Kleksa

Evaluarea Națională 2027 · matematică

Funcția de gradul întâi: graficul și intersecția cu axele

O funcție de gradul întâi are forma f(x)=ax+bf(x) = ax + b, iar graficul ei este o dreaptă. Cu ea faci trei lucruri: afli valoarea funcției într-un punct, verifici dacă un punct aparține graficului și găsești punctele în care graficul taie axele. Din aceste puncte și din origine se formează triunghiul AOBAOB, dreptunghic în OO, de unde urmează lungimi, arii și distanțe. Aici ai metoda pas cu pas, exemple rezolvate și subiecte CNCE cu baremul lor.

La Evaluarea Națională: în fiecare an 2023–2026, problema 3 din subiectul al III-lea; la toate profilurile de bacalaureat: în fiecare an 2023–2026, itemul 2 din subiectul I.

Ce trebuie să știi

asta trebuie să știi
  • Forma funcției: f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b, cu a≠0a \neq 0. Dacă a>0a > 0, graficul urcă de la stânga la dreapta; dacă a<0a < 0, coboară. Numărul bb arată unde taie dreapta axa OyOy.
  • Valoarea într-un punct: f(m)f(m) se obține înlocuind xx cu mm în formulă. Punctul P(m,n)P(m, n) aparține graficului dacă și numai dacă f(m)=nf(m) = n: abscisa se înlocuiește în formulă, iar rezultatul trebuie să fie ordonata.
  • Intersecția cu axa OyOy: ai x=0x = 0, deci punctul este B(0,f(0))=B(0, f(0)) ={}B(0,b) B(0, b). Intersecția cu axa OxOx: ai f(x)=0f(x) = 0, deci x=−bax = -\dfrac{b}{a} și punctul este A(−ba,0)A\left(-\dfrac{b}{a}, 0\right).
  • Triunghiul AOBAOB este dreptunghic în OO, cu catetele OA=∣ba∣OA = \left|\dfrac{b}{a}\right| și OB=∣b∣OB = |b|. Ipotenuza ABAB se află cu teorema lui Pitagora, aria este OA⋅OB2\dfrac{OA \cdot OB}{2}, iar mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.
  • Distanța dintre punctele M(x1,y1)M(x_1, y_1) și N(x2,y2)N(x_2, y_2): MN=MN ={}(x2−x1)2+(y2−y1)2 \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. Distanța de la un punct la dreapta ABAB este lungimea perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă; o afli scriind aria triunghiului în două feluri.
  • Graficul se desenează cu două puncte: de obicei AA și BB, adică intersecțiile cu axele. Un al treilea punct, calculat din formulă, te ajută să verifici desenul.

Metoda pas cu pas

pe rând

  1. 1.Citește formula și notează aa și bb

    Scrie funcția în forma f(x)=ax+bf(x) = ax + b și vezi cine sunt aa și bb, cu semnele lor. De exemplu, în f(x)=6−2xf(x) = 6 - 2x ai a=−2a = -2 și b=6b = 6.

  2. 2.Calculează valorile cerute

    Pentru f(m)f(m) înlocuiește xx cu mm. Pune numerele negative între paranteze: f(−3)=f(-3) ={}6−2⋅(−3) 6 - 2 \cdot (-3). La o sumă sau o diferență de valori, calculează fiecare valoare separat.

  3. 3.Scrie condiția ca punctul să fie pe grafic

    Dacă punctul P(m,n)P(m, n) aparține graficului, scrie f(m)=nf(m) = n. Dacă abscisa sau ordonata este necunoscută, ajungi la o ecuație de gradul întâi, pe care o rezolvi.

  4. 4.Află intersecțiile cu axele

    Calculează f(0)f(0) pentru punctul de pe OyOy și rezolvă f(x)=0f(x) = 0 pentru punctul de pe OxOx. Notează punctele AA și BB cu ambele coordonate.

