OA}$ , cu coordonatele $(x_A, y_A)$ .
Panta dreptei $AB$ , când $x_A \ne x_B$ : $m_{AB} ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ . Dreapta prin $A$ cu panta $m$ are ecuația $y - y_A = m(x - x_A)$ , care se aduce la forma $y = mx + n$ . O dreaptă verticală nu are pantă; ecuația ei este $x = x_A$ .
Paralelism și perpendicularitate: dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt paralele când $m_1 = m_2$ și perpendiculare când $m_1 \cdot m_2 = -1$ .
Coliniaritate: pentru $A \ne B$ , punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare când $\overrightarrow{AC} ={}$ $k\overrightarrow{AB}$ pentru un număr real $k$ , adică, dacă dreptele nu sunt verticale, când $AB$ și $AC$ au aceeași pantă.

Metoda pas cu pas

pe rând

1.Scrie coordonatele punctelor
Notează fiecare punct cu coordonatele lui, $A(x_A, y_A)$ . Dacă un punct are coordonate necunoscute, $C(a, b)$ , păstrează-le ca litere și scrie condiția din enunț ca ecuații în $a$ și $b$ .
2.Alege formula după ce se cere
O lungime cere formula distanței, un punct la mijloc cere formula mijlocului, o relație între vectori cere coordonatele vectorilor, iar o dreaptă cere o pantă. Pentru paralele folosește egalitatea pantelor, pentru perpendiculare produsul $-1$ .
3.Calculează coordonatele sau panta
Fă diferențele în aceeași ordine, sfârșit minus început, la x și la y. Pentru pantă pune diferența ordonatelor deasupra și pe cea a absciselor dedesubt.
4.Scrie ecuația cerută
Pentru o dreaptă folosește $y - y_A = m(x - x_A)$ cu un punct al dreptei, apoi adu ecuația la forma cerută. Pentru un punct necunoscut, egalează coordonatele și rezolvă ecuațiile obținute.
5.Verifică înlocuind
Pune coordonatele punctelor în ecuația găsită: fiecare trebuie să o verifice. Pentru un mijloc verifică dacă distanțele de la mijloc la capete sunt egale.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

1.Mijlocul și lungimea unui segment
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2, 3)$ și $B(4, -5)$ . Determină coordonatele mijlocului $M$ al segmentului $AB$ și lungimea segmentului $AB$ .
2.Un punct dat printr-o relație între vectori
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 1)$ și $B(-1, 3)$ . Determină coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OC} ={}$ $\overrightarrow{OA} +{}$ $2\overrightarrow{OB}$ .
3.Dreapta prin două puncte și coliniaritatea
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 2)$ , $B(3, 6)$ și $C(5, a)$ , unde $a$ este număr real. Scrie ecuația dreptei $AB$ și determină $a$ pentru care punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare.
4.Paralela și perpendiculara printr-un punct
Dreapta $d$ are ecuația $y = -2x + 3$ , iar punctul $P$ are coordonatele $(4, 1)$ . Scrie ecuația dreptei prin $P$ paralelă cu $d$ și ecuația dreptei prin $P$ perpendiculară pe $d$ .

Subiect de examen

sursa: CNCE

Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.

Subiect CNCEM_mate-info

Bacalaureat 2026, matematică M_mate-info — subiectul I, 5

Itemul 5. (0–5 p)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(3,6)

B(4,1)

și

C(5,a)

, unde

a

este număr real. Determinați numărul real

a

pentru care dreptele

OA

și

BC

sunt paralele.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_mate-info, sesiunea iunie, subiectul I, 5 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2024, matematică M_șt-nat — subiectul I, 5

Itemul 5. (0–5 p)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(1,0)

B(4,4)

și

C(5,2)

. Arătați că triunghiul

ABC

este dreptunghic în

C

Sursa: CNPEE, Bacalaureat 2024, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 5 (varianta 10). Punctajul după baremul CNPEE. · Subiectul și baremul CNCE

Pe profiluri

numărat din subiecte

Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

M_mate-info
în fiecare an 2023–2026
- Vectori în plan (clasa a IX-a)
- Geometrie (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.5 · 2024: I.5 · 2025: I.5 · 2026: I.5
Toate noțiunile profilului
M_șt-nat
în fiecare an 2023–2026
- Vectori în plan (clasa a IX-a)
- Geometrie (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.5 · 2024: I.5 · 2025: I.5 · 2026: I.5
Toate noțiunile profilului
M_tehnologic
în fiecare an 2023–2026
- Vectori în plan (clasa a IX-a)
- Geometrie (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.5 · 2024: I.5 · 2025: I.5 · 2026: I.5
Toate noțiunile profilului
M_pedagogic
în fiecare an 2023–2026
- Vectori în plan (clasa a IX-a)
- Geometrie (clasa a X-a)
Itemi: 2023: I.5 · 2024: I.5 · 2025: I.5 · 2026: I.5
Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc

Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.

M_mate-info

Întrebarea 1. (0–1)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(7,1)

și

B(-5,5)

. Determinați coordonatele mijlocului

M

al segmentului

AB

x_M =

y_M =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_mate-info

Întrebarea 2. (0–1)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(8,-6)

și

B(-2,-3)

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

A

și este perpendiculară pe dreapta

OB

. Scrieți ecuația sub forma

y = mx + n

. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

m =

n =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 3. (0–1)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(5,5)

și

B(1,5)

. Determinați coordonatele punctului

C

pentru care

\overrightarrow{AC} ={}

3\overrightarrow{AB}

x_C =

y_C =

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 4. (0–1)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

A(-1,4)

B(-3,5)

și

C(2,a)

, unde

a

este număr real. Determinați numărul real

a

pentru care dreptele

OA

și

BC

sunt paralele. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_pedagogic

Întrebarea 5. (0–1)

În reperul cartezian

xOy

se consideră punctele

M(1,-3)

N(6,-3)

și

P(-13,15)

. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului

MP

și punctul

N

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte

Scazi coordonatele în ordine diferită la x și la y. Pentru $\overrightarrow{AB}$ scrii $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ , ambele cu sfârșitul minus începutul; dacă amesteci ordinea, panta sau vectorul iese cu semn greșit.
Confunzi mijlocul cu vectorul. Mijlocul se obține adunând coordonatele capetelor și împărțind la $2$ , iar vectorul $\overrightarrow{AB}$ se obține scăzând coordonatele lor.
Folosești $m_1 = -m_2$ pentru perpendiculare. Condiția corectă este $m_1 \cdot m_2 = -1$ : perpendiculara pe o dreaptă de pantă $2$ are panta $-\dfrac{1}{2}$ , nu $-2$ .
Uiți că două drepte paralele au pante egale, dar nu aceeași ecuație. Paralela prin $P$ are aceeași pantă, însă termenul liber $n$ se calculează din coordonatele lui $P$ .
Pui în formula distanței sub radical diferența, nu pătratul diferenței, sau uiți radicalul. Calculează $(x_B - x_A)^2 +{}$ $(y_B - y_A)^2$ și abia apoi extragi rădăcina.

Reține

$AB ={}$ $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ este mijlocul lui $[AB]$ .
$\overrightarrow{AB} ={}$ $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ .
$m_{AB} ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; $y - y_A = m(x - x_A)$ .
Paralele: $m_1 = m_2$ . Perpendiculare: $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

Întrebări și răspunsuri

1.Cum aflu mijlocul unui segment?+
Răspuns:Aduni abscisele capetelor și împarți suma la $2$ , apoi faci la fel cu ordonatele. Pentru $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ , mijlocul este $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$ . Dacă se dă mijlocul și un capăt, folosești aceeași formulă ca ecuație pentru coordonatele celuilalt capăt.
2.Cum scriu ecuația dreptei care trece prin două puncte?+
Răspuns:Calculezi panta $m ={}$ $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , apoi scrii $y - y_A = m(x - x_A)$ și aduci ecuația la forma cerută, de obicei $y = mx + n$ . Dacă abscisele punctelor sunt egale, dreapta este verticală și are ecuația $x = x_A$ .
3.Cum recunosc dreptele paralele și perpendiculare?+
Răspuns:Compari pantele. Paralele au pante egale, iar perpendicularele au produsul pantelor egal cu $-1$ . Pentru dreptele verticale și orizontale nu folosești produsul: o verticală este perpendiculară pe orice orizontală.
4.Cum aflu coordonatele unui vector?+
Răspuns:Scazi coordonatele începutului din cele ale sfârșitului: $\overrightarrow{AB} ={}$ $(x_B - x_A, y_B - y_A)$ . Vectorul de poziție $\overrightarrow{OA}$ are chiar coordonatele punctului $A$ , pentru că începutul $O$ este originea.
5.Cum aflu un punct $C$ dacă știu o relație între vectori?+
Răspuns:Scrii coordonatele fiecărui vector cu $C(a, b)$ necunoscut, faci operațiile cerute pe coordonate și egalezi coordonatele celor doi membri. Obții câte o ecuație pentru $a$ și pentru $b$ , pe care le rezolvi separat.
6.Cât de des apare geometria analitică la bacalaureat?+
Răspuns:În iunie 2023–2026 a fost cerută în fiecare an, la toate cele patru profiluri, în itemul 5 din subiectul I: mijlocul unui segment, distanța, un punct dat prin vectori, ecuația unei drepte sau condiția de paralelism ori de perpendicularitate. Fiecare pas al rezolvării se notează după barem.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică M_mate-info

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit o lucrare de bacalaureat la matematică, cu timpul de la examen, corectată pas cu pas după barem.

Rezolvă gratuit un test

Ecuația dreptei și vectori în plan: geometria analitică la bacalaureat

Ce trebuie să știi

Metoda pas cu pas

1.Scrie coordonatele punctelor

2.Alege formula după ce se cere

3.Calculează coordonatele sau panta

4.Scrie ecuația cerută

5.Verifică înlocuind

Exemple rezolvate

1.Mijlocul și lungimea unui segment

2.Un punct dat printr-o relație între vectori

3.Dreapta prin două puncte și coliniaritatea

4.Paralela și perpendiculara printr-un punct

Subiect de examen

Pe profiluri

Verifică-te

Greșeli frecvente

Reține

Întrebări și răspunsuri

Vezi și

Surse