  5. 5.Folosește triunghiul AOBAOB

    Catetele sunt valorile absolute ale coordonatelor: OA=∣xA∣OA = |x_A| și OB=∣yB∣OB = |y_B|. Cu ele afli ipotenuza ABAB, aria sau distanța cerută. Pentru distanța de la un punct la dreaptă, scrie aria în două feluri.

  6. 6.Verifică

    Înlocuiește coordonatele punctelor găsite în formula funcției: trebuie să dea egalități adevărate. Verifică și dacă lungimile ies pozitive și dacă ipotenuza este cea mai lungă latură.

Exemple rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi compară cu rezolvarea. Am recalculat fiecare număr.

  1. 1.Valori ale funcției și punct pe grafic

    Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=5−2xf(x) = 5 - 2x. a) Arată că f(1)+f(4)=0f(1) + f(4) = 0. b) Determină numărul real mm pentru care punctul P(m,9)P(m, 9) aparține graficului funcției ff.

  2. 2.Intersecția cu axele, aria triunghiului și distanța de la origine

    Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−2x+8f(x) = -2x + 8. Graficul funcției intersectează axele OxOx și OyOy în punctele AA, respectiv BB. Calculează aria triunghiului AOBAOB și distanța de la punctul OO la dreapta ABAB.
    123456123456789100xyABH

  3. 3.Funcția al cărei grafic trece prin două puncte

    Graficul funcției f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b, trece prin punctele M(1,5)M(1, 5) și N(3,11)N(3, 11). Determină numerele reale aa și bb.

Subiect de examen

sursa: CNCE
Un item CNCE adevărat, cuvânt cu cuvânt. Rezolvă-l înainte să te uiți la rezolvare.
Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2026, matematică — subiectul al III-lea, 3.b)

Problema 3.b) (0–3 p)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6.xyOb) Reprezentarea geometrică a graficului funcției ff intersectează axele OxOx și OyOy ale sistemului de axe ortogonale xOyxOy în punctele AA, respectiv BB. Calculează lungimea segmentului OMOM, știind că punctul MM este mijlocul segmentului ABAB.

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2026, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 3.b) (varianta 1). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Subiect CNCEEN

Evaluarea Națională 2025, matematică — subiectul al III-lea, 3.b)

Problema 3.b) (0–3 p)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−4f(x) = 2x - 4. b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției ff intersectează axele OxOx și OyOy ale sistemului de axe ortogonale xOyxOy în punctele AA, respectiv BB. Punctul CC este simetricul punctului AA față de axa OyOy. Arată că perimetrul triunghiului ABCABC este egal cu 4(5+1)4\left(\sqrt{5} + 1\right).xyO

Sursa: CNCE, Evaluarea Națională 2025, Matematică, sesiunea iunie, subiectul al III-lea, 3.b) (varianta 7). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE

La bacalaureat

ce cere celălalt examen
La bacalaureat funcția de gradul întâi are un loc fix: itemul 2 din subiectul I, de 5 puncte. În iunie 2023–2026 a apărut în fiecare an la fiecare dintre cele patru profiluri (M_mate-info, M_șt-nat, M_tehnologic și M_pedagogic), iar punctajul se acordă pe pași, după barem, ca la Evaluarea Națională.
Cerințele sunt de felul: f(a)=6f(a) = 6 la M_tehnologic în 2023, f(a)+f(3a)=0f(a) + f(3a) = 0 la M_mate-info în 2024, f(a)=g(a)f(a) = g(a) cu două funcții la M_șt-nat în 2023. Metoda este cea de mai sus: înlocuiești în formulă și rezolvi ecuația de gradul întâi care rezultă. Alteori itemul este o verificare de forma „Arătați că …”, în care calculezi câteva valori ale funcției. Un item a cerut și ca un punct cu coordonate necunoscute să aparțină graficului, ca în subiectul de mai jos.
Subiect CNCEM_șt-nat

Bacalaureat 2026, matematică M_șt-nat — subiectul I, 2

Itemul 2. (0–5 p)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−21f(x) = 2x - 21. Determinați numărul real aa pentru care punctul A(−3a,a)A(-3a, a) aparține graficului funcției ff.

Sursa: CNCE, Bacalaureat 2026, Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie, subiectul I, 2 (varianta 3). Punctajul după baremul CNCE. · Subiectul și baremul CNCE · Rezolvă gratuit tot subiectul

Pe profiluri

numărat din subiecte
Ce cere programa fiecărui profil și în ce itemi a dat CNCE această noțiune în sesiunile din iunie 2023–2026.

  • M_mate-info

    în fiecare an 2023–2026

    • Funcția de gradul I (clasa a IX-a)

    Itemi: 2023: I.2 · 2024: I.2 · 2025: I.2 · 2026: I.2

    Toate noțiunile profilului

  • M_șt-nat

    în fiecare an 2023–2026

    • Funcția de gradul I (clasa a IX-a)

    Itemi: 2023: I.2 · 2024: I.2 · 2025: I.2 · 2026: I.2

    Toate noțiunile profilului

  • M_tehnologic

    în fiecare an 2023–2026

    • Funcția de gradul I (clasa a IX-a)

    Itemi: 2023: I.2 · 2024: I.2 · 2025: I.2 · 2026: I.2

    Toate noțiunile profilului

  • M_pedagogic

    în fiecare an 2023–2026

    • Funcția de gradul I (clasa a IX-a)

    Itemi: 2023: I.2 · 2024: I.2 · 2025: I.2 · 2026: I.2

    Toate noțiunile profilului

Verifică-te

verifici pe loc
Alege sau scrie răspunsul și verifică-l pe loc: sub exercițiu apare explicația.
EN

Întrebarea 1. (0–5)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−5x+9f(x) = -5x + 9. Punctul A(−2,m)A(-2, m) aparține reprezentării geometrice a graficului funcției ff pentru mm egal cu:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

EN

Întrebarea 2. (0–5)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x−2f(x) = 2x - 2. Reprezentarea geometrică a graficului funcției ff intersectează axa OxOx în punctul:

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_șt-nat

Întrebarea 3. (0–1)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x+5f(x) = 2x + 5. Determinați numărul real mm pentru care f(m)+f(m+1)=9f(m) + f(m + 1) = 9. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

M_tehnologic

Întrebarea 4. (0–1)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=−x+9f(x) = -x + 9. Determinați numărul real mm pentru care f(m)=mf(m) = m. Dacă rezultatul nu este un număr întreg, scrieți-l ca fracție, de exemplu 7/3.

Scrie doar numărul, cu virgula ca separator zecimal.

Exercițiu Kleksa în formatul CNCE — explicație Kleksa.

Mai multe exerciții: rezolvă gratuit un test întreg

Greșeli frecvente

aici se pierd puncte
  • Încurci abscisa cu ordonata. Punctul P(m,n)P(m, n) aparține graficului dacă f(m)=nf(m) = n, nu dacă f(n)=mf(n) = m. Prima coordonată merge în formulă, a doua este rezultatul.
  • Pentru intersecția cu axa OxOx pui x=0x = 0. Pe axa OxOx ordonata este 00, deci rezolvi f(x)=0f(x) = 0; x=0x = 0 este pentru axa OyOy. Verifică mereu cu coordonatele punctului găsit.
  • Greșești semnul când înlocuiești un număr negativ. Pentru f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 ai f(−3)=f(-3) ={}2⋅(−3)−5= 2 \cdot (-3) - 5 ={}−11 -11, nu −1-1. Pune numărul negativ între paranteze.
  • Folosești o coordonată negativă drept lungime. Pentru B(0,−4)B(0, -4) cateta este OB=4OB = 4, nu −4-4: lungimile sunt pozitive, deci iei valoarea absolută.
  • Confunzi distanța de la un punct la dreaptă cu distanța până la un punct de pe dreaptă. Distanța este lungimea perpendicularei; o afli scriind aria triunghiului în două feluri, cu două baze și două înălțimi.

Reține

  • f(x)=ax+bf(x) = ax + b; graficul este o dreaptă care taie axa OyOy în B(0,b)B(0, b).
  • P(m,n)∈Gf⇔f(m)=P(m, n) \in G_f \Leftrightarrow f(m) ={}n n.
  • Intersecția cu OxOx: f(x)=0f(x) = 0, adică x=−bax = -\dfrac{b}{a}.
  • MN=MN ={}(x2−x1)2+(y2−y1)2 \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
  • Aria triunghiului AOBAOB dreptunghic în OO: OA⋅OB2\dfrac{OA \cdot OB}{2}.
  • Mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.

Întrebări și răspunsuri

  1. 1.Ce este o funcție de gradul întâi?+
    Răspuns:Este o funcție de forma f(x)=ax+bf(x) = ax + b, cu aa și bb numere reale și a≠0a \neq 0. Pentru fiecare număr xx obții o singură valoare f(x)f(x), iar graficul este o dreaptă (sau o parte din ea, dacă domeniul este un interval sau o mulțime finită). Numărul bb este ordonata punctului în care graficul taie axa OyOy.
  2. 2.Cum aflu punctele în care graficul taie axele?+
    Răspuns:Pentru axa OyOy iei x=0x = 0 și calculezi f(0)f(0); punctul este (0,f(0))(0, f(0)). Pentru axa OxOx rezolvi ecuația f(x)=0f(x) = 0; dacă soluția este x0x_0, punctul este (x0,0)(x_0, 0). Cele două puncte formează cu originea un triunghi dreptunghic.
  3. 3.Cum verific dacă un punct aparține graficului?+
    Răspuns:Înlocuiești abscisa punctului în formula funcției și compari rezultatul cu ordonata. Dacă sunt egale, punctul aparține graficului; dacă nu, nu aparține. De exemplu, pentru f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1, punctul (2,5)(2, 5) aparține graficului, pentru că f(2)=5f(2) = 5.
  4. 4.Cum calculez aria triunghiului format de grafic și de axe?+
    Răspuns:Află intersecțiile AA și BB cu axele. Triunghiul AOBAOB este dreptunghic în OO, cu catetele OAOA și OBOB, egale cu valorile absolute ale coordonatelor diferite de zero ale lui AA și BB. Aria este OA⋅OB2\dfrac{OA \cdot OB}{2}.
  5. 5.Cum aflu funcția dacă știu două puncte ale graficului?+
    Răspuns:Scrii că fiecare punct verifică formula f(x)=ax+bf(x) = ax + b și obții un sistem de două ecuații cu necunoscutele aa și bb. Îl rezolvi prin reducere sau substituție. Dacă unul dintre puncte este pe axa OyOy, afli direct bb ca ordonată a punctului.
  6. 6.Cum apare funcția de gradul întâi la examene?+
    Răspuns:La Evaluarea Națională, în iunie 2023–2026, problema 3 din subiectul al III-lea a fost în fiecare an despre o funcție de gradul întâi: partea a) cere valori ale funcției, iar partea b) cere o lungime, un perimetru sau o distanță în triunghiul format de grafic și axe. La bacalaureat, itemul 2 din subiectul I cere de obicei un număr real dintr-o condiție pusă funcției, iar uneori o verificare de forma „Arătați că …”.
  7. 7.Cum desenez graficul unei funcții de gradul întâi?+
    Răspuns:Alegi două puncte ale graficului, cel mai simplu intersecțiile cu axele, le marchezi în sistemul de axe și duci dreapta prin ele. Un al treilea punct, calculat din formulă, te ajută să verifici că ai desenat bine. Dacă domeniul este un interval, desenezi doar partea corespunzătoare.

Vezi și

Toate noțiunile de matematică pentru Evaluarea Națională

Surse

Conținutul noțiunii urmează programele de examen, iar subiectele și baremele sunt ale CNCE. Explicațiile, exemplele, rezolvările și exercițiile noastre le-am scris noi.

Pagină verificată pe 26 octombrie 2026

Ultimul exercițiu.

Rezolvă gratuit subiectul CNCE de la Evaluarea Națională din iunie 2026, cu timpul de la examen: Subiectele I și II se verifică pe loc, iar Subiectul al III-lea se corectează după barem